浙江省金华十校2014届高三4月高考模拟考试数学理试题 纯Word版含答案

浙江省金华十校2014届高三4月高考模拟考试

数学（理科）试卷 2014.4

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1． 已知集合U={a,b,c,d,e}，M={a,d}，N={a,c,e}，则M ∪C U N 为 A ．{c,e} B ．{a,b,d} C ．{b,d} D ．{a,c,d,e} 2． 已知复数z 1=2+i ，z 2=a -i(a ∈R )，z 1·z 2是实数，则a = A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3． y =f (x )是定义在R 上的函数，若a ∈R ，则“x ≠a ”是“f (x )≠f (a )”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

4． 关于函数tan 23y x π?

?=- ??

?，下列说法正确的是

A ．是奇函数

B ．最小正周期为π

C ．06π??

???

，

为图像的一个对称中心 D ．其图象由y =tan2x 的图象右移3π单位得到 5． 空间中，若α,β,γ 是三个互不重合的平面，l 是一条直线，则下列命题中正确的是 A ．若l ∥α,， l ∥β，则α∥β B ．若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α

C ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β

D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β

6． 已知集合A ={1,2,3,4,5,6}，在A 中任取三个元素，使它们的和小于余下的三个元素的和，

则取法种数共有 A ．4 B ．10 C ．15 D ．20

7． 某几何体的三视图（单位：dm ）如图所示，则该几何体的体积是 A ．13

B ．32

C ．1

D ．1

2 8． “3

111a b c

++”称为a ,b ,c 三个正实数的“调和平均数”，若正数

x , y 满足“x , y , xy 的调和平均数为3”，则x +2 y 的最小值是

A ．3

B ．5

C ．7

D ．8

9． 双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2

P 是双曲线右支上的一点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1PF 1上的切点为Q ，若|PQ |=1,则双曲线的离心率是

A ． 3

B ．2

C D

10. 已知边长都为1的正方形ABCD 与DCFE 点P ，Q 分别是线段BC ， DE 上的动点（包括端点），PQ 设线段PQ 中点的轨迹为?，则? 的长度为

A ．2

B

C ．2

π

二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.

11. 若两直线x -2y +5=0与2x +my -5=0互相平行，则实数m = ▲ ．

12. 已知函数1,

()1,

x f x x =<≥ 若f (a )+f (0)=3，则a = ▲ ．

13. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ▲ _．

正视图 侧视图 俯视图 1

1 （第7题图）

14. 二项式5

21+2x x ?

?- ??

?的展开式中x 3项的系数为 ▲ ．

15. 甲乙两人分别参加某高校自主招生考试，能通过的概率都为2

3

，

设考试通过的人数(就甲乙而言)为X ，则X 的方差D (X )= ▲ ．

16．对于不等式组2320340210

x y x y x y -+??

--??++?

≥，

≤，≥的解(x ，y )，当且仅当=2,=2x y ???时，

z =x +ay 取得最大值，则实数a 的取值范围是 ▲ _． 17. 如图，已知：|AC |=|BC |=4，∠ACB =90°，M 为BC 的中点，

D 为以AC 为直径的圆上一动点，则AM DC ?的最大值是 ▲ _

三、解答题：本大题共5小题，共72分 18．（本小题满分14分） 在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 且2sin tan tan cos C

A B A +=．

(Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)已知3a c c a

+=，求11

tan tan A C +

的值．

19. （本小题满分14分） 已知数列{a n }的首项a 1=a ，前n 项和为S n ，且-a 2，S n ，2a n +1成等差． (Ⅰ)试判断{a n }是否成等比数列，并说明理由；

(Ⅱ)当a >0时，数列{b n }满足11

b a

=，且1(2)()()n n n n a b n a a a a +=

--≥． 记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1≤aT n <2．

(第17题图)

20．（本题满分14分）如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥AC ，P A =PB =PC ，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，AB

=，AC =2，

PD=Q 为线段PE 上不同于端点的一动点．

(Ⅰ)求证：AC ⊥DQ ；

(Ⅱ)若二面角B -AQ -E 的大小为60°，求QE

PE

的值．

21．(本小题满分15分)设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

的一个顶点与抛物线2:C x =的焦点重合，

12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率1

2

e =?直线l :y =kx +m (km <0)与椭圆C 交于M N 、两点.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，AB ∥l ，且2

||||

AB MN =4．是否存在直线l ，使得2O M O N ?=-？若

存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.

P A

B C E D Q （第20题图）

22．(本小题满分15分)已知函数32

()2ln 3

f x x tx t x =-+?(t ∈R ).

(Ⅰ)若曲线y =f (x )在x =1处的切线与直线y =x 平行，求实数t 的值； (Ⅱ)证明：对任意的x 1,x 2∈(0.1]及t ∈R ，都有|f (x 1)-f (x 2)|≤(|t -1|+1)|ln x 1-ln x 2|成立.

金华十校2014年高考模拟考试

数学（理科）卷参考答案

二． 11 12．5或-3 13．3 14．-120

1516．1,3??

-+∞ ???

17．8+

三．解答题：

18．解：(Ⅰ)sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos A B A B A B

A B A B A B

++=+=

sin()sin cos cos cos cos A B C A B A B

+==

， ……………………………………………………… 3分

∵2sin tan tan cos C A B A +=，∴sin 2sin cos cos cos C C

A B A

=

， ∴1cos 2

B =，∵0B <<π，∴B =3π

.………………………………………………

6分

(Ⅱ)222

2cos a c a c b ac B c a ac ac

+++==

， ∵3a c

c a +=， ∴

2

2cos 3b ac

B ac +=，即

22cos 33b ac ac π

+=，∴22b ca =，……………………… 9分

而222

sin sin 33sin sin sin sin 4sin sin b B ca A C A C A C π===，∴3sin sin 8A C =.…………… 12分

∴11cos cos sin()

tan tan sin sin A C A C A C A C ++=+=

sin sin sin B A C ===. ……………………………………………… 14分

19．解：(Ⅰ)∵2122n n S a a +=-+，∴当12222n n n S a a -=-+≥时，

两式相减得()11222,22n n n n n a a a a a n ++=-=故≥ ，……………………………

3分

又当n =1时，1222122,2a a a a a =-+=得

， ……………………………………… 4分 当a 1=a =0时，此时a n =0，{a n }不是等比数列，

{}1022n n n

a

a a a a +≠=当时，，此时是首项为，公比为的等比数列. …………… 6分

(Ⅱ)∵111

,2n n b a a a

-==?，

∴2n 当≥时，()()

1

1222n n n n

a b a a a a --?=?-??- ()()1111211121212121n n n n n a a ---??

=?=?- ?---?-??

. ………………………………… 8分

∴12n n T b b b =+++

12231111111

11212121212121n n a -??????

??=

+-+-++- ? ? ???------?

???????

11221n a ??=- ?-??，

∴1

221

n n

aT =--，………………………………………………………………… 10分 ∵2n ≥，∴24n ≥，∴513n aT >≥，又1

021

n >-，∴2n aT <. ……………

12分 而当n =1时，aT n =1，

故1≤aT n <2．………………………………………………………………………… 14分 20．(Ⅰ)证明：∵P A =PB =PC ，∴P 在底面ABC 的射影是△ABC 的外心E ，

∴PE ⊥面ABC ，又AC ?面ABC ，从而PE ⊥AC ． ……………………………… 3分 又∵P A = PC ，且D 是AC 的中点，∴PD ⊥AC ， ∴AC ⊥面PDE ．又DQ ?面PDE ，∴AC ⊥DQ

．………………………………… 6分

(Ⅱ)解法一: 过点B 作BF ⊥AE 于F ，易证

BF ⊥面P AE ， 过F 作FG ⊥AQ 于点G ，连接BG ，

则∠BGF 即为二面角B -AQ -E 的平面角．…………………… 8分 在Rt △ABF 中，由30AB BAF =∠=?得3,AF BF = 在Rt △BGF 中，由60B F B G F =∠=?，所以1GF =． 在△AQF 中，设QE h =，则AQ

由11

22

AQF S AQ GF AF QE =??=??△3h =,从而h =，………… 12分

又在Rt △PED 中，P D E =PE 从而QE PE = 14分 解法二：如图以A 为原点， AB 、AC 分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系A -xyz ，

则()0,0,0A ，()B ，)

E ， ……………………………………

8分

设点)

,Q

h ，设面AQE 的法向量m =(x 1,y 1,z 1).

由1111130,30,AE x y AQ x y hz ??=+=???=++=??m m 得1110,0,z y =??+=

令11x =，得()

1,=m ．…………… 10分

设面ABQ 的法向量n =(x 2,y 2,z 2)，

由2222230,

30,AB x AQ x y hz ??==???=++=??n n 得22

20,0,x y hz =??+=?

令21y =得10,1,h ?

?=- ???n ．………………… 12分

由1

cos 602

??=

==

m n m n

，得h =，又易求得PE ，

所以

QE h PE PE == 14分 21．解：(Ⅰ)椭圆的顶点为(0,，即b =1

2

c e a ==，所以2a =，

P

A

B

C

E

D

Q

F

G

∴椭圆的标准方程为22

143

x y +=． ……………………………………………… 4分

(Ⅱ)设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由22

1,43

,x y y kx m ?+

=???=+?得222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴122834km

x x k +=-+，2122

41234m x x k -?=+， …………………………………… 6分 ∴△=2222

6416(43)(3)k m k m -+-=2216(1239)0k m -+>，

则 |MN

=， ……………………… 8分 令0m =，可得|AB

， …………………………………… 10分

∴22||4||12AB MN k ==，化简得m k =-或m k =(舍去)，…………… 12分

∴21212121212[()1]OM ON x x y

y x x k x x x x ?=+=+-++

=22

2222222

4124128512(1)234343434k k k k k k k k k ----+-+==-++++解得k = 14分 故直线l 的方程为1)y x -或1)y x =-．……………………………… 15分

22. 解：(Ⅰ) 由题2()22t

f x x t x

'=-+，且(1)1f '=，解得1t =．………………… 4分

(Ⅱ)当12x x =时，结论明显成立， ………………………………………………… 5分 不妨设12x x <，且记|1|1t λ=-+，则1212|()()||ln ln |f x f x x x λ--≤等价于

121221(ln ln )()()(ln ln )x x f x f x x x λλ---≤≤

?1122()ln ()ln f x x f x x λλ++≤且1122()ln ()ln f x x f x x λλ--≥， 要使得对任意的12,(0,1]x x ∈，1122()ln ()ln f x x f x x λλ++≤恒成立，

只需()f x x λ'-≥对于(0,1]x ∈恒成立，同理可得()f x x

λ

'≤对于(0,1]x ∈恒成立，

即222t x t x x x λλ

--+≤≤对于(0,1]x ∈恒成立

?当t ∈R 时，3(|1|1)22|1|1t x tx t t --+-+-+≤≤对于(0,1]x ∈恒成立．… 9分

考虑函数3()22g x x tx t =-+，(0,1]x ∈，则2()62g x

x t '=-，

(1)当0t ≤时，函数()g

x 在(0,1]上单调递增，此时()(1)2g x g t =-≤； (2)当3t ≥时，函数()g x 在(0,1]上单调递减，此时()(0)g x g t <=；

(3)当03t <<时，函数()g x 在? ?上递减及???

上递增， 此时()max{(0),(1)}max{,2}g x g

g t t <=- 综上，当1t <时，()2g x t -≤；当1t ≥时，()g x t ≤，

所以322|1|1x tx t t -+-+≤

对于(0,1]x ∈成立；………………………………… 13分 为证3(|1|1)22t x tx t --+-+≤

，可设函数3()|1|221h t t t tx x =-+-++,

即33

2(1)2,1

()2()22,1

t x x t h t t x x t ?-+=?-++

又由上面3

y x x

=-+((0,1]

222

=-+的分析可知函数3

g x x tx t

()22

x∈)在x=处取到最小，所以

3

≥，

=-+>

h t h x x

()(1)2220

从而3

≤对任意(0,1]

(|1|1)22

--+-+

t x tx t

x∈恒成立．………………………15分