2008年广州市高二数学学业水平测试模拟题二

高中数学必修模块测试题

天河中学 高二备课组

一、选择题（本大题共10小题，共50分） 1、求值：11sin()6

π-

=（ ）

Ａ．12

- Ｂ．12

Ｃ．2

-

Ｄ．

2

2、已知集合{}{}35,12A x x B x a x a =<<=-≤≤+，若A B ?，则实数a 的取值范围是（ ）

Ａ．34a <≤ Ｂ．34a ≤≤ Ｃ．34a << Ｄ．?

3、给出下面4个关系式：①2

2a a = ；②a b a b ?=? ；③a b b a ?=? ；

④()()a b c a b c ?=?

；其中正确命题的个数是

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

4、如图是容量为100的样本的频率分布直方图， 则样本数据在[6,10)内的频率和频数分别是 Ａ．0.32,32 Ｂ．0.08,8

Ｃ．0.24,24 Ｄ．0.36,36

5、某路公共汽车5分钟一班准时到达A 站，则任意一人在A 站 等车时间少于2分钟的概率为

Ａ．3

5

Ｂ．1

2

Ｃ．2

5

Ｄ．1

4

6、正方体的全面积是24，则它的外接球的体积是

Ａ．

3

Ｂ．

Ｃ．8π Ｄ．12π

7、运行下列程序：

当输入168，72时，输出的结果是 Ａ．168 Ｂ．72 Ｃ．36 Ｄ．24

8、在A B C ?中，已知

4,1

AB AC == ，A B C ?

Ａ．2± Ｂ．4± Ｃ．2 Ｄ．4

9、函数2sin cos y x x =+的值域是

Ａ．41,5??-???

?

Ｂ．[]1,1- Ｃ．41,5??

??

?

?

Ｄ．4(,]5

-∞ 10、若偶函数()f x 在区间[]1,0-上是减函数，,αβ是锐角三角形的两个内角，且αβ≠，则下列不等式中正确的是

Ａ．(cos )(cos )f f αβ> Ｂ．(sin )(cos )f f αβ<

Ｃ．(cos )(sin )f f αβ< Ｄ．(sin )(sin )f f αβ>

二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11、已知向量

(2

,1),(

a b x ==-

，且a b + 与2a b -

平行，则

x = ．

12、已知函数

()(0,1)

x x

f x a a

a a -=+>≠且，若

(1)

f =，则

(

2)f = ．

13、已知函数()sin 2cos 2f x x k x =-的图像关于直线8

x π

=

则k 的值是 ．

14、计算2222135999++++ 的程序框图如下：

其中空白框①应填入

空白框②应填入

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15、(13分)已知函数2

()sin sin

2f x x x m π??

??

=+-+ ??????

?

． （１）求()f x 的最小正周期；

（２）若()f x 的最大值为3，求m 的值．

16、(13分)连续掷两次骰子，以先后得到的点数,m n 为点(,)P m n 的坐标，设圆

Q

的方程为2217x y +=．

（１）求点P 在圆Q 上的概率； （２）求点P 在圆Q 外部的概率．

17、(13分)如图：正三角形ABC 与直角三角形BCD 所在平面互相垂直，且

90

BCD ∠=，030CBD ∠=．

（１）求证：AB C D ⊥；

（２）求二面角D A B C --的正切值．

18、(13分)已知41cos ,(

,),tan()5

2

2

π

ααππβ=-∈-=

，求tan(2)αβ-的值．

19、(14分)已知圆22:2610C x y x y ++-+=，直线:3l x my +=． （１）若l 与C 相切，求m 的值；

（２）是否存在m 值，使得l 与C 相交于A B 、两点，且0OA OB ?=

（其中O 为坐

标原点），若存在，求出m ，若不存在，请说明理由．

20、(14分)已知12x x 、是方程24420x mx m -++=的两个实根． （１）当实数m 为何值时，2212x x +取得最小值？ （２）若12x x 、都大于1

2，求m 的取值范围．

数学科参考答案

一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分，四项选一项)

1．答案B

解：原式=sin(－2π+

6

π)=sin 6

π=2

1．

2．答案B

a －1≤3

结合数轴 得 ，即3≤a ≤4． a+2≥5

3．答案B

解：①、③正确． 4．答案A

解：在[6，10)内频率为0.08×4=0.32， 频数为0.32×100=32． 5．答案C

解：设乘客到达A 站的时刻为t ，等车时间为x 分钟，则0≤x ≤5，

根据几何概型，等车时间少于2分钟的概率为P=

5

2．

6．答案B

解：设正方体棱长为a ，外接球半径为R ，则6a 2=24， ∴a=2，又2R=3a ，∴R=3，

∴V 球=

3

4πR 3=43π．

7．答案D

解：当m ≥n>0时，该程序的作用是求两个正整数的最大公约数， 因为168与72的最大公约数是24，所以输出结果是24． 8．答案A 解：S △ABC =

2

1·|AB|·|AC|·sinA=

2

1×4×1×sinA=3，

∴sinA=

2

3，∴cosA=±A sin 21 =±

21， ∴AB ·AC=|AB|·|AC|·cosA=4×1×(±

2

1)=±2．

9．答案A

解：y=sinx+1－sin 2x=－(sinx －2

1)2+

4

5，

∵sin x ∈[－1，1]，

∴sinx=

2

1时，y max =

4

5，

又sinx=－1时，y min =－1 ∴值域为[－1，4

5]

10．答案C

解：∵偶函数f(x)在区间[－1，0]上是减函数，

∴f(x)在[0，1]上是增函数，

又α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β>2

π，

∴

2

π>α>

2

π－β>0，∴0

2

π－β)<1，

即0

二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

11．答案－4

解：a b ，－1)，2a －=(4－x ，4)

∵a + b 与2a －b 平行，∴(2+x)×4=－1×(4－x)，∴x=－4． 12．答案7 解：f(1)=a+

a

1=3，∴f(2)=a 2+

2

1a

=(a+

a

1)2－2=32－2=7．

13．答案－1

解：依设有f(

8

π－α)=f(

8

π+α)，令α=

8

π，得

f(0)=f(

4

π)，∴－k=1，∴k=－1

14．答案 ①S=S+i 2

； ②i=i+2

三、解答题：本大题共6个小题，共80分。

15．解：f(x)=(cosx －sinx)2+m

……2分 =cos 2

x+sin 2

x －2cosx ·sinx+m ……4分

=1－sin2x+m

……6分 (Ⅰ)f(x)的最小正周期为T=2

2π=π ．

……9分 (Ⅱ)当sin2x=－1时f(x)有最大值为2+m ， ……12分 ∴2+m=3 ， ∴m=1 ．

……13分

16．解：m 的值的所有可能是1，2，3，4，5，6， n 的值的所有可能是1，2，3，4，5，6，

……2分 点P(m ，n)的所有可能情况有6×6=36种，

……4分

且每一种可能出现的可能性相等，本问题属古典概型问题．

……6分

(Ⅰ)点P 在圆Q 上只有P(1,4)，P(4,1)两种情况， 根据古典概型公式，点P 在圆Q 上的概率为p 1=

36

2=18

1， ……9分

(Ⅱ)点P 在圆Q 内的坐标是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8点， 所以点P 在圆Q 外部的概率为p 2=1－

36

82+=

18

13． ……13分

17．(Ⅰ)证明：∵DC ⊥BC ，且平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD=BC,

∴DC ⊥平面ABC ，

又AB ?平面ABC ，∴DC ⊥AB ． ……5分

(Ⅱ)解：过C 作CE ⊥AB 于E ，连结ED ，

∵AB ⊥CD ，AB ⊥EC ，CD ∩EC=C ， ∴AB ⊥平面ECD ，

又DE ?平面ECD ，∴AB ⊥ED ，

∴∠CED 是二面角D －AB －C 的平面角， ……9分

设CD=a ，则BC=

o

tan a 30

=3a ，

∵△ABC 是正三角形，∴EC=BCsin60o =2

3a ，

在Rt △DEC 中，tan ∠DEC=

EC

DC =

2

3a a =

3

2．

……13分

18．解：∵α∈(

2

π，π) ∴sin α=α21cos -=

5

3， ……2分 ∴tan α=α

αcos sin =－

4

3，

……4分 ∵tan(π－β)=2

1 ∴tan β=－

2

1，

……6分

∴tan2β=ββ

212tan tan -=22

1121

2)

()

(---

=－34，

……9分

∴tan(α－2β)=

β

αβα212tan tan tan tan +-=)

)((344

3

1344

3-

-

++-

=

24

7． ……13分

19．解：(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1)2+(y －3)2=9，

圆心为C(－1，3)，半径为r=3，

……2分

若 l 与C 相切，则得

2

1331m

|

m |+-+-=3， ……4分

∴(3m －4)2=9(1+m 2)，∴m=24

7． ……5分

(Ⅱ)假设存在m 满足题意。

由 x 2+y 2+2x －6y+1=0 ，消去x 得

x=3－my (m 2

+1)y 2

－(8m+6)y+16=0，

……7分 由△=(8m+6)2

－4(m 2

+1)·16>0，得m>24

7，

……8分

设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1+y 2=1682

++m

m ，y 1y 2=

1

162

+m

．

OA ·OB=x 1x 2+y 1y 2

=(3－my 1)(3－my 2)+y 1y 2

=9－3m(y 1+y 2)+(m 2+1)y 1y 2 =9－3m ·

1682

++m

m +(m 2+1)·

1

16

2

+m

=25－

1

18242

2++m

m m =0 ……12分

24m 2+18m=25m 2+25，m 2－18m+25=0， ∴m=9±214，适合m>

24

7，

∴存在m=9±214符合要求．

……14分

20．解：(Ⅰ)∵△=16m 2－16(m+2)=16(m 2－m －2)≥0，

∴m ≤－1或m ≥2，

……3分

又∵x 2

1+x 22=(x 1+x 2)2－2x 1x 2=m 2－2·

4

2

+m =(m －4

1)2－16

17， ∴当m=－1时，x 21+x 22有最小值.

……7分

(Ⅱ)(x 1－2

1)(x 2－2

1)>0且(x 1－2

1

)+(x 2－2

1)>0，

即x 1x 2－2

1

(x 1+x 2)+4

1>0且x 1+x 2－1>0，

……10分

4

2+m －

2

1m+4

1>0且m －1>0， ∴m<3，且m>1，

……12分 又∵△≥0， ∴2≤m<3 .

……14分

解法二：等价于较小的根,2

18

)

2(161642

>

+--

-m m m 得解（过程略）

。