数值分析总复习提纲
数值分析总复习提纲
数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。
一、误差分析与算法分析
误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算
截断误差根据泰勒余项进行计算。
基本的问题是(1)1
()(01)(1)!n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。
例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。
解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。由麦克劳林公式，可知
211(01)2!!(1)!
n x x
n x x e e x x n n θθ+=+++++<<+
当x=1时，1111(01)2!!(1)!
e e n n θ
θ=+++++
<<+
故3
(1)(1)!(1)!n e R n n θ=<
++。 当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。此时，
e≈2.718 285。
2、绝对误差、相对误差及误差限计算
绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。 基本的计算公式是：
①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx
② *()()()ln r e x e x dx
e x d x x x x
==
== ③(())()()()e f x f x dx f x e x ''== ④(())(ln ())r e f x d f x =
⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+ ⑥121212((,))
((,))(,)
f x x f x x f x x εδ=
⑦ x
ε
δ=
注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式
()()r e x e x x =
或x
ε
δ=， 这样计算简单。
例1．2：测得圆环的外径d 1=10±0.05(cm)，内径d 2=5±0.1(cm)。求其面积的近似值和相应的绝对误差限、相对误差限。
解：圆环的面积公式为：
22
12
()4S d d π=- 所以，圆环面积的近似值为
222(105)58.905()4
S cm π
=-≈
由上述讨论，面积近似值的绝对误差限为
112211222()(2()2())(()())
4
2
(100.0550.1)2
1.57()
S d d d d d d d d cm π
π
εεεεεπ
≤
+=
+=
?+?≈
相对误差为
() 1.57
()100% 2.7%58.905S S S εδ==?≈ 相对误差要化成百分数。
3、绝对误差、相对误差、有效数字的关系计算
绝对误差、相对误差、有效数字的关系依据如下结论讨论： ①如果一个数
*1231110.(0)n n n x a a a a a a a -+=±≠ 其近似值
12310.n n x a a a a a -=±
是对x*的第n+1位进行四舍五入后得到的，则x 有n 位有效数字，且其绝对误差不超过
1
102
n -? ，即 1
*102
n x x --≤? 。
②如果一个数
*1231110.10(0)m n n n x a a a a a a a -+=±?≠ 的近似值
12310.10m n n x a a a a a -=±?
是对x*的第n+1位进行四舍五入后得到的，则x 有n 位有效数字，且其绝对误差不超过
1
102
m n -? ，即 1
*102
m n x x --≤?。
③设12310.10m n n x a a a a a -=±? 是x*的具有n 位有效数字的近似值，则其相对误差限为
11
1102n a δ-=?
反之，若x 的相对误差限111
102(1)
n a δ-=
?+
则x 至少具有n 位有效数字。
例1.3
31
102
-?。
解：因为12
所以，化成12310.10m n n x a a a a a -=±? 的形式，有11,1a m ==。
而31411
101022
ε--=?=?，
所以，由定理2，n=4，
所以近似值应保留4位有效数字。
1.732≈。
例1．4
的近似值的相对误差不超过410-，应取几位有效数字？
（5％）
解：设取n 个有效数字可使相对误差小于410-，则 141110102n a --?<，
而34≤，显然13a =，此时，
114111
101010223n n a ---?=?
即141
10106n --?<， 也即561010n ?> 所以，n=5。
例1．5：已知近似数x 的相对误差限为0.3％,问x 至少有几个有效数字？ 解：设x 有n 位有效数字，其第一位有效数字按最不利情况取为9，则
1131111
0.3%10101010002(91)2102210n n n n
δ---===?=?=?=+??由上可得
6101000n ?=，
n ≈2.2，
所以取n=2。 指出：
也可以按首位为1，9分别计算，取较小者。 4、计算方法的余项计算
各种计算方法的余项的计算根据相应的余项定理进行。 （二）误差分析
精度水平的分析主要依据两个结论： 相对误差越小，近似数的精确度越高。
一个近似数的有效数字越多，它的相对误差越小，也就越精确。反之亦然。
例1.6： 测量一个长度a 为400米，其绝对误差不超过0.5米，测量另一长度b 为20米，其绝对误差不超过0.05米。问，哪一个测量的更精确些？
解：
0.5
0.125%4000.05
0.25%20
a
a b
b a
b
εδεδ====
=
=
显然，δa < δb 所以测值a 更准确一些。 答：测值a 更准确一些。 指出：
衡量测量工作的好坏用相对误差。 解决这样的题目就是三个步骤： 第一，求出两个相对误差。
第二，比较两个相对误差的大小。 第三，结论。 （三）算法分析 1、稳定性分析
算法的稳定性通过对计算的误差的扩缩情况进行分析。
例1．7：设近似值T 0=S 0=35.70具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析分别用递推式
15142.8i i T T +=-和11
142.85
i i S S +=-
计算T 20和S 20所得结果是否可靠。
解：设计算T i 的绝对误差为e(T i )=T i *－T i ，其中计算T 0的误差为ε，那么计算T 20的误差为
e(T 20)=T 20*－T 20＝（5T 19*－142.8）－（5T 19－142.8）=5(T 19*－T 19) ＝5e(T 19)=52e(T 18)=……=520e(T 0) 显然误差被放大，结果不可靠。
同理，20
2001()()5e S e S ??
= ???
，误差缩小，结果可靠。
指出：
注意理论分析，因此初始近似值本身是不必要的。 2、收敛性分析
算法的收敛性分析主要是迭代法解方程的收敛性分析和迭代法解方程组的收敛性分析，其他计算方法的收敛性分析一般在具体计算过程中体现。
（1）迭代法收敛性判定的基本结论是：
定理（迭代法基本定理）：对于任意的f ∈R n ，和任意的初始向量x (0)∈R n ，迭代法
x (k+1)=Bx (k)+f(k=0,1,2,…)
收敛的充分必要条件是迭代矩阵B 的谱半径ρ(B)＜1。
推论：若1B <，则迭代格式x (k+1)=Bx (k)+f(k=0,1,2,…)收敛。 （2）判定雅可比迭代法、高斯—赛德尔迭代法收敛的基本依据是： 定理： 设线性方程组Ax=b ，其系数矩阵为
11121212221
2(0)n n ii n n nn a a a a a a A a a a a ??
?
?=≠ ?
?
???
则雅可比迭代法迭代矩阵的特征值满足如下条件：
11121212221
2
0n n
n n nn a a a a a a a a a λλλ
= ；
高斯－赛德尔迭代法迭代矩阵的特征值满足如下条件：
1112121222120n n
n n nn
a a a a a a a a a λλλλλλ=
。
(3)系数矩阵为严格对角占优矩阵的方程组的迭代法收敛性：
定理：系数矩阵为严格对角占优的线性方程组，它的雅可比迭代和高斯－赛德尔迭代都是收敛的。
指出：
迭代法基本定理是一般结论，对任意迭代法的收敛性都能分析。限定雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法则不必应用基本定理，以回避求迭代矩阵。
例1．8：已知线性方程组
1231231
232211221
x x x x x x x x x +-=??
++=??++=? 求解这个方程组的雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法是否收敛？
解：
122111221A -?? ?= ? ???
，
令
22
11022λ
λλ
-=， 则312300λλλλ=?===， 所以ρ(B J )=0<1
所以雅可比迭代法收敛。 而
212322
10(2)00,222λλλλλλλλλλλ
-=?-=?===， 所以ρ(B G-S )=2>1
所以高斯—赛德尔迭代法发散。
二、基本计算与基本算法 （一）秦九韶算法
秦九韶算法是一种求多项式的值的计算方法。 对任意给定的x ，计算代数多项式
1
110()n n n n n P x a x a x
a x a --=++++ 的值，可以利用下面的方法计算： 1210()((()))n n n n P x a x a x a x a x a --=+++++
这种算法就是著名的秦九韶算法。是我国宋朝伟大的数学家秦九韶的伟大发现。
秦九韶算法可以写成递推的形式： 10(1,2,1,0)()n n k k k
n
s a s xs a k n p x s
+=??
=+=-??=? 具体计算式，递推格式是采用如下表格形式进行计算： 12321
0112321112321
()k n n n n k n
n n k k k n n n n n a a a a a a a a x
xs xs xs xs xs xs xs s a xs s a s s s s s s ---+--+---=+ 根据递推规则，计算的过程是要把横线上面每一竖列的两个数相加得横线下的数。其中a k 由多项式给出，而每一个xs k+1则由前一列中的s k+1与已知数x 相乘得出。所以可以由最前一列逐步递推计算出最后结果。
例2．1：用秦九韶算法计算多项式 76432()23461p x x x x x x x =--+-+- 在x=2处的值p(2)。
解：将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数为0。
12034161
220064108
10032549
------------- 计算过程如下： ①s 7＝a 7＝1。 ②x .s 7＝2。
③s 6=a 6+xs 7=-2+2=0（竖向相加） ④重复以上过程。 ⑤s 0=－1－8＝－9。
所以，p(2)＝－9。
（二）有效的基本算法
所谓有效的基本算法是指，根据算法设计的原则，设计出的一些求值计算的基本算法，这些算法避免了两个相近的数相减、较小的数作除数等使得计算误差增大的问题，减少了计算次数，通过调整计算顺序避免了大数吃小数。
例2．2：指出下列各题的合理计算途径（对给出具体数据的，请算出结果） ［1］1－cos1○（三角函数值取四位有效数字） ［2
］ln(30（对数函数值取六位有效数字）
［3］1cos sin x x - (其中x 的绝对值很小）
［4］x 127 ［5］100
1
1
(1)n n n =+∑
解：［1］201cos 2sin ,sin 0.50.00872
x
x -==
［2
］300.01667,
ln(30 4.09414
===-
［3］
1cos sin tan sin 1cos 2
x x x
x x -==+ ［4］x 127＝x·x 2·x 4·x 8·x 16·x 32·x 64
［5］由小到大依次相加。 100100
11
1111100
()1(1)1101101n n n n n n ===-=-=++∑∑ 注意：能求出值来的求值。
（三）数值分析的基础计算 1、矩阵分解
主要包括LU 分解和乔累斯基分解。
矩阵的手算分解就是应用矩阵乘法。注意 ［1］注意分解式的格式。 ［2］分解计算要认真。
［3］注意分解的顺序。先求U 的第一行，再求L 的第一列。 矩阵的LU 分解中，L 是单位下三角阵，U 为上三角阵，即
2112111n n l L l l ??
?
?= ? ? ??? ，11121222n n nn u u u u u U u ?? ? ?= ?
? ??
? 注意L 的对角线元素都是1。 乔累斯基分解的结构是
A=P T P 。
注意：
［1］矩阵A 是对称正定矩阵，则分解前必须声明“矩阵A 是对称正定矩阵，可以进行乔累斯基分解”。
［2］P 是上三角矩阵。 例2．3：设有矩阵
4321A ??= ???
，
作矩阵A 的LU 分解。
解：对矩阵
4321A ??= ???，
设
1112212210431021u u l
u ????
??= ??? ???????
先计算U 的第一行，由矩阵乘法，有
11111112122212414
313
a u u a u u u ==??∴==??∴= ＋00＝＋0
再计算L 的第一列，由矩阵乘法，有
2121112121112101
/2
a l u l a u ==+?∴==
然后计算U 的第2行
22211222
2222211211111322
a l u u u a l u ==+?∴=-=-?=-
所以
1043,111022L U ????
? ?== ? ?- ? ?????
2、求范数和条件数
［1］常用的向量范数有 ①11n
i i x x ==∑
②212
21
()n
i i x x ==∑
③max
i
x
i
x ∞
=
［2］常用的矩阵范数有
①矩阵的1－范数（列范数）：11max n
ij j
i A a ==∑；
②矩阵的2－范数（谱范数）：12
2()T
A A A ρ=；
其中{}()max ()i i
B B ρλ=称为矩阵B 的谱半径。λ(B)是矩阵B 的特征值。
③矩阵的∞－范数（行范数）：1
max n
ij i
j A a ∞==∑
③max
i
x
i
x ∞
=
［3］矩阵A 的条件数为
1()cond A A A -=
例2．4：计算向量(1,2,4)T x =-的各种范数。 解：
11247x =++=，
2x ==，
13
max{1,2,4}4i x
∞
≤≤==。
例2．5：给定矩阵
1234A -??= ???，
求12,,A A A ∞。 解：
因为112112224,6a a a a +=+=， 所以16A =；
因为111221223,7a a a a +=+=， 所以7A ∞=；
因为1313101024241020T A A --??????
== ??? ???????，
所以T A A 的特征多项式为：
210
10
301001020
λλλλ--=-+--， 解2301000λλ-+=得
121515λλ=+=-
所以2A =
3、求差分和差商
求差商和差分应用差商表和差分表进行。
三、数值计算与数值分析 （一）插值与拟合方法
包括拉格朗日插值、牛顿插值、等距节点插值、分段插值、保形插值（埃尔米特插值）、样条插值等插值方法和最小二乘法。
1、插值方法
(1)拉格朗日插值多项式有两种求法，第一种是待定系数法，第二种是直接利用拉格朗日插值多项式的基函数法。建议应用待定系数法。
例3．1:已知函数f(x)在节点－1，0，1处的值分别是0.3679,1.000,2.7182，用待定系数法和插值基函数法两种方法求出拉格朗日插值。
解1：设所求的多项式为
22012()p x a a x a x =++，把已知条件代入得
20122
0122012(1)(1)0.3679(0)(0) 1.000
(1)(1) 2.7182a a a a a a a a a ?+?-+?-=?+?+?=??+?+?=?
解之得
0121, 1.751,0.5431a a a === 所以
22()1 1.17510.5431p x x x =++。 解2：由插值基函数公式
00()
()()
n
k
k k i i n
i
k
k k i
x x l x x x =≠=≠-=
-∏∏
0(0)(1)(1)
()(10)(11)2x x x x l x ---=
=----
1[(1)](1)()(1)(1)[0(1)](01)
x x l x x x ---==-+----
2[(1)](0)(1)()[1(1)](10)2x x x x l x ---+==---
代入插值公式得
2012()0.3679() 1.000() 2.7182()p x l x l x l x =++ 即
22()1 1.17510.5431p x x x =++。
(2)牛顿插值和等距节点插值在求出差商或差分后直接套插值公式。 (3) 构造埃尔米特插值仍然采用待定系数法和基函数法。
例3．2：已知(0)0,(1)1,(0)3,(1)9f f f f ''====，求三次的埃尔米特插值多项式H(x)。
解：设230123()H x a a x a x a x =+++，则
2123()23H x a a x a x '=++，
由插值条件得 01
0123123
0(0)3(0)1(1)9(1)23H a H a H a a a a H a a a ==??'==??
==+++??'==++? 解之得01230,3,12,10a a a a ===-=， 所以32()10123H x x x x =-+。
例3．3：设f(x)在[-4,4]有连续的4阶导数，且 (0)2,(0)0,(3)1,(3)1f f f f ''====
试用两种方法构造三次埃尔米特插值多项式H(x)，使其满足 (0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f ''''========。 解一（待定系数法）：
解：设230123()H x a a x a x a x =+++，则
2123()23H x a a x a x '=++，
由插值条件得 01
0123123
2(0)0(0)1(1)1(1)23H a H a H a a a a H a a a ==??'==??
==+++??'==++? 解之得012325
2,0,,327
a a a a ===-=，
所以32
52()2273
H x x x =-+。 解二（基函数法）：
解：设300110011()()()()()()()()()H x f x x f x x f x x f x x ααββ''=+++，
因为线性拉格朗日插值基函数为100133()033
x x x x
l x x x ---===
--，01100()303
x x x x
l x x x --===--，
由④得
200001
2
1001012
231
()[12()
]()1[12()]13[12(0)
]033279227
x x x l x x x x x x x x x x x x x x x α=---??
-=-- ?
--??-??=-- ?-??
-+=
同理
2
23
01101102()92()[1]27
x x x x x x x x x x x α??---=+=
?--?? 由⑤得
2
2
100013()()3x x x x x x x x x β??--??
=-= ? ?-????
232
011103()()9x x x x x x x x x β??--=-=
?-??
则
32
52()2273
H x x x =
-+。 指出：
待定系数法是求插值多项式的基本方法，而埃尔米特插值的基函数法构造方法及其余项分析方法是非标准插值构造及余项讨论的一般方法。
(4)样条插值根据边界条件不同求解不同的方程组解决。
(5)各种标准插值都有分段插值，分段插值的精度仅受局部数据影响。 (6)非标准插值是重要的插值问题。
非标准插值在一些论著中归为埃尔米特插值。 例3．4：设f(x)在[-4,4]有连续的4阶导数，且 (1)1,(0)2,(0)0,(3)1,(3)1f f f f f ''-===== (1)试构造一个次数最低的插值多项式p(x)，使其满足
(1)(1)1,(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f p f ''''-=-=-======== (2)给出并证明余项f(x)-p(x)的表达式。
解：
(1)由例3．3可以求出满足
(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f ''''========
的三次埃尔米特插值多项式
32
52()2273
H x x x =-+。
设2232
2252()()(3)2(3)273
p x H x a x x x x a x x =+-=
-++-，则p(x)满足 (0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f ''''========， 由(1)1f -=得 3222521(1)(1)2(13)(1)1273108a a ?--?-++---=?=-， 所以
223222
432
521
()()(3)2(3)273108
11332108544p x H x a x x x x x x x x x =+-=-+--=-++-+。
(2)余项具有如下结构
22()()()()(1)(3)r x f x p x k x x x x =-=+-
作辅助函数
22()()()()(1)(3)t f t p t k x t t t ?=--+-
则显然()t ?在点,1,0,3x -处有6个零点（其中0，3是二重零点），即 ()0,(1)0,(0)0,(0)0,(3)0,(3)0x ??????''=-=====， 不妨假设(1,0)x ∈-。
由罗尔定理，存在123(1,),(,0),(0,3)x x ξξξ∈-∈∈， 使得123()0,()0,()0?ξ?ξ?ξ'''===，
再注意到(0)0,(3)0??''==，即()t ?'有5个互异的零点12303ξξξ<<<< 再次由罗尔定理得，存在111223343(,),(,0),(0,),(,3)ηξξηξηξηξ∈∈∈∈， 使得1234()0,()0,()0,()0?η?η?η?η''''''''====
第三次应用罗尔定理得，存在112223334(,),(,),(,)ξηηξηηξηη∈∈∈ 使得123()0,()0,()0?ξ?ξ?ξ'''''''''===，
第四次应用罗尔定理得，存在112223(,),(,)μξξμξξ∈∈ 使得(4)(4)12()0,()0?μ?μ==，
第五次应用罗尔定理得，存在12(,)ξμμ∈ 使得(5)()0?ξ=
注意到
(5)(5)(5)()()5!()()5!()t r t k x f t k x ?=-=-
（()()()r t f t p t =-中p(t)是4次函数，其5次导数为0）。 所以
(5)(5)
(5)
()
()()5!()=0()=5!
f f k x k x ξ?ξξ=-?，
代入余项表达式，有
(5)22()
()()()(1)(3)5!
f r x f x p x x x x ξ=-=+-。
指出：
本题是非标准插值问题，所谓非标准插值是指不同于拉格朗日插值等条件规范、插值多项式已有现成结论的插值。比较简单的求解方法有：
①求插值问题的基本方法是待定系数法。以本题来说，有5个条件，可以确定一个4次的插值多项式，设为23301233y a a x a x a x a x =++++，将条件代入，建立一个5元的线性方程组，求出各参数，就可以求出插值多项式。
②求插值问题的第二种方法是基函数法，即根据给定条件设定插值多项式的结构和各基函数的结构，根据条件确定基函数即可。具体方法与拉格朗日插值基函数构造和埃尔米特插值基函数构造相似。
③以标准插值为基础的方法是一种更简单的方法，本题中，首先利用4个条件构造一个埃尔米特插值，在此基础上设定所求插值多项式的一般形式，保证其满足埃尔米特插值条件，代入未利用条件解方程（组），求出其中的未知参数，即可求出插值多项式。
在构造新的插值多项式中，要求新的插值多项式仍然以H(x)的插值节点为节点，则可以写成()()()p x H x g x =+的形式，因为
(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p H p H p H p H ''''========， 所以必有(0)(0)(3)(3)0g g g g ''====
因此0，3是g(x)的两个2次零点，则g(x)包含22(3)x x -因子。 又因为多项式p(x)是4次的，g(x)也应该是4次的，所以可以设g(x)为 22()(3)g x a x x =-。
本题也可以先利用(1)(1)1,(0)(0)2,(3)(3)1p f p f p f -=-=-====构造一个2次插值多项式2()p x ，以此为基础构造4次插值多项式4()p x ，4()p x 的结构是
42()()()(1)(3)p x p x ax b x x x =+++-，
满足
(1)(1)1,(0)(0)2,(3)(3)1p f p f p f -=-=-====
再根据(0)(0)0,(3)(3)1p f p f ''''====列出两个线性方程组成的方程组，求出a 、b 两个参数，即可求出所求的插值多项式。
求插值函数余项()r x 的常用方法是：
()()()r x f x p x =-应具有如下形式（以本题为例） 22()()()()(1)(3)r x f x p x k x x x x =-=+-
作辅助函数
22()()()()(1)(3)t f t p t k x t t t ?=--+-
则()t ?在点,1,0,3x -处有6个零点（其中0，3是二重零点）。反复应用罗尔定理，直到至少有一个(4,4)τ∈-，使得(5)()0?τ=。此时即有
(5)(5)
(5)
()
()()5!()=0()=5!
f f k x k x ξ?ττ=-?
代入余项表达式即可求出。
这里，作辅助函数的方法和中值定理讨论中作辅助函数方法一样。
指出：
插值公式的构造方法主要就是待定系数法和基函数法，埃尔米特插值这两种方法的构造与余项讨论都非常充分，是重要内容。
不仅应该能构造典型的插值公式，还要能构造一般的具有特定条件的插值公式。
用待定系数法构造埃尔米特插值等各种插值的方法也是必须掌握的。 (7)推广的牛顿插值法
埃尔米特插值（广泛意义上的）也可以用构造差商表的方法求出，尤其是插值条件中出现了高阶导数的情况，利用构造差商表的方法按牛顿插值多项式求埃尔米特插值很方便。具体做法如下：
（1）把具有一阶导数的节点看成2重节点（即2个数据节点），具有2阶导数的节点看作3重节点，以此类推。
（2）用公式
1
1
i i i n n i f x x x f x n += ()[,,](,) 计算(n+1）个相同节点的差商。
（3）求出相同节点处的差商后按正常的差商表计算方法求差商表。 （4）按牛顿插值多项式写法求出埃尔米特插值。 这种方法称为推广的牛顿插值法。
利用所给条件构造f(x)的埃尔米特插值多项式。 解：由公式
1
1
i i i n n i f x x x f x n += ()[,,](,)!
得
1
00100f f '=
=!,(])[
16
0302002f f ''===()[,,]
1
15111f f '==!
,(])[
所以，5次埃尔米特插值多项式为
225()4(1)4(1)(1)(1)(1)H x x x x x x x x x =-+++-+++-。 2、拟合方法
最小二乘法是重要的数据拟合方法。其求解过程为：
［1］分析数据，将已知数据描画在坐标纸上，得到一个散点图，从图上可以直观地看出数据的变化趋势。
［2］建立数学模型。根据上述分析，确定拟合函数的类型。 ［3］应用最小二乘法，确定拟合函数中的未知参数。 ［4］写出拟合函数。
例3．6
求x 、y 的函数关系。
解：先做出草图，从图上可以看出，这些点的分布接近于一条直线。 设y=a+bx ，则
4
21[()]i i i L a bx y ==+-∑
对a 、b 分别求偏导，并令偏导数等于0，得 4
1
4
1
44
1
1
2[()]0[()]0
40
i i i i i i i i i i L a bx y a a bx y a b x y ====?=+-=??+-=?+-=∑∑∑∑
4
1
4
1444
2
1
1
1
2[()]0[()]0
i i i i i i i i i i i i i i i L a bx y x b a bx y x a x b x x y =====?=+-=??+-=?+-=∑∑∑∑∑
将数据代入得
2222
4(2468)(1.1 2.8 4.97.2)0
(2468)(2468)(2 1.14 2.86 4.987.2)0a b a b +?+++-+++=???++++?+++-?+?+?+?=?
化简得
540
20120100.40a b a b +-=??
+-=? 解之得 1.1
1.02
a b =-??
=? 则x 与y 的函数关系是 y=-1.1+1.02x 。
用两种方法求其二次拟合曲线。 解一：
设所求的拟合函数为2y a bx cx =++， 则5
221[()]i i i i L a bx cx y ==++-∑。
对a 、b 、c 分别求偏导，并令偏导数等于0，得 5
21
5
21
555
21
1
1
2[()]0[()]0
50
i i i i i i i i i i
i i i i L a bx cx y a a bx cx y a b x c x y =====?=++-=??++-=?++-=∑∑∑∑∑
5
21
5
215555
2
3
1
1
1
1
2[()]0[()]0
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i L a bx cx y x b a bx cx y x a x b x c x x y ======?=++-=??++-=?++-=∑∑∑∑∑∑
5
221
5
2215555
23
4
21
1
1
1
2[()]0[()]0
i i i i i i i i i i i
i i i i i i i i L a bx cx y x c a bx cx y x a x b x c x x y ======?=++-=??++-=?++-=∑∑∑∑∑∑
将各数据点的数值代入，得方程组为
510
2.910 4.210347a c b a c +=??
=??+=?
解之得a=0.4086，b=0.42，c=0.0857， 所以数据点所反映的函数的近似关系为 20.40860.420.0857y x x =++
解二：设所求的拟合函数为2y a bx cx =++， 将数据代入方程得 240.10.10.4
0.924 1.6
a b c a b c a a b c a b c -+=-??-+=??
=??++=?++=?? 方程组的系数矩阵和右端向量为
1240.11110.1,1000.41110.9124 1.6A B --???? ? ?- ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ?????
因为
1241111150101112101
20100,10041014100341111240.111111 2.90.12101
2 4.20.44101470.91.6T T A A A B -??
?-????
?
? ? ?=--= ? ? ? ? ??
??? ? ???
-??
????? ?
? ? ?=--= ? ? ? ? ????? ? ???
所以
《数值分析课程设计》教学大纲
《数值分析课程设计》教学大纲 课程编号：1512110303 课程名称： 数值分析课程设计 周数/学分：3/3 先修课程：《数值分析》 适用专业： 信息与计算科学 开课教研室：应用数学教研室 一、目的与要求： 《数值分析课程设计》是实践性教学内容之一，是《数值分析》课程的辅助教学过程，是信息与计算科学专业的必修课。通过设计，使学生深化对所学理论知识的理解，掌握数值计算方法的程序设计能力，初步具备解决实际数值计算问题的能力。 二、课程设计内容： 1．掌握数值分析的基本内容。误差的基本概念，插值与拟合，数值积分，线性代数方程组的解法，非线性方程求根，常微分方程初值问题的数值解法。 2．对每部分内容设计一定难度的问题，要求学生对问题进行分析，确定解决方案。 3．进行模拟与仿真，进行结果分析，编写课程设计报告 三、课程设计步骤与方法 1．教师向学生讲解课程设计目的和要求，补充相关基本知识，布置课程设计任务。 2．学生查找资料，编程、调试程序。本步骤是课程设计的核心内容之一，要求学生分析算法，写出相应程序，并对结果进行解释 3．撰写课程设计报告。 四、课程设计的基本要求 1．算法说明正确无误，图表符合技术规范要求。 2．毎生一台计算机，要求学生使用Matlab软件或Mathematica软件编写相关程序。 3．按要求完成一篇的课程设计报告。 4．课程设计的方式：以集中学习为主；独立完成课程设计阶段规定的全部工作任务。 五、课程设计进度表 序号 内 容 所用时间 1 教师讲解，布置任务 1天 2 学生编写程序并撰写设计报告 11天
3 教师反馈意见，学生修改设计报告 3天 合计 15天 六、课程设计考核方式 平时设计环节中的表现占总成绩30％，课程设计报告和软件运行情况占总成绩70％。 执笔：赵国喜 审定：朱耀生 梁桂珍
数值分析-华中科技大学研究生招生信息网
华中科技大学博士研究生入学考试《数值分析》考试大纲 第一部分考试说明 一、考试性质 数值分析考试科目是为招收我校动力机械及工程专业博士研究生而设置的。它的评价标准是高等学校动力机械及工程专业或相近专业优秀硕士毕业生能达到的水平,以保证被录取者具有较好的数值分析理论与应用基础。 二、考试形式与试卷结构 (一) 答卷方式：闭卷，笔试； (二) 答题时间：180分钟； (三) 各部分内容的考查比例(满分为100分) 误差分析约10% 插值法, 函数逼近与计算约30% 数值积分与数值微分约20% 常微分方程数值解法, 方程求根约20% 解线性方程组的直接方法, 解线性方程组的迭代法约20% (四) 题型比例 概念题约10% 证明题约10% 计算题约80% 第二部分考查要点 一、误差分析 1.误差来源 2.误差的基本概念 3.误差分析的若干原则 二、插值法 1. 拉格朗日插值 2. 均差与牛顿插值公式 3. 差分及其性质 4.分段线性插值公式 5.分段三次埃米尔特插值 6.三次样条插值 三、函数逼近与计算 1. 最佳一致逼近多项式 2. 切比雪夫多项式 3. 最佳平方逼近
4. 正交多项式 5. 曲线拟合的最小二乘法 6. 离散富氏变换及其快速算法 四、数值积分与数值微分 1. 牛顿-柯特斯求积公式 2. 龙贝格求积算法 3. 高斯求积公式 4. 数值微分 五、常微分方程数值解法 1. 尤拉方法 2. 龙格-库塔方法 3. 单步法的收敛性和稳步性 4. 线性多步法 5. 方程组与高阶方程的情形 6. 边值问题的数值解法 六、方程求根 1. 牛顿法 2. 弦截法与抛物线法 3. 代数方程求根 七、解线性方程组的直接方法 1. 高斯消去法 2.高斯主元素 3.追赶法 4.向量和矩阵的范数 5.误差分析 八、解线性方程组的迭代法 1. 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法 2. 迭代法的收敛性 3. 解线性方程组的松弛迭代法 第三部分考试样题（略）
数值计算方法比较
有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法主要集中在依赖于时间的问题（双曲型和抛物型方程）。有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》；R. LeVeque《Finite Difference Method for Differential Equations》；《Numerical Methods for C onservation Laws》。 注：差分格式： （1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 （2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。 （3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法： 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 有限差分法的不足：由于采用的是直交网格，因此较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异，缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法，难以构造高精度(指收敛阶)差分格式，除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。另外它还有编制不出通用程序的困难。 有限差分法的优点：该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念 直观，表达简单，精度可选而且在一个时间步内，对于一个给定点来说其相关的空间点只是 与该相邻的几点，而不是全部的空间点。是发展较早且比较成熟的数值方法 广义差分法（有限体积法）（GDM:Generalized Difference Method）：1953年，Mac—Neal 利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格 式，这就是以后通称的不规划网格上的差分法．这种方法的几何误差小，特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法，堪称差分法的一大进步。1978年，李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项，将积分插值法改写成广义Galerkin法形式，从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是，将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有
北师大网络教育 数值分析 期末试卷含答案
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）
常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲
上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差 是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限） 为的相对误差，当较小时，令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即： 绝对误差有量纲，而相对误差无量纲 若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。 例：设x==…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。 科学计数法：记有n位有效数字，精确到。 由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为 由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字 令 1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的 和 2.x-y近似值为 3.xy近似值为 4. 1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法 设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为(a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)
一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而 f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|
数值分析学期期末考试试题与答案(A)
期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
数值计算方法教学大纲
《数值计算方法》教学大纲 课程编号：MI3321048 课程名称：数值计算方法英文名称：Numerical and Computational Methods 学时： 30 学分：2 课程类型：任选课程性质：任选课 适用专业：微电子学先修课程：高等数学,线性代数 集成电路设计与集成系统 开课学期：Y3开课院系：微电子学院 一、课程的教学目标与任务 目标：学习数值计算的基本理论和方法，掌握求解工程或物理中数学问题的数值计算基本方法。 任务：掌握数值计算的基本概念和基本原理，基本算法，培养数值计算能力。 二、本课程与其它课程的联系和分工 本课程以高等数学，线性代数，高级语言编程作为先修课程，为求解复杂数学方程的数值解打下良好基础。 三、课程内容及基本要求 (一) 引论（2学时） 具体内容：数值计算方法的内容和意义，误差产生的原因和误差的传播，误差的基本概念，算法的稳定性与收敛性。 1.基本要求 （1）了解算法基本概念。 （2）了解误差基本概念，了解误差分析基本意义。 2.重点、难点 重点：误差产生的原因和误差的传播。 难点：算法的稳定性与收敛性。 3.说明：使学生建立工程中和计算中的数值误差概念。 (二) 函数插值与最小二乘拟合（8学时） 具体内容：插值概念，拉格朗日插值，牛顿插值，分段插值，曲线拟合的最小二乘法。 1.基本要求 （1）了解插值概念。 （2）熟练掌握拉格朗日插值公式，会用余项估计误差。 （3）掌握牛顿插值公式。 （4）掌握分段低次插值的意义及方法。
（5）掌握曲线拟合的最小二乘法。 2.重点、难点 重点：拉格朗日插值, 余项，最小二乘法。 难点：拉格朗日插值, 余项。 3.说明：插值与拟合是数值计算中的常用方法，也是后续学习内容的基础。 (三) 第三章数值积分与微分（5学时） 具体内容：数值求积的基本思想，代数精度的概念，划分节点求积公式（梯形辛普生及其复化求积公式），高斯求积公式，数值微分。 1.基本要求 （1）了解数值求积的基本思想，代数精度的概念。 （2）熟练掌握梯形，辛普生及其复化求积公式。 （3）掌握高斯求积公式的用法。 （4）掌握几个数值微分计算公式。 2.重点、难点 重点：数值求积基本思想，等距节点求积公式，梯形法，辛普生法，数值微分。 难点：数值求积和数值微分。 3.说明：积分和微分的数值计算，是进一步的各种数值计算的基础。 (四) 常微分方程数值解法（5学时） 具体内容：尤拉法与改进尤拉法，梯形方法，龙格—库塔法，收敛性与稳定性。 1.基本要求 （1）掌握数值求解一阶方程的尤拉法，改进尤拉法，梯形法及龙格—库塔法。 （2）了解局部截断误差，方法阶等基本概念。 （3）了解收敛性与稳定性问题及其影响因素。 2.重点、难点 重点：尤拉法,龙格－库塔法，收敛性与稳定性。 难点：收敛性与稳定性问题。 3.说明：该内容是常用的几种常微分方程数值计算方法，是工程计算的重要基础。 (五) 方程求根的迭代法（4学时） 具体内容：二分法，解一元方程的迭代法，牛顿法，弦截法。 1.基本要求 （1）了解方程求根的对分法和迭代法的求解过程。 （2）熟练掌握牛顿法。 （3）掌握弦截法。 2.重点、难点 重点：迭代法，牛顿法。
数值分析总复习提纲教材
数值分析总复习提纲 数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。 一、误差分析与算法分析 误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算 截断误差根据泰勒余项进行计算。 基本的问题是 (1)1 ()(01)(1)! n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。 例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。 解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。由麦克劳林公式，可知 211(01)2!!(1)! n x x n x x e e x x n n θθ+=+++++<<+ 当x=1时，1 111(01)2! !(1)! e e n n θθ=+++ ++ <<+ 故3 (1)(1)!(1)! n e R n n θ=<++。 当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。此时， e≈2.718 285。 2、绝对误差、相对误差及误差限计算 绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。 基本的计算公式是： ①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx ② *()()()ln r e x e x dx e x d x x x x ==== ③(())()()()e f x f x dx f x e x ''== ④(())(ln ())r e f x d f x = ⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+ ⑥121212((,)) ((,))(,) f x x f x x f x x εδ=
数值计算方法大作业
目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)
4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)
数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10）
1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10）
安全工程数值分析教学大纲
《安全工程数值分析》课程教学大纲 课程编号: 适用专业: 建筑安全工程专业 计划学时: 40学时计划学分: 2.0学分 一．本课程的性质和任务 安全工程数值分析是高等工科院校安全工程专业的一门重要专业选修课，并在许多领域中有着广泛的应用。本课程的任务是使学生熟悉用于数值分析的数学和力学基础知识，初步掌握利用计算机技术分析和解决工程问题的基本数值原理和方法，为学习以后专业课程创造条件。 二、课程内容及基本要求 第一章绪论 了解数课程的任务及学习方法 第二章计算机数学语言概述——MatLab 2.1 数学问题计算机求解概述 2.1.1 学习计算技术学语言的目的 2.1.2 数学问题的解析解与数值解 2.1.3 软件包的作用 2.1.4 MatLab语言的优势 2.2 MatLab语言程序设计基础 2.2.1 MatLab语言程序设计基础 2.2.2 基本数学运算 2.2.3 MatLab语言流程控制 2.2.4 MatLab函数的编写 2.2.5 二维图形绘制 2.2.6 三维图形绘制 第三章数值分析引论 3.1 数值算法的研究对象 3.1.1 了解计算方法基本理念 3.1.2 了解数值算法的特点
3.1.3 了解三类计算机算法的定义 3.2 误差分析的概念 3.2.1 了解误差和有效数字的关系 3.2.2 了解截断误差与收敛性的关系 3.2.3 了解舍入误差与数值稳定性的关系 3.2.4 了解数据误差与病态问题的关系 3.3 数值算法设计的要点 了解数值算法设计的要点 第四章数值代数 4.1 Gauss消去法 4.2 直接三角分解法 4.3 范数和误差分析 第五章插值法 5.1 Lagrange插值法 5.1.1 基本理论 5.1.2 Lagrange插值法在结构力学中的应用 5.2 Hermite插值法 5.2.1 基本理论 5.2.2 Hermite插值法在结构力学中的应用 第六章拟合 6.1 基本概念 6.2 最佳平方逼近 6.3 最小二乘法 第七章位移法 7.1 基本理论 7.2 实例分析 第八章有限单元法基本知识 8.1 变分原理 8.2 虚位移原理 8.3 势能原理 8.4 弹性力学基本方程 第九章结构有限单元法 9.1 平面拉压杆单元的有限单元分析 9.2 平面梁单元的有限单元分析 9.3 常应变三角形单元 9.4 矩形双线性单元 9.5 有限元分析应注意的问题和结果整理 三、使用大纲说明
数值分析复习提纲
数值分析（英）复习提纲 考试以基本概念为主，书上以前布置的计算机题目都不作要求。 第一章Solving equations 1.1 THE BISECTION METHOD (a) 熟练掌握二分法; (b) 对于给定解的误差精度要求能够熟练计算所需二分法步数，参考书上28页内容。 习题5,6 1.2 FIXED-POINT ITERATION (a) 熟练掌握不动点迭代方法求方程的根；掌握不动点迭代方法的线性收敛性与收敛率; 此节书后习题不作要求。 1.4 NEWTON’S METHOD （a）熟练掌握方程求根的NEWTON’S METHOD：Example 1.11, 1.12, 1.13 （b）对于重根熟练掌握Theorem 1.12, Theorem 1.13 习题2,5,7 第二章Systems of Equations 2.2 THE LU FACTORIZATION （a）掌握矩阵LU分解方法； （b）会使用LU分解方法求线性方程组的解:Example 2.5, 2.6, 2.7 2.3 SOURCES OF ERROR 本节只要掌握矩阵范数的定义，参阅90页 2.4 THE PA = LU FACTORIZATION 熟练掌握2.4.2 Permutation matrices, 2.4.3 PA = LU factorization: Example 2.16, 2.17, 2.18 习题4 2.5 ITERATIVE METHODS 熟练掌握Jacobi Method，Gauss–Seidel Method. 习题2
第三章Interpolation 3.1 DATA AND INTERPOLATING FUNCTIONS： （a）熟练掌握Lagrange interpolation （b）熟练掌握Newton’s divided differences 习题1,2,5 3.2 INTERPOLATION ERROR 熟练掌握定理3.4, Example 3.8, 习题1,2,4 第四章Least Squares 4.1.1 Inconsistent systems of equations 熟练掌握Normal equations for least squares：Example 4.1, Example 4.2 习题1,2 第五章Numerical Differentiation and Integration 5.1 NUMERICAL DIFFERENTIATION 熟练掌握一阶导数的Two-point forward-difference formula，Three-point centered-difference formula 熟练掌握二阶导数的Three-point centered-difference formula for second derivative 习题1,2,5,8,9 5.2 NEWTON–COTES FORMULAS FOR NUMERICAL INTEGRATION 熟练掌握Composite Trapezoid Rule，Example 5.8，习题1 第六章Ordinary Differential Equations 6.1.1 Euler’s Method (a) 熟练掌握Euler方法（6.7）: Example6.2 习题5 6.2.2 The explicit Trapezoid Method 熟练掌握The explicit Trapezoid Method（6.29）：Example6.10 习题1
研究生《数值分析》教学大纲
研究生《数值分析》教学大纲 课程名称：数值分析 课程编号：S061005 课程学时：64 学时 课程学分： 4 适用专业：工科硕士生 课程性质：学位课 先修课程：高等数学，线性代数，计算方法，Matlab语言及程序设计 一、课程目的与要求 “数值分析”课是理工科各专业硕士研究生的学位课程。主要介绍用计算机解决数学问题的数值计算方法及其理论。内容新颖，起点较高，并加强了数值试验和程序设计环节。通过本课程的学习，使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据数学模型，提出相应的数值计算方法编制程序在计算机上算出结果。力求使学生掌握应用数值计算方法解决实际问题的常用技巧。 二、教学内容、重点和难点及学时安排： 第一章? 数值计算与误差分析( 4学时) 介绍数值分析的研究对象与特点，算法分析与误差分析的主要内容。 第一节数值问题与数值方法 第二节数值计算的误差分析 第三节数学软件工具----MATLAB 语言简介 重点：误差分析 第二章? 矩阵分析基础( 10学时) 建立线性空间、赋范线性空间、内积空间的概念，为学习以后各章打好基础。矩阵分解是解决数值代数问题的常用方法，掌握矩阵的三角分解、正交分解、奇异值分解，并能够编写算法程序。 第一节? 矩阵代数基础
第二节? 线性空间 第三节? 赋范线性空间 第四节? 内积空间和内积空间中的正交系 第五节矩阵的三角分解 第六节矩阵的正交分解 第七节矩阵的奇异值分解 难点：内积空间中的正交系。矩阵的正交分解。 重点：范数，施密特(Schmidt) 正交化过程，正交多项式，矩阵的三角分解, 矩阵的正交分解。 第三章? 线性代数方程组的数值方法( 12学时) 了解研究求解线性代数方程组的数值方法分类及直接法的应用范围。高斯消元法是解线性代数方程组的最常用的直接法，也是其它类型直接法的基础。在此方法基础上加以改进，可得选主元的高斯消元法、按比例增减的高斯消元法，其数值稳定性更高。掌握用列主元高斯消元法解线性方程组及计算矩阵的行列式及逆，并且能编写算法程序。掌握矩阵的直接三角分解法：列主元LU 分解，Cholesky分解。了解三对角方程组的追赶法的分解形式及数值稳定性的充分条件。掌握矩阵条件数的定义，并能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计。 迭代解法是求解大型稀疏方程组的常用解法。熟练掌握雅可比迭代法、高斯- 塞德尔迭代法及SOR 方法的计算分量形式、矩阵形式，并能在计算机上编出三种方法的程序用于解决实际问题。了解极小化方法：最速下降法、共轭斜量法。迭代法的收敛性分析是研究解线性代数方程组的迭代法时必须考虑的问题。对于上述常用的迭代法，须掌握其收敛的条件。而对一般的迭代法，掌握其收敛性分析的基本方法和主要结果有助于进一步探究新的迭代法。 第一节求解线性代数方程组的基本定理 第二节高斯消元法及其计算机实现 第三节矩阵分解法求解线性代数方程组 第三节? 误差分析和解的精度改进 第四节? 大型稀疏方程组的迭代法 第五节? 极小化方法 难点：列主元高斯消元法，直接矩阵三角分解。迭代法的收敛性，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，SOR 迭代法。
西南交通大学数值分析题库
考试目标及考试大纲 本题库的编纂目的旨在给出多套试题，每套试题的考查范围及难度配置均基于“水平测试”原则，按照教学大纲和教学内容的要求，通过对每套试题的解答，可以客观公正的评定出学生对本课程理论体系和应用方法等主要内容的掌握水平。通过它可以有效鉴别和分离不同层次的学习水平，从而可以对学生的学习成绩给出客观的综合评定结果。 本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念、重点内容和重要方法的考查。考试内容包括以下部分： 绪论与误差：绝对误差与相对误差、有效数字、误差传播分析的全微分法、相对误差估计的条件数方法、数值运算的若干原则、数值稳定的算法、常用数值稳定技术。 非线性方程求解：方程的近似解之二分法、迭代法全局收敛性和局部收敛定理、迭代法误差的事前估计法和事后估计法、迭代过程的收敛速度、r 阶收敛定理、Aitken加速法、Ne w to n法与弦截法、牛顿局部收敛性、Ne w to n收敛的充分条件、单双点割线法（弦截法）、重根加速收敛法。 解线性方程组的直接法：高斯消元法极其充分条件、全主元消去法、列主元消去法、高斯-若当消元法、求逆阵、各种消元运算的数量级估计与比较、矩阵三角分解法、Doolittle 和Crout三角分解的充分条件、分解法的手工操作、平方根法、Cholesky分解、改进的平方根法(免去开方)、可追赶的充分条件及适用范围、计算复杂性比较、严格对角占优阵。 解线性方程组迭代法：向量和矩阵的范数、常用向量范数的计算、范数的等价性、矩阵的相容范数、诱导范数、常用范数的计算；方程组的性态和条件数、基于条件数误差估计与迭代精度改善方法；雅可比（Jacobi）迭代法、Gauss-Seidel迭代法、迭代收敛与谱半径的关系、谱判别法、基于范数的迭代判敛法和误差估计、迭代法误差的事前估计法和事后估计法；严格对角占优阵迭代收敛的有关结论；松弛法及其迭代判敛法。 插值法：插值问题和插值法概念、插值多项式的存在性和唯一性、插值余项定理；Lagrange插值多项式；差商的概念和性质、差商与导数之间的关系、差商表的计算、牛顿（Newton）插值多项式；差分、差分表、等距节点插值公式；Hermite插值及其插值基函数、误差估计、插值龙格（Runge）现象；分段线性插值、分段抛物插值、分段插值的余项及收敛性和稳定性；样条曲线与样条函数、三次样条插值函数的三转角法和三弯矩法。 曲线拟合和函数逼近：最小二乘法原理和多项式拟合、函数线性无关概念、法方程有唯一解的条件、一般最小二乘法问题、最小二乘拟合函数定理、可化为线性拟合问题的常见函数类；正交多项式曲线拟合、离散正交多项式的三项递推法。最佳一致逼近问题、最佳一致逼近多项式、切比雪夫多项式、切比雪夫最小偏差定理、切比雪夫多项式的应用(插值余项近似极小化、多项式降幂)。本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念需要理解。 数值积分与微分：求积公式代数精度、代数精度的简单判法、插值型求积公式、插值型求积公式的代数精度；牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式、辛卜生（Simpson）公式、几种低价牛顿一柯特斯求积公式的余项；牛顿一柯特斯公式的和收敛性、复化梯形公式及其截断误差、复化Simpson公式及其截断误差、龙贝格（Romberg）求积法、外推加速法、高斯型求积公式、插值型求积公式的最高代数精度、高斯点的充分必要条件。正交多项式的构造方法、高斯公式权系数的建立、Gauss-Legendre公式的节点和系数。本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念需要理解。 常微分方程数值解：常微分方程初值问题数值解法之欧拉及其改进法、龙格—库塔法、阿当姆斯方法。
数值计算方法》试题集及答案
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-
《偏微分方程数值解》教学大纲
偏微分方程数值解 一．教学目的 大量科学技术问题的数值计算都归结为偏微分方程的数值解法，应用数学专业计算方向的学生应该掌握偏微分方程数值解的基本知识和方法，重点介绍当今流行的偏微分方程数值解的两类主要方法，即有限差分法和有限元法。二．教学内容及学时分配 总学时为48学时 1、抛物型方程的有限差分法(9学时) 差分逼近的基本概念，抛物型方程的几种古典差分格式，差分格式的收敛性和稳定性概念， Lax等价性定理，研究稳定性的直接法和分离变量法，变系数方程与非线性方程的差分方法，多维问题交替方向法及分裂格式。 2、双曲型方程的差分方法(9学时) 一阶线性双曲型方程(组)的差分格式及稳定性分析，二阶线性双曲型方程的差分方法，拟线性双曲型方程(组)特征差分格式，守恒型方程的差分方法。 3、椭圆型方程差分方法(6学时) 二维poisson方程差分方程的建立，极坐标系下的差分格式，边界条件的处理，极值原理及先验估计，差分格式的收敛性。 4、变分原理与广义解(7学时) 引言，泛函的变分与泛函的极值，两点边值问题的变分原理，二阶椭圆边值问题的变分原理，Sobo1ev空间简介与微分方程广义解，古典Ritz—Galerkin 方法。 5、有限元离散方法(7学时) 两点边值问题的有限元法，二维边值问题的有限元法，有限元法解题的一般步骤。 6、形状函数与有限元空间(6学时) 一维高次元，二维矩形剖分的形状函数，三角形单元的形状函数，等参数单元，三维情形。 7、有限元解的收敛性与误差估计(4学时) Sobolev空间中的插值理论，有限元方法的收敛性与误差估计。 三.教学对象及先修课程
本课程为计算数学方向本科生 先修课程：数学分析，高等代数，数理方程，数值分析，泛函分析四．教材及主要参考书 偏微分方程数值解，陆金甫，关浩，清华大学出版社，1987 微分方程数值方法，胡建伟，胡建伟，科学出版社，1999
《数值分析》实验考试大纲
东华大学研究生《数值分析》实验考试大纲 教材：?数值分析及其MATLAB实验?姜健飞吴笑千胡良剑编 考试规则领座试卷不同，开卷，解答全部用笔写在考卷上，作图题只需手画草图。开考前可将准备程序Copy到硬盘, 但是开考后不允许用软盘，也不允许上网。 评分原则每题20分，满分100分。 类型1：使用Matlab命令的计算题共3题 主要使用如下MATLAB命令解题： 第二章（1）用矩阵除法解线性方程组； （2）行列式det、逆inv； （3）特征值、特征向量eig； （4）范数和条件数； 第三章81页（1）用roots求多项式的根；polyval(p,x) （2）用fzero解非线性方程； （3）用fsolve解非线性方程组； 第四章（1）多项式插值和拟合polyfit（线性插值和抛物插值程序参见4章习题3） (2) 线性插值interp1 (3) 样条插值spline, csape （4）最小二乘拟合lsqcurvefit 第五章(158页)（1）用diff或gradiet求导数 （2）用integral求积分； （3）用integral2或integral3求重积分； 第六章（1）用ode45求解微分方程； （2）用ode45求解微分方程组； （3）用ode45求解高阶微分方程； 类型2：使用课本程序的计算题共1题（不必将课本程序部分写在考卷上，蓝色星号*程序需掌握如何使用） 第二章nagauss* nagauss2* nalu* nalupad* 第三章nabisect* nanewton* nags* naspgs* nasor* 第四章nalagr* naspline nafit naorthfit 第五章natrapz nagsint naromberg naadapt dblquad2 第六章naeuler naeulerb naeuler2 nark4 nark4v naeuler2s 类型3：编程题共1题(必须将程序写在考卷上） 要求使用MATLAB控制流语句编程，主要涉及for, while, if等语句以及关系与逻辑运算，M 函数编写。 第二章nagauss*(22页顺序Gauss消去法) nagauss2*（23页选列主元Gauss消去法） nalu*（32页LU分解） nalupad*（33页紧凑格式的LU分解） 第三章nabisect*（59页二分法） nanewton*（70页Newton迭代法） nags*（78页普通线性方程组的G-S迭代法） naspgs* （79页大型稀疏线性方程组的G-S迭代法） nasor* （79页分量形式的SOR迭代
数值分析期末试题
数值分析期末试题 一、填空题（20102=?分） （1)设??? ? ? ??? ??---=28 3 012 251A ，则=∞ A ______13_______。 （2)对于方程组?? ?=-=-3 4101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ?? ? ? ??05.25.20。 （3)3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的 3 1倍。 （4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是) ('1)(1n n n n n x f x f x x x +-- =+。 （5）设1)(3 -+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。 （6）设n n ?矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ，则矩阵G 的谱半径=)(G ρi n i λ≤≤1max 。 （7）已知?? ? ? ??=1021 A ，则条件数=∞ )(A Cond 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2 -- x x 改写为 )1ln(2 ++ -x x 。 （9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。 （10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(3 1 3 1 ∑== i i x f y 。 二、（10分）证明：方程组? ?? ??=-+=++=+-1 211 2321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。 证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 ???? ? ?????---=05 .05 .01015.05.00J B J B 的特征多项式为