2015年全国高考文科数学试题及答案-广东卷

绝密★启用前 试卷类型：B

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）

A ．{}0,1-

B ．{}0

C ．{}1

D ．{}1,1-

【答案】C

【解析】

试题分析：{}1M N =，故选C ．

考点：集合的交集运算．

2. 已知i 是虚数单位，则复数()2

1i +=（ ）

A ．2-

B ．2

C ．2i -

D ．2i

【答案】D

考点：复数的乘法运算．

3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）

A ．2sin y x x =+

B ．2cos y x x =-

C ．122x x

y =+

D ．sin 2y x x =+

【答案】A

【解析】

试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数

()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为

()()()()2

2cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x x f x =+

的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222

x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ． 考点：函数的奇偶性．

4. 若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤??+≥??≤?

，则23z x y =+的最大值为（ ）

A ．10

B ．8

C ．5

D ．2

【答案】C

考点：线性规划．

5. 设C ?AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =（ ）

A B ．2 C ． D ．3

【答案】B

【解析】

试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-??即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．

考点：余弦定理．

6. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）

A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交

B ．l 与1l ，2l 都相交

C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交

D ．l 与1l ，2l 都不相交

【答案】A

考点：空间点、线、面的位置关系．

7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）

A ．0.4

B ．0.6

C ．0.8

D ．1

【答案】B

【解析】

试题分析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中

任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件

A =“恰有一件次品”

，则()60.610

P A ==，故选B ． 考点：古典概型． 8.已知椭圆22

2

125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2

【答案】C

【解析】 试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．

考点：椭圆的简单几何性质．

9. 在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ?A =（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】D

【解析】

试题分析：因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ?A =?+?-=，故选D ．

考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．

10. 若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，

(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则

()()card card F E +=（ ）

A ．50

B ．100

C ．150

D ．200

【答案】D

考点：推理与证明．

二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）

（一）必做题（11~13题）

11. 不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示）

【答案】()4,1-

【解析】

试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．

考点：一元二次不等式．

12. 已知样本数据1x ，2x ，???，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，???，21n x +的均值为 ．

【答案】11

考点：均值的性质．

13. 若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-，则b = ．

【答案】1

【解析】

试题分析：因为三个正数a ，b ，

c 成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，

所以1b =，所以答案应填：1．

考点：等比中项．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）

14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为

2x t y ?=??=??（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4-

【解析】

试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为2

8y x =，由228x y y x +=-??=?得：24x y =??=-?

，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-． 考点：

1、极坐标方程化为直角坐标方程；

2、参数方程化为普通方程；

3、两曲线的交点．

15. （几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为

C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为

D ．若4AB =，C

E =，则

D A = ．

【答案】3

考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．

三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．

()1求tan 4πα??

+ ???的值； ()2求2sin 2sin sin cos cos 21

ααααα+--的值．

【答案】（1）3-；（2）1．

考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.

17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．

()1求直方图中x 的值；

()2求月平均用电量的众数和中位数；

()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？

【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．

【解析】

试题解析：（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++?=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075

考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.

18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =

，C 3B =．

()1证明：C//B 平面D P

A ；

()2证明：C D B ⊥P ；

()3求点C 到平面D P A 的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3． 【解析】

试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B

?平面D P A ，D A ?平面D P A ，所以C//B 平面D P A

（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，C B ?平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为

D P ?平面DC P ，所以C D B ⊥P

（3）取

CD 的中点E ，连结

AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在Rt D ?PE 中，PE ===DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ?平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ?平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h

，因为C D CD V V -P

A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ?P A ?A ?=?PE ，

即CD D S h S ?A ?P A ?PE ===，所以点C 到平面D P A

考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.

19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354

a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． ()1求4a 的值；

()2证明：112n n a a +??-???

?

为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式． 【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -??=-? ???．

考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.