2013- 2014第一学期高数A卷
浙江工商大学2013 /2014学年第一学期考试试卷A
课程名称： 高等数学 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名：
一、 填空（每小题3分，满分15分）：
1、)sin 21ln(1)(2x x x f -+-=的定义域为 ；
2、若00()0, ()3, f x f x '==则x
x x f x ??-→?)
2(lim
00= ；
3、
2
e d x x x +∞
-=?
= ；
4、2
22
[sin(+1)+cos ]d x x x x π
π
-?= ； 5、()()e ()x n f x x f x =设，则有极小值 ； 二、单项选择（每小题3分，满分15分）：
1、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但
≠)(a f )(b f ，则（ ）.
A. ∈?ξ（b a ,），使()0f ξ'= ；
B. ∈?ξ（b a ,），使()0f ξ'≠ ;
C. ∈?x （b a ,），使()0f x '≠ ；
D.当)(b f ()f a >时，对∈?x （b a ,），有()0f x '>；
2、设在区间Ⅰ上有()d ()f x x F x c =+?， ()d ()g x x G x c =+?，则在Ⅰ上有（ ）.
A. ()()d ()()f x g x x F x G x =? ；
B. ()()d ()()f x g x x F x G x c =+? ；
C. [()()()()]d ()()f x G x g x F x x F x G x c +=+? ；
D. [()()()()]d ()()f x F x g x G x x F x G x c +=+? ；
3、设 =)(x f ?????=≠-0 ,
0 , )1(1
x k x x x 在0=x 处连续， 则=k （ ）. A. 1 ； B. e ； C. 1
e
； D. －1；
4、当0x →时，下列无穷小与x 不等价．．．
的是（ ）. A. sin e
1x
-； B.ln(1arctan )x + ； C. 1
(sin tan )2
x x +；
1
5、下列微分方程中，是一阶线性微分方程的是（ ）.
A.3
xy y x '=+ ； B.()2
2y xy '= ；
D.2x
y x y
'+
= ； D. 21yy x '=+ ； 三、计算下列各题（每小题6分，满分30分）：
1、计算 x
x x x ??
?
??-+∞→10071007lim .
2、计算 0
e 1
x x →-
3、sin()ln()(0)y xy y x x x y '+-=设是由方程 确定的的函数，求.
4、计算积分
2
1
ln d x x ?
.
5
、已知
ln 4
6
a
π
=
?
，求a .
四、应用题（每小题10分，满分30分）：
1、221()lim ()1n
n
n x f x n x →∞-=+讨论函数的连续性为正整数．
2、 设平面图形
A 是曲线2sin y x =与0y =在0x π<<时围成的图
形.(1)求平面图形A 的面积；(2)A 绕x 轴旋转一周得到的立体体积x V ；(3)平面图形A 绕y 轴旋转一周得到锥体体积y V .
3、满足方程x
y y y e 223=+'-''的某条曲线)(x y y =在)1,0(处与曲线
12+-=x x y 有公共的切线，求该曲线的方程.
五、证明题（每小题5分，满分10分）：
1
2220e d 2e x x x -≤≤?.
2、试证:对任何满足1 =++-x x x . 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'ln xy y y =的通解 。 2. 设有向量(4,3,0)a =r ，(1,2,2)b =-r ，则数量积a b ?=r r 。 3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是 。 4．设2sin()z xy =，则 z y ?=? 。 5．交换积分次序22 20 (,)y y dy f x y dx ?? 。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设L 为直线0,0,1x y x ===及1y =所围成的正方形 边界，取正向，则322 ()()L x xy dx x y dy +++? ?等于 （ ） A ．1- B ．1 C ． 12 D ．1 4 2．已知a i j k =+ +r r r r ，则垂直于a r 且垂直于x 轴的单位向量是 （ ） A ．()i k ±-r r B ．()2j k ±-r r C ．)2j k ±+r r D ．()2 i j k ±-+r r r 3．设ln z xy =（），则11 x y dz === （ ） A ．dy dx - B ．dx dy + C ．dx dy - D ．0 4．对于级数1(1)n p n n ∞ =-∑，有 （ ） A ．当1p >时条件收敛 B ．当1p >时绝对收敛 C ．当01p <≤时绝对收敛 D ．当01p <≤时发散 5．设1 0(1,2,)n u n n ≤< =L ，则下列级数中必定收敛的是 （ ） A ．1n n u ∞ =∑ B ．1 (1)n n n u ∞ =-∑ C ．1 n ∞ =D ．2 1 (1)n n n u ∞ =-∑ 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.计算二重积分arctan D y d x σ??，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。 2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求 ,u u x y ????。 3．设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。 4.判定级数12! n n n n n ∞ =∑的敛散性。 5.使用间接法将函数2 4 ()4f x x =-展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。 6．求微分方程'cos y y x x x -= 满足初始条件2 2 x y ππ = =- 的特解。 7 ．计算二重积分D σ??，其中D 是由曲线y =2y x =所围成的闭区 域。 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 1．L 是连接以(1,0)-为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a 为 高等数学（下）模拟试卷三 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．由方程2222=+++ z y x xyz 所确定的函数),(y x z 在点(1,0,-1)处的全微分 =dz . 2．.1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x = . 3．设曲线积分()()?-+++-= L dy y x dx y x I 65342，其中L 是以()0,0，()0,3，()2,3 为顶点的三角形的正向边界，则=I . 4．设)(x f 以2π为周期，它在(-π,π)上定义为? ??≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10 ,1)(,则)(x f 的 傅里叶级数在π-=x 处收敛于 . 二、选择题（每小题3分，共15分） 6．下列级数中，属于条件收敛的是（ ）． （A ） ()()∑ ∞ =+-111n n n n （B ） ()∑ ∞ =-1 si n 1n n n n n π （C ） ()∑ ∞ =-1 2 1n n n （D ） ()∑∞ =+-1 131n n n 7．L 为)0,0(A 到)3,4(B 的直线，则 ?-L ds y x )(＝（ ） （A ）?-4 0)43(dx x x （B ）?+-4016 9 1)43(dx x x (C) ?-3 0)34(dy y y (D) ?+-301691)34(dy y y 8．函数3 22)(3x y x z -+=的极值点是( ) (A) (0,0) (B) (2,0) (C) (0,0) 与(2,0) (D) 无极值点 9．将=I ? ? -2 20 2 1 ),(x x dy y x f dx 改变积分次序，则=I ( ) (A) ?? -+1 0110 2 ),(y dx y x f dy (B) ?? --1 110 2 ),(y dx y x f dy ( C) ?? -+1 111 2 ),(y dx y x f dy (D) ?? +-10 1 112 ),(y dx y x f dy 大学高等数学下考试题库 附答案 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. .4 C 向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）. A.a ∥b B.a ⊥b 3,π=b a .4,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --=y x y x y 的定义域是（）. (){}21,22 ≤+≤y x y x .(){} 21,22<+ 高等数学（II ）试题（A ） 一 填空 （每小题3分 共15分 ） 1 曲面 221z x y =+- 在点 (2,1,4)的切平面的方程为___________。 2 设隐函数 (,) z z x y =是由方程 2 z y e x z e ++=确定的，则 _________0,0 z x y x ?===?。 3 设∑是平面 1x y z + +=在第一卦限部分， 则 ()__________x y z dS ∑ ++=??。 4 设 ()f x 周期为2π，且 ,0(),0 x e x f x x x π π?≤<=? -≤ 《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2 --y y x . 4. ()n n n n x ∑ ∞ =+-0 1 21. 《高等数学下》期中试题参考答案 一．填空题 (每小题3分，共21分) 1．lim x →0? 0x 2sin 2tdt x 4 = lim x →02xsin 2x 4x 3 = lim x →0sin 2x 2x 2 = 12 . 2．?-11 x 2+sinx 1+x 2 dx = ?-11x 21+x 2dx +?-11sinx 1+x 2dx = 2?01x 21+x 2dx +0=2?01(1-11+x 2)dx=2-2arctanx|01=2-π/2 3．?-∞+∞dx x 2+2x+2 = ?-∞+∞d(x+1)(x+1)2+1 = arctan(x+1)|-∞+∞ =π/2 – (-π/2) = π 4．空间曲线 ??? z=2-x 2-y 2 z=x 2+y 2 在XOY 平面上的投影为 ???x 2+y 2=1z=0 5．设z = ln(x+lny) , 则 1y ?z ?x - ?z ?y = 1y ?1x+lny - 1/y x+lny = 0 6．交换 ? 04 dy ?y 2 f (x,y)dx 积分次序得 ?02 dx ?0x 2 f (x,y)dx 7．设f(x)是连续函数，且? 0x 3-1f (t)dt =x ，则 f (7) = 。 两边求导得到 f(x 3-1)3x 2=1， 将x=2代入得到 f(7)=1/12 二。单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题中的括号内。每小题3分，共18分。） 8. 下列等式正确的是 （C ） Ａ、d dx ?a b f(x)dx=f(x) Ｂ、d dx ?f(t)dt=f(x) Ｃ、d dx ?a x f(t)dt=f(x) Ｄ、?f '(x)dx=f(x) 正确的关系式为： Ａ、d dx ?a b f(x)dx=0 Ｂ、d dx ?f(t)dt=0 Ｃ、d dx ?a x f(t)dt=f(x) Ｄ、?f '(x)dx=f(x)+C 9. 设?0x f(t)dt = 12f(x)- 12 ，且f(0)=1，则 f(x)= （ A ） A 、e 2x B 、12e x C 、e x 2 D 、12 e 2x 两边求导得到f(x)= 12 f '(x) , 只有 f(x)= e 2x 10. 已知函数 f (x+y, xy) = x 2+y 2 ，则 ?f(x,y)?x + ?f(x,y)?y = （ B ） A 、2x+2y B 、2x – 2 C 、2x – 2y D 、2x + 2 一、单选题（共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=???Ωdxdydz z y x f ） ． 21 2 0cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θ θθθ? ? ? 212 00 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θ θθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θ πθθθ-?? ? 21 0cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz π θθθ?? ? 4． 4．若 1 (1) n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线22 2 x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 1．设220x y xyz +-=，则' (1,1)x z = . 2．交 换ln 1 (,)e x I dx f x y dy = ? ? 的积分次序后，I =_____________________． 3．设2 2z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 . 4. 已知0!n x n x e n ∞ ==∑，则x xe -= . 5. 函数3322 33z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分） 1.（本小题满分6分）设arctan y z y x =, 求z x ??,z y ??. 2.（本小题满分6分）求椭球面222 239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的 法线方程. 3. （本小题满分7分）求函数2 2 z x y =+在点(1,2) 处沿向量122 l i j =+ r r r 方向的方向导数。 4. （本小题满分7分）将x x f 1 )(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。 5．（本小题满分7分）求由方程088222 22=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值。 6．（本小题满分7分）计算二重积分 1,1,1,)(222 =-=--=+??y y y x D d y x D 由曲线σ及2-=x 围成. 第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→. 向量a b →→?与二向量a →及b →的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q →与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()();(); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面；面面面 5、2()αβ→→±=( ) (A)22αβ→→±； (B)22 2ααββ→→→→±+； (C)22ααββ→→→→±+； (D)222ααββ→→→→±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线 513x y -=- 107z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=； (C)22 214y x z -+=； (D)2221916x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3π，且2,5a b →→==，求(2)(3)a b a b →→→→-?+ . 三、求向量{4,3,4}a →=-在向量{2,2,1}b →=上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b →→ =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→为两非零不共线向量，求证：()()a b a b →→→→-?+2()a b →→=?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-??=-+??=+?在三个坐标面上及平面π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 . 《高等数学》试卷6（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. .4 C 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3. 设有直线1158 :121x y z L --+== -和26:23 x y L y z -=??+=?，则1L 与2L 的夹角为（ ） （A ） 6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2 π . 4.两个向量a ρ与b ρ 垂直的充要条件是（ ）. A.0=?b a ρρ B.0ρρρ=?b a C.0ρρρ=-b a D.0ρρρ=+b a 5.函数xy y x z 33 3 -+=的极小值是（ ）. B.2- D.1- 6.设y x z sin =，则 ?? ? ????4,1πy z ＝（ ）. A. 2 2 B.22- C.2 D.2- 7. 级数 1 (1)(1cos ) (0)n n n α α∞ =-->∑是（ ） （A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关. 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（ ）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =??? ??02在收敛域内的和函数是（ ）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：22 1x y +=，则曲线积分 2 (22)d (4)d L xy y x x x y -+-=??____________. 5. .级数1 (2)n n x n ∞ =-∑的收敛区间为____________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4. ．计算1 sin d d y x y x x ? . 试卷6参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2 --y y x . 4. ()n n n n x ∑ ∞ =+-0 1 21. 5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1. ()()[]y x y x y e x z xy +++=??cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin . 《高等数学》试卷1（下） 一 .选择题（ 3 分10） 1.点M12,3,1到点 M 2 2,7,4的距离 M1M 2（） . A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量a i2j k ,b2i j ，则有（） . A. a∥b B. a⊥b C. a,b 3D. a,b 4 3.函数y2x2y 21的定义域是（） . x 2y21 A.x, y 1 x2y 22 B.x, y 1 x 2y22 C.x, y 1 x2y 22D x, y 1 x 2y 22 4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）. A. a b 0 B. a b 0 C. a b 0 D. a b 0 5.函数z x3y 33xy 的极小值是（） . A.2 B.2 C.1 D.1 6.设z xsin y ，则 z ＝（） . y 1,4 A. 2 B. 2 C.2 D.2 22 7.若p级数1收敛，则（） . n 1 n p A. p 1 B. p1 C. p1 D. p1 8.幂级数 x n 的收敛域为（） . n 1 n A.1,1B1,1 C.1,1 D.1,1 x n 9.幂级数在收敛域内的和函数是（） . n 02 A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 x x x x 1212 10.微分方程 xy y ln y0 的通解为（）. A.y ce x B. y e x C. y cxe x D. y e cx 二 .填空题（ 4 分5） 1.一平面过点A 0,0,3且垂直于直线AB ，其中点 B 2, 1,1，则此平面方程为______________________. 2.函数z sin xy 的全微分是______________________________. 3 y23xy3xy 1 ，则2 z 3.设z x_____________________________. x y 4. 1 的麦克劳林级数是 ___________________________. 2 x 三.计算题（ 5 分 6） 1.设z e u sin v ，而u xy, v x y ，求z ,z . x y 2.已知隐函数z z x, y由方程 x 2 2 y 2z2 4 x2z 5 0 确定，求z ,z . x y 3.计算sin x2y 2 d，其中 D:2x2y24 2 . D 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四 .应用题（ 10 分2） 1.要用铁板做一个体积为 2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？. 试卷 1 参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二 .填空题 1. 2x y 2 z 6 0. 2.cos xy ydx xdy . 3.6x 2 y9 y 2 1 . 4. 1 n n . 2n 1 x n 0 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012~2013学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 （估计不考或考的可能性比较小的题目已删除） 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2'x y y e -=的通解是 。 2. 设有向量(1,2,2)a =- ，(2,1,2)b =- ，则数量积a b ?= 。 3．过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=垂直的直线方程是 。 4．设cos()x z e x y =+，则 z y ?=? 。 5．设L 为0,0,2x y x ===及4y =所围成的矩形边界，取正向，则L ydx =? 。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'22 0y xy x ---=是 （ ） A ．齐次方程 B ．可分离变量方程 C ．一阶线性方程 D ．二阶线性方程 2 ．已知||2,||a b == 2a b ?= ，则||a b ?= （ ） A ．1 B ．2 C D ． 2 4．级数21(1)n p n n ∞ =-∑ （ ） A ．当1 2 p > 时绝对收敛 B ．当12p >时条件收敛 C ．当102p <≤时绝对收敛 D ．当1 02 p <≤时发散 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.求微分方程dy x x y dx =- 满足初始条件|0x y 的特解。 3．设由方程 ln x z z y =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。 4.求幂级数22 1 212n n n n x ∞ -=-∑ 的收敛域及和函数。 5.使用间接法将函数ln()(,0)a bx a b +>展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。 6．计算曲线积分222(2)()L x xy dx y x dy -+-?，其中L 是抛物线2y x =上从点 (1,1)-到点(1,1)的一段弧。 7．计算二重积分2222 11D x y d x y σ--++??，其中D 是由曲线22 1,0x y x +==和0y =所围成的区域在第一象限的部分。 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 1．在半径为a 的半球内，内接一长方体，问长方体各边长为多少时，其体积最 大？ 2．计算二重积分2 x D e dxdy ??，其中D 是由直线y x =和曲线3y x =所围成的区域 在第一象限的部分。 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012~2013学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ参考答案 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 高等数学下册试题库 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， ||= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） [ A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． — 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 】 高等数学（下）试卷一 一、 填空题（每空3分，共15分） （1 ）函数 z =的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? 2 220 (,)y y dy f x y dx ?? = )dv x ce 1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ： 21211x y z +-==的平面方程 2、 已知22 (,)z f xy x y =，求z x ??， z y ?? 3、 设 22 {(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2D x dxdy ?? 4、 求函数22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-?， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-??=-?从点 (0,0)O 到(,2)A π的一段弧 6、求微分方程 x xy y xe '+=满足 1 1x y ==的特解 四.解答题（共22分） 1 26'） ，则 ? （1）设直线L 为0x y z --=?，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）； A. 0 B. 2π C. 3π D. 4π （2）设(,)z f x y =是由方程33 3z xyz a -=确定，则z x ?=?（ ）； A. 2yz xy z - B. 2yz z xy - C. 2xz xy z - D. 2 xy z xy - （3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y * =（ ）； .. .. .. 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,a =， (4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15 分） 1 ． 微 分 方 程 2()'xy x y y +=的通 解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2 ． 求 极 限 (,)( lim x y → = （ ） A ．14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3．直线: 327 x y z L ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4． D 是闭区域2 22 {(, )|} x y a x y b ≤+≤， 则D σ=?? （ ） A ．33()2 b a π - B ． 332()3b a π- C ．3 34()3 b a π- D ．3 33()2 b a π- 5 ．下列级数收敛的是 （ ） A ．1 1 (1)(4)n n n ∞ =++∑ B ． 2 1 11n n n ∞ =++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 高等数学下册试题及答案解析 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z = ) 0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值 为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为), ()()(βαψ?≤≤? ? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 = ++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑ ∞ =+1)1(1n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在) ,(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在) ,(00y x 处连续； （B ） ) ,(y x f x '， ) ,(y x f y '在 ) ,(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当 0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0)()(),(),(lim 2 200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设 ), ()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分 ???Ω =zdV I 等于（ ） （A ）4 ???20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； （B ） ? ??20 1 2sin π π??θdr r d d ；大学高等数学下考试题库(及答案)
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