奥赛培训专题二 集合 函数 不等式 导数

专题二 集合 函数 不等式 导数

一 能力培养

1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想; 4,运算能力; 5,转化能力.

二 问题探讨

[问题1] 已知{3}A x x a =-≤,2{780}B x x x =+->,分别就下面条件求a 的

取值范围:

(I)A B =? ;(II)A B B = .

[问题2]求函数()a f x x x =+

的单调区间,并给予证明.

[问题3]已知()1x f x e ax =--.

(I)若()f x 在定义域R 内单调递增,求a 的取值范围;

(II)若()f x 在(,0]-∞上单调递减,在[0,)+∞上单调递增,求a 的值;

(III)设2()22g x x x =-++在(II)的条件下,求证()g x 的图象恒在()f x 图象的下方.

[问题4]设11()lg 21x f x x x

-=+++. (I)试判断()f x 的单调性;

(II)若()f x 的反函数为1()f x -,证明1()0f x -=只有一个解;

(III)解关于x 的不等式1

1[()]22

f x x -<.

三 习题探讨

选择题

1已知函数()2x f x =,则12(4)f x --的单调减区间是

A,[0,)+∞ B,(,0]-∞ C,[0,2) D,(2,0]-

2已知集合M={01}x x ≤≤,N={01}x x ≤≤,下列法则不能构成M 到N 的映射的是 A,2y x = B,sin y x = C,tan y x =

D,y 3已知函数(1)()(1)x x f x x x ≥?=?-

，奇函数()g x 在0x =处有定义，且0x <时, ()(1)g x x x =+，则方程()()()f x g x f x +=·()g x 的解的个数有

A,4个 B,2个 C,1个 D,0个

4如果偶函数()y f x =在[0,)+∞上的图象如右图,则在

(,0)-∞上,()f x = A,1x + B,1x - C,1x -+ D,1x -

5设函数121()1(0)

2()(0)

x x f x x x ?-≤?=??>?,已知()1f a >,则a 的取值范围为 A,(1,1)- B,(,1)(1,)-∞-+∞ C,(,2)(0,)-∞-+∞ D,(1,)+∞

6对于函数32()3f x x x =-,有下列命题:①()f x 是增函数,无极值;②()f x 是减函数,

无极值;③()f x 的增区间是(,0)-∞,(2,)+∞,()f x 的减区间是(0,2);④(0)0f =是极 大值,(2)4f =-是极小值.其中正确的命题有

A,一个 B,二个 C,三个 D,四个

填空题

7函数2(2)log x

f x =的定义域是 .

8已知2(1cos )sin f x x -=,则()f x = . 9函数2log (252)x y x x =-+-单调递增区间是 .

10若不等式2log 0(0,1)a x x a a -<>≠对满足102

x <<的x 恒成立,则实数

a 的取值范围是 .

112ln y x x =-在点M(1,0)处的切线方程是 . 解答题

12

函数y A,函数2lg(43)y kx x k =+++的定义域 集合B,当A B ?时,求实数k 的取值范围.

13已知定点A(0,1),B(2,3),若抛物线22()y x ax a R =++∈与线段AB 有两个不同的 交点,求a 的取值范围.

14已知定义在R 上的函数()f x ,满足:()()()f a b f a f b +=+,且0x >时,()0f x <, (1)2f =-.

(I)求证:()f x 是奇函数; (II)求()f x 在[3,3]-上的最大值和最小值.

15通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和 描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的 兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用()f x 表 示学生掌握和接受概念的能力(()f x 值越大,表示接受的能力越强),x 表示提出和讲授 概念的时间(单位:分),可有以下公式: 20.1 2.643(010)()59(1016)3107(1630)x x x f x x x x ?-++<≤?=<≤??-+<≤?

(I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间?

(II)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些?

(III)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,老师能否及时在学生一直 达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?

16已知函数2()ax f x x e =,其中0a ≤,e 为自然对数的底数.

(I)讨论函数()f x 的单调性;(II)求函数()f x 在区间[0,1]上的最大值.

四 参考答案:

问题1:(I):(1)a<0,A=,?? 解当时有A B=,

{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},{B=x x<-8或x>1}.

由? A B=,有

3813a a -+≥-??≥+? 得112a a ≤??≤-?

与≥a 0,矛盾! 故当? A B=时,a 的取值范围是(,0)-∞;

(II)解:(1)a<0,A=,? 当时有A B=B ,

{≥≤≤(2)当a 0时,有A=x -a+3x a+3},{B=x x<-8或x>1}

由 A B=B,必有A B ?,得

38a +<-或31a -+>

得11a <- (舍去)或2a <

得02a ≤<

故当 A B=B 时, a 的取值范围是(,2)-∞.

温馨提示:在处理集合的问题中,别忘了我们的好朋友 空集.

问题2:解:(1)当0a =时,0()f x x x

=+, 令'()0f x <,得x <<

它的定义域是0x ≠, 得()f x 的单调增区间是(,-∞,)+∞

它分别在(,0)-∞,(0,)+∞上为增函数. ()f x 的单调减区间是(.

(2)当0a >时,()f x 的定义域是0x ≠, (3)当0a <时,()f x 的定义域是0x ≠, 2'

22()1a x a f x x x -=-= 2'22()1a x a f x x x -=-=0>

令'()0f x >,得x >x < 得()f x 的单调增区间是(,0),(0,)-∞+∞. 温馨提示:①对参数进行分类讨论,是处理含参数问题的常用方法,

②'()0f x >('()0f x <)?()f x 为增(减)函数,反之不行;

③以上单调区的书写格式,符合国际标准,请放心使用.

问题3:解:(I)()1x f x e ax =--,得'()x f x e a =-.

()f x 在R 上单调递增,'()0x f x e a ∴=-≥恒成立,即x a e ≤,x R ∈恒成立 又x a e ≤时,(0,)x e ∈+∞,得0a ≤.

(II)'()x f x e a =-,

而()f x 在(,0]-∞上单调递减,得0x e a -≤在x ∈(,0]-∞上恒成立,有max x

a e ≥,

又当x ∈(,0]-∞时,(0,1]x e ∈ ,得1a ≥ ①

又()f x 在[0,)+∞上单调递增,得0x e a -≥在[0,)x ∈+∞上恒成立,有min x

a e ≤,

又当[0,)x ∈+∞时,[1,)x e ∈+∞,得1a ≤ ②

由①,②知1a =.

(III)由(II)可知(0)f 是()f x 的最小值,有()(0)f x f ≥,

而0(0)010f e =--=,2()(1)11g x x =---≤-

故()()f x g x >,即()g x 的图象恒在()f x 图象的下方.

温馨提示:()()f x g x ≥恒成立时,转化为min max ()()f x g x ≥进行考虑,合情合理.

问题4:(I)解:()f x 的定义域是11x -<<,得'2212()lg (2)1f x e x x

=--+-0< 所以()f x 在(1,1)-上是减函数.

(II)证明:假设存在12,x x 且12x x ≠,使11()0f x -=,12()0f x -=,则有