广西玉林高中、南宁二中2011届高三9月联考(数学理)

玉林高中、南宁二中

2010年高三9月联考

数学试题（理科）

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式

P (A +B )=P (A )+P (B ) 24S R π=

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径

P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是

3

3

4R V π=

球

P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 其中R 表示球的半径

次的概率k

n k k n n P P C k P --=)1()(

一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。）

1．已知全集U=R ，集合23{|log [(1)(7)9]2},{|

0},7

U x C A x x x B x x -=--+>=<-则

A B ?=

（ ）

A ．（1，2）∪（3，6）

B ．(3,6]

C ．（2，3）

D ．（6，7）

2．二次函数2

14

y x =的图象是抛物线，其焦点的坐标是 （ ）

A ．（1，0）

B ．1

(0,)4

C ．（0，1）

D ．1(0,)16

3．若将函数5sin()(0)6

y x πωω=+

>的图象向右平移3

π

个单位长度后，与函数sin()4

y x π

ω=+

的图象重合，则ω的最小值为 （ ）

A ．

74

B ．

23

C ．

12

D ．13

4．在6

2

2

(1)(1)x x x +-+的展开式中，含6

x 项的系数为

（ ）

A ．8

B ．9

C7

D ．1

5．已知地球半径为R ，在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两城市，甲在东经70°的经度圈耻，

乙在东经160°的经度圈上。则甲、乙两城市的球面距离为 （ ）

A ．

34R π

B ．

23

R π C ．

2

R π

D ．

3

R π

6．每天上午有4节课，下节有2节 课，安排5门不同的课程，其中安排一门课连在一起上，

则一天不同课表的种数为 （ ）

A ．96

B ．120

C ．480

D ．600

7．若2

2

ln 6ln 2,ln 2ln 3,4

4

a b c π===

，则,,a b c 的大小关系是

（ ）

A ．b a c <<

B ．a b c <<

C ．c b a <<

D ．c a b << 8．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且

7453

n n

A n

B n +=+，则使得

n n

a b 为正偶数时，n 的值是

（ ）

A ．1

B ．5

C ．2或10

D ．3或11

9．已知偶函数()log ||a f x x b =+在（0，+∞）上单调递减，则(2)f b -与(1)f a +

的大

小关系是

（ ）

A ．(2)(1)f b f a -<+

B ．(2)(1)f b f a ->+

C ．(2)(1)f b f a -≤+

D ．(2)(1)f b f a -=+

10．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，12AA AB =，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与

CD 1所成的角的余弦值为

（ ）

A

．

10

B ．

15

C

．

10

D ．35

11．双曲线2212

2

:

1x y C a

b

-

=的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为12,F F ，抛物线C 2的准线

为l ，焦点为F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，线段PF 2的中点为M ，O 是坐标原点，则

112||||||

||

O F O M PF PF ==

（ ）

A ．-1

B ．1

C ．12

- D ．12

12

．

已

知

(

)

,f x g x 都是

定

义在R 上的函数，

()0,()(g x f x g x f x g x ''≠<(

1)(

1)5

()(),(

1)(1)2

x

f f f x a

g x

g g -=+=

-

，在有穷数列(){

}(1,2,,10)()

f n n

g n = 中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于

6364的概率是（ ）

A ．15

B ．25

C ．35

D ．45

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。 13．在A B C ?中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c

，且2

2

2

tan B a c b

=

+-，则角B 的大

小是 。

14．在平面直角坐标系中，若不等式组10

10

(10x y x a ax y +-≥??

-≤??-+≥?

为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a = 。 15．过椭圆

222

2

1(0)x y a b a

b

+

=>>的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，

若0

1260F P F ∠=，则椭圆的离心率为 。

16．关于函数2()()1||

x f x x R x =

∈+的如下结论：①()f x 是偶函数；②函数()f x 的值域为

（-2，2）；③若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠④函数|(1)|f x +的图象关于直线1x =对称；其中正确结论的序号有 。（请将你认为正确的结论的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）

已知A B C

?1,sin sin.

A B C

+=

且

（1）求边AB的长；

（2）若A B C

?的面积为1

sin

2

C，求角C的度数。

18．（本小题满分12分）

为了控制甲型H1N1流感病毒传播，我市卫生部防疫部门提供了批号分别为1、2、3、4的4个批号疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，为便于观察，每个区只能从中任选一个批号的疫苗进行接种。

（1）求三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率；

（2）记三个区中选择疫苗批号相同的区的个数为ξ，求ξ的数学期望。

19．（本小题满分12分）

已知在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD

?是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点。

（1）求证：E F⊥平面PAD；

（2）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；

（3）若M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平

面EFG 所成角的正弦值等于

5

？

20．（本小题满分12分）

已知函数22()ln ().f x a x ax x a R =-++∈

（1）我们称使()0f x =成立的x 为函数的零点，证明：当1a =时，函数()f x 只有一个

零点；

（2）若函数()f x 在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a 的取值范围。

21．（本小题满分12分）

设向量(0,2),(1,0)a b ==

，过定点(0,2)A -，以a b λ+ 为方向向量的直线与经过点B （0，2），以向量2b a λ-

为方向向量的直线相交于点P ，其中.R λ∈

（1）求点P 的轨迹C 的方程；

（2）设过E （1，0）的直线l 与C 交于两个不同点M 、N ，求EM EN ?

的取值范围。

22．（本小题满分12分）

设数列{}n a 满足：*

1112,().n n n

a a a n N a +==+

∈

（1）证明：n a >*

n N ∈恒成立；

（2）令*

)

n a b n N =∈，判断n b 与1n b +的大小，并说明理由。

参考答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1—5BCABD 6—10CADAC 11—12CB 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．

233

π

π或

14．3a =

15．

3

16．②③ 三、解答题：（本大题共6小题） 17．（本小题满分12分） 解：（1）由题意及正弦定得，得

1AB BC AC ++=

，BC AC +=

两式相减，得AB=1

（2）由A B C ?的面积11sin sin 2

6BC AC C C ??=

得13

B C A C ?=

由余弦定得，得2

2

2

22

()21cos 222

AC BC AB

AC BC AC BC AB

C AC BC

AC BC

+-+-?-==

=

??

所以C=60° 18．（本小题满分12分） 解：（1）三个区选择疫苗的批号的种数是3

464=…………2分

恰好有两个区选择的疫苗批号相同种数是2

34236C A =…………3分

三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率是916

P =

……6分

（2）选择疫苗批号相同的区的个数ξ可能的取值为0，2，3…………8分

3

4339(0),(2)4

8

16

A P P ξξ===

==

1

431(3)16

4

C P ξ==

=

…………10分

（或者91913(2),(3),(0)116

16

16

16

8

P P P ξξξ======--=）

ξ分布列是

391210238

16

16

16

E ξ=?+?+?

=…………12分

19．（本小题满分12分）

方法1：（1）证明： 平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， A B ∴⊥平面PAD ，…………2分 E 、F 为PA 、PB 的中点

//,EF AB EF ∴

∴⊥平面PAD ；…………4分

（2）解：过P 作AD 的垂线，垂足为O ， 平面PAD ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD ，

连OG ，以OG ，OD ，OP 为,,x y z 轴建立空间坐标系，…………6分 4,2PA PD AD O P O D

O A ===∴===

得A （

0，-2，0），B （4，-2，0），C （4，2，0

），D （0，2，0），P （0，0，

(0,1,(2,(4,0,0)E F G -- 故(2,0,0),(4,1,EF EG ==

设平面EFG 的一个法向量为(,,)n

x y z =

则20040

0x n E F x y n E G ?=??=??

??+-=?

?=???

即

取1,z =得…………7分

平面ABCD 的一个法向量为1(0,0,1)n =

平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值是：

1111|cos ,||

|||||

2

n n n n n n ?<>==，锐二面角的大小是60°…………8分

（3

）解：设,(,2,0),(2D M x M x M F x =-=-

则

设MF 与平面EFG 所成角为θ

则sin |cos ,|

|5

||||

n M F

n M F n M F θ?=<>===

?

13,x x M == 或靠近A ，1x ∴=…………10分

∴1当AM=1时，MF 与平面EFG

5

……12分

方法2：（1）证明：过P 作PO AD ⊥于O ， 平面PAD ⊥平面ABCD

则PO ⊥平面ABCD ，选OG ，以OG ，OD ，OP 为,,x y z 轴建立空间坐标系，……2分

4,2PA PD AD O P O D AO ===∴===

得(0,2,0),(4,2,0),(4,2,0),(0,2,0),(0,0,A B C D P --，

(0,1,(2,(4,0,0)E F G --

故(2,0,0),(0,4,0),(0,2,EF AD PD ===-

0,0EF AD EF PD ?=?=

E F ∴⊥平面PAD …………4分

（2

）解：(2,0,0),(4,1,EF EG ==

设平面EFG 的一个法向量为(,,)n x y z =

则20040

0x n E F x y n E G ?=??=??

??+-=?

?=???

即

取1,(0,z n ==得…………7分

平面ABCD 的一个法向量为1(0,0,1)n =……[以下同方法1] 方法3：（1）证明： 平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD

AB ∴⊥平面PAD …………2分

E 、

F 为PA 、PB 的中点， //

E F A B E F ∴∴⊥平面PAD ；…………4分

（2）解：//,//,EF HG AB HG HG ∴ 是所二面角的棱……6分 //,HG EF HG ∴⊥ 平面PAD ，

,,DH HG EH HG ∴⊥⊥

EH A ∴∠是二面角的平面角，等于60°；…………8分

（3）解：过M 作MK ⊥平面EFG 于K ，连结KF ， 则K FM ∠即为MF 与平面EFG 所成角…………10分 因为AB//EF ，故AB/平面EFG ，故AB/的点M 到平面EFG 的距离等于A 到平面EFG

的距离

H G ⊥ 平面PAD ，∴平面EFGH ⊥平面PBD 于EH ，

∴A 到平面EFG 的距离即三角形EHA 的高，等于

即MK=

5

FM FM

∴== 在直角梯形EFMA 中，AE=EF=2 13AM AM ∴==或，M 靠近A ， 1AM ∴=…………11分

∴当AM=1时，MF 与平面EFG 所成角正弦值等于

5

…………12分

20．（本小题满分12分）

解：（1）当1a =时，2

()ln f x x x x =-++，其定义域为（0，+∞）

2

121

()21x x f x x x

x

--'=-++

=-

，令()0f x '=

解得112

x x =-

=或

又0,1,101x x x >=<< 故当时，()0f x '>

当1x >时，()0f x '<，∴函数()f x 在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，

当1x =时，函数()f x 取得最大值，即max ()(1)0f x f ==，

所以函数()f x 只有一个零点…………5分

（2）因为22()ln f x a x ax x =-++，其定义域为（0，+∞）

所以2

2

2

121

(21)(1)

()2a x ax ax ax f x a a x

x

x

-++-+-'=-++

==

（1）当0a =时，1()0f x x

'>

所以()f x 在区间（0，+∞） 上为增函数，不合题意…………7分

（2）当0a >时，()0(0)(21)(1)0(0)f x x ax ax x '<>+->>等价于

即1x a

>

，此时，()f x 的单调减区间为1(

,)a

+∞，依题意

得11, 1.0a a a ?≤?≥??>?

解之得…………9分 （3）当0a <时，()0(0)(21)(1)0(0)f x x ax ax x '<>+->>等价于

即12x a

>-

，此时()f x 的单调减区间为1(,)2a

-

+∞，依题意

得1

1

1,.20

a a a ?≤?≤-??

解之得

综上所述，实数a 的取值范围是1(,][1,)2

-∞-

?+∞……12分

21．（本小题满分12分） 解：（1）设(,),(0,2),(1,0)P x y a b ==

(0,2)(1,0)(,2),2(1,0)2(0,2)(1,4)a b b a λλλλλλ∴+=+=-=-=-

……2分

过定点A （0，-2），以a b λ+

方向向量的直线方程为：2(2)0x y λ-+= 过定点B （0，2），以2b a λ- 方向向量的直线方程为：420x y λ+-=

联立消去λ得：2284,x y +=∴求点P 的轨迹C 的方程为2284x y +=……5分

（2）当过E （1，0）的直线l 与x 轴垂直时，l 与曲线C 无交点，不合题意

∴设直线l 的方程为：(1),y k x l =-与曲线C 交于1122(,),(,)M x y N x y

由2222

2

2

(1)(8)24084y k x k x k x k x y =-??+-+-=?+=?……7分

4222

122

2

122

44(8)(4)02848k k k k k x x k k x x k ?

??=-+->?-<

+=?+?

?-=?+?

1122(1,),(1,)EM x y EN x y =-=-

1122121212(1,)(1,)1EM EN x y x y x x x x y y ∴?=-?-=--++

2

2

2

2

121212122

2

421(1)(1)(

1)8

8

k k

x x x x k x x x x k k k -=--++--+=+-

+++

2

2

2

2

4(1)284,088

8

k k k k +=

=-

≤<++

EM EN ∴? 的取值范围是19

[,)24

…………12分 22．（本小题满分12分）

解：（1）证法一：当1n =

时，12a =>

假设n k =

时，k a >2分 当1n k =+

时，1k a +>

综上由数学归纳法可知，n a >6分 证法二：当1n =

时，12a =>=

假设n k =

时结论成立，即k a >2分）

当1n k =+时，

由函数1()(1)f x x x x

=+

>的单增性和归纳假设有

11k k k

a a a +=+

>+

4分

+

≥

而这等价于2

123021

k k +≥+?

≥+

显然成立，所以当1n k =+是，结论成立，

综上由数学业归纳法可知，n a >

6分

证法三：由递推公式得2

2

12

112n n n a a a --=++

22

22

12212

21

1122n n m

a a a a a a --=++

=++

……2分

上述各式相加并化简得22

2

12

2

1

1

112(1)22(1)n n a a n n a a +=+-+

++

>+-

222111(2)n n n =+>+++≥…………4分

又1n =

时，n a >

故*

)n a n N >

∈……6分

（2

）解法一：12

11(1)

(121

n n

n

b a b n a +==+<+

+8分

121

2

n n =

=

=

<++

…………10分

又显然*0()n b n N >∈，故1n n b b +<成立…………12分

解法二：1n n a a b b +-=

-

2

1)]n n n

a a a a =

+

-

=

=-

11)]n ≤-+-+（由（1）的结论）……8分

(21)]n =

+-+……10分

(1)]n =

+

0=

<

所以1n n b b +<…………12分 解法三：2

2

2

2

2211

211(2)1

1n n n n n

n

n

a a a b

b a n n

n n

a

++-=

-

=

+

+-

++……8分

2

2

1111

21(2)(2)1

1

21

n n

a n n n

n n n

a +=

+

-

<

+

-

+++…………10分

1

1

1(

)0121

n n n =

-<++

故221n n b b +<，因此1n n b b +<…………12分