湖北省重点高中2015届高三上学期期中联考数学(理)试题【word解析版】

湖北省重点高中2015届高三上学期期中联考

高三理科数学试卷（理科）

【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查

学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、导数的综合应用、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.

【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【题文】1、下列四个值中，与

2014cos 的值最接近的是 A ．2

3

-

B ．21-

C ．21

D ．

2

3

【知识点】诱导公式C2

【答案】【解析】A 解析：因为

2014cos =－cos34o，与－cos30o最接近，则选A. 【思路点拨】可用诱导公式转化为锐角的三角函数，再与特殊角比较即可.

【题文】2、对于集合∈+==k k x x S ，12{N }和集合}{S b a b a x x T ∈⊕==，，， 若满足S T ?，则集合T 中的运算“⊕”可以是

A ．加法

B ．减法

C ．乘法

D ．除法 【知识点】集合A1 【答案】【解析】C 解析：因为集合S 表示的是由正奇数构成的集合，而两个奇数的和与差为偶数，所以

A,B 不满足，两个奇数的除法不一定为整数，所以D 不满足，则选C.

【思路点拨】先理解集合S 中的元素特征，再结合选项进行判断集合T 中的元素是否都在集合S 中即可. 【题文】3、对于定义在实数集R 上的狄利克雷函数?

??∈?=），（）

，（Q x Q x x D 10)(，

则下列说法中正确的是

A ．)(x D 的值域是]10[，

B ．)(x D 的最小正周期是1

C ．)(x

D 是奇函数 D ．)(x D 是偶函数

【知识点】分段函数B1

【答案】【解析】D 解析：由函数解析式知函数值只有两个值0和1，所以A 错；因为对于任意的x ，

f(x+0.5)=f(x)，所以B 错，因为f(0)=1，所以不是奇函数，则C 错，则选D. 【思路点拨】结合分段函数的意义，分别用排除法和特例法判断选项即可. 【题文】4、正项等比数列{n a }的公比为2，若16113=a a ，则102log a 的值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【知识点】等比数列D3

【答案】【解析】C 解析：由16113=a a 得27716,4a a ==,所以35107482a a q =?=?=，则102log a =5，

所以选C.

【思路点拨】遇到等比数列时，有性质的可先用性质转化，没性质的用公式转化求解.

【题文】5．函数2)2

32cos(32sin )(++?=πx x x f 的图象的相邻两条对称轴之间的距离是 A ．83π B ．43π C ．2

3π D ．π3

【知识点】三角函数的图像C3

【答案】【解析】B 解析：因为2)232cos(32sin

)(++?=π

x x x f =22143sin 2cos 3232

x x -+=+，所以函数的最小正周期为23423

ππ

=

，则相邻两条对称轴之间的距离是半个周期长为43π，所以选B. 【思路点拨】由余弦三角函数特征可知，相邻对称轴之间的距离是半个周期. 【题文】6、设向量a 、b 、c

是三个非零向量，若c b a m +

=

的取值范围是

A ．]30[，

B ．{0，1，2，3}

C ．)0[∞+，

D ．{0，3} 【知识点】向量的运算F1

【答案】【解析】A 解析：当三个向量a 、b 、c 共线同向时

3，当个向量a 、b 、c 两两成

120

0，则选A.

【思路点拨】理解

a a

是与向量同向的单位向量是解题的关键，再找出所求向量模的最值即可.

【题文】7、设ABC ?的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，

则ABC ?的最小的边长是

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 【知识点】解三角形C8

【答案】【解析】B 解析：设三角形最小的边为a ，则有

2sin 22cos sin a A

A a A

+==，又()()()()()()()()2

2

2

2

22

12212cos 1212a a a a a a A a a a a a

+=+++-++=+++-++?

，解得a=4，则选B.

【思路点拨】利用正弦定理和余弦定理得到关于最小边的方程，求解即可.

【题文】8、已知最小正周期为2的函数)(x f 在区间]11[，

-上的解析式是2)(x x f =，则函数)(x f 在实数集R 上的图象与函数x x g y 5log )(==的图象的交点的个数是

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【知识点】函数的图像B8 【答案】【解析】C 解析：由已知分别作出函数f(x)与g(x)的图像，由图像可知则选C.

.

【思路点拨】一般遇到判断两个函数图象的交点个数问题，通常利用数形结合的方法进行解答.. 【题文】 9．设等差数列{n a }满足：

112

11

-

A ．11

B ．12

C ．22

D ．23 【知识点】等差数列D2 【答案】【解析】C 解析：由

112

11

-<，111211120,0a a a a <+>，

所以()21112211122312210,110,230S a S a a S a =>=+>=<，所以当数列{n S }的前n 项的和取得最大值时，此时正整数n 的值是22，则选C.

【思路点拨】本题的关键是熟悉等差数列的函数特征，由等差数列的二次函数特征，只需找出前n 项和构成的数列的所求非负项即可.

【题文】10、若函数a e x

x f x

-=

)(与x 轴有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是 A ．01

<<-a e B ．e

a 1<

C ．0<<-a e

D ．e

a 1

0<< 【知识点】导数的应用B12

【答案】【解析】D 解析：若函数a e x

x f x -=

)(与x 轴有两个不同的交点，即函数x

x y e = 与y=a 有两个不同的交点，又1'x x

y e

-=

，当x ∈(﹣∞，1)时，导数大于零，函数单调递增，函数值的范围为(﹣∞,1e )当x ∈(1, ＋∞)时，导数小于0，函数单调递减,函数值的范围是(0,1

e

),所以实数a 的范围

是e

a 1

0<<，则选D.

【思路点拨】判断函数的零点个数问题通常转化为两个函数的图像的交点个数问题进行解答.

【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．

的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

【题文】11、已知函数)(x f 是奇函数，且当0

x x f 1

2)(2

-=，则)1(f 的值是 . 【知识点】奇函数B4

【答案】【解析】－3 解析：()()()11213f f =--=-+=-.

【思路点拨】利用奇函数的性质，把所求的函数值转化到已知区间，再代入已知解析式求解.

【题文】12、计算：

?e

xdx 1

ln = .

【知识点】定积分B13 【答案】【解析】1 解析：

?e xdx 1

ln =()()

1

1

ln 11ln 1e

e

x dx x x x +-=-=? .

【思路点拨】结合熟悉函数的导数，可通过凑项法找出被积函数的原函数.

【题文】13、已知在ABC ?中，若6=AB ，5=AC ，且点O 是ABC ?的外接圆的圆心， 则BC AO ?的值是 .

【知识点】向量的运算 向量的数量积F1 F3

【答案】【解析】11

2

-

解析：设AC,AB 的中点分别为E,F ，如图所示，则有? =()

511

56322

OA AC AB OA AC OA AB AC AE

AB AF ?-=?-?=?-?=?-?=-

.

【思路点拨】可先利用向量的运算把所求的向量向已知向量转化，再利用向量的数量积的几何意义及圆的

性质解答.

【题文】14、设函数x

x x

x x x f cos 22)4sin(2)(2

2++++=π

在实数集R 上的最大值是M ，最小值是m ，则m M +的值为 .

【知识点】函数的奇偶性B4

【答案】【解析】2 解析：因为x

x x x x x f cos 22)4sin(2)(2

2++++=π

=2

2sin cos 22cos x x x x x x ++++=2sin 12cos x x x x +++ ，因为函数()2

sin 2cos x x

g x x x

+=+为奇函数，由奇函数的图像关于原点对称可知该函数的最大值与最小值互为相反数，则原函数的最大值与最小值的和M+m=2.

【思路点拨】可通过对函数的整理利用奇局部奇函数的图像对称性进行转化求解.

【题文】15、对于任意的正整数j ，k ]91

[，∈，定义)1(3--=k j a jk ，如：6)14(3334-=-?-=a ，对于任意不小于2的正整数m ，n ，设+++=321j j j jn a a a b ……+jn a ，+++=n n n m n b b b S 321……+mn b ，

则55S = .

【知识点】数列求和D4

【答案】【解析】-75 解析：因为()()

5333133,,5302

jn jn j n n a j n j n b jn b j -=--=-+=+

=-，则

()

555255752

S --=

=-.

【思路点拨】遇到数列求和问题，一般先确定数列的通项公式，再结合其通项公式确定求和思路.

【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分11分）已知平面向量），（2x =，)4,(+-=x x . （1）求||的最小值；

（2）若λ=（λ为实数），求- 【知识点】向量的坐标运算F2

【答案】【解析】(1) 22;(2) )412(，-=-b a

解析：（18)2(21682)4(2222++=++=++=

x x x x x ，……4分

∴当2-=x 22.………………5分

（2）依题意可列得：x x x 2)4(-=+，解得：0=x ，或6-=x ………………7分 而易得：)22(x x b a --=-，，………………9分 当0=x 时，则)20(-=-，b a ；………………10分 当6-=x 时，则)412(，-=-b a .………………11分.

【思路点拨】(1)可先求出向量的模，再利用二次函数求最小值；(2)先利用向量共线的坐标关系求出x 值，再利用向量的坐标运算计算所求向量. 【题文】17.（本小题满分12分）

已知平面向量)cos 2,3(x =，)cos ,2(sin x x =，x f ?=)(，??

?

???∈2,0πx 。 （1）求)(x f 的最小值； （2）求)(x f 的单调增区间。

【知识点】向量的坐标运算，三角函数的性质C3 F2

【答案】【解析】(1)0；(2) 0[，

]6

π

解析：（1）易得：x x x f 2cos 22sin 3)(+==2

2cos 122sin 3x

x +?

+……2分 =12cos 2sin 3++x x =1)6

2sin(2++π

x ，………………4分

又∵]20[π，∈x ，∴]6

76[62π

ππ，∈+x ，

故当6

76

2π

π

=

+

x 时，即2π=x 时，函数)(x f 取得最小值0. ………………7分

（2）由上易得：令

2

6

26

π

π

π

≤

+

≤x ，解得：6

0π

≤

≤x ，………………11分

故所求得的函数)(x f 的单调递增区间是0[，

]6

π

.………………12分. 【思路点拨】遇到研究三角相关的函数性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答. 【题文】18、（本小题满分12分） 在平面四边形ABCD 中，7

7

2cos 321=∠===CAD AB CD AD ，，，。 （1）求AC 的长； （2）若14

7

cos -

=∠BAD ，求ABC ?的面积。 （3）

B

【知识点】解三角形C8

【答案】【解析】(1) 7=AC ;(2)

4

21

3. 解析：（1）在ACD ?中，由余弦定理可列得： 7

7212142?

??-+=AC AC ，即：037742

=--AC AC ，………………3分

解得：7=AC .………………5分 （2）由772cos =

∠CAD ，易得：7

3

sin =∠CAD ，………………6分 由147cos -

=∠BAD ，易得：7

233sin =∠BAD ，………………7分 故CAD DAB CAD DAB CAD DAB CAB ∠∠-∠∠=∠-∠=∠sin cos cos sin )sin(sin

=

7

3

)147(72733?

--?=23，………………10分

故2

37321sin 21?

??=∠??=

?CAB AC AB S ABC =421

3.………………12分. 【思路点拨】(1)知道两边及一边所对的角，求另一边，可用余弦定理得方程求解；(2)若已知一角，求三角

形面积可用含夹角的面积计算公式. 【题文】19、（本小题满分12分） 一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B 的距离是150km,在岸边距离点B300km 的A 处有一军需品仓库，有一批军需品要尽快送达海岛，A 与B 之间有一铁路，现用海陆联运方式运送，火车时速为50km,轮船时速为30km,试在岸边选一点C ，先将军需品用火车送到点C ，再用轮船从点C 运到海岛，问点C 选在何处可使运输时间最短。

【知识点】函数的应用，导数的应用B10 B12 【答案】【解析】点C 在与点B 的距离为112.5km 处运输时间最短 解析：设点C 与点B 的距离为xkm ，则运输时间

分

分

650

1

15030)(43000,5030030150)(22'22 -+=≤≤-++=x x x T x x

x x T 令0)('=x T ，5.112=x ………………9分

10)5.112(,2.11)300(,11)0(===T T T ………………11分

所以所选点C 在与点B 的距离为112.5km 处运输时间最短………………12分.

【思路点拨】利用路程、时间、速度的关系得到距离与时间的函数关系，再利用导数求最值即可 【题文】20、（本小题满分14分）

递增等比数列{}n a 中（+∈N n ），已知325=a ，2a ，3a ，

44

3

a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若

λλ

≥+n n

a a 3恒成立，求实数λ的取值范围； （3）记,)

1(2

-=

n n n a a b {}n b 的前n 项和为n S （+

∈N n ），求证3

【答案】【解析】 (1) 2n

n a =；(2) 5

64

4≤

≤-λ；(3)略.

解析：（1）依题意可列得：2

4

312q q +

=，化简可得：04832=+-q q ，……1分 即为：0)23)(2(=--q q ，解得：2=q ，或3

2

=q ，………………2分

而数列{n a }是递增数列，故2=q ，………………3分 则n n n n q a a 2232555=?=?=--.………………4分 (2)依题意可列得：

λλ

≥+n n 22

3，即：2)2()32(n n ≤-λ， ①当1=n 时，则易得：22)1(≤-?λ，解得：4-≥λ，………………5分

②当2≥n 时，则3

2)2(2

-≤n n λ，………………6分

而6329)32(32]3)32[(32)2(22+-+-=-+-=-n n

n n n

n ，………………7分 而易知：当2=n 时，32)2(2-n n 的值是16；而当3=n 时，3

2)2(2-n n 是564，

故5

64

≤

λ.………………8分 综合①、②可得：5

64

4≤≤-λ.………………9分

（2）①当1=n 时，则易得：321

2

11<===b S ，显然成立；………………10分

②当2≥n 时，则)

12)(12(2)22)(12(2)12(211

2--=

--<-=--n n n n n n n n n b ，…………11分 即有：1

21

121

1--

-<

-n

n n b ，………………12分 故)1

21

121()121121(23221

---+---+

21

312112<--=--+

n S ， 综合①、②可得：命题3

【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题时通常分离参数转化为最值问题进行解答；遇到与和

相关的不等式问题可考虑直接求和或放缩后求和进行证明. 【题文】21.（本小题满分14分）

已知函数131

1

1

ln()(-++++=x x x a x f ）. (1）当1=a 时，求)(x f 的单调增区间；

(2）若0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围；

(3）求证：)

1(3

2327215)1ln(2

+++

+?+?<

+n n n n 对一切正整数n 恒成立。 【知识点】导数的应用B12 【答案】【解析】(1) ???

?

??∞++，6137-；(2) [)2-+∞，；(3)略 解析：（1）函数)(x f 的定义域为()∞+，1- ………………1分

0)

1(373)(2

2'

≥+++=x x x x f ，即03732

≥++x x ………………2分 )(x f ∴单调增区间为???

? ??∞++，6137-………………3分 （2）22222

13(1)(1)13(6)2

()31(1)(1)(1)a x a x x a x a f x x x x x +++-++++'=-+==

++++。 若2a ≥-，则60a +>，0x >时，()0f x '>。此时，()f x 在区间[)0+∞，上为增函数。∴

0x ≥时，()(0)0f x f ≥=。2a ≥-符合要求。 …………… 5分

若2a <-，则方程23(6)20x a x a ++++=有两个异号的实根，设这两个实根为1x ，2x ，且

120x x <<。∴ 20x x <<时，()0f x '<。()f x 在区间[]20x ，上为减函数，2()(0)0f x f <=。∴ 2a <-不符合要求。∴ a 的取值范围为[)2-+∞，。 …………… 9分 （3）取2-=a ，由（2）知131

1

)1ln(2-++≤+x x x ………………10分 令k x 1=

即有)

1(3

2)1ln(2++≤+k k k k k ………………11分

取n k 、、、321=即有 21512ln 2?≤

32723ln 2?≤

)

1(3

21ln

2++≤+n n n n n 累加得)

1(3

2327215)1ln(2++++?+?<

+n n n n ………………14分. 【思路点拨】求函数的单调递增区间就是解关于导数大于0的不等式，由不等式恒成立求参数范围问题可

转化为函数的最值问题进行解答，利用导数证明与和相关的不等式，通常先结合函数构建不等式，再用累加法证明所给不等式.