Aircraft SATCOm Handet
4-Wire Jetphone Telephone Handset Manual
Document Number 500330
?Copyright 2002 International Communications Group, Inc. 200 Enterprise Drive Newport News, VA 23603-1300 U.S.A.
REVISION HISTORY REVISION A B COMMENT Initial Issue Changed per ECO 1334, Added new model Incorporate WH-10 standard and modify dwg. 9388WXYZ per ECO 1354 & 1424 DATE 8/16/02 1/23/03 8/19/03
Table of Contents
1.0 GENERAL 1.1 Description…………………………………………………………………………. 1.2 Models …………………………………………………………………………….. 2.0 OPERATION 2.1 To place an outbound call…………………………………………………………… 2.2 Answering an inbound call….………………………………………………………. 2.3 New call…..………………………………………………………………………… 2.4 Pilot (Phone installed in cabin or attendant handset)………………………………... 2.5 Hold……..………………………………………………………………………….. 2.6 Last number redial (LNR)……………………………………………………………. 2.7 Speed dialing………………………………………………………………………… 2.8 Programming speed dial buttons and numbers……………………………………… 2.9 Jetphone with credit card reader…………………………………………….……….. 2.10 Jetphone with dual telecom / interphone operation……………………….……….... 2.11 Adjusting earpiece volume…….………………………………………….…………. 2.12 PTT Switch……………………………………………………….…………………. 3.0 INSTALLATION 3.1 Connections………………………………………………………………………… 3.2 Wiring……………………………………………………………………………… 3.3 Cradle Mounting……………………………………………………………………
1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 5 5 5 6 6
4.0 ELECTRICAL SPECIFICATIONS 4.1 Power circuit characteristics………………………………………………………… 7 4.2 Telephone circuit characteristics ……………………………………………………..7 4.3 Audio characteristics …………………………………………………………………7 4.4 Cable requirements…………………………………………………………………... 7 4.5 Special features ………………………………………………………………………7 4.6 Applications …………………………………………………………………………7 4.7 Physical specifications ……………………………………………………………….7 4.8 DO-160D tests……………………………………………………………………… 8 5.0 APPENDICIES 5.1 Drawings - Jetphone mounting dimensions ………………………………………….9 5.2 Wiring to Honeywell SAT-COM ……………………………………………………13 5.3 Wiring to Collins SAT-Com ………………………………………………………...14
5.4 5.5
Cal Quest AMSC Transceiver Magnastar CBDR 4-wire ports
………………………………………………………15 ……………………………………………………..17
1.0 1.1
GENERAL Description
The ICG Jetphone, Model 938800A-B is a four-wire intelligent handset offering special features yet replicating the convenience and simplicity of a conventional telephone. The device is an aeronautical approved handset, favored by pilots because of its positive latching mechanism, lit DTMF dialer and display, and familiar operation. Additionally, the Jetphone has several features: ear-piece volume control, push to talk (PTT), speed dialing, special functions keys such as redial, new call, flash, and mute that make it a versatile device suitable for many applications. Typical applications for the Jetphone are: flight deck handset, handset for direct connection to sat-com terminals, attendant handsets, and cabin bulkhead mount handsets. The Jetphone can be customized with special operations buttons to provide special features as requested by the customer. It requires 28VDC aircraft power or operates on 12VDC when powered from a CTU or other source. The device is constructed out of fire retardant material with an ergonomic design that provides a familiar feel similar to a cellular style handset. The standard handset color is black but custom colors are available upon request. 1.2 Models
The Jetphone comes in black color in a standard configuration. However, several options are available such as: microphone muting activated by the PTT key (typically for military applications or high noise environments), special function key printing and operation, special external signals such as PA system key signal, and custom colors upon request. The model number for the required device is defined as follows:
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MODEL 938800A-B 938800A-C 938800A-W 938800C-B 938800C-C 938800C-W 938810A-B 938810A-C 938810A-W 938810C-B 938810C-C 938810C-W 938803A-B 938803A-C 938803A-W
VOLTAGE 12VDC 12VDC 12VDC 12VDC 12VDC 12VDC 28VDC 28VDC 28VDC 28VDC 28VDC 28VDC 28VDC 28VDC 28VDC
COLOR Black Cream White Black Cream White Black Cream White Black Cream White Black Cream White
FEATURE Standard Standard Standard Credit Card Reader Credit Card Reader Credit Card Reader Standard Standard Standard Credit Card Reader Credit Card Reader Credit Card Reader IHC / Telecom Mod IHC / Telecom Mod IHC / Telecom Mod
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2.0
OPERATION
The Jetphone operates similar to a standard telephone device. Functions such as initiating calls, answering inbound calls and disconnecting calls are accomplished using familiar procedures. Special function keys are provided to add conveniences and added features. 2.1 To Place an Outbound Call
Remove the handset from the cradle by pressing up on the two release tabs on the side of the handset. Dial the destination telephone number and wait for the call to connect. Press the “New Call” button to place a new call, or if a call is misdialed. 2.2 Answering an Inbound Call
The telephone handset will ring on an inbound call. To answer the call, simply remove the handset from the cradle and the calling party will be on the line. 2.3 New Call
The ICG Jetphone has a special function button labeled “New Call”. This button, when pressed, will disconnect a call in progress and after two seconds provide dial tone to permit a new call. It obviates the requirement to hang up the handset after every call. 2.4 Pilot (Phone Installed in Cabin or Attendant Handset)
When pressed, this button will dial the extension for the cockpit. This button operates as a speed dial button and must be programmed with the cockpit extension to operate correctly. The button’s name can be changed to reflect a different location other than “Pilot”. 2.5 Hold
The “Hold” button, when pressed, places a call on-hold and mutes the audio so that no communications is possible between the handset and the other party. To release the “Hold” feature, press the Hold button again to restore the call. 2.6 Last Number Redial (LNR)
When pressed, the “LNR” button will redial the last number that was dialed form the handset. 2.7 Speed Dialing
Speed dialing is typically programmed into the user handsets. Instructions for programming the ICG Jetphone are described below. To dial a pre-programmed speed dial number, press the “Speed Dial” button and enter the two-
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digit memory location that contains the destination telephone number that is to be dialed. The number will be displayed on the LCD display. If this is the number to be dialed press the “#” button and the handset will dial the destination number. Press “3” to scroll up in the speed dial directory or press “9” to scroll down in the directory. Pressing the “#” key will dial the number displayed on the screen at any time. 2.8 Programming Speed Dialing Buttons and Numbers
The ICG Jetphone has two facilities for storing speed dial numbers. A single button, typically labeled, “Pilot” is used to speed dial the extension for the flight deck handset. This needs to be programmed with the extension number assigned to the cockpit handset. The other facility is to store up to 99 telephone numbers into the handset that can be recalled by entering a twodigit code and then dialed. 2.8.1 Programming Pilot Button This button is programmed as speed dial location “99" and pressing this button will automatically dial the digits programmed into this speed dial address. The procedure is as follows: - Determine the extension number of the flight deck telephone. - Take the Jetphone handset off-hook and press the “New Call” button. - Once new dial tone is received, press the “Speed Dial” button. - Dial the two digit short code “99”. - Dial “*” and monitor that the “New Number” prompt is displayed. - Enter the three digit code for the flight deck extension followed by a “#”. - Hang up the phone or press the “New Call” button. The handset is now programmed to dial the flight deck extension once the “Pilot” button is pressed. 2.8.2 Programming Speed Dial Locations As mentioned up to 99 numbers can be stored for speed dialing purposes. Each number is assigned a two digit code, example “01,02,03…99”. Programming these numbers is as follows: - Take the Jetphone handset off-hook and press the “New Call” button. - Once new dial tone is received, press the “Speed Dial” button. - Dial the two digit short code that you wish to program“01, 02, 03, etc. - Dial “*” and monitor that the “New Number” prompt is displayed. - Enter the complete telephone number that you wish to enter including dialing prefix
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(1, 011, 00 as required) followed by any country code requirement, city code, telephone number, etc. followed by a “#”. - Hang up the phone or press the “New Call” button. - Either hang up the handset or proceed with the next speed dialing memory location.
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2.9
Jetphone with Credit Card Reader
ICG offers the standard Jetphone with a credit card magnetic stripe reader attached. This is typically installed where outbound calls are to be billed to the caller or other account and not to the aircraft. The operation of the telephone is as described above except that after the destination number is dialed, the caller will be prompted to swipe a credit card through the card reader. The procedure is very simple; simply swipe the card from top to bottom. If the card was swiped correctly a small green LED will light. If the card was not read correctly, a voice prompt from the network will request the card to be swiped again. 2.10 Jetphone with Dual Telecom / Interphone Operation
ICG offers a model of the Jetphone where the same handset can be used for both inbound and outbound calling and also as an attendant handset to make PA announcements and for Interphone use. This phone has a special function button labeled “Telecom”. It requires a special relay switching assembly provided by ICG. In its normal mode, the telephone operates as an attendant handset for cabin announcements and to call other attendant handsets or the cockpit via the aircraft’s Interphone system. If the handset is off-hook and the Telecom button is pressed, the audio connections will be switched from the Interphone Controller to the communications transceiver or CTU device, permitting placing outbound calls or answering inbound calls. 2.10.1 Interphone Operation
Take handset off hook and dial the Interphone code to select the PA system to make announcements, or to select another attendant handset or the flight deck. When PA is selected, press the PTT (push to talk) switch on the handset to make announcements. When calling is complete, insert the handset back into the cradle. 2.10.2 Telecom Operation
Remove the handset from the cradle and press the Telecom button. Dial tone will be received from the Sat-Com transceiver and outbound calling or answering an inbound call is permitted. When calling is complete, insert the handset into the cradle. Once the handset is hung-up, the Jetphone reverts to Interphone mode, the default condition for the handset. 2.10.3 Answering Ground to Air Calls
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In many cases the CTU or Sat-Com Terminal system is configured to ring the attendant handset on inbound calls. To answer an inbound call, the procedure is as follows: Remove ringing handset from cradle. Press the Telecom button and the call will be answered. The call can then be transferred to another handset by pressing the Flash button and dialing the extension number of the destination handset (providing the CTU or Sat-Com provides this feature). 2.11 Adjusting Earpiece Volume
A rotary roller knob located on the side of the handset permits increasing or decreasing the earpiece volume. Turning this knob clockwise will increase the volume, turning it counter clockwise will decrease the received audio volume. 2.12 PTT Switch
In particular models, a rocker switch on the side of the handset is available to activate the PTT function for special features. This function is model and application specific and can be used for several different requirements. Typically it is used to activate the PA system for cabin announcements, key a radio for transmission or in applications where the microphone is muted, permit microphone audio. 3.0 3.1 INSTALLATION Connections
The Jetphone telephone has a 15 pin male “D” connector that mates to a female mating connector which is typically connected to a Sat-Com Transceiver, Interphone system, HF Radio or CTU system. This connection provides power, receive and transmit audio, hook signal, incoming ring signal, PTT if used, ground and any special signaling requirements. The connector signal designations are shown in “Appendix Fig. 2.
PIN 1 2 3 4 5 6 SIGNAL Shield Earpiece Audio Hi Earpiece Audio Lo Microphone Hi Microphone Lo Incoming Ring TRANSCEIVER Shield Rcv. Audio Hi Rcv. Audio Lo TX Audio Hi TX Audio Lo Ring signal Ring Signal (Ground) 600 Impedance REMARK Tied to AirFrame 600 Impedance
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7 8 9 10 11 12 13 14 15
Hook Status Power 28VDC Return Power +28VDC PTT Contact 1 PTT Contact 2 IHC/ Telecom Sig. N/C N/C N/C
Detect Hook Status Aircraft Power Aircraft Power Ground IHC or HF Radio ICG Switch Assy.
Off-Hook (Ground)
Usually tied to Grnd. Activates PTT Enables Relay
Notes 1) Both contacts of the PTT switch are available for connection to an external device. Typically the “PTT Contact 1” pin is tied to ground when used to activate the PA keying function. 2) If 12VDC is used for phone power, the connections are the same as the 28VDC connections. 3) The Earpiece Lo and Mic Lo are frequently tied to common ground when the transceiver circuits are compatible with this mode of operation. 4) Ring signal – the Jetphone can be configured to operate either with a cadence ring signal provided by the transceiver or a continuous ring signal. If a continuous ring signal is applied, the Jetphone will ring at a cadence until the signal is removed or the handset is taken off-hook. 5) The IHC signal pin can be assigned to a function key that when pressed can activate a special function. It is frequently used in conjunction with the ICG IHC / CTU switching assembly to activate a relay to switch the handset connections to a CTU or transceiver from the Interphone Handset Controller. 3.2 Wiring
ICG recommends that 22 to 26 AWG stranded wire be used. The cable should be of a type that provides at least four twisted pairs, providing signal connections and a common ground between the connected devices. The common ground can be the shield wires if the transceiver device or CTU ties the signal grounds to the equipment chassis. Required signal pairs are as follows: Pair 1 - +12 or +28VDC
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Pair 2 - TX Audio Pair 3 - RX Audio Pair 4 - Hook Switch and Incoming Ring Signals Note: In the Jetphone the “Hook Switch” and “Incoming Ring” signals are referenced to DC return or ground. For these signals to operate properly, the return path for these signals must be tied to DC ground at the transceiver. 3.3 Cradle Mounting
The cradle is intended to be mounted onto a bulkhead or cockpit wall. Four screws are used to mount the cradle. Figure 1 in the appendix details the dimensions and mounting screw locations. Note: the screw heads must not protrude into the cradle cavity or damage to the handset may result. The screws should be of a diameter to fit inside of the holes provided to accommodate the screws. 4.0 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.4 4.4.1 4.4.2 Pair ELECTRICAL SPECIFICATIONS Power Circuit Characteristics Input Voltage: Current Requirements @ 28VDC: Current Requirements @ 12VDC Telephone Circuit Characteristics Standard 4-wire Audio (TX Pair, RX Pair) Discreet Hook Signal On Hook Resistance Off Hook Resistance Ring Detect signal PTT Relay Contact Closure Audio Characteristics AC Impedance DTMF Dialer Level Band Pass Audio DTMF tone Duration Cable Requirements Telephone Circuit: Power Circuit: 28VDC or 12VDC 65ma. 100ma. 600 Balanced Transformers Ground on Off Hook State 1.2M Less than 10 Detect Ground Active 500ma. Contact Rating 600 -3dbm0 into 600 200Hz to 3300Hz 102ms. Min. 22AWG Stranded Twisted Pairs Min. 22AWG Stranded Twisted
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4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5 4.5.6 4.6 4.6.1 4.6.2 4.7 4.7.1
Special Features Speed Dial, 99 Locations Earpiece volume control LNR (Last Number Redial) New Call Button Flash / Transfer Button Hold Button Applications Flight Deck Handset Attendant Handset Physical Specifications Length: 8.86 In. (225mm) Width : 2.57 In. (65mm) Height: 2.83 In. (72mm) Weight: 1.23 Lbs. (.540Kg)
4.5.7 4.5.8 4.5.9 4.5.10 4.5.11
Fire Retardant Noise Canceling Mic. LCD Display PTT Button (4-wire) Custom Button Features
4.6.3 4.6.4
Bulkhead Mount Cabin Handset Dual Mode Attendant / Coms
4.7.2
10
4.8 4.8.1 4.8.2
DO-160D Tests EMI / RFI Cat. M Test 21.3 Conducted Emissions EMI / RFI Cat. M Test 21.4 Radiated Emissions FAR 25.853 Fire Retardancy
11
B022803-1
A022803-2
A022803-2
A022803-2
英语单词变复数规则
英语单词变复数规则 1.1 名词复数的规则变化 1.一般情况加 -s清辅音后读/s/ map-maps 浊辅音和元音后读 /z/ bag-bags /car-cars 2. 以s, sh, ch, x等结尾加 -es 读 /iz/ bus-buses/ watch-watches 3. 以ce, se, ze,等结尾加 -s 读 /iz/ license-licenses 4. 以辅音字母+y结尾变y 为i再加es 读 /z/ baby---babies 1.2 其它名词复数的规则变化 1）以y结尾的专有名词，或元音字母+y 结尾的名词变复数时，直接加s变复数。例如：two Marys the Henrys monkey---monkeys holiday---holidays 2）以o 结尾的名词，变复数时： a. 加s，如：photo---photos piano---pianos radio---radios zoo---zoos； b. 加es，如：potato--potatoes tomato--tomatoes c. 上述a和b两种方法均可，如zero---zeros / zeroes。 3）以f或fe 结尾的名词变复数时： a. 加s，如：belief---beliefs roof---roofs safe---safes gulf---gulfs； b. 去f,fe 加ves，如：half---halves knife---knives leaf---leaves wolf---wolves wife---wives life---lives thief---thieves； c. 上述a和b两种方法均可，如handkerchief: handkerchiefs / handkerchieves。 1.3 名词复数的不规则变化 1）child---children foot---feet tooth---teeth mouse---mice man---men woman---women 注意：由一个词加man 或woman构成的合成词，其复数形式也是-men 和-women，如an Englishman，two Englishmen。但German不是合成词，故复数形式为Germans；Bowman是姓，其复数是the Bowmans。 2）单复同形，如deer，sheep，fish，Chinese，Japanese ，li，jin，yuan，two li，three mu，four jin等。但除人民币的元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。如：a dollar, two dollars; a meter, two meters。 3）集体名词，以单数形式出现，但实为复数。例如： people police cattle 等本身就是复数，不能说a people，a police，a cattle，但可以说a person，a policeman，a head of cattle, the English，the British，the French，the Chinese，the Japanese，the Swiss 等名词，表示国民总称时，作复数用，如The Chinese are industries and brave.中国人民是勤劳勇敢的。 4）以s结尾，仍为单数的名词，如： a. maths，politics，physics等学科名词，一般是不可数名词，为单数。
复 数 的 运 算 法 则
网易云课堂_C++程序设计入门(下)_第9单元：白公曾咏牡丹芳，一种鲜妍独“异常”_第9单元 - 作业3：OJ编程 - 使用异常进行复数运算的错误处理... 第9单元?-?作业3：OJ编程?-?使用异常进行复数运算的错误处理 查看帮助 温馨提示： 1.本次作业属于Online Judge题目，提交后由系统即时判分。 2.学生可以在作业截止时间之前不限次数提交答案，系统将取其中的最高分作为最终成绩。 在复数的运算中，练习异常处理 依照学术诚信条款，我保证此作业是本人独立完成的。 通过C++内建的异常类，处理复数除法中除数为0 的问题（5分）题目内容请参见【第9单元 - 作业3说明：【OJ - 使用异常进行错误处理】】 时间限制：500ms内存限制：32000kb #include iostream #include exception #include stdexcept #include limits #include cmath
using namespace std; class MyComplex--2. 创建一个类 MyComplex，用来表示复数。 MyComplex(); MyComplex(double a, double b); friend ostream operator (ostream os, const MyComplex z);--4. 重载流插入运算符，使之可以将复数输出为如下的格式(实部如果是非负数，则不输出符号位；输出时要包含半角左右小括号)：friend istream operator (istream is, MyComplex z);--3. 重载流提取运算符，使之可以读入以下格式的输入(两个数值之间使用空白分隔)，将第一个数值存为复数的实部，将第二个数值存为复数的虚部： MyComplex operator+(const MyComplex secondMyComplex);--加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i； MyComplex operator-(const MyComplex secondMyComplex);--减法法则：(a+bi)－(c+di)=(a－c)+(b－d)i； MyComplex operator*(const MyComplex secondMyComplex);--乘法法则：(a+bi)·(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i； MyComplex operator-(const MyComplex secondMyComplex);--除法法则：(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)-(c2+d2)]+[(bc-ad)-(c2+d2)]i. private: double a_;
英语名词单复数用法大全
英语名词单复数用法大全 一、规则名词的复数形式：名词的复数形式，一般在单数形式后面加-s 或 -es。现将构成方法与读音规则列表如下： 1、一般情况在词尾加 -s：map-maps, sea-seas, girl-girls, day-days 2、以 s, x, ch, sh 结尾的名词后加 -es：class-classes, box-boxes, watch-watches, dish-dishes 3、以 -f 或 -fe 结尾的词变 -f 和 -fe 为 v再加 -es： l eaf-leaves, thief-thieves, knife-knives, loaf-loaves, wife-wives ；加 -s： belief-beliefs, chief-chiefs, proof-proofs, roof-roofs, gulf-gulfs 4 、以辅音字母加y 结尾的名词，变y 为 i 加 -es ： party-parties, family-families, story-stories, city-cities 5 、以音辅字母加y 结尾的名词，或专有名词以y 结尾的，加-s toy-toys, boy-boys, day-days, ray-rays, Henry-Henrys 6、以辅音字母加 -o 结尾的名词一般加 -es： hero-heroes, Negro-Negroes, potato-potatoes, tomato-tomatoes；不少外来词加 -s： piano-pianos, photo-photos, auto-autos, kilo-kilos, solo-solos 两者皆可： zero-zeros/zeroes, volcano-volcanoes/ volcanos 7 、以元音字母加-o 结尾的名词加-s： radio-radios, bamboo-bamboos, zoo-zoos 8 、以 -th 结尾的名词加-s： truth-truths, mouth-mouths, month-months, path-paths 二、不规则名词复数： 英语里有些名词的复数形式是不规则的，现归纳如下： 1、改变名词中的元音字母或其他形式： man-men, woman-women, foot-feet, goose-geese, mouse-mice 2、单复数相同：sheep, deer, series, means, works, fish, species li, yuan, jin, 3、只有复数形式：ashes, trousers, clothes, thanks, goods, glasses, compasses, contents 4、一些集体名词总是用作复数：people, police, cattle, staff 5、部分集体名词既可以作单数（整体）也可以作复数（成员）： audience, class, family, crowd, couple, group, committee, government, population, crew, team, public, enemy, party 6、复数形式表示特别含义：customs(海关 ), forces( 军队 ), times( 时代 ), spirits( 情绪 ), drinks( 饮料), sands(沙滩 ), papers(文件报纸 ), manners(礼貌 ), looks( 外表 ), brains( 头脑智力 ), greens(青菜), ruins( 废墟 ) 7、表示“某国人”加 -s： Americans, Australians, Germans, Greeks, Swedes, Europeans；单复 数同形 Swiss, Portuguese, Chinese, Japanese；以 -man 或-woman 结尾的改为 men,-women，Englishmen, Frenchwomen 8、合成名词将主体名词变为复数：sons-in-law, lookers-on, passers-by, story-tellers, boy friends ； grown-ups, housewives, stopwatches ；将两部分变为复无主体名词时将最后一部分变为复数： 数： women singers, men servants
英语单词变复数
一般情况加-s 1.清辅音后读/s/; map-maps 2.浊辅音和元音后bag-bags 读/z/; car-cars 以s,sh,ch, x等结尾的词加-es 读/iz/ bus-buses ，watch-watches 以ce,se,ze, (d)ge等结尾的词加-s 读/iz/ license-licenses 以辅音字母+y 变y 为i 结尾的词再加es 读/z/ baby---babies 名词复数的不规则变化 1）child---children foot---feet tooth---teeth mouse---mice man---men woman---women 注意：与man 和woman构成的合成词，其复数形式也是-men 和-women。 如：an Englishman，two Englishmen. 但German不是合成词，故复数形式为Germans；Bowman是姓，其复数是the Bowmans。 2）单复同形如： deer，sheep，fish，Chinese，Japanese li，jin，yuan，two li，three mu，four jin 但除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。如: a dollar, two dollars; a meter, two meters 3）集体名词，以单数形式出现，但实为复数。 如：people police cattle 等本身就是复数，不能说a people，a police，a cattle，但可以说a person，a policeman，a head of cattle,the English，the British，the French，the Chinese，the Japanese，the Swiss 等名词，表示国民总称时，作复数用。如：The Chinese are industries and brave. 中国人民是勤劳勇敢的。 4）以s结尾，仍为单数的名词，如：a. maths，politics，physics等学科名词，为不可数名词，是单数。 b. news 是不可数名词。 c. the United States，the United Nations 应视为单数。 The United Nations was organized in 1945. 联合国是1945年组建起来的。 d. 以复数形式出现的书名，剧名，报纸，杂志名，也可视为单数。 "The Arabian Nights" is a very interesting story-book. <<一千零一夜>>是一本非常有趣的故事书。 5) 表示由两部分构成的东西，如：glasses (眼镜) trousers, clothes 若表达具体数目，要借助数量词pair(对，双); suit(套); a pair of glasses; two pairs of trousers 6）另外还有一些名词，其复数形式有时可表示特别意思，如：goods货物，waters 水域，fishes（各种）鱼
复数的四则运算教学设计
《复数的四则运算》教学设计 吕叔湘中学 黄国才 【教学目的】1、初步理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 2、会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 3、了解复数中共轭复数的概念 【教学重点】：会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 【教学难点】：理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 【教学过程】： 一、 问题情景： 问题1： 由初中学习我们可以知道： （2+3x ）+(1-4x)=3-x 猜想： （2+3i ）+(1-4i)= ？ 二、 建构数学 1、复数减法的运算法则 问题 2：用字母表示数，你可以表示复数的运算法则和运算律吗？ (1)运算法则:设复数z 1=a+bi,z 2=c+di,（a,b,c,d ∈R ）那么： z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 显然，两个复数的和仍是一个复数，复数的加法法则类似于多项式的合并同类项法则。 (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有： z 1+z 2=z 2+z 1, (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 2、复数减法的运算法则 定义：把满足(c+di )+(x+yi) = a+bi 的复数x+yi （x,y ∈R ），叫做复数a+bi 减去复数c+di 的差，记作：x+yi ＝(a+bi )－(c+di) 由复数的加法法则和复数相等定义，有c+x=a ， d+y=b 由此，x=a －c ， y=b －d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a －c) + (b －d)i 显然，两个复数的差仍然是一个复数 由此可见： 两个复数相加(减)就是把实部与实部，
英语名词改复数的方法
名词复数变化规则和读音： 1．一般在名词的词尾加“s”，清辅音后读/s/ 浊辅音和元音后读/z/ 例如：books, pens, classrooms，map-maps，boy-boys，girl-girls，pen-pens等等。cats 猫rooms 房间horses 马trees 树roses 玫瑰 2．以s, x, sh, ch结尾的名词在词尾加“es”，读/iz/ 例如：classes, boxes, brushes, dishes, watches, buses，classes，foxes ，lashes 鞭子，pushes 推力，branches 树枝、分支，matches 火柴、比赛，coaches 教练，gases 气体，asses 驴子但也有例外，如：stomach—stomachs等等。 3．以辅音字母加“y”结尾的名词应改“y”为“i”，再加“es”，读/z/ 例如：cities, universities)，factories，baby---babies，city-cities，country-countries，families 家庭，ponies 小马 但以y结尾的专有名词，或元音字母+y 结尾的名词变复数时，直接加s变复数。 例如：two Marys，the Henrys，monkey---monkeys，holiday---holidays，boys, toys 4．以“f”和“fe”结尾的名词应改“f”和“fe”为“ves” 例如：shelf—shelves架子，knife—knives，leaf---leaves叶，wolf---wolves狼，wife---wives 妻子life---lives，thief---thieves小偷，calf---calves 小牛，half---halves 一半但也有例外 如：roof—roofs屋顶，cliff—cliffs（悬崖），hoof—hoofs（马蹄），belief—beliefs（信仰），chief—chiefs（首领），proof—proofs(证明)，safe—safes(保险箱)，reef—reefs(礁)，gulf---gulfs 海湾 还有一些该类名词的复数形式有两种变化形式的 例如：scarf—scarfs/scarves（头巾）, dwarf—dwarfs/dwarves（矮子）, wharf—wharfs/wharves(码头), handkerchief—handkerchiefs/handkerchieves(手帕)等等。 5．以“o”结尾的名词的复数形式一般在词尾加“es” 例如：hero—heroes英语, echo—echoes(回音)，potato—potatoes马铃薯，tomato—tomatoes西红柿，mango---mangoes 芒果，volcano---volcanoes 火山，negro---negroes 黑人， cargo---cargoes 货物，buffalo---buffaloes 水牛，mosquito---mosquitoes 蚊子 但以字母o结尾的外来词或缩写词的复数形式是只加S， 例如：zoo—zoos, radio—radios, piano—pianos钢琴, photo—photos, memo—memos(备忘录), solo—solos(独唱、独奏), kilo—kilos(公斤)，kimono—kimonos（和服），bamboo---bamboos 竹子，kangaroo---kangaroos 袋鼠，mulatto---mulattos 白黑混血儿， 6. 如果名词结尾是一个元音(即a,e,i,o,u) 加y，那只则在单数词后加一个s就行了。 play plays 戏剧 way ways 小路 valley valleys 山谷 donkey donkeys 驴
复 数 的 运 算 法 则
复数基础——复数的基本运算_2 回顾复数 复数的基本运算 回顾复数 将下列数字写成复数形式： ?简单复习一下，复数是包含实数部分和虚数部分的数。 如果有a+bi，a是实数，b是实数，这是复数。a是实部，bi是虚数部分（注：虚部不包括i）。 为什么bi是虚部？因为bi带有特殊系数i，这个虚数单位，这个特殊的数i，在这里乘以了b。我相信大家都会觉得怪诞，不过根据定义：?在此之前，不存在对某个数取平方后得到-1，现在取i的平方，得到-1，关于虚数（单位）的特别的知识点是它的平方是负数。复数有用之处在于它使我们有能力解决很多方程，这些方程在只允许实数解的情况下无解。复数在很多方面都有用，特别是在工程领域，还有其他领域，比如物理等等。现在，我们不会花很多心思讨论复数定义，在大家处理更多数字后，特别是接触到某些工程应用后，希望大家明白虚数的价值。 回到问题中来，把上面的数字写成复数形式。 ?怎么把它写成复数呢？把它写成实部和虚部的组合。可以写成： -21 = -21+0i ?0i等于0，所以它仍等于-21，实际上这里没有虚部，-21本身就是复数形式，很简单。同样的：
7i是虚数形式的，所以这里没有实部，实部是0，虚部是7i，所以等于0 + 7i。 复数的基本运算 很多时候解方程都会碰到根号下负数的情况，比如根号下-1或者-9：由于如何实数的平方不是0就是正数，所以以上两个数这些没有定义，为了定义这些数，人们引入i的概念，i是虚数单位，i的定义是：这就是解决了根号下负数的问题，这样一来，根号下-9是多少呢？它等于i乘以根号9，即3i， 为什么，想想3i平方是多少？ 这是指数性质。所以，这样的定义就拓展到了，所有负数开根号的情况： 3i是所谓的虚数，它其实也不比其他数“虚”，某种意义上，负数真的存在吗？只不过是将负号放在前面表示抽象含义，负号只是表示它和大小的关系。任何数乘以虚数单位i都是虚数。解二次方程时，你会发现结果有时会实数和虚数并存（有实数部分和虚数部分），举个例子：这不能化简了，因为实数和虚数不能相加，大家可以把这当作不同维度，一个数有实部5，还有虚部2i，这叫做复数。复数可以在平面中表示：虚数也就是虚轴，在纵轴2i，上图表示为2个单位。 实数也就是实轴，在实轴5，上图表示为5个单位。 所以这个图形表示为：5+2i。在以后讲复数应用时，我还会举更多例子，现在只需要知道定义即可。看看有什么运算，两复数相加怎么做：a是实部，bi是虚部，另一个复数是：
复数的三角形式的运算(一) 教案示例
复数的三角形式的运算(一)·教案示例 目的要求 1．掌握复数三角形式的乘法运算法则． 2．理解复数三角形式的乘法运算的几何意义，并能简单地应用． 内容分析 1．在代数形式下，两个复数的乘积(a ＋bi)(c ＋di)按照多项式展开，从而得出乘法运算法则．在三角形式下，两个复数的乘积r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)仍可按代数形式(r1cos θ1＋ir1sin θ1)(r2cos θ2＋ir2sin θ2)来计算．但这样运算较繁杂，而且没有体现出三角形式下模与辐角的特征和作用，因此很有必要研究两个复数的乘积的结果(也是一个复数)的模与原来两个复数的模、辐角与原来两个复数的辐角之间的关系． 2．三角形式下两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)与z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)的乘法公式及法则： r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] 即，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于这两个复数的辐角的和． 上述法则中，注意“积的辐角等于这两个复数的辐角的和”指的是积的辐角的集合等于原来两个复数的辐角集合中各自任取一个，求和角，所有和角组成的集合．而积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主 值的和．如－＝π，－＝π，－－＝＝π≠π＋π．arg(i)arg(1)arg[(i)(1)]argi 32232 arg(z1·z2)与argz1、argz2的关系是 arg(z1·z2)＝argz1＋argz2＋2k π(k 取某一整数) 其中整数k 使argz1＋argz2＋2k π∈[0，2π)． 3．根据三角形式的乘法法则，结合向量知识，可以对复数乘法的几何意义解释如下： 在复平面内作出z1、z2对应的向量，将向量按逆时针方向旋转一个角θ2(若θ2＜0，则 按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，所得向量 就表示积z1z2． 也就是说，复数乘法实质上就是向量的旋转和伸缩．旋转方向与角度取决于从另一复数的辐角集中取出来的值，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小． 4．将两个复数相乘的结果推广到有限个复数相乘，即为 r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)·…·rn(cos θn ＋isin θn) ＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)](n ≥2)． 可以用数学归纳法说明： 1°当n ＝2时，乘法公式成立．
复数的运算(一)
课题：4．2复数的运算（一） 教学目的：掌握复数的加法运算及意义 教学重点：复数加法运算． 教学难点：复数加法运算的运算率 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21 i=-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i 3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 4.复数的定义：形如(,) +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复 a bi a b R 数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示* 3. 复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即(,) =+∈，把复 z a bi a b R 数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈，当 a bi a b R 且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都 是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴： ∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表 示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实 轴，y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序
英语单词复数形式的规律
英语单词复数形式的规律 1、名词由单数变复数的基本方法如下： ①在单数名词词尾加s。如：map → maps,boy→ boys,horse→ horses, table→ tables. ②s,o,x ,sh,ch结尾的词加es.如：class→classes, box→boxes, hero→heroes, dish→dishes, bench→benches. [注]：少数以o结尾的词,变复数时只加s。如：photo→photos, piano→pianos. ③以辅音字母加y结尾的名词,变y为i,再加es。如：family→families, city→cities, party→parties. ④以f或fe结尾的名词,变f或fe为v,再加es。如：shelf→shelves, wolf→wolves, life→lives, knife→knives. 2、不规则变化：man→men, woman→women, sheep→sheep,tooth→teeth, fish→fish, child→children, ox→oxen, goose→geese 不可数名词一般没有复数形式,说明其数量时,要用有关计量名词。如：a bag of rice→two bags of rice, a piece of paper→three pieces of paper, a bottle of milk→five bottles of milk. 动名词的规则变化 1 一般情况下，直接在动词后加－ing （现在进行时） eg: work ---- working study ----- studying 2 动词以不发音的－e结尾，要去－e加－ing take ----- taking make ----- making 3 重读闭音节的动词，要双写词尾字母，再 加－ing cut ----- cutting put begin 4 以－ie结尾的动词，把变成y再加－ing lie ----- lying tie ----- tying die ----- dying
英语名词变复数的几种形式
英语名词复数 1. 名词复数的构成方法 (1) 在一般情况下，加词尾-s： book / books pen / pens face / faces 清辅音后读/s/map-maps 浊辅音和元音后读/z/bag-bags car-cars (2) 以s, x, sh, ch 等结尾的名词，通常加词尾-es读/iz/： bus/buses watch/watches box / boxes dish / dishes 注：有些以ch 结尾的名词，由于其发音不是[k] 而是[tF]，那么其复数形式应加词尾–s，如stomach / stomachs 胃。 (3) 以y 结尾的名词，其复数构成要分两种情况： 以“辅音字母+y”结尾的名词，将y 改为ies；读/z/ baby / babies city / cities 以“元音字母＋y”结尾的名词，直接加词尾y”s： boy / boys key / keys 注：以y 结尾的专有名词，若在某些特殊情况下需要复数，通常加s 构成：Mary / Marys 玛丽Germany / Germanys 德国 (4) 以o 结尾的名词，有些加词尾-s，有些加-es，有些加-es -s 或-es 均可：在中学英语范围内，加词尾es 的主要有以下4个： tomato 西红柿，potato 土豆，hero 英雄，Negro 黑人Negro 这样记“黑人英雄他妈偷土豆”， (5) 以f 或fe 结尾的名词，也有两种可能：即有些直接加词尾-s，有些则把 f / fe 改为ves：chief / chiefs 首领roof / roofs 屋顶knife / knives 小刀 注：在中学英语范围内，要改 f / fe 为 ves 的只有以下10个词： thief 小偷wife妻子leaf 树叶knife 小刀half 一半 wolf 狼shelf 架子self 自己life 生命loaf 面包
单词复数形式
单词复数形式 一.规则变化： 1 一般在名词词尾加s， ①map—maps地图，bird—birds鸟， orange—oranges 桔子， bike—bikes自行车； 2 以s, x, ch, sh结尾的名词加es， ①box—boxes盒子，class—classes班级，watch—watches手表，dish-dishes盘，碟子，餐具； 3 以O结尾的名词后面加s或es ①photo—photos相片radio—radios收音机zoo—zoos动物园 2 有生命的加es tomato—tomatoes西红柿potato—potatoes土豆 4 以辅音字母加y结尾的名词，变y为i+es ①baby—babies婴儿family—families家庭； 以元音字母加y结尾的名词直接加s ①boy—boys男孩toy—toys 玩具；
5 以fe或f结尾的名词，把fe或f变为ves ①knife—knives小刀 wife—wives妻子 leaf—leaves树叶 二名词复数的不规则变化 1. child---children foot---feet tooth---teeth mouse---mice man---men woman---women 注意：与man 和woman构成的合成词，其复数形式也是-men 和-women。 如：an Englishman，two Englishmen. 但German不是合成词，故复数形式为Germans；Bowman是姓，其复数是the Bowmans。 2 单复同形如： deer，sheep，fish，Chinese，Japanese li，jin，yuan，two li，three mu，four jin 但除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。如: a dollar, two dollars; a meter, two meters 3集体名词，以单数形式出现，但实为复数。 如：people police cattle 等本身就是复数，不能说 a people，a police，
高考数学复数知识点、公式(最齐全)
数系的扩充和复数概念和公式总结 1.虚数单位: 它的平方等于-1，即 2. 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－ 3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 4.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 即使是也没有大小。 如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 （1）实轴上的点都表示实数
（2）虚轴上的点都表示纯虚数 （3）原点对应的有序实数对为(0，0) 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 8．复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9.复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的加法运算满足交换律和结合律 10.复数z1与z2的乘法运算律：z1·z2= (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 幂运算： 11.复数z1与z2的除法运算律：z1÷z2 =(a+bi)÷(c+di)= （分母实数化） 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。 12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 ， 通常记复数的共轭复数为。例如=3＋5i与=3－5i互为共轭复数 13. 共轭复数的性质 （1）实数的共轭复数仍然是它本身 （2） （3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称 14.复数的两种几何意义： 复数 15几个常用结论 （1），（2） （3），（4） （5）（6） 16.复数的模：若向量表示复数z，则称的模r为复数z的模，复数 的模 17、复数的化简
英文单词单复数
英语单词单数变复数 规则的变化有以下几种： 1. 直接加s。 2. 以s,sh,ch,x结尾的单词要加es。以s结尾的单词要加es，这个应该不会弄错，不然一个单词的复数形式的尾巴就是ss了。但是sh,ch结尾就很容易被忘记，而且因为在he,she,it做主语的一般现在时里，动词也是这种变化，所以一定要记住. 比如 watch->watches(手表;看); finish->finishes....x结尾的倒不是 很多见(如boxes) 3. 以辅音字母加上y结尾的单词,去掉y加上ies. 大家容易忽略的就是y前面一定要是辅音字母才要做这样的变化，像boy就不符合这个条件, 平时记清楚了才不会在考试的时候突然犯迷糊。这种符合条件的例子有：baby->babies....而以y结尾的专有名词,则直接加s 变复数，如the Henrys（亨利一家） 4.以o 结尾的名词，变复数时，大多数都是直接加s, 除了hero, negro,potato,tamato这四个加es. 5.以f或fe 结尾的名词变复数时,可以是加s，如：belief->beliefs，roof->roofs; 也有去f,fe 加ves，如 half->halves,knife->knives,leaf->leaves,wolf->wolves,wife-> wives,life->lives,thief->thieves；没有什么确定的变化规则，去f,fe 加ves常用的都在这里了，多看几眼就记住了吧。还有handkerchief可以有handkerchiefs或者handkerchieves的变化，是特例里面的特例了。名词复数的不规则变化 1）child---children
英语单词复数形式的规律
英语单词复数形式的规律 1．一般情况下，直接加-s，如： books, bags, cats, bed-beds， apples, oranges, bananas, pears, pineapples, 2．以s. x. sh. ch结尾，加-es，如：peach-peaches, bus-buses, box-boxes, brush-brushes, watch-watches, bus→buses, quiz→quizes, fox→foxes, match→matches, flash→flashes 3．以“辅音字母+y”结尾，变y为i, 再加-es，如：family-families, strawberry-strawberries, candy→candies, lady→ladies, story→stories 4.以“元音字母（a,e,i,o,u）+y”结尾，直接加-s，如：boy-boys, toy—toys, two Marys, monkey→monkeys, holiday→holidays, storey→storeys. 5．以“f或fe”结尾，变f或fe为v, 再加-es，如：knife-knives life→lives; leaf→leaves, half---halves, wife---wives, thief---thieves；roof-roofs, belief---beliefs, handkerchief---handkerchiefs / handkerchieves 6.少数以o结尾的词,变复数时只加s。如：photo→photos, piano→pianos, radio—radios, zoo—zoos, 一般以O结尾的名词,+es，如tomato—tomatoes, potato—potatoes， negro→negroes ;hero→heroes 少数+s或+es均可，volcano→volcanoes/volcanos, mango —mangos/mangoes，zero---zeros / zeroes 7．不规则名词复数： man-men, woman-women, policeman-policemen, policewoman-policewomen, mouse-mice，child-children，ox→oxen
英文单词复数s发音
元音字母：a , e , i , o , u 其余均为辅音字母。 可数名词都有单数和复数之分。 一、规则的可数名词的复数变化规则: 1.一般情况加s : book-- books mouth---mouths house---houses girl---girls 2.以s 、sh 、ch 、x结尾的加es : class--- classes box----boxes match----matches 3.辅音字母+ y结尾的变y为i加es: city---cities country----countries party----parties factory----factories 4.以o 结尾的词+es的只有以下词:heroes Negroes tomatoes potatoes zeroes/zeros 以o 结尾并且词尾有两个元音字母+s radios, zoos, bamboos ,(pianos ,kilos photos) 5.以f，fe 结尾的变f或fe为v +es : thief wife life knife wolf half leaf shelf The thief’s wife killed three wolves with some leaves and knives in half of her life. 二、名词词尾的读音规则: A. 在[ p] [t] [k] [f]等清辅音后读[s] cups，hats，cakes，roofs B. 在[s] [z] [∫] [t∫]等音后读[iz] glasses, faces, roses. C.在其他情况下读作[z] beds days cities knives. D.以th结尾的词原来读[θ] 加词尾后多数读[θZ] 如: mouth-mouths path-paths ; 但是也有不变化的，如: month-months, ninth-ninths, youth-youths. 三、不规则的可数名词的变化规则: 1.man-men, woman-women, tooth-teeth, foot-feet, goose-geese child-children, mouse-mice,
复数的运算法则
复数的运算法则（加减乘除) 加法法则 复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数， 则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。 复数的加法满足交换律和结合律， 即对任意复数z1,z2,z3,有：z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 减法法则 复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数， 则它们的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。 乘除法 乘法法则 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi^2，因为i^2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。两个复数的积仍然是一个复数。 除法法则 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di
的商 运算方法：可以把除法换算成乘法做,在分子分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数. 除法运算规则： ①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知cx-dy=a dx+cy=b 解这个方程组，得x=(ac+bd)/(c^2+d^2) y=(bc-ad)/(c^2+d^2) 于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i 分母有理化 ②利用共轭复数将分母有理化得（见右图）： 点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法。