高中数学三角函数知识点总结(原创版)1
高考三角函数
1.特殊角的三角函数值：
sin 0
0= 0 cos 00= 1 tan 00= 0
sin30
0=
2
1 cos30
0=2
3
tan30
0=3
3
sin 045=2
2
cos 0
45=2
2
tan 0
45=1
sin60
0=2
3
cos60
0=
2
1 tan60
0=3
sin90
0=1 cos90
0=0 tan900无意义
2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,180
π= 00
30
045
60
90
0120 0135 0150
180
270
360
6π
4π 3π 2π 32π 43π 6
5π π
2
3π π2
3.弧长及扇形面积公式
弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2
1
α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径
4.任意角的三角函数
设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α=
r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x
y
(2)各象限的符号：
sin α cos α tan α
x
y
+
cos sin 2παα-=O
— —
+
x y
O — +
+
— +
y O
— +
+ —
5.同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：α
α
cos sin =tan α （z k k ∈+≠
,2
ππ
α）
6.诱导公式：记忆口诀：2
k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号
看象限。
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
()5sin cos 2π
αα??-=
???，cos sin 2παα??
-= ???
． ()6sin cos 2π
αα??+=
???，cos sin 2παα??
+=- ???
． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
8、三角函数公式：
降幂公式： 升幂公式 ： 1+cos α=2
cos 22α cos 2α2
2cos 1α
+=
1-cos α=2
sin 22
α
sin 2α2
2cos 1α
-= 9．正弦定理 ：
2sin sin sin a b c
R A B C
===. 余弦定理：
2222cos a b c bc A =+-;
2222cos b c a ca B =+-;
2222cos c a b ab C =+-.
三角形面积定理.111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===.
1．直角三角形中各元素间的关系：
如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）
两角和与差的三角函数关系 sin(α±β)=sin α·
cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·cos β sin α·sin β β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?±=±
倍角公式 s in2α=2sin α·cos α cos2α=cos 2α-sin 2α
=2cos 2α-1 =1-2sin 2α
α
α
α2tan 1tan 22tan -=
（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝
c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b
a
。 2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===。 （R 为外接圆半径）
（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式：
（1）△＝
21ah a ＝21bh b ＝21
ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2
1
ac sin B ；
（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)
sin(2sin sin 2B A B
A c +；
（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。（R 为外接圆半径） （5）△＝
R
abc 4； （6）△＝))()((c s b s a s s ---；??
? ?
?++=
)(21c b a s ； （7）△＝r ·s 。
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形
解斜三角形的主要依据是：
设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。 （1）角与角关系：A +B +C = π；
（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）边与角关系：
正弦定理
R C
c
B b A a 2s i n s i n s i n ===（R 为外接圆半径）
； 余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ；
它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b
a
B A =sin sin ，bc a c b A 2cos 222-+=
。 5．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的
特点。
（1）角的变换
因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－
tanC 。2
sin 2cos ,2cos 2sin
C
B A
C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。
（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠
B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列。 四．【典例解析】 题型1：正、余弦定理
（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC 中，AB a =，AC b =，0a b ?<，15
4
ABC S ?=
，3,5a b ==，则BAC ∠=
（ ）
A.． 30 B ．150- C ．0
150 D ． 30或0
150 答案 C
例1．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；
（2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解析：（1）根据三角形内角和定理，
0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；
根据正弦定理，
00
sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；
根据正弦定理，
00
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A （2）根据正弦定理，
sin 28sin40sin 0.8999.20
==≈b A B a
因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B
①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，
00
sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A
②当0116≈B 时，
180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0
sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A
点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器
例2．（1）在?ABC 中，已知23=a ，62=+c ，060=B ，求b 及A ； （2）在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 解析：（1）∵2222cos =+-b a c ac B
=22(23)(62)223(62)++-??+cos 045 =212(62)43(31)++-+ =8 ∴2 2.=b
求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
解法一：∵cos 222222(22)(62)(23)1,22222(62)
+-++-===??+b c a A bc ∴0
60.=A
解法二：∵sin 023
sin sin45,22
==?a A B b
又∵62+＞2.4 1.4 3.8,+=23＜21.8 3.6,?=∴a ＜c ，即00＜A ＜090,
∴0
60.=A
（2）由余弦定理的推论得：
cos 2222+-=b c a A bc 222
87.8161.7134.6287.8161.7
+-=
??0.5543,≈ 05620'≈A ；
cos 2222+-=c a b B ca 222
134.6161.787.82134.6161.7
+-=
?? 0.8398,≈ 03253'≈B ；
0000180()180(56203253)
''=-+≈-+C A B 09047.'= 点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A 的取值范围。
题型2：三角形面积
例3．在?ABC 中，sin cos A A +=
2
2
，AC =2，AB =3，求A t a n 的值和?ABC 的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A 的值。
.2
1)45cos(,22)45cos(2cos sin =
-∴=
-=+ A A A A
又0180