1.3.2 秦九韶算法与排序

§1．3.2秦九韶算法

【学习目标】：

了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质.【学习重点】秦九韶算法的特点及其程序设计，两种排序法的排序步骤及其程序设计（重点放在循环语句的应用上）

【学习难点】秦九韶算法的先进性理解及其程序设计,排序法的计算机程序设计

【学法】探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算.

【课堂过程】

秦九韶计算多项式的方法

例1设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法，并写出程序.

个别学生提出一般的解决方案，如：

x=5

y=2 * x^5 – 5 * x^4 – 4 * x^3 + 3 * x^2 – 6 * x + 7

PRINT“y=”；y

END

提问：例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？有什么优缺点？

答：上述算法一共做了解15次乘法运算，5次加法运算，优点是简单、易懂.缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.

提问：计算x的幂时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算x2，然后依次计算x2.x，（x2.x）.x，(（x2.x）.x).x的值,这样计算上述多项式的值,一共需要多少次乘法，多少次加法?

答：上述算法一共做了解4次乘法运算，5次加法运算.

结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法更快地得到结果.

我们把多项式变形为：f(x)= 2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7

从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，x的系数依次是什么？

用图表可以表示为：

最后的系数2677即为所求的值, 请描述上述计算过程.

上述算法就是“秦九韶算法”.

如何应用秦九韶算法完成一般的多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+….+a1x+a0求值问题？

f(x)=a n x n+a n-1x n-1+….+a1x+a0

=( a n x n-1+a n-1x n-2+….+a1)x+a0

=(( a n x n-2+a n-1x n-3+….+a2)x+a1)x+a0

=......

=(...( a n x+a n-1)x+a n-2)x+...+a1)x+a0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=a n x+a n-1

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v2=v1x+a n-2

v3=v2x+a n-3

......

v n=v n-1x+a0

这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题

观察秦九韶算法的数学模型，计算v k时要用到v k-1的值，若令v0=a n，我们可以得到下面的递推公式：

=a n

v k=v k-1+a n-k(k=1,2,…n)

这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现.

例2已知一个五次多项式f(x)=4x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8用秦九韶算法求当x=5时多项式的值.

解：f（x）=4x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8

=（（（（4x+2）x+3.5）x-2.6）x+1.7）x-0.8，

v0=4，

v1=4×5+2=22，

v2=22×5+3.5=113.5，

v3=113.5×5-2.6=564.9，

v4=564.9×5+1.7=2826.2，

v5=2826.2×5-0.8=14130.2，

所以，当x=5时，多项式的值等于14130.2。

小结

(1)秦九韶算法计算多项式的值及程序设计

(2)注意循环语句的使用与算法的循环次数，对算法进行改进.