2020版高考数学(理)新增分大一轮人教通用版讲义：第八章 立体几何与空间向量 8.7 含解析

§8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

1.用向量表示直线或点在直线上的位置

(1)给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP →

＝t a ，则此向量方程叫做直线l 以t 为参数的参数方程.向量a 称为该直线的方向向量.

(2)对空间任一确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t ，满足等式OP →＝(1－t )OA →

＋tOB →

，叫做空间直线的向量参数方程. 2.用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2.

(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.

(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3.用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0.

概念方法微思考

1.直线的方向向量如何确定？

提示 l 是空间一直线，A ，B 是l 上任意两点，则AB →及与AB →

平行的非零向量均为直线l 的方向向量. 2.如何确定平面的法向量？

提示 设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为?

????

n ·

a ＝0，n ·

b ＝0.

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行.( × )

(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行.( × ) 题组二 教材改编

2.设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________. 答案 α⊥β α∥β

解析 当v ＝(3，－2,2)时， u ·v ＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0?α⊥β. 当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2u ?α∥β.

3.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________.

答案 垂直

解析 以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→

所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.

设正方体的棱长为1， 则A (0,0,0)，M ????0，1，12， O ????12，12，0，N ???

?1

2，0，1， AM →·ON →＝????0，1，12·????0，－12，1＝0， ∴ON 与AM 垂直. 题组三 易错自纠

4.直线l 的方向向量a ＝(1，－3,5)，平面α的法向量n ＝(－1,3，－5)，则有( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l 与α斜交 D.l ?α或l ∥α

答案 B

解析 由a ＝－n 知，n ∥a ，则有l ⊥α，故选B.

5.已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2,3,5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( ) A.α∥β

B.α⊥β

C.α，β相交但不垂直

D.以上均不对 答案 C

解析 ∵n 1≠λn 2，且n 1·n 2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β既不平行，也不垂直. 6.已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A.(－1,1,1) B.(1，－1,1) C.?

??

?

－

33，－33，－

33 D.??

??

33，33，－

33 答案 C

解析 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量，AB →＝(－1,1,0)，AC →

＝(－1,0,1)， 则?????

n ·AB →＝0，n ·

AC →＝0，化简得?????

－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，∴x ＝y ＝z .故选C.

题型一 利用空间向量证明平行问题

例1 如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，

E ，

F ，

G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：PB ∥平面EFG .

证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ，

∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2，0,0)，C (2,2,0)， D (0,2,0)，P (0，0,2)，E (0,0,1)， F (0,1,1)，G (1，2,0).

∴PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →

＝(1,1，－1)， 设PB →＝sFE →＋tFG →，

即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)， ∴????

?

t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，

解得s ＝t ＝2，∴PB →＝2FE →＋2FG →

，

又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →

共面. ∵PB ?平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . 引申探究

若本例中条件不变，证明平面EFG ∥平面PBC . 证明 ∵EF →＝(0,1,0)，BC →

＝(0,2,0)， ∴BC →＝2EF →

，∴BC ∥EF .

又∵EF ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ， 同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC . 又EF ∩GF ＝F ，EF ，GF ?平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .

思维升华 利用空间向量证明平行的方法

跟踪训练1

如图，在三棱锥P ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.

求证：MN ∥平面BDE .

证明

如图，以A 为原点，分别以AB →，AC →，AP →

的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.由题意，可得A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，P (0，0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，

M (0,0,1)，N (1,2,0).

DE →＝(0,2,0)，DB →

＝(2,0，－2).

设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的一个法向量， 则?????

n ·DE →＝0，n ·

DB →＝0，即?????

2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨设z ＝1，

可得n ＝(1,0,1).又MN →＝(1,2，－1)，可得MN →

·n ＝0. 因为MN ?平面BDE ，所以MN ∥平面BDE .

题型二 利用空间向量证明垂直问题

命题点1 证明线面垂直

例2 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .

证明 方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.

令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →

＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，

则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→

＝a －c ，

m ＝λBA 1→＋μBD →

＝????λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·???

?????λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4????λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→

⊥m ，结论得证. 方法二 取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形， 所以AO ⊥BC .

因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AO ?平面ABC ， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.

取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB ，OO 1，OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)， A (0,0，3)，B 1(1,2,0).

设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1,2，3)，BD →

＝(－2,1,0). 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →

，

故?????

n ·BA 1→＝0，n ·

BD →＝0，即???

－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，

令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，

故n ＝(1,2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1,2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→

∥n ， 故AB 1⊥平面A 1BD . 命题点2 证明面面垂直

例3 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB .

求证：平面BCE ⊥平面CDE . 证明 设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，

以A 为原点，分别以AC ，AB 所在直线为x 轴，z 轴，以过点A 垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，

则A (0,0,0)，C (2a ,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a ,0)， E (a ，3a ,2a ).

所以BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a ,0，－a )，CD →＝(－a ，3a ,0)，ED →

＝(0,0，－2a ). 设平面BCE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由n 1·BE →＝0，n 1·BC →＝0可得

??

? ax 1＋3ay 1＋az 1＝0，

2ax 1－az 1＝0， 即???

x 1＋3y 1＋z 1＝0，2x 1－z 1＝0.

令z 1＝2，可得n 1＝(1，－3，2).

设平面CDE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由n 2·CD →＝0，n 2·ED →＝0可得

??

?

－ax 2＋3ay 2＝0，

－2az 2＝0，

即???

－x 2＋3y 2＝0，z 2＝0.

令y 2＝1，可得n 2＝(3，1,0).

因为n 1·n 2＝1×3＋1×(－3)＋2×0＝0. 所以n 1⊥n 2，

所以平面BCE ⊥平面CDE .

思维升华 利用空间向量证明垂直的方法

跟踪训练2 如图所示，已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：

(1)P A ⊥BD ；

(2)平面P AD ⊥平面P AB .

证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，

∵平面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形， 平面PBC ∩底面ABCD ＝BC ，PO ?平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .

以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝3，

∴A (1，－2,0)，B (1,0,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0，3)， ∴BD →＝(－2，－1,0)，P A →

＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD →， ∴P A ⊥BD .

(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ????12，－1，3

2.

∵DM →＝????32，0，32，PB →

＝(1,0，－3)，

∴DM →·PB →＝3

2×1＋0×0＋32×(－3)＝0，

∴DM →⊥PB →

，即DM ⊥PB .

∵DM →·P A →＝3

2×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，

∴DM →⊥P A →

，即DM ⊥P A .

又∵P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ?平面P AB ， ∴DM ⊥平面P AB .

∵DM ?平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB . 题型三 利用空间向量解决探索性问题

例4 (2019·锦州模拟)如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.

(1)求证：EF ⊥CD ；

(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论.

(1)证明 如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

设AD ＝a ，则D (0,0,0)， A (a ,0,0)，B (a ，a ,0)， C (0，a ,0)，E ????a ，a

2，0， P (0,0，a )，F ????

a 2，a 2，a 2.

EF →＝????－a 2，0，a 2，DC →

＝(0，a ,0). ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .

(2)解 设G (x ,0，z )，则FG →

＝????x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则需FG →·CB →＝0，且FG →·CP →

＝0， 由FG →·CB →＝????x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ,0,0) ＝a ????x －a 2＝0，得x ＝a

2

； 由FG →·CP →＝????x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22

＋a ????

z －a 2＝0，得z ＝0. ∴G 点坐标为????a 2，0，0，即G 为AD 的中点.

思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.

跟踪训练3 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED .

(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；

(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

(1)证明 ∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2， ∴P A 2＋AD 2＝PD 2，即P A ⊥AD .

又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，AD ，CD ?平面ABCD ， ∴P A ⊥平面ABCD .

(2)解 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，E ????0，23，13，AC →＝(1,1,0)，AE →

＝????0，23，13. 设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????

n ·AC →＝0，n ·

AE →＝0， 即?????

x ＋y ＝0，

2y ＋z ＝0，

令y ＝1，则n ＝(－1,1，－2).

假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →

(0≤λ≤1)， 使得BF ∥平面AEC ，则BF →

·n ＝0. 又∵BF →＝BC →＋CF →

＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ) ＝(－λ，1－λ，λ)，

∴BF →

·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12

，

∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点.

1.若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,1,1)，则( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l ?α或l ∥α D.l 与α斜交

答案 C

解析 ∵a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,1,1)， ∴a ·n ＝0，即a ⊥n ， ∴l ∥α或l ?α.

2.若a ＝(2,3，m )，b ＝(2n,6,8)，且a ，b 为共线向量，则m ＋n 的值为( ) A.7 B.5

2 C.6 D.8

答案 C

解析 由a ，b 为共线向量，知n ≠0且22n ＝36＝m

8，

解得m ＝4，n ＝2，则m ＋n ＝6.故选C.

3.已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A.P (2,3,3) B.P (－2,0,1) C.P (－4,4,0) D.P (3，－3,4)

答案 A

解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →

＝(1,4,1)，

∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内. 4.如图，F 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，E 是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有( )

A.B 1E ＝EB

B.B 1E ＝2EB

C.B 1E ＝12EB

D.E 与B 重合 答案 A

解析 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，F (0,1,0)，D 1(0,0,2)，设E (2,2，z )，则D 1F →＝(0,1，－2)，DE →

＝(2,2，z )，∵D 1F →·DE →

＝0×2＋1×2－2z ＝0， ∴z ＝1，∴B 1E ＝EB .

5.设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量.若α⊥β，则t 等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C

解析 ∵α⊥β，∴u ·v ＝－2×6＋2×(－4)＋4t ＝0，∴t ＝5.

6.已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →

＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝________.

答案

257

解析 由条件得????

?

3＋5－2z ＝0，x －1＋5y ＋6＝0，

3(x －1)＋y －3z ＝0，

解得x ＝407，y ＝－157，z ＝4，∴x ＋y ＝407－157＝25

7

.

7.(2018·呼和浩特质检)已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是___________________. 答案 α∥β

解析 设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由m ·AB →

＝0，得x ·0＋y －z ＝0，即y ＝z ， 由m ·AC →＝0，得x －z ＝0，即x ＝z ，取x ＝1， ∴m ＝(1,1,1)，m ＝－n ，∴m ∥n ，∴α∥β.

8.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →

.其中正确的是________.(填序号) 答案 ①②③

解析 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →

＝0， ∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确； 又AB ∩AD ＝A ， ∴AP ⊥平面ABCD ，

∴AP →

是平面ABCD 的法向量，则③正确； ∵BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →

＝(－1,2，－1)， ∴BD →与AP →

不平行，故④错误.

9.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和为________.

答案 1

解析 以D 1为原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，

则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，F (0,0,1－y )，B (1,1,1)， ∴B 1E →＝(x －1,0,1)，FB →

＝(1,1，y )，∵B 1E ⊥平面ABF ， ∴FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1，0,1)＝0，即x ＋y ＝1.

10.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝1

2PD .证明：平面PQC ⊥

平面DCQ .

证明 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长度，DA ，DP ，DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz .

由题意得Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)， 则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →

＝(1，－1,0). ∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC . 又DQ ∩DC ＝D ，DQ ，DC ?平面DCQ ， ∴PQ ⊥平面DCQ ，又PQ ?平面PQC ， ∴平面PQC ⊥平面DCQ .

11.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点.

(1)证明：AC ⊥BC 1； (2)证明：AC 1∥平面CDB 1.

证明 因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长分别为AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，所以△ABC 为直角三角形，AC ⊥BC .

所以AC ，BC ，C 1C 两两垂直.

如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)， A (3,0,0)，B (0,4,0)，C 1(0,0,4)，A 1(3,0,4)，B 1(0,4,4)，D ????32，2，0. (1)因为AC →＝(－3,0,0)，BC 1→

＝(0，－4,4)， 所以AC →·BC 1→＝0，所以AC ⊥BC 1.

(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，则E (0,2,2)，DE →＝????－32，0，2，AC 1→

＝(－3,0,4)， 所以DE →＝12

AC 1→

，DE ∥AC 1.

因为DE ?平面CDB 1，AC 1?平面CDB 1， 所以AC 1∥平面CDB 1.

12.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直，M 为AA 1的中点，N 为BC 1的中点.求证：

(1)MN ∥平面A 1B 1C 1； (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .

证明 由题意，知AA 1，AB ，AC 两两垂直，

以A 为坐标原点，分别以AA 1，AB ，AC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方形AA 1C 1C 的边长为2，

则A (0,0,0)，A 1(2,0,0)，B (0,2,0)，B 1(2,2,0)， C (0,0,2)，C 1(2,0,2)，M (1,0,0)，N (1,1,1). (1)由题意知AA 1⊥A 1B 1，AA 1⊥A 1C 1，

又A 1B 1∩A 1C 1＝A 1，A 1B 1，A 1C 1?平面A 1B 1C 1， 所以AA 1⊥平面A 1B 1C 1.

因为AA 1→＝(2,0,0)，MN →

＝(0,1,1)， 所以MN →·AA 1→＝0，即MN →⊥AA 1→. 又MN ?平面A 1B 1C 1， 故MN ∥平面A 1B 1C 1.

(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). 因为MB →＝(－1,2,0)，MC 1→

＝(1,0,2)， 所以?????

n 1·MB →＝0，n 1·

MC 1→＝0，即?????

－x 1＋2y 1＝0，

x 1＋2z 1＝0，

令x 1＝2，则平面MBC 1的一个法向量为n 1＝(2,1，－1). 同理可得平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2＝(0,1,1). 因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0， 所以n 1⊥n 2，所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .

13.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )

A.(1,1,1)

B.??

??

23，23，1 C.??

?

?

22，22，1 D.??

?

?24，24，1 答案 C

解析 设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，∵AM ∥平面BDE ，且AM ?平面ACEF ，

平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ， ∴AM ∥EO ，

又O 是正方形ABCD 对角线的交点，∴M 为线段EF 的中点. 在空间直角坐标系中，E (0,0,1)，F (2，2，1). 由中点坐标公式，知点M 的坐标为??

?

?22，22，1. 14.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝

2a

3

，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )

A.相交

B.平行

C.垂直

D.MN 在平面BB 1C 1C 内

答案 B

解析 以点C 1为坐标原点，分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由于A 1M ＝AN ＝

2a 3

， 则M ????a ，2a 3，a 3，N ????2a 3，2a

3，a ， MN →

＝????－a 3，0，2a 3. 又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，

所以C 1D 1—→

＝(0，a,0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量. 因为MN →·C 1D 1—→＝0，

所以MN →⊥C 1D 1—→

，又MN ?平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .

15.如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若AM ⊥MP ，则点P 形成的轨迹长度为________.

答案

72

解析 以O 点为坐标原点，OB ，OS 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则A (0，－1,0)，B (0,1,0)， S ()0，0，3，M ?

??

?

0，0，

32， 设P (x ，y,0)，

∴AM →＝????0，1，32，MP →

＝????x ，y ，－32，

由AM →·MP →

＝y －34＝0，得y ＝34

，

∴点P 的轨迹方程为y ＝3

4.根据圆的弦长公式，可得点P 形成的轨迹长度为2

1－????342＝72.

16.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点.

(1)求证：B 1E ⊥AD 1；

(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由. (1)证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→

的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设AB ＝a .

则A (0,0,0)，D (0,1,0)， D 1(0,1,1)，E ????a 2，1，0， B 1(a ,0,1)，

故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →

＝????－a 2，1，－1. 则B 1E →·AD 1→

＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，

所以B 1E →⊥AD 1→， 所以B 1E ⊥AD 1.

(2)解 存在满足要求的点P ， 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，

使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →

＝(0，－1，z 0)， 再设平面B 1AE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z ). AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝????a 2，1，0. 因为n ⊥平面B 1AE ，

所以n ⊥AB 1→，n ⊥AE →

，得?????

ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0，

取x ＝1，则y ＝－a

2

，z ＝－a ，

则平面B 1AE 的一个法向量n ＝????1，－a

2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →

，即a 2－az 0＝0，

解得z 0＝1

2

.

所以棱AA 1上存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝1

2

.