《高等数学上册考试试题》
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《高等数学（上）考试试题》
一、填空题(每小题4分，5个小题，共计20分)
1．_________)41()21()31(lim
20
230
10=+++∞→x x x x 。 2．个实根有且仅有则设_______0)(),4)(3)(2)(1()(='----=x f x x x x x x f 。 3．________),1sin(2=''+=y x y 则设 。
4．________)()(21
2='+=
y x y x e
x y x
的导数，则其反函数设 。 5．0()()
()lim 12x f a f a x f x x
→--=设 为可导函数且满足，()y f x =则曲线在点
(())a f a ，处的切线斜率为________。
二、选择题 (每小题4分，5个小题，共计20分)
1．0x →当时，1)1(3
1
2-+ax 与1cos -x 是等价的无穷小，则常数)(
=a
A 、
23 B 、32 C 、23- D 、3
2- 2．已知2
1
()1
ax b x f x x x +>?=?≤?，当 处处可导，则有()， 当
A 、21a b ==-，
B 、2,1a b =-=
C 、1,2a b =-=
D 、12a b ==-，
3．[]2
()(0)ln(13)lim 4,(0)x f x f x f x
-+'= 设
则等于)(
A 、3
B 、4
C 、1
D 、
43
4．(),y f x x x dy =设函数在点处可导则它在点处的微分是指)(
A 、()f x '
B 、()f x ?
C 、x ?
D 、()f x x '?
5． 设常数0>k ，函数()ln x f x x k e
=-+在),0(+∞内零点个数为)(
A 、1
B 、2
C 、3
D 、0
学院 _____________班级名称_______________学号_____________姓名_____________ 教师________________
………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………
2
三、解答题 (每小题7分，6个小题，共计42分)
1． 计算极限x
x
x e x sin 120
)
(lim +→。
2．dx
dy y xy e x y y xy 求确定由方程设,)sin()(=+=。 3．dx dy
x y y e t t
y t t x t
试求确定了函数，设),()1(ln =≠??
?==。 4． , 6)0(,0)0()0(,)(=''='=f f f x f 且具有连续二阶导数设函数求
420)(sin lim x
x f x →。 5．．求数列的极限??
?
???
++++++∞
→πππn n n n n n 2221211lim 6．，判断其类型的连续性，若有间断点讨论函数x x x x f n
n
n 2211lim
)(+-=∞→。
四、证明题 (每小题9分， 2个小题，共计18分)
1．.ln ,
0成立时证明：当a
a
b a b b a b b a -<<-<< 2．),0(0)(),0(],0[)(a a f a a x f ∈=ξ，证明存在一点内可导，且连续，在在设，
0)()(3='+ξξξf f 使得。
_学号_____________姓名_____________ 教师________________
…………内……………答……………题……………无……………效……………
3
一、填空题(每小题4分，5个小题，共计20分)
1．10)23( 2.4 3．)1sin(4)1cos(22
22x x x y +-+='' 4．)0(4)2(22>++-x x
e e x x
x 5． 2 二、选择题 (每小题4分，5个小题，共计20分) 1．C 2．A 3．D 4．D 5．B
三、解答题 (每小题7分，6个小题，共计42分) 1．3sin 11
1
20
sin 12022}
)]1(1{[lim )
(lim e e x e
x x
e x e
x x x x
x
x x x
=-++=+-+-+→→。
2．e y xy y xy xy y xy
()()cos()+'++'='，
))
cos((1))cos((xy e x xy e y y xy xy +-+=
'。
3． t t
t t t t dt
dx dt dy
y =++==
'1ln )1(ln 。
4．都连续在及则具有连续二阶导数因0)(),()(,)(='''x x f x f x f x f
则lim (sin )lim (sin )sin x x f x x f x x x →→='?02402324
220)
(sin lim 21x x f x '=→ x x x f x 22sin )(sin lim 2120''=→
)(sin lim 2120x f x ''=→)0(2
1f ''= 3= 5．πππ
ππ+≤??????++++++≤+22222221211
n n n n n n n n n n ，由夹逼准则有
11211
lim 2
22=??
????++++++∞→πππn n n n n n 。 6．22,||1
1()lim 0,||11,||1n n
n x x x f x x x x x x →∞->?-?
===?+?
， 在分段点1x =-处，因为1
1
lim ()lim ()1x x f x x --→-→-=-=，1
1
lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==-，即
11
lim ()lim ()x x f x f x -
+→-→-≠,1x =-是()f x 的跳跃间断点（第一类）；
在分段点1x =处，因为1
1
lim ()lim 1x x f x x --→→==，1
1
lim ()lim()1x x f x x ++→→=-=-，即11
lim ()lim ()x x f x f x -+
→→≠,1x =是()f x 的跳跃间断点（第一类）。
四、证明题 (每小题9分， 2个小题，共计18分) 1．可导连续在则令证明,),0()(,ln )(:+∞=x f x x f
)
)(()()(),,(],[)(,0a b f a f b f b a b a x f b a -'=-∈<<ξξ使则至少存在理
上应用拉格朗日中值定在对时当
)(1ln
ln ln a b a b a b -==-ξ即，0)(>-< 11<<ξ则， .ln ,0成立时故：当a a b a b b a b b a -<<-<<。 2．证明：令3 ()()F x x f x =，因为()f x 在[0,]a 连续，在(0,)a 内可导，所以()F x 在[0,]a 连续，在(0,)a 内可导，且3(0) ()()0F F a a f a ==?=，满足罗尔中值定理条件，至少存在一点(0,)a ξ∈，使得 23()3()()0F f f ξξξξξ''=+=，即3()()0f f ξξξ'+=