论数的开方与勾股定理的设置

论“勾股定理”与“数的开方”的设置

冯德雄

（成都大学师范学院四川成都610036）摘要初中数学新课程教材的多种版本，以人教社、华师大版、北师大版、苏科版为代表，对数学课程中的“数的开方”与“勾股定理”两部分采用了不同方式的编写，呈现方式又各有其特点。在实际的教学中，各地学校都才又作了教学法加工。我们对此分析其背景和理论依据，比较其优劣与教学的有效性，并对这部分的教学进行反思，给出“勾股定理”与“数的开方”的另一种呈现方式。

关键词教材勾股定理数的开方呈现方式

1．问题的提出

数学课程内容的编写和呈现方式，是数学教育理论与实践研究的重大课题。教材的编写涉及到部分内容、章与章之间的设置。由于各种版本的出现，设置“数的开方”与“勾股定理”这两部分内容，出现了不同的编写方式。在实际的教学中，各地学校又都进行了实践和探索，对教材进行了加工和改编。我们对此分析其背景和理论依据，比较其优劣与教学的有效性。以期对教师创造性地应用教材教学得到启示和帮助。

2．从新课程下的教材观认识

新课程下的教材观认为：教材不是教学的唯一凭借，不是一个范本[1]，教材呈现的不

是数学结果，而是数学活动的过程，学教材的内容不是学习的终结点，而是学习的出发点，因此教材是课程的一部分，也是一种要挖掘、开发的课程资源[1]。教师的数学教学活动是用教材，而不是教教材。教材是学本不是教本，任何教材都有缺陷，有补缺的空间。在使用各种版本时，学校可以根据校情和学情，对教材加工、改编。有的地方和学校在使用新课程教材时，把“勾股定理”与“数的开方”做了移动。对于同一个版本，根据校情和学情可以加工和改编。有了多种版本，学校更利于贯彻新课程的理念。“数的开方”与“勾股定理”这两部分内容出现不同的设置，是符合新课程下的教材观的，它有利于学习方式和教学方式的转变，有利于教师创造性地运用教材。

3．从数学知识的三种形态分析

“勾股定理”与“数的开方”这两部分内容是密切联系的。从数学史来看，无理数的发现与勾股定理的发现是相关联的，古希腊的毕氏学派发现勾股定理与发现无理数几乎是同时的。当然有了勾股定理，不一定就马上得到无理数，由于当时只承认整数才是“数”，毕氏学派认为“万物皆数”，就是指整数。我国古代商高发现了勾股定理，但对无理数却还没能认识到。

新课程中对这两部分，编写的方式主要有三种，第一种是设置为两章，其中两章的前后位置安排各有不同。“数的开方”在“勾股定理”前，以人教社、华师大版为代表；“勾股定理”在“数的开方”前，以北师大版为代表。第二种是把两部分“数的开方”与“勾股定理”合为一章，以苏科社版为代表。第三种是把这两部分别放在另外的两个章节中，前后顺序和学习的跨度有远近的不同，以淅教版和湘教版为代表。

教材各种版本编写采取这三种设置，有其背景和理论依据的。数学知识有学术和教育两种形态[2]，在上述版本的编写中，有的设置接近数学的学术形态，有的设置接近数学的教育形态。数学作为教学的数学——教育数学，对于数学内容除了进行教学法的加工外，还要对数学本身进行再创造式的整理[3]。对初中数学的知识体系，进行一定的再创造式的整理，人教社教材的编写者们在旧的人教社教材编写中已经作了大量的工作，为后来的数学新课程教材的编写作了奠基。关于上述的两种形态，我们认为基于数学教学的需要而言，应提出数学知识的另一种形态，就是历史形态。所谓返朴归真就是要还数学知识的历史形态。比如，数

的教学发展与数的历史发展不一样，这就反映了数的教学形态与历史形态。这两种形态的发展过程形态类似，其中数的学习有历史过程的，也有非历史过程的。又如，自然数的教学两种形态一致，但负数的教学就不一样了。对于勾股定理与数的开方，从发现数学的角度，即历史的形态来看，先学勾股定理，后学数的开方，同时也是符合教育教学规律的。但历史形态的数学知识成为教育形态需要选取和加工。比如，对数的认识就不能完全按数形成的历史过程进行教学。数学知识的前后联系，自然是先有了数的开方再学要用开方的勾股定理。在系统性比较强的数学课程就选择了先学开方。据调查在使用北师大版的地区，大部分学校统一了先学数的开方，后学勾股定理。数学学科具有理论的抽象性、逻辑的严谨性、应用的广泛性的特点，其系统性强，各部分知识块联系紧密。旧的人教社教材编写充分注意了这一点。它是把代数与几何分编，勾股定理在几何部分，数的开方在代数部分，数的开方仍然是安排在勾股定理之前。现任职的中学数学教师其本身在中学学习数学时是按这种体系来学的，他们也就顺理成章地希望把数的开方放在前面来教。但是，要充分认识到这两种“勾股定理”与“数的开方”的前后设置的本质的不同，即一种是在几何与代数分编的状态下，另一种是几何与代数混编的状态下。

4．各种版本呈现方式比较

为了进一步分析两种设置的背景和理论依据，比较其优劣与教学的有效性。我们给出各种版本部分章节的呈现方式。

华师版八年级上 12.1平方根与立方根 12.2实数与数轴

13.1幂的运算 13.2整式的乘法 13.3乘法公式 13.4整式的除法 13.5因式分解

14.1勾股定理 14.2勾股定理的应用

北师版八年级上 1.1探索勾股定理 1.2能得到直角三角形吗 1.3蚂蚁怎样走最近2.1数怎么又不够用了 2.2平方根 2.3立方根2.4公园有多宽2.5用计算器开方2.6实数

人教社七年级下 5.1 平方根 5.2 立方根 5.3 实数

八年级下册14.1 勾股定理14.2 勾股定理的逆定理

苏科版八年级上2.1 勾股定理2.2 神秘的数组2.3 平方根2.4 立方根2.5

实数2.6 近似数与有效数字 2.7 勾股定理的应用

湘教版八年级上 1.1平方根 1.2立方根 1.3实数 1.4平面直角坐标系2.1函数和它的表示法 2.2一次函数和它的图象 2.3建立一次函数模型 3.1旋转 3.2图案的设计 3.3全等三角形及其性质 3.4三角形全等的判定定理3.5直角三角形 3.6勾股定理

鲁教版七年级上第2章勾股定理 1.探索勾股定理2 .勾股数3.勾股定理的应用举例第3章实数 1.无理数2.平方根3.立方根4.方根的估算5.用计算器开方6.实数

冀教版八年级上16.1 勾股定理16.2 由边的数量关系识别直角三角形16.3勾股定理的应用17.1 平方根17.2 立方根17.3 实数17.4 用计算器开平（立）方

17.5 实数的运算

浙教版七年级上第3章实数 3.1平方根 3.2实数 3.3立方根 3.4用计算器进行数的开方 3.5实数的运算八年级上册 2.1等腰三角形 2.2等腰三角形的性质

2.3等腰三角形的判定 2.4等边三角形 2.5直角三角形 2.6探索勾股定理 2.7直角三角形全等的判定

沪科版七年级下第6章实数 6.1平方根、立方根 6.2实数八年级下第17章勾股定理17.1 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理第18章二次根式 18.1 二次

根式 18.2 二次根式的运算

我们对几种版本作比较分析。

相同之处，除鲁教版外，其它的版本都是在八年级完成了勾股定理及逆定理和勾股定理的应用；不同之处，北师大版、鲁教版、冀教版，“勾股定理”在“数的开方”前，也有勾股定理的应用，但只能局限于勾股数，即不出现开方运算表示数的简单应用，在表示线段长或边的长时也不自然和有缺陷，勾股定理的证明只能停留在直观、验证及合情推理阶段。而且有的版本最终没有完成勾股定理的严格证明。其它版本中，“勾股定理”在“数的开方”后，人教版与湘教版是在学了全等三角形后学勾股定理，对勾股定理与逆定理的证明更能够严格化。人教社版中，数的开方与勾股定理的时间间隔长。苏科版则是勾股定理到数的开方一气呵成，自然而有意义的联结。苏科版有创意是的把勾股定理与平方根作为一章编写。

我们认为苏科版中，勾股定理与数的开方形成一个整体，它正是基于实数与勾股定理反映了几何与代数的自然结合，体现了数学知识的学术、历史与教育三个形态。这也符合认知学派强调呈现问题的整体性，在教学上整体大于部分之和。以“勾股定理、平方根、立方根、实数、近似数与有效数字、勾股定理的应用”为线索展开，就沟通了勾股定理、平方根、立方根、实数之间的联系，体现了“数与代数”和“空间与图形”等内容整合的设计思路．达到几何与代数的自然混编，体现了数学化的过程。以实际问题为背景引入本章的有关内容，体现数学与现实世界的联系．把历史形态、学术形态与教育形态融为一体。遵循新课程教材编写引导学生做“数学”的设计思路，来呈现本章的有关内容．并更多的关注是对勾股定理的理解和实际应用，而不追求计算上的复杂运算，另外让学生真正理解无理数的引入的意义，了解实数的概念，掌握开方运算，解决与实数有关的实际问题．内容的呈现注重“过程”和渗透“数学思想方法”，学生逐渐能主动尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略．华师大版为代表则在大量的代数运算学习完成后学习勾股定理，能加强勾股定理的应用，对于双基的要求是合理的，基本知识和基本技能的训练是比较方便的，对于双基训练有现实性的意义。有的版本把勾股定理放在空间与图形这个领域中，数的开方更是强调在四则运算、乘方后的开方运算。北师大版为代表则是按数学知识的历史形态展开，返朴归真，从数学的产生和发展的顺序出发呈现内容。但是停留在勾股定理上，没有很好地延伸到数的开方和无理数的发现。相比之下，鲁教版、冀教版能较好地从勾股定理延伸到数的开方，勾股定理与数的开方的联系做得要好些。

5．“勾股定理”与“数的开方”教学反思

首先，创设问题情境，注意数学历史形态。介绍人们是如何探索勾股定理的。比如我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝时的商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾（短直角边）等于三，股（长直角边）等于四，那么弦等于五。即“勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，在这本书的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。

其次，转变教学方式，让学生探索、研究、体会学习过程。学生学会了数学知识，却不会解决与之有关的实际问题，造成了知识学习和知识应用的脱节，感受不到数学与生活的联系，这是当今课堂教学存在的普遍问题，对于学生实践能力的培养非常不利的。现在的数学教学到处充斥着过量的、重复的、不断循环的、人为挖掘的训练。但是关于应用，就不能只停留在勾股数的学习上，自然要学习数的开方，平方根。提出问题产生认知冲突，从勾股定理的应用中引入开平方，并可结合数学史，毕氏学派发现无理数。另一种可绕开勾股定理，如设计了两种题目：一种是知道正方形的边长求面积；还有一种是知道正方形的面积求边长，对于第一种题目，学生利用正方形的面积公式很快就可以解决，对于第二种题目，面积为9、16、49的，学生也可以很快利用平方的知识进行解答，但是当面积＝7时，学生就被难住了，到底边长应该是多少呢？这实际上这是方程的思想，所以可在运用勾股定理中建立方程，比

如知道正方形的边长，求其对角线的长。从勾股定理出发引入数的开方，符合学生的有意义的学习，这种联结是建立了实质性的非人为的联系[4]。再结合学生已有的平方运算知识，学习开平方与平方根的概念。让学生真正理解无理数的引入的意义，了解实数的概念，掌握开方运算，解决与实数有关的实际问题。教学中关注学生学习的过程性：学生是否积极参加探索勾股定理的活动，学生能否在活动中积思考，能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想（数形结合）以及学生能否有条理的表达活动过程和所获得的结论等；关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理。从勾股定理到数开方也体现了数形结合的思想，学生在学习勾股定理与开平方中来体会数形结合的思想。

再次，新课标对几何内容的安排，采取了首先是直观和经验，接着是说理与抽象，最后是演绎的方案，既有合情推理又有论证推理。在七、八年级学习勾股定理是利用直观和经验，主要以合情推理，在八年级下或九年级再学习勾股定理的严格证明，主要以论证推理的形式。显然，学生停留在八年级的勾股定理学习还不够。一方面是实数的进一步认识，另一方面是对几何知识还需要积累，对数学证明的认识还要进一步。勾股定理的大量应用和严格证明，几个著名的证明，学生了解其历史背景是必要的，只要这样才能充分感受勾股定理的丰富文化内涵[5]。让直观几何和推理几何并重，把发现和证明绑在一起，就与传统的几何课程体系不同。

最后，经过上述分析，为校本课程的需要，我们给出勾股定理与数的开方的一种呈现方式：探索勾股定理与其逆定理—简单的应用——勾股数—（无理数的发现）平方根与立方根—实数—近似数与有效数字—勾股定理与其逆定理的应用—二次根式——二次根式——二次根式的运算。并在全等三角形或在相似形后部分设置勾股定理的与逆定理的严格证明，介绍勾股定理的多种证明作为课外活动。

参考文献

[1] 教育部基础教育司.数学课程标准解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2001

[2] 张奠宙.数学教育导论[M].北京:高等教育出版社,2003

[3] 张景中.教育数学探索[M].成都:四川教育出版社,1994

[4] 邵瑞珍.学与教的心理学[M].上海:华东师范大学出版社,1990

[5] 中华人民共和国教育部.数学课程标准[M]. 北京：北京师范大学出版社，2001

[6] [荷兰]弗赖登塔尔.数学教育再探[M].上海:上海教育出版社,1999