冈萨雷斯_数字图像处理第3版第4章习题 4.16-4.43

4.16 证明连续和离散二维傅里叶变换都是平移和旋转不变的。 首先列出平移和旋转性质：

002(//)00(,)(,)j u x M v y N f x y e F u u v v π+?-- (4.6-3) 002(//)00(,)(,)j x r M y v N f x x y y F u v e π-+--? (4.6-4) 旋转性质：

cos ,sin ,cos ,sin x r y r u v θθω?ω?====

00(,)(,)f r F θθω??+?+ (4.6-5) 证明：由式(4.5-15)得：

由式(4.5-16)得：

依次类推证明其它项。

4.17 由习题4.3可以推出1(,)u v δ?和(,)1t z δ?。使用前一个性质和表4.3中的平移性质证明连续函数00(,)cos(22)f t z A u t v z ππ=+的傅里叶变换是

0000(,)[(,)(,)]2

A

F u v u u v v u u v v δδ=

+++-- 证明：

000000002()2()002()2()2()

2()2()2()2((,)(,)cos(22)[]2

22j ut vz j ut vz j u t v z j u t v z j ut vz j u t v z j u t v z j ut vz j u F u v f t z e dtdz

A u t v z e dtdz

A e e e dtdz A A e e dtdz e e πππππππππππ∞∞

-+-∞-∞

∞

∞

-+-∞-∞

∞∞+-+-+-∞-∞∞∞+-+-+--∞-∞==+=

+=+?

???

????)

00000000(,)(,)22[(,)(,)]2t vz dtdz

A A

u u v v u u v v A

u u v v u u v v δδδδ∞∞+-∞-∞=--+++=--+++?? 4.18 证明离散函数(,)1f x y =的DFT 是

1,0

{1}(,)0,u v u v δ==??==?

?其它

证明：离散傅里叶变换

11

2(//)00

(,)(,)M N j ux M vy N x y F u v f x y e π---+===∑∑

11

2(//)

00

11

2(//)

00

{1}M N j ux M vy N x y M N j ux M vy N x y e e ππ---+==---+==?==∑∑∑∑

如果0u v ==，{1}1?=，否则：

11

00

{1}{cos[2(//)]sin[2(//)]}M N x y ux M vy N j ux M vy N ππ--==?=+-+∑∑

考虑实部，11

00

{1}cos[2(//)]M N x y ux M vy N π--==?=+∑∑，cos[2(//)]ux M vy N π+的值介

于[-1, 1]，可以想象，11

00

{1}cos[2(//)]0M N x y ux M vy N π--==?=+=∑∑，虚部相同，所以

1,0

{1}(,)0,u v u v δ==??==?

?其它

4.19 证明离散函数00cos(22)u x v y ππ+的DFT 是

00001

(,)[(,)(,)]2

F u v u Mu v Nv u Mu v Nv δδ=+++--

证明：

00000011

2(//)

00

11

2(//)

0000

112()2()2(//)00

112()2(//)00(,)(,)cos(22)1[]21{2M N j ux M vy N x y M N j ux M vy N x y M N j u x v y j u x v y j ux M vy N x y M N j u x v y j ux M vy N x y F u v f x y e u x v y e e e e e e πππππππππ---+==---+==--+-+-+==--+-+====+=+=∑∑∑∑∑∑∑∑000000112()2(//)00

11112(//)2(//)2(//)2(//)00000000}1{}21

[(,)(,)]2

M N j u x v y j ux M vy N x y M N M N j Mu x M Nv y N j Mu x M Nv y N j ux M vy N j ux M vy N x y x y e e e e e e u Mu v Nv u Mu v Nv ππππππδδ---+-+==----+-+-+-+====+=+=+++--∑∑∑∑∑∑4.20 下列问题与表4.1中的性质有关。 ★ (a) 证明性质1的正确性。 ★ (b) 证明性质3的正确性。 (c) 证明性质6的正确性。 ★ (d) 证明性质7的正确性。 (e) 证明性质9的正确性。 (f) 证明性质10的正确性。 ★ (g) 证明性质11的正确性。 (h) 证明性质12的正确性。 (i) 证明性质13的正确性。

(a)当)y ,x (f 为实函数，则

()()[][]())

v ,u (F )

N /y v M /x u 2exp()y ,x (f )

N /vy M /ux 2j exp()y ,x (f )N /vy M /ux 2j exp()y ,x (f )v ,u (F 1M 0x 1N 0

y 1M 0x 1

N 0

y *

*

1M 0x 1N 0y *--=-+--=

+=?

?

?

???+-=∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=πππ

(b)当)y ,x (f 为实函数，则)v ,u (jI )v ,u (R )v ,u (F +=和)v ,u (jI )v ,u (R )v ,u (F *

-=并且)v ,u (jI )v ,u (R )v ,u (F --+--=--。而且)v ,u (F )v ,u (F *

--=，所以可以得到：

)v ,u (jI )v ,u (R )v ,u (jI )v ,u (R --+--=-，便是)v ,u (R )v ,u (R --=为偶函数和 )v ,u (I )v ,u (I --=-为奇函数。

(c)当)y ,x (f --为复函数，由下式得：

[]()()11

00*

*

(,)(,)exp(2//)

11

*

00(,)

(,)exp(2//)M N m n f x y f m n j um M vn N M N m n u v m n j um M vn N f F ππ--==?--=+--∑∑===∑∑??

-+????

所以得证；

(d)当*

)y ,x (f 为复函数，由下式得：

()()11

*

*

00

*

*

(,)(,)exp(2//)

1100(,)

(,)exp(2//)M N m n x y x y j ux M vy N M N m n u v f

f

f x y j ux M vy N F ππ--==?

??=-+???

?--=∑∑==--∑∑??

+????

所以得证；

(e)当)y ,x (f 为实函数、奇函数，则)v ,u (F 的实部为0，即为虚数，且也是奇数。

()[][]()[]

[][][]

()()[]()()[]()()[]

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=

--=--=+-=

1M 0x 1M 0x 1M 0x 1

N 0

y 1

N 0

y 1

N 0

y 1M 0x 1N 0

y 1M 0x 1

N 0

y 1M 0x 1

N 0

y even odd even even j 2even odd jodd even jodd even odd )N /vy 2j exp())M /ux (2j exp()y ,x (f )

N /vy M /ux 2j exp()y ,x (f )v ,u (F πππ

由式可知，为虚数。

(f)当)y ,x (f 为虚函数、偶函数，由下式得：

()[]()[]()[]

[][][]

[]()()()()()()[]

()()[]()()[]()()[]∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-+=--=

--=--=+-=

1M 0x 1M 0x 1M 0x 1N 0

y 1N 0

y 1N 0

y 1M 0x 1

N 0y 1M 0x 1N 0

y 1M 0x 1

N 0

y 1M 0x 1

N 0

y even even j odd even 2even even j odd odd odd even j 2even even jeven jodd even jodd even jeven )N /vy 2j exp()M /ux 2j exp()y ,x (jg )

N /vy M /ux 2exp()y ,x (f )v ,u (F πππ

所以F(u ，v)为一虚数。

(g)当)y ,x (f 为虚函数、奇函数，由下式得：

[]()()()()()()[]

[][][]

()()[]()()[]()()[]

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-+=--=

--=

1M 0x 1N 0

y 1M 0x 1M 0x 1N 0

y 1N 0

y 1M 0x 1

N 0y 1M 0x 1

N 0

y even odd j even even 2even odd j jodd even jodd even jodd odd odd odd even j 2even even jodd )v ,u (F

可知，结果为一实数。

(h)当)y ,x (f 为复函数、偶函数，由下式得：

[]

()()()∑∑∑∑

∑∑

-=-=-=-=-=-=+-++-=+-+=+=

1M 0x 1M 0x 1N 0

y ie

1

N 0

y re

1M 0x 1

N 0

y ie

re

ie

re

)

N /vy M /ux 2j exp()y ,x (j )N /vy M /ux 2j exp()y ,x ()

N /vy M /ux 2j exp()y ,x (j

)y ,x ()x ,u (F )

y ,x (j

)y ,x ()y ,x (f f

f

f

f

f

f

πππ由式子可知，前项为实数，而后项为一纯虚偶数。 (i)当)y ,x (f 为复函数、奇函数，由下式得：

[]

()()()∑∑∑∑

∑∑

-=-=-=-=-=-=+-++-=-+=1M 0x 1N 0

y io

1M 0x 1

N 0

y ro

1M 0x 1

N 0

y io

ro

)

N /vy M /ux 2j exp()y ,x (j )N /vy M /ux 2j exp()y ,x ()

N /vy ,M /ux 2j exp()y ,x (j

)y ,x ()v ,u (F f

f

f

f

πππ由式子可知，前项为一偶实函数，后项为一纯虚奇数。

★ 4.21 4.6.6节中在讨论频率域滤波时需要对图像进行填充。在该节中给出的图像填充方法是，在图像中行和列的末尾填充0值(见上面的左图)。如果我们把图

像放在中心，四周填充0值(见上面的右图)，而不改变所用0值的总数，会有区别吗？试解释原因。

答：如下图所示

观察上图，左图是正确的结果，右图是“缠绕错误”引起的卷积错误。这个缠绕错误出现的原因在于没有对图像进行填充，只有通过填充之后获得适当的间距才能得到正确的卷积结果。

关键在于得到“适当的间距”，左右两种填充可以得到相同的结果。

★ 4.22 同一幅图像的两个傅里叶频谱如右图所示。左边的频谱对应于原图像，右边的频谱图像使用0值填充后得到的。解释右图所示的谱沿垂直轴和水平轴方向的信号强度显著增加的原因。

答：除非原图像中所有的边界都是黑色的，用0值填充图像的边界将不可避免地在图像的一条或多条边界上引入灰度值变化的不连续性，即新增了水平“边界”和垂直“边界”，“边界”意味着高频分量，所以，对应到频域中，我们看到了沿垂直轴和水平轴方向的信号强度显著增加的现象。

4.23 由表4.2可知DFT 的直流项(0,0)F 与其对应的空间图像的平均值成正比。假定图像尺寸是M N ?。假如对图像进行0填充后，图像的尺寸为P Q ?，其中P 和Q 分别由式(4.6-31)和式(4.6-32)给出。令(0,0)p F 代表填充后的函数的DFT 的直流项。

★ (a) 原图像平均值和填充后图像平均值的比值是多少？ (b) (0,0)(0,0)p F F =吗？假设从数学角度回答。 解：(a) 图像灰度平均值的计算：

所以

原图像平均值和填充后图像平均值的比值是

(b) 是的，它们相等。解释：

我们知道

结合(a)的结论，可以证明。

4.24 证明表4.2中的周期性质(性质8)

证明：离散傅里叶变换

11

2(//)00

(,)(,)M N j ux M vy N x y F u v f x y e π---+===∑∑

112(//)

00

1

(,)(,)M N j ux M vy N u v f x y F u v e

MN

π--+===

∑∑

11111

2[()//]

100

11

2[//]

00

11

22(//)00

11

2(//)

00

(,)(,)(,)(,)(,)(,)

M N j u k M x M vy N x y M N j ux M k x vy N x y M N j k x

j ux M vy N x y M N j ux M vy N x y F u k M v f x y e f x y e f x y e e f x y e F u v πππππ---++==---++==----+==---+==+=====∑∑∑∑∑∑∑∑

22211

2[/()/]

200

11

2[//]

00

11

22(//)00

11

2(//)

00

(,)(,)(,)(,)(,)(,)

M N j ux M v k N y N x y M N j ux M vy N k y x y M N j k y j ux M vy N x y M N j ux M vy N x y F u v k N f x y e f x y e f x y e e f x y e F u v πππππ---++==---++==----+==---+==+=====∑∑∑∑∑∑∑∑

其它证明类似。

4.25 下列问题与表4.3中的性质有关。

★ (a) 证明一维情况下离散卷积定理的正确性。 (b) 对于二维情况，重复(a) (c) 证明性质9的正确性。 (d) 证明性质13的正确性。

(注意：习题4.18、习题4.19和习题4.31也与表4.3有关)

证明：(a) 一维情况下离散卷积定理的证明 由(4.4-10)以及一维离散傅里叶变换的定义可知

1

0()()()()M m f x h x f m h x m -==-∑★ (4.4-10)

一维傅里叶变换：

1

2/0()(),0,1,2,...,1M j ux M x F u f x e u M π--===-∑ (4.4-6)

12/0

1

()(),0,1,2,...,1M j ux M

u f x F u e x M M

π-==

=-∑

(4.4-7)

而：

所以：

(b) 由(a)可知

(c) 矩形波rect[a, b]的傅里叶变换： 性质9 ()

sin()sin()[,]j ua vb ua ub rect a b ab

e ua ub

πππππ-+?

(d) 证明性质13的正确性。 性质13 2

2

222

22

22()

()/22t z u

v A e Ae πσ

σπσ-+-+?

4.26 (a) 证明连续变量t 和z 的连续函数(,)f t z 的拉普拉斯变换满足下列傅里叶变换对[拉普拉斯变换的定义见式(3.6.3)]：

2222(,)4()(,)f t z u v F u v π??-+

(提示：研究表4.3中的性质12并参阅习题4.25(d))

★ (b) 前面闭合显示的表达式仅适用于连续变量。然而，使用M N ?滤波器

222(,)4()H u v u v π=-+

它可能是离散频率域实现拉普拉斯的基础，2

22

(,)4()

H u v u v π=-+，

0,1,2,...,1u M =-，0,1,2,...,1v N =-。解释您怎样实现这个滤波器。

(c) 正如您在例4.20中看到的那样，频率域的拉普拉斯结果类似于使用中心系数为-8的空间模板的结果。请说明频率域拉普拉斯结果与中心系数为-4的空间模板的结果不同的原因。

(a) 证明：由第3章可知，两个连续变量的拉普拉斯函数(,)f t z 定义为

根据表4.3中的性质12，可得拉普拉斯函数的傅里叶变换为

得证。

(b) 答：由前面的推导可以看出，拉普拉斯滤波器适用于连续变量。对离散傅里叶变换，我们可以通过对拉普拉斯函数进行采样来构造相应的滤波器：

其中，0,1,2,...,1u M =-，0,1,2,...,1v N =-。

当傅里叶变换是圆形形式时，频域的拉普拉斯滤波器可以表示为

总之，对空域和频域之间的变换，我们使用以下拉普拉斯傅里叶变换对：

核心思想是：离散的拉普拉斯傅里叶变换是通过对连续的拉普拉斯傅里叶变换进行采样得到的。

(c) 由于拉普拉斯变换是各向同性的，如果空域中的模板包含了对角分量，则拉普拉斯变换的对称性的近似程度更大。所以，相比于中心系数为-4的空间模板，中心系数为-8的空间模板更加类似于频率域的拉普拉斯结果。

★ 4.27 考虑大小为55?的空间模板，它平均与点(x, y)最靠近的12个邻点，但平均值排除该点本身。

(a) 在频率域找出与其等价的滤波器(,)H u v 。 (b) 证明您的结果是一个低通滤波器。

解：为了节省时间，以下不用55?， 而根据英文版习题答案进行回答 空域的均值(中心点除外)为

由表4.3中的性质3可得：

其中

(b) 为了解释这是一个低通滤波器，我们先将这个滤波器表示为中心形式

为了便于解释，我们先考虑一个变量。当u 从0增加到M-1时，

c o s (2[/2]/u M

M π-的值从-1增加到1，又从1减小到-1，当/2u M =时，达到

最大值1。因此，越远离中心点，该滤波器的值越小，这就是低通滤波。 4.28 基于式(3.6.4)，近似二维离散微分的一种方法是计算形如

(1,)(1,)2(,)f x y f x y f x y ++--和(,1)(,1)f x y f x y ++-的差。

(a) 在频率域找出与其等价的滤波器(,)H u v 。 (b) 证明您的结果是一个高通滤波器。

(a) 解：根据离散傅里叶变换DFT 的定义和表4.3性质3可得

2/2/(1,)(1,)2(,)(,)(,)2(,)

j u M

j u M

f x y f x y f x y e

F u v e

F u v F u v ππ-++--?+-

所以

(1,)(1,)2(,)

(,)(,)

f x y f x y f x y H u v F u v ++--?

其中

2/2/(,)2

2[cos(2/)1]

j u M j u M H u v e e u M πππ-=+-=-

(b) 为了解释这是一个高通滤波器，我们先将这个滤波器表示为中心形式

(,)2{cos[2(/2)/]1}H u v u M M π=--

当u 从0增加到M-1时，cos[2(/2)u M π-的值最初为-1，在/2u M =时为1，在

1u M =-时为-1，(,)H u v 的值从-4变到0，再从0变到-4。所以，越靠近中心点，(,)

H u v 的幅度越小，因此，这是一个高通滤波。

4.29 找出一个等价的滤波器(,)H u v ，它在频率域实现使用图3.37(a)中的拉普拉斯模板

执行的空间操作。 解：滤波函数如下：

正如4.28，

其中，

将频率转移到中心点，

当

时

。越远离中心点，

的

幅度越大。最重要的一点在于：直流分量被滤除，保留了高频分量，所以这是一个高通滤波器。

4.30 您能想出一种使用傅里叶变换计算(或分部计算)用于图像差分的梯度幅度[见式(3.6-11)]的方法吗？如果您的回答是可以，那么请给出一种方法去实现它。如果您的回答是不可以，请解释原因。

答：(,)()M x y mag f =?= (3.6-11)

无法通过傅里叶变换进行上式的计算，因为傅里叶变换是一个线性过程，而该式中涉及到平方和平方根等非线性计算。我们能够利用傅里叶变换计算差值，但是，不能用其处理平方、平方根、绝对值等运算，只能在空域里面处理这些运算。 ★ 4.31 在连续频率域中，一个连续高斯低通滤波器有如下传递函数：

2

2()

(,)u

v H u v e -+=

证明相应的空间域滤波器是

2

222()

(,)t z h t z e π

π-+=

证明：

4.32 如式(4.9-1)说明的那样，从低通滤波器的传递函数得到高通滤波器的传递函数HP H 是可能的：

1HP LP H H =-

使用习题4.31中给出的信息，回答空间域高斯高通滤波器是什么形式？ 解：对HP H 进行傅里叶反变换得

2

222()

(,)(,)t z HP h t z t z e π

δπ-+=-

4.33 考虑右侧所示的图像。右侧的图像是通过如下步骤得到的：(a) 用()(1)x y +-乘

以左侧的图像；(b) 计算DFT ；(c) 取该变换的复共轭；(d) 计算反DFT ；(e) 用()(1)x y +-乘以结果的实部。(从数学上)解释为什么右边的图像会出现该现象。

证明：取共轭的傅里叶逆变换：

11

'

*2(//)00

112(//)*00

112(//)00

112[()/()/]001(,)(,)1[(,)]1(,)1(,)(,)

M N j ux M vy N u v M N j ux M vy N u v M N j ux M vy N u v M N j u x M v y N u v f x y F u v e MN F u v e MN F u v e MN F u v e MN f x y ππππ--+==---+==---+==---+-=======--∑∑∑∑∑∑∑∑ 所以变换后的图像与原图像关于原点对称。

4.34 图4.41(b)的水平轴上近似周期性的亮点的来源是什么？ 答：这些亮点的来源是左图中左下角等间距的垂直线条。

★ 4.35 图4.53中的每一个滤波器在其中心处都有一个很强的尖刺，解释这些尖刺的来源。

答：这是由于高通滤波器的频域表示为1HP LP H H =-

式中的1，逆变换会空间与是一个冲击响应(,)x y δ，因此，空域上的中心处出现了一个尖刺。

4.36 考虑下面所示的图像。右边的图像是对左边图像用高斯低通滤波器进行低通滤波，然后用高斯高通滤波器对其结果再进行高通滤波得到的。图像大小为

420344?，两个滤波器均使用了025D =。

(a)

解释右侧图像中戒指的中心部分明亮且实心的原因，考虑滤波后图像的支配