值域的求法典型习题及解析
值域的求法习题
一.解答题(共10小题)
1.已知函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B,求A∩B和(C R A)∩(C R B).
2.已知函数f(x)=x2﹣bx+3,且f(0)=f(4).
(1)求函数y=f(x)的零点,写出满足条件f(x)<0的x的集合;
(2)求函数y=f(x)在区间(0,3]上的值域.
3.求函数的值域:.
4.求下列函数的值域:
(1)y=3x2﹣x+2;(2);(3);
(4);(5)(6);
5.求下列函数的值域
(1);(2);(3)x∈[0,3]且x≠1;(4).6.求函数的值域:y=|x﹣1|+|x+4|.
7.求下列函数的值域.
(1)y=﹣x2+x+2;(2)y=3﹣2x,x∈[﹣2,9];(3)y=x2﹣2x﹣3,x∈(﹣1,2];(4)y=.8.已知函数f(x)=22x+2x+1+3,求f(x)的值域.
9.已知f(x)的值域为,求y=的值域.
10.设的值域为[﹣1,4],求a、b的值.
参考答案与试题解析
一.解答题(共10小题)
1.已知函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B,求A∩B和(C R A)∩(C R B).可求可求
2.已知函数f(x)=x2﹣bx+3,且f(0)=f(4).
(1)求函数y=f(x)的零点,写出满足条件f(x)<0的x的集合;
(2)求函数y=f(x)在区间(0,3]上的值域.
x==2
3.求函数的值域:.
得:
4.求下列函数的值域:
(1)y=3x2﹣x+2;(2);(3);
(4);(5)(6)
﹣+
y=的范围,可得
==3+,再利用反比例函数求解.
t=
=+
)≥,∴[,
y=
y=
y===3+,∵≠3+≠
的值域为
t=
型值域,
或+b+
sin)
+∈[,]+﹣,sin+)∈,
]
得:
5.求下列函数的值域
(1);
(2);
(3)x∈[0,3]且x≠1;
(4).
2+t=y=的值域.
=1+
=5++5
,
=sin=sin)
﹣,]﹣﹣,])∈,
的值域为﹣
y==2+
,则其函数图象如下
的值域为(﹣∝,﹣
﹣
+2||
≥
y=
的值域为
本题主要考查求函数的值域问题.此类题常用换元、配方、数形结合等方法.6.求函数的值域:y=|x﹣1|+|x+4|.
1|+|x+4|=
7.求下列函数的值域.
(1)y=﹣x2+x+2;
(2)y=3﹣2x,x∈[﹣2,9];
(3)y=x2﹣2x﹣3,x∈(﹣1,2];
(4)y=.
,当x=时
,
y=;
8.已知函数f(x)=22x+2x+1+3,求f(x)的值域.
9.已知f(x)的值域为,求y=的值域.
≤,
﹣
≤≤
≤≤
,]
10.设的值域为[﹣1,4],求a、b的值.
∈
,
4
函数定义域、值域经典习题及答案
复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴y = (2 )01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2 的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为 ________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取 值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈
⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且 1 ()()1 f x g x x += -,求()f x 与()g x 的解析表达式
求值域经典例题
四、经典例题 例1、求下列函数的值域: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 分析:对于形如(1)(2)(3)的函数求值域,基本策略是(ⅰ)化归为的值域;(ⅱ)转化为sinx(或cosx)的二次函数;对于(4)(5)(6)之类含有绝对值的函数求值域,基本策略则是(ⅰ)在适当的条件下考察y2;(ⅱ)转化为分段函数来处理;(ⅲ)运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化. 解: (1) ∵ ∴, 即所求函数的值域为. (2)由
∴ ∴ 注意到这里x∈R,, ∴ ∴所求函数的值域为[-1,1]. (3)这里 令sinx+cosx=t 则有 且由 于是有 ∵ ∴ 因此,所求函数的值域为. (4)注意到这里y>0,且 ∵
∴ 即所求函数的值域为. (5)注意到所给函数为偶函数, 又当 ∴此时 同理,当亦有. ∴所求函数的值域为. (6)令 则易见f(x)为偶函数,且 ∴是f(x)的一个正周期.① 只需求出f(x)在一个周期上的取值范围. 当x∈[0,]时, 又注意到, ∴x=为f(x)图象的一条对称轴②∴只需求出f(x)在[0,]上的最大值. 而在[0,]上,递增.③ 亦递增④∴由③④得f(x)在[0,]上单调递增.
∴ 即⑤ 于是由①、②、⑤得所求函数的值域为. 点评:解(1)(2)运用的是基本化归方法;解(3)运用的是求解关于sinx+cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法;解(4)借助平方转化;解(5)(6)则是利用函数性质化繁为简,化暗为明.这一点在解(6)时表现得淋漓尽致. 例2、求下列函数的周期: (1); (2); (3); (4); (5) 分析:与求值域的情形相似,求三角函数的周期,首选是将所给函数化为+k的形式,而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数,在不能利用已有认知的情况下,设法转化为分段函数来处理. 解: (1) = = ∴所求最小正周期. (2)
函数值域的求法(精选例题)
函数值域的求法 1、(观察法)求下列函数的值域 (1)求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 (2)求函数y1=2-x 的值域。 (]2-,∞ 2、(配方法)求下列函数的值域 (1)求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84, (2)求函数y =的值域: ][20, (3),x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是( ) C A.-1241 B.18 C.8 D.43
3、(换元法)求下列函数的值域 (1)21y x =+[)∞+,3 (2)4y x =++ ][234,1+ (3)求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 (4)求函数y = ][2,1 (5)求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-
4、(分离常数法)求下列函数的值域 (1)求值域(1)1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞,,251- (2)求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -, 5、(判别式法)求下列函数的值域 (1)求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51, (2)求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -, (3)已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1,3 ],求实数a , b 的值. a=2或-2,b=2
6、(单调性法)求下列函数的值域 (1)求函数32()2440f x x x x =+-,[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = (2)设函数f(x)=ln(2x +3)+x 2.求f(x)在区间???? ??-34,14上的最大值和最小值. max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 (1)求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-, (2)求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-
值域经典题型
值域简单练习题 1.求6)(2+-=x x x f 在[]11, -上的值域 2.求函数132)(++= x x x f 的值域 3. 求函数1 33)(2+++=x x x x f 的值域 4.求函数x x x f -+=1)(的值域 5.1321 3)(x x +?-=x f 6.1)(22 +--=x x x x x f 7.x -1x 3131)(-+=x f 8.x x x f +-+=243)( 9.2x 2x -)(2++=x f 10.y =11.2256y x x =-++ 12.2cos 1 3cos 2x y x +=- 13. 求函数()1y x =≥的值域。
值域的求法加强练习题 解答题(共10小题) 1.已知函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B,求A∩B和(C R A)∩(C R B). 2.已知函数f(x)=x2﹣bx+3,且f(0)=f(4). (1)求函数y=f(x)的零点,写出满足条件f(x)<0的x的集合; (2)求函数y=f(x)在区间(0,3]上的值域. 3.求函数的值域:. 4.求下列函数的值域: (1)y=3x2﹣x+2;(2);(3); (4);(5)(6); 5.求下列函数的值域 (1); (2); (3)x∈[0,3]且x≠1;
(4). 6.求函数的值域:y=|x﹣1|+|x+4|. 7.求下列函数的值域. (1)y=﹣x2+x+2;(2)y=3﹣2x,x∈[﹣2,9];(3)y=x2﹣2x﹣3,x∈(﹣1,2];(4)y=.8.已知函数f(x)=22x+2x+1+3,求f(x)的值域. 9.已知f(x)的值域为,求y=的值域. 10.设的值域为[﹣1,4],求a、b的值.
函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳: 1. 求函数的解析式 (1)求函数解析式的常用方法: ①换元法( 注意新元的取值范围) ②待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) ③整体代换(配凑法) ④构造方程组(如自变量互为倒数、已知f (x )为奇函数且g (x )为偶函数等) (2)求函数的解析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义。 (3)理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y =f (x )表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: ①若f (x )是整式,则函数的定义域是实数集R ; ②若f (x )是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集; ③若f (x )是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合; ④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑤若f (x )是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域(最值)的一般方法: (1)利用基本初等函数的值域; (2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数); (3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数) (4)函数的单调性:特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 (5)部分分式法、判别式法(分式函数) (6)换元法(无理函数) (7)导数法(高次函数) (8)反函数法 (9)数形结合法 4. 求函数的单调性 (1)定义法: (2)导数法: (3)利用复合函数的单调性: (4)关于函数单调性还有以下一些常见结论: ①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______; ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性; ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性; (5)求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等 (6)应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f (x ) 与f (-x )的关系。f (x ) -
函数值域的求法及例题
函数值域的求法 在函数概念的三要素中,定义域和对应法则是最基本的,值域是由定义域和对应法则所确定,因此,研究值域仍应注重函数对应法则的作用和定义域对值域的制约,以下试举例说明常用方法. [例1]:求下列函数的值域 (1)y =1-2x (x ∈R ) (2)y =|x |-1 x ∈{-2,-1,0,1,2} (3)y =x 2+4x +3 (-3≤x ≤1) (4)y =|x +1|-|x -2| (5)y =2x -3+134-x (6)y =2 224)1(5 +++x x x (7)y =5 21+-x x (8)y =1223222++--x x x x (9)y =3-2x -x 2 x ∈[-3,1] (10)y =2 1322+-x x 分析:求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域. 对于(3)(4)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域,即“图象法”. 对于(5)(6)可借用整体思想利用“换元法”求得值域. 对于(7)可将其分离出一个常数,即利用“分离常数法”求得它的值域. 对于(8)可通过对“Δ”的分析,即利用“判别式”法求得其值域. 对于(9)(10)可“通过中间函数的值域去求所求函数的值域”这一方法即“中间媒介法”求得其值域. 解:(1)y ∈R (2)y ∈{1,0,-1} (3)画出y =x 2+4x +3(-3≤x ≤1)的图象,如图所示,当x ∈[-3,1] 时,得y ∈[-1,8] (4)对于y =|x +1|-|x -2|的理解,从几何意义入 手,即利用绝对值的几何意义可知,|x +1|表示在数轴上表示x 的点到点-1的距离,|x -2|表示在数轴上表示x 的点到点2的距离,在数轴上任取三个点x A ≤-1,-1<x B <2,x C ≥c ,如图所示,可以看出|x A +1|-|x A -2|=-3 -3<|x B +1|-|x B -2|<3,|x C +1|-|x C -2|=3,由此可知,对于任意实数x ,都有-3≤|x +1|-|x -2|≤3所以函数y =|x +1|-|x -2|的值域为y ∈[-3,3] (5)对于没有给定自变量的函数,应先考查函数的定义域,再求其值域. ∵4x -13≥0 ∴x ∈[4 13 ,+∞)令t =134-x 则得:x =4132+t