山东省济宁市汶上县第五中学2015届高三第二次模拟数学(理)试题 Word版含解析

2015年山东省济宁市汶上五中高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分

1．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B=（）A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{0，1，2，3}

【考点】：交集及其运算．

【专题】：集合．

【分析】：求出集合B，然后求解交集即可．

【解析】：解：集合A={0，1，2，3}，

集合B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4，6}，

则A∩B={0，2}．

故选：C．

【点评】：本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．

2．（5分）复数的共轭复数为（）

A．B．C．D．

【考点】：复数代数形式的乘除运算．

【专题】：计算题．

【分析】：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数为﹣+i，由此求得它的共轭复数．

【解析】：解：复数==﹣+i，故它的共轭复数为﹣﹣i，

故选C．

【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．

3．（5分）“x=2”是“log2|x|=1”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】：简易逻辑．

【分析】：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解析】：解：当x=2时，log2|x|=1成立，即充分性成立，

若log2|x|=1，则x=±2，即必要性不成立．

故“x=2”是“log2|x|=1”的充分不必要条件，

故选：A．

【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．

4．（5分）在一组样本的数据的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其它4个长方形的面积和的，且样本容量为280，则中间一组的频数为（）

A．56 B．80 C．112 D．120

【考点】：频率分布直方图．

【专题】：概率与统计．

【分析】：根据中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，所有矩形的面

积和为1，可求出该组的频率，进而根据样本容量为280，求出这一组的频数．

【解析】：解：∵样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，

又∵中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，所有矩形的面积和为1，∴该长方形对应的频率为，

又∵样本容量为280，

∴该组的频数为280×=80．

故选：B．

【点评】：本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据各组中频率之比等于面积之比，求出该组数据的频率是解答本题的关键．属于基础题．

5．（5分）已知，，则cosα=（）

A．B．C．或D．

【考点】：两角和与差的余弦函数．

【专题】：计算题；三角函数的求值．

【分析】：根据同角三角函数的关系，算出，再进行配角：α=（）﹣，利用两角差的余弦公式加以计算，即可求出cosα的值．

【解析】：解：∵，∴，

由此可得，

∴cosα=cos[（）﹣]=+

==．

故选：A

【点评】：本题给出钝角α，在已知的情况下求cosα的值，着重考查了任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、两角和与差的余弦公式等知识，属于基础题．

6．（5分）函数的图象可能是（）

A．B．C．

D．

【考点】：函数的图象．

【专题】：函数的性质及应用．

【分析】：根据分数函数的性质进行化简判断即可．

【解析】：解：∵=，

∴对应的图象为B．

故选：B．

【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据分数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．

7．（5分）等差数列{a n}中的a1，a4025是函数的极值点，则

=（）

A．2 B． 3 C． 4 D． 5

【考点】：等差数列；函数在某点取得极值的条件．

【专题】：等差数列与等比数列．

【分析】：求导数结合极值的定义和韦达定理可得a1+a4025=8，进而由等差数列的性质可得a2013，代入化简可得．

【解析】：解：∵，

∴其导函数f′（x）=x2﹣8x+6，

又a 1，a 4025是函数

的极值点，

∴a 1，a 4025是方程x 2

﹣8x+6=0的实根， 由韦达定理可得a 1+a 4025=8， 由等差数列的性质可得a 2013==4，

∴

=

=2

故选：A 【点评】： 本题考查等差数列的性质，涉及函数的极值，属基础题．

8．（5分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是AB 的中点，D 是AA 1的中点，则三棱锥D ﹣B 1C 1E 的体积与三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积之比是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】： 计算题． 【分析】： 根据

﹣

﹣S △ADE ﹣

，求得

=

，再根据三棱锥的换底性可得

=

=V

三棱柱，由

此可得答案． 【解析】： 解：∵

﹣

﹣S △ADE ﹣

，

又E 是AB 的中点，D 是AA

1的中点，∴=

S

△ADE =

，

=

，

=2

，

∴

=

，

∴==×V

，

∴三棱锥D﹣B1C1E的体积与三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积之比为1：4．

【点评】：本题考查了棱锥的体积计算，考查了棱柱与棱锥的体积的量化关系，关键是求得面积比．

9．（5分）设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左，右焦点，过F1的直线l与双曲线的

左支相交于A、B两点，且三角形ABF2是以∠B为直角的等腰直角三角形，记双曲线C的离心率为e，则e2为（）

A．B．C．D．

【考点】：双曲线的简单性质．

【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】：根据题设条件，利用双曲线的定义，推导出|AF2|=4a，再利用勾股定理确定a和c 的关系式，由此能求出结果．

【解析】：解：如图，

∵过F1的直线l与双曲线的左支相交于A、B两点，

且三角形ABF2是以∠B为直角的等腰直角三角形，

∴设|BF2|=|AB|=x，∠ABF2=90°，

∴|AF1|=x﹣|BF1|=2a，

∴|AF2|=4a，

∵∠ABF2=90°，

∴2x2=16a2，解得|BF2|=|AB|=2a，

∴，

∴[（）a]2+（2a）2=（2c）2，

解得c=a，

∴=5﹣2．

故选A．

【点评】：本题考查双曲线的离心率的平方的求法，解题时要熟练掌握双曲线的性质，注意数形结合思想的合理运用．

10．（5分）菱形ABCD的边长为，∠ABC=60°，沿对角线AC折成如图所示的四面体，

M为AC的中点，∠BMD=60°，P在线段DM上，记DP=x，PA+PB=y，则函数y=f（x）的图象大致为（）

A．B．C．

D．

【考点】：函数的图象．

【专题】：函数的性质及应用．

【分析】：根据菱形的性质，利用余弦定理和勾股定理分别求出PA，PB，然后建立函数关系，根据函数关系确定函数图象．

【解析】：解：∵DP=x，∴MP=1﹣x，

∵菱形ABCD的边长为，∠ABC=60°，

∴AM==，BM=MD=1，

在直角三角形AMP中，PA=，

在三角形BMP中由余弦定理可得

PB=，

∴y=PA+PB=，

∵当0时，函数y单调递减，

当x≥1时，函数y单调递增，∴对应的图象为D，

故选D．

【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据直角三角形的勾股定理和三角形的余弦定理分别求出PA，PB的值是解决本题的关键，本题综合性较强，难度较大．

二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分．

11．（5分）已知程序框图，则输出的i=9．

【考点】：程序框图．

【专题】：算法和程序框图．

【分析】：执行程序框图，写出每次循环得到的S，i的值，当满足S≥100时，退出执行循环体，输出i的值为9．

【解析】：解：S=1，i=3

不满足S≥100，执行循环体，S=3，i=5

不满足S≥100，执行循环体，S=15，i=7

不满足S≥100，执行循环体，S=105，i=9

满足S≥100，退出执行循环体，输出i的值为9．

故答案为：9．

【点评】：本题考察程序框图和算法，属于基础题．

12．（5分）Rt△ABC中，AB=1，BC=2，AC=在边BC上，，则=．

【考点】：平面向量数量积的运算．

【专题】：平面向量及应用．

【分析】：根据，，BC=2得到，即，然后利用数量积公式直接计算即可．

【解析】：解：∵Rt△ABC中，AB=1，BC=2，AC=，

∴∠ABC=60°．，∠BAC=90°．

∵，BC=2得到，

∴，

即==，

∴===．

故答案为：．

【点评】：本题主要考查平面向量的数量积运算，根据三角形的边长关系确定三角形的内角关系以及的关系是解决本题的关键，考查学生的运算能力．

13．（5分）已知抛物线y2=2x的焦点为F，过F点作斜率为的直线交抛物线于A，B两点，其中第一象限内的交点为A，则=3．

【考点】：抛物线的简单性质．

【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】：根据题意，求得抛物线的焦点为F（，0），得到直线AB的方程为y=（x﹣）．将直线AB方程与抛物线y2=2x消去x，得到y2﹣y﹣1=0，解出点A、B的纵坐标，进而可得的值．

【解析】：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵抛物线y2=2x的焦点为F（，0），直线AB经过点F且斜率k=，

∴直线AB的方程为y=（x﹣），

将直线AB方程与抛物线y2=2x消去x，

可得y2﹣y﹣1=0，

∵点A是第一象限内的交点，

∴解方程得y1=，y2=﹣．

因此=3．

故答案为：3

【点评】：本题给出经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求线段AF、BF的比值．着重考查了抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．

14．（5分）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={a1，a2，a3}，A?S，a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3且a3﹣a2≤5，那么满足条件的集合A的个数为55．

【考点】：集合的包含关系判断及应用．

【专题】：集合．

【分析】：从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C83个，再把不符合条件的去掉，就得到满足条件的集合A的个数．

【解析】：解：从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C83个，

其中A={1，2，8}不合条件，其它的都符合条件，

所以满足条件的集合A的个数C83﹣1=55．

故答案为：55

【点评】：本题考查元素与集合的关系，解题时要认真审题，仔细思考，认真解答．

选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分．

15．（5分）如图，在极坐标下，写出点P的极坐标．

【考点】：极坐标系．

【专题】：坐标系和参数方程．

【分析】：如图所示，连接OP．由OA是圆的直径，可得∠P=90°，利用直角三角形的边角关系可得ρ=|OP|=2sin60°，即可得出．

【解析】：解：如图所示，连接OP．

由OA是圆的直径，则∠P=90°，

∴ρ=|OP|=2sin60°=，

∴点P的极坐标为．

故答案为：．

【点评】：本题考查了直角三角形的边角关系、极坐标的求法，属于基础题．

【选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）

16．方程|x﹣1|﹣|x|+|x+1|=m有四个解，则m的取值范围为（1，2）．

【考点】：函数的图象与图象变化．

【专题】：函数的性质及应用．

【分析】：根据题意可以令f（x）=|x﹣1|﹣|x|+|x+1|，h（x）=m，可以分别画出这两个函数的图象，利用数形结合的方法进行求解；

【解析】：解：∵关于x的方程|x﹣1|﹣|x|+|x+1|=m有四个不同的实数解，

∴令f（x）=|x﹣1|﹣|x|+|x+1|=，h（x）=m，

分别画出函数f（x）和h（x）的图象，

∵要使f（x）的图象与h（x）的图象有两个交点，

如上图直线h（x）=m应该在两条虚线之间，

∴1＜m＜2，

故答案为：（1，2）

【点评】：本题考查了方程根与函数零点之间的关系，也涉及了绝对值方程的应用，利用数形结合的方法进行求解，就会比较简单；

四、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a=2sinA，．（Ⅰ）求边c的大小；

（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

【考点】：余弦定理；正弦定理．

【专题】：解三角形．

【分析】：（Ⅰ）已知第二个等式去分母变形后，利用正弦定理化简，求出cosC的值，确定出C的度数，再利用正弦定理即可求出边c的大小；

（Ⅱ）由c，cosC的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ab的最大值，利用面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

【解析】：解：（Ⅰ）∵++=0，

∴ccosB+2acosC+bcosC=0，

由正弦定理化简得：sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，

即sin（B+C）+2sinAcosC=0，

整理得：sinA+2sinAcosC=0，

∵sinA≠0，

∴cosC=﹣，

∴C=，

∴c==；

（Ⅱ）∵c=，cosC=﹣，

∴cosC=﹣=，

∴a2+b2+ab=3，

∵a2+b2≥2ab，

∴3ab≤3，

∴S△ABC=absinC≤，

则△ABC面积的最大值为．

【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

18．（12分）设

（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

【考点】：利用导数研究函数的单调性．

【专题】：导数的综合应用．

【分析】：（1）先求出函数的定义域及函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，在定义域下令导函数小于0得到函数的递减区间．

（2）求导数，结合函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，得到导函数f′（x）≥0在[2，+∞）上，则可求a的取值范围．

【解析】：解：由于f（x）=x2﹣x﹣lnx（x＞0）

则

令

令

所以f（x）在（0，1）单调递减，在[1，+∞）上单调递增；

（2）

由f′（x）≥0，又x＞0，

所以ax2﹣x﹣1≥0，即

由

所以

即

得．

【点评】：求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．

19．（12分）为了了解某班在全市“一检”中数学成绩的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生的试卷成绩作为样本，他们数学成绩的茎叶图如图所示，其中茎为百位数和十位数，叶为个位数．

（Ⅰ）若该样本男女生平均分数相等，求x的值；

（Ⅱ）若规定120分以上为优秀，在该5名女生试卷中每次都抽取1份，且不重复抽取，直到确定出所有非优秀的女生为止，记所要抽取的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

【考点】：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．

【专题】：概率与统计．

【分析】：（Ⅰ）由该样本男女生平均分数相等，利用茎叶图分别求出男生和女生的平均分数就能求出x的值．

（Ⅱ）由茎叶图知，5名女生中优秀的人数为3人，非优秀的有2人，由题设知ξ=2，3，4，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．

【解析】：（Ⅰ）解：依题意得

解得x=6…（6分）

（Ⅱ）由茎叶图知，5名女生中优秀的人数为3人，非优秀的有2人，

由题设知ξ=2，3，4，

，

，

，

∴ξ的分布列为：

ξ 2 3 4

P

…（12分）

【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查茎叶图的应用，是历年高考的必考题型，解题时要认真审题，注意合理运用排列组合知识．

20．（12分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=AD=2，O为AD上一点，

且AO=1，平面外两点P、E满足，AE=1，EA⊥AB，EB⊥BD，PO∥EA．

（1）求证：EA⊥平面ABCD；

（2）求平面AED与平面BED夹角的余弦值；

（3）若BE∥平面PCD，求PO的长．

【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．

【专题】：空间位置关系与距离；空间向量及应用．

【分析】：（1）由已知条件推导出BD⊥AB，EB⊥BD，从而得到BD⊥平面ABE，再由BD ⊥EA，EA⊥AB，能够证明EA⊥平面ABCD．

（2）以O为坐标原点，以OB为x轴，以OD为y轴，以OP为z轴，建立直角坐标系，利用向量法能求出平面AED与平面BED夹角的余弦值．

（3）设PO=h，则P（0，0，h），求出平面PCD的法向量=（h，，3），由BE∥平面PCD，得到=0，由此能求出PO的长．

【解析】：解：（1）在等腰梯形ABCD中，

∵AD∥BC，AB=BC=CD=，AD=4，

∴BD⊥AB，

又∵EB⊥BD，∴BD⊥平面ABE，

∴BD⊥EA，

又∵EA⊥AB，

∴EA⊥平面ABCD．…（4分）

（2）以O为坐标原点，以OB为x轴，以OD为y轴，以OP为z轴，

如图建立直角坐标系，

由题意知：A（0，﹣1，0），，D（0，3，0），E（0，﹣1，1），

∴=（0，0，1），=（0，4，0），=（﹣，﹣1，1），=（﹣，3，0），

设平面AED的法向量=（x1，y1，z1），则，，

∴，∴平面AED法向量，

设平面BED的法向量=（x2，y2，z2），则，，

∴，∴平面BED法向量为，

设平面PBD与平面PCD所成的角为θ，

由cosθ=|cos＜，＞|=||=，

∴平面AED与平面BED夹角的余弦值为．…（8分）

（3）设PO=h，则P（0，0，h），C（），

∴，=（，2，﹣h），，

设平面PCD的法向量=（x3，y3，z3），则，，

∴，∴平面PCD法向量为=（h，，3），

∵BE∥平面PCD，

∴=2﹣3=0，

解得，

∴PO的长为．…（12分）

（其他方法相应给分）

【点评】：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段长的求法，解题时要注意向量法的合理运用．

21．（13分）单调递增数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n=（a n2+n）．

（1）求a1，并求数列{a n}的通项公式；

（2）设c n=，求数列{c n}的前2n项和T2n．

【考点】：数列的求和．

【专题】：等差数列与等比数列．

【分析】：（1）由题设条件，由n=1能求出a1；再由n≥2列出前n﹣1项和，二者作差后通过化简整理能求出数列{a n}的通项公式．

（2）构造一个新数列，并进行裂项求和，从而对题设条件进行化敏为简，由此入手能够求出数列{c n}的前2n项和T2n．

【解析】：解：（1）∵a1+a2+a3+…+a n=（a n2+n），①

∴当n=1时，，解得a1=1，

当n≥2时，，②

①﹣②并整理，得，

∴，

解得a n﹣a n﹣1=1或a n+a n﹣1=1（n≥2）

又∵{a n}单调递增数列，故a n﹣a n﹣1=1

∴{a n}是首项是1，公差为1的等差数列，

∴a n=n…（6分）

（2）∵c n=，

∴

=n（n+1）+[1×21+3×23+…（2n﹣1）×22n﹣1]+n

记③

④

由③﹣④得，

∴，

，

∴，

，

∴．…（13分）

【点评】：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和裂项求和法的合理运用．

22．（14分）已知双曲线C：，A．B两点分别在双曲线C的两条渐近

线上，且，又点P为AB的中点．

（1）求点P的轨迹方程并判断其形状；

（2）若不同三点D（﹣2，0）、S、T 均在点P的轨迹上，且；求T点横坐标x T 的取值范围．

【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．

【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】：（1）设出A，B的坐标，利用点P为AB的中点，确定坐标之间的关系，根据

，建立方程，化简，即可求点P的轨迹方程．

（2）直线DS、ST分别代入椭圆方程，求出T点横坐标，利用基本不等式，即可求T点横坐标x T的取值范围．

【解析】：解：（1）双曲线渐近线为与．

所以设，，

所以，，

又，

所以点P的轨迹方程为，

所以m=1时P的轨迹为圆；m＞1时P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆；0＜m＜1时P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆；（6分）

（2）把D（﹣2，0）代入，得P的轨迹的…①

设直线DS为y=k（x+2）…②

联立①②得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0

设点S（x1，y1），有，

所以，

则直线ST为

化简为：③

联立①，③得，

所以，

所以=（因为三点不同，易知k≠0）

=

所以x T的取值范围为…（14分）

【点评】：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．