小题强化练(一)

小题强化练

小题强化练(一) 综合提能练(1)

1．设集合M ＝{x |－4＜x ＜2}，N ＝{x |y ＝x }，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4) B ．[0，4) C ．(0，2)

D ．[0，2)

2．若复数1＋a i

2－i (i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )

A ．2 B.12 C ．－12

D ．－2

3．已知x ，y 的取值如表所示：

如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ＝b x ＋132，则b ^

的值为( )

A ．－12

B.12 C ．－110

D.110

4．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a 的值为( )

A ．4

B ．2 C.12 D ．－1

5．(2016·开封模拟)已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 2是a 1和a 5的等比中项，则a 7

＝( )

A ．1

B ．1或13

C ．13

D ．1或15

6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，则C ＝( )

A.π3或2π3

B.π

3 C.π6或5π6

D.π6

7．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3

D.5π6

8．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈???

?－π2，π

2 的图象大致是( )

9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足S n S n ＋1＜0的正整数n 的值为( )

A ．13

B ．12

C ．11

D ．10

10．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB ︵

的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是( )

A ．y ＝x ＋2－ 2

B ．y ＝x ＋1－

12

C ．y ＝x －2＋ 2

D ．y ＝x ＋1－ 2

11．(2016·安徽五校联考)如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A.2π

3＋4 B ．2π＋4

3

C.π

3

＋4 D ．π＋4

3

12．(2016·合肥模拟)定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围为( )

A ．{x |x ≠±1}

B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C ．(－1，1)

D ．(－1，0)∪(0，1)

13．若函数f (x )＝?

????f （x －2），x ≥2|x 2－2|，x ＜2，则f (5)＝________．

14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1

V 2

的值是________．

15．已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，

以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为________．

16．在△ABC 中，已知tan A ＝14，tan B ＝3

5，且△ABC 最大边的长为17，则△ABC 最

小边的长为________．

参考答案与解析

1． D M ＝{x |－4＜x ＜2}＝(－4，2)，N ＝{x |x ≥0}＝[0，＋∞)，所以M ∩N ＝[0，

2)，故选D.

2． A

法一：由题意得

1＋a i

2－i ＝（1＋a i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）

＝2－a ＋（1＋2a ）i 5＝2－a

5＋

1＋2a 5i 为纯虚数，则2－a 5＝0，且1＋2a

5

≠0，解得a ＝2.故选A. 法二：由题意，令1＋a i 2－i ＝t i(t ≠0)，则1＋a i ＝t ＋2t i ，则?????1＝t a ＝2t ，解得?

????t ＝1a ＝2，故选A.

3．[导学号：96982272] A 将x －＝3，y －＝5代入到y ^＝b ^x ＋13

2中，得b ^

＝－12

.

故选A.

4． D S 和n 依次循环的结果如下：1

1－a

，2；1－1a ，4.所以1－1

a ＝2，a ＝－1，

故选D.

5． B

设等差数列{a

n }的公差为d ，则a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d .因为a 2是a 1和a 5

的等比中项，所以a 22＝a 1·a 5，即(1＋d )2

＝1×(1＋4d )，所以d (d －2)＝0，所以d ＝0或d ＝

2，故a n ＝1或a n ＝2n －1，从而a 7＝1或a 7＝13.故选B.

6． D

将cos B 换为－cos(A ＋C )，代入cos(A －C )＋cos B ＝1，展开合并得2sin A sin

C ＝1，由已知sin A ＝2sin C 得sin C ＝1

2，又C 非最大角，所以C ＝π6

.

7．[导学号：96982273] C

在直角三角形中，如果直角边为斜边的一半，则该直角边所对的角为π

6，如图，所求的

夹角为2π

3

，故选C.

8． D

因为函数f (x )是奇函数，所以排除A 、B.f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－

4cos x ＝0，得x ＝±π

3

，所以选D.

9． B

a

6＝S 6－S 5＞0，a 7＝S 7－S 6＜0，a 6＋a 7＝S 7－S 5＞0，得S 11＝

11（a 1＋a 11）

2＝11a 6＞0，S 12＝

12（a 1＋a 12）2＝12（a 6＋a 7）2＞0，S 13＝13（a 1＋a 13）

2

＝13a 7＜0，所以满

足条件的正整数n 为12，选B.

10． A

因为圆C 与两坐标轴相切，且M 是劣弧AB ︵

的中点，所以直线CM 是第

二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ????

22

－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整理得y ＝x ＋2－ 2.

11．[导学号：96982274] D

由三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个四棱锥的组合体，如图所示，其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面，顶点P 在半圆柱所在圆柱OO 1的底面圆上，且点P 在AB 上的射影为底面圆的圆心O .

由三视图中的数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径r ＝1，母线长l ＝2， 故半圆柱的体积V 1＝12πr 2l ＝1

2

π×12×2＝π；

四棱锥的底面ABCD 是边长为2的正方形，PO ⊥底面ABCD ，且PO ＝r ＝1， 故其体积V 2＝13S 正方形ABCD ×PO ＝13×22×1＝4

3.

故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝π＋4

3.

12． B

令g (x )＝x 2f (x )－x 2，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－2x ＝x [2f (x )＋xf ′(x )－2]，

当x ＞0时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．又f (x )是偶函数，则g (－x )＝x 2f (－x )－x 2＝x 2f (x )－x 2＝g (x )，即g (x )是偶函数．不等式x 2f (x )－f (1)＜x 2－1可变形为x 2f (x )－x 2＜f (1)－1，即g (x )＜g (1)，g (|x |)＜g (1)，|x |＞1，解得x ＜－1或x ＞1，选项B 正确．

13.

f (5)＝f (3)＝f (1)＝|1－2|＝

1. 1 14.

设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21

πr 22＝94

，则r 1r 2＝

32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，则h 1h 2＝23，所以V 1V 2＝πr 2

1h 1πr 22h 2＝32

. 3

2 15.

因为e ＝

1＋????b a 2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12

，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面

积关系得12·m ·2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋（2m ）2＝25，又c a

＝5

2，

所以a ＝4.

4

16．[导学号：96982275]

设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，在△ABC 中，tan(A

＋B )＝tan A ＋tan B

1－tan A tan B

＝14＋3

51－14×35

＝1，即tan C ＝－1，所以C ＝135°，所以c ＝17.因为tan

A

B ，所以A 最小，即A 所对的边a 最小．由tan A ＝14，得sin A ＝17

17，所以由正弦定

理

a sin A ＝c sin C ，得a ＝c sin C ·sin A ＝172

2

×17

17＝ 2. 2