3.1.2用二分法求方程的近似值
课题：用二分法求方程的近似解教案
一、 教学目标 ：
1、知识与技能目标：
（1）了解二分法是求方程近似解的一种方法.
（2）体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
（3）根据具体函数图像，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解. 2、过程与方法目标：
（1）通过经历“用二分法求方程近似解”的探索过程，初步体会数形结合思想、
逼近思想等.
（2）通过设置数学学习环境，让学生了解更多的获取知识的手段和途径.
3、情感态度与价值观目标：
（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一.
（2）在探究解决问题的过程中，培养学生与人合作的态度、表达与交流的意识和勇
于探索的精神.
二、教学重、难点：
重点：二分法基本思想的理解，用二分法求方程近似解的步骤.
难点：求方程近似解一般步骤的理解和概括
三、教学过程：
大家先来回忆一段幸运52片段：
主持人李咏说道：猜一猜这件商品的价格。观众甲：2000！李咏：高了！观众甲：1000！
李咏：低了！观众甲：1700！李咏：高了！观众甲：1400！李咏：低了！观众甲：1500！李咏：低了！观众甲：1550！李咏：低了！观众甲：1580！李咏：高了！观众甲：1570！李咏：低了！观众甲：1578！李咏：低了！观众甲：1579！李咏：这件商品归你了。下一件…… 问题：：（手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？
1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价。
2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价。如果低了，每50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……
3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……
问题：在现实生活中我们也常常利用这种方法。譬如，一天，我们学校与供电局的线路出了故障，（相距大约3500米）电工是怎样检测的呢？是按照每隔10米或者按照每隔100米来检测还是按照3那样来检测呢？
问题：那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢？
能否求解方程式?013;012;3lg 3
2=-+=---=x x x x x x
方程0122=--x x 的解可用求根公式来解。
问题：不解方程，当然也不许用求根公式，如何求方程0122
=--x x 的一个正的近似解？
（精确到0.1）
解：，
先画出函数图象的简图设,12)(2--=x x x f 内，
所以在区间因为)3,2(,02)3(,01)2(>=<-=f f ；有一解，记为方程12012x x x =-- ),5.2,2(0)5.2(,0)2(1∈?> ),5.2,25.2(0)5.2(,0)25.2(1∈?> ),5.2,375.2(0)5.2(,0)375.2(1∈?> ),4375.2,375.2(0)4375.2(,0)375.2(1∈?> 因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为4.21≈x 揭示二分法的定义。 指出运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间。 例题剖析 例1. 根据表格中的数据，可以断定方程02=--x e x 的一个根所在的区间是（ ） A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3) 问题：我们可以通过什么来判断某根所在的区间的？ ),,(0)()(n m x n f m f ∈?< 问题：有了这个依据，本题应选什么？为什么？ C x f f f f x e x f x 故选即设),2,1(0 )2()1(0)2(,0)1(,2)(∈∴<><--= 问题：现在，判断某根所在区间有哪些方法？ 例2. 画图或利用函数值的正负来判断。利用计算器， 求方程）的近似解。（精确到1.03lg x x -= 分析：估计方程的根在什么范围内？ 判断某根所在区间的方法是什么，那么，现在我们可以画出 哪些函数的图象？作：y=lgx ，y=3-x 的图象； 在两个函数图象的交点处，函数值相等。因此，这个 点的横坐标就是方程lgx=3-x 的解。从图象上可以发现，这个方程有惟一解，且在区间（2， 3）内。 判断出了根所在区间后接下去怎么办？ 用计算器，得设,3lg )(-+=x x x f ), 3,2(0)3(,0)2(∈?> ), 625.2,5625.2(0)625.2(,0)5625.2(),625.2,5.2(0)625.2(,0)5.2(∈?><∈?> g(x)= h(x)]近似解的基本步骤： ①画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a,b)，验证f(a)f(b)<0； ②求区间(a,b)的中点)2 (11b a x x +=； ③计算f(x 1)：若f(x 1)=0，则x 1是函数f(x)零点，x 1就是f(x)=0根，计算终止；若f(a) f(x 1) 0，则选择区间（a, x 1）；若f(a) f(x 1) 0，则选择区间（x 1，b ）； ④循环操作②、③，直到当区间的两端点精确到同一个近似值时才终止计算。 （通过归纳总结，能够完善学生的认知结构） 四 、反馈练习： 1））精确到的一个正的近似解？（求方程1.00133 =-+x x 2））的近似解？（精确到求方程1.042=+x x 3）的根的个数为用二分法判断方程 22x x =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4)的根的情况是方程x x 10)4lg(=+( ) A.仅有一根 B.有一正根一负根 C.有两负根 D.无实根 思考：从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？ （此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识） 五、课堂小结 1、 二分法是一种求一元方程近似解的通法。 2、 利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤。 3、 可以利用函数的图象来判断方程根的个数。 六、布置作业 必修1第81页习题3、4、5 附1：课后练习题 1、下列函数中能用二分法求零点的是（ ）. （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 2、用二分法求函数)(x f y =在x ∈(1,2)内零点近似值的过程中得到0)1( 0)25.1( 3．计算函数22)(23--+=x x x x f 的一个正零点，列表如下： 若精确度为1.0，结果是________. (A) (B) (D) (C) 用二分法求方程的近似解 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位． 二、学生学习情况分析 学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题． 三、设计思想 倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合. 四、教学目标 通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程． 五、教学重点和难点 1．教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．2．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 六、教学过程设计 （一）创设情境，提出问题 问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发 A-1 用二分法求非线性方程实根 本实验用二分法求方程f (x) = x3 ?2x ?5 =0 在区间[2,3]内的根。 源程序： #include } else printf("\ not root! afresh input\n"); /*表示[a,b] 区间无根，重新选择有根区间*/ getch(); teturn(x); } 计算结果： please input data a = 2 please input data b = 3 please input data eps= 0.00001 the root of f(x)=0 is x= 2.094555 2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 【学习要求】 1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理； 2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解． 【学法指导】 通过借助计算器用二分法求方程的近似解，了解数学中逼近的思想和程序化地处理问题的思想；通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一，体会“近似是普遍的，精确则是特殊的”辩证唯物主义观点. 填一填：知识要点、记下疑难点 如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值，即，则这个函数在这个区间上，至少有，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为零点. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，但是没有公式求根，如何求得方程的根呢？ 探究点一变号零点与不变号零点 问题函数y＝3x＋2，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值怎样变化？ 小结：如果函数f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点． 探究点二二分法的概念 问题1由变号零点的概念我们知道，函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，那么如何求出这个零点的近似值？ 例1利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个正实数零点的近似解(精确到0.1)． 问题2例1中求方程近似解的方法就是二分法，根据解题过程，你能归纳出什么是二分法吗？ 问题3给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤是怎样的？ 跟踪训练1借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4在区间(0,1)内的零点(精确到0.1)． 例1：利用计算器，求方程0122=--x x 的一个近似解（精确到0.1）． 【解】设2()21f x x x =--， 先画出函数图象的简图. (如右图所示) 因为 (2)10,(3)20f f =-<=>， 所以在区间(2,3)内，方程2210x x --=有一解，记为1x .取2与3的平均数2.5，因为 (2.5)0.250f =>， 所以 12 2.5x <<. 再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<， 所以 12.25 2.5x <<. 如此继续下去，得 1(2)0,(3)0(2,3) f f x <>?∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5) f f x <>?∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5) f f x <>?∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5) f f x <>?∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>?∈ 2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的 近似值都为2.4，所以此方程的近似解为 1 2.4x ≈. 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解. 点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(b a ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步． 例2：利用计算器，求方程x x -=3lg 的近似解（精确到0.1）． 分析：分别画函数lg y x =和3y x =- 的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与 点的横坐标就是方 高一数学《用二分法求方程的近似解》教案 教学目标 知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用. 过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备. 情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一. 教学重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 教学难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解. 教材分析 本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的二分法，并在总结用二分法求函数零点的步骤中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在阅读与思考中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献. 学情分析 通过本节课的学习，使学生在知识上学会用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系;在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的绘制新函数功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作. 教学媒体分析 多媒体微机室、Authorware7.02中文版、几何画板4.06中文版、Microsoft Excel、QBASIC 语言应用程序 教学方法 用二分法求方程的近似解-经典例题及答案 例1:利用计算器，求方程X 2 2x 1 0的一个近似解(精确到0.1) 【解】设f (x) x 2 2x 1， 先画出函数图象的简图.'i (如右 图所示) 丨 因为 ； f(2) 1 0, f (3) 2 0， 所以在区间(2,3)内，方程x 2.5，因为 f (2.5) 0.25 0， 所以 2人 2.5. 再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25) 0.4375 0， 所以2.25 治 2.5. 如此继续下去，得 f(2) 0, f(3) 人(2,3) f(2) 0, f(2.5) 0 捲(2,2.5) f(2.25) 0, f (2.5) 0 x 1 (2.25, 2.5) f (2.375) 0, f (2.5) 0 x 1 (2.375,2.5) f (2.375) 0, f (2.4375) 0 为(2.375, 2.4375)，因为 2.375与 2.4375精确到 0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为 洛 2.4 . 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解 . 点评：①第一步确定零点所在的大致区间(a,b)，可利用函数性质，也可借助计算 机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一 个长度为1的区间； ②建议列表样式如下： 零点所在 区 间 区间中点函数 值 区间长 度 [2,3] f(2.5) 0 1 [2,2.5] f (2.25) 0 0.5 [2.25,2.5] f (2.375) 0 0.25 [2.375,2.5] f (2.4375) 0.125 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一 步. 1 0有一解，记为x 1.取2与3的平均数 例 2:利用计算器，求方程lgx 3 x 的近似解(精确到0.1) 1-- 3 4 I I 斗- 3-' 分析：分别画函数y lg x 和y 3 x 【例5.21】二分法求方程的根。求方程x3+4x2+x+1=0在[-5，5]之间的近似根，误差为10-4。 若函数有实根，则函数的曲线应和x轴有交点，在根附近的左右区间内，函数的值的符号应当相反。利用这一原理，逐步缩小区间的范围，保持在区间的两个端点处函数值的符号相反，就可以逐步逼近函数的根。 设f (x)在[a, b]上连续，且f (a) f (b)<0, 找使f (x)=0的点。如图5-7-2所示。 图5-7-2 二分法示意图 二分法的步骤如下： ①取区间[a, b]中点x=(a+b)/2。 ②若f (x)=0, 即(a+b)/2为方程的根。 ③否则，若f (x)与f (a)同号，则变区间为[x，b]；异号，则变区间为[a，x]。 ④重复①~③各步，直到取到近似根为止。 #include "stdio.h" #include "math.h" main() { float a,b,x; float fa,fb,fx; a=-5; b=5; fa=a*a*a+4*a*a+a+1; fb=b*b*b+4*b*b+b+1; do { x=(a+b)/2; fx=x*x*x+4*x*x+x+1; if(fa*fx<0) { b=x; fb=b*b*b+4*b*b+b+1; } else { a=x; fa=a*a*a+4*a*a+a+1; } }while(fabs(fa-fb)>1e-4); printf("x=%f\n",(a+b)/2); printf("f(%f)=%f",(a+b)/2,fa); } 运行结果： x=-3.806303 f(-3.806303)=-0.000059 经过多次迭代，当x= -3.806 303时，f(x)的结果为-0.000 059已经接近0，误差小于10- 4数量级。读者可进行简单的改写，输出每一次的迭代结果。 例1：利用计算器，求方程0122 =--x x 的一个近似解（精确到）． 【解】设2()21f x x x =--， 先画出函数图象的简图. (如右图所示) 因为 (2)10,(3)20f f =-<=>， 所以在区间(2,3)内，方程2 210x x --=有一解，记为1x .取2与3的平均数2.5，因为 (2.5)0.250f =>， 所以 12 2.5x <<. 再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<， 所以 12.25 2.5x <<. 如此继续下去，得 1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>?∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5) f f x <>?∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>?∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5) f f x <>?∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>?∈ 2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的 近似值都为2.4，所以此方程的近似解为 1 2.4x ≈. 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解. 点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(b a ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器， 但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 零点所在区间 区间中点函数值 区间长度 ]3,2[ 0)5.2(>f 1 ]5.2,2[ 0)25.2( 《§3.1.2用二分法求方程的近似解》导学案 高一数学组编写人：刘慧影审核人：房淑萍使用日期： 【学习目标】： 1.根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解； 2.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 【学习重、难点】 学习重点:：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。 学习难点：为何由I a — b丨＜￡便可判断零点的近似值为3(或b)? 【学法指导及要求】： 1、认真研读教材P89-P9I页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道 习题，不会的先绕过，做好记号； 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理到解错 题本上，多复习记忆。 【知识链接】 1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？ (1)对于函数y = /(x),我们把使__________ 的实数兀叫做函数y = /(x)的零点. (2)方程/(x) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与x轴________________________ o函数 y = /⑴ ___________ ? (3)如果函数)u /(x)在区间［a,b］上的图彖是连续不断的一条曲线，并且 有______________ ，那么，函数y = /O)在区间(“)内有零点. 【学习过程】 %1.自主学习 探究任务：二分法的思想及步骤 问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. 解法： 第一次，两端各放______ 个球，低的那一端一定有重球； 第二次，两端各放________个球，低的那一端一定有重球； 第三次，两端各放______ 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. %1.合作探讨 思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求)=lnx + 2x-6的零点所在区间？如何找出这个零点？ 一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。 用二分法求方程的近似解（1） 【教学目标】1．使学生理解利用二分法求方程的近似解的思想方法，会用二分法求某些方程的近似解 2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解． 【学习指导】我们已经学过一元一次方程、一元二次方程等方程的解法，并掌握了一些方程的求根公式．实际上，大部分方程没有求根公式，那么，这些方程怎么解？学完这一课，你就会知道利用方程的根与函数的零点的关系求方程的实数解（近似解）了． 本节的重点就是利用二分法求方程的近似解，所谓二分法就是：对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而和到零点近似值的方法． 【例题精析】 例1．借助计算机或计算器，用二分法求函数f(x)= x3-5x2-4x+2的一个零点，精确到0.05． 【分析】先用大范围法寻找零点所在的区间，然后不断使用二分法，逐步缩小区间，直至达到精度的要求． 【解法】先作出x与f(x)的对应值表，并试图找出一个根所在的区间： 通过举值，发现函数在(0，1)与(5，6)内都至少有一个零点，现不妨求(0，1)内的一个零点． 令x1=0.5，f(0.5)= -1.125．因为f(0)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0，0.5)．令x2=0.25，f(0.25)≈0.7．因为f(0.25)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.5)． 令x3=0.375，f(0.375)≈-0.15．因为f(0.375)·f(0.25)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.375)． 令x4=0.3125，f(0.3125)≈0.29．因为f(0.375)·f(0. 3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.375)． 令x5=0.359375，f(0.359375)≈-0.04．因为f(0.359375)·f(0.3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.359375)． 由于|0.359375-0.3125|=0.047＜0.05， 此时区间(0.3125，0.359375)的两个端点精确到0.05的近似值都是0.336，所以函数的一个零点为0.336． 【评注】①选好初定区间是使用二分法求近似解的关键．选取初定区间的方法有多种，常用方法有试验估计法，数形结合法，函数单调性法，函数增长速度差异法等等．②本题还有两个零点，你能把它独立求解出来吗？(答案为-1，5.646．) 例2．（师生共同探究）概括用二分法求方程的近似解的基本程序． 【分析】通过对例1的研究，希望能够对解决问题的方法进行提炼，而这一点切不可以由老师包办代替，要通过师生的合作探究解决问题．【解法】（1）在同一坐标系中分别作出两个简单函数的图象，注意两个图象与x轴的交点坐标； （2）估算出第一个解的区间（x1，x2），（x1＜x2）； 例1：利用计算器，求方程 x 2 2x 1 0的一个近似解(精确到 0.1). 2 与 2.5 的平均数 2.25，因为 f(2.25) 0.4375 2.5. x-i 2.4. 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解 点评：①第一步确定零点所在的大致区间 (a, b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器, 但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为 1的区间； ②建议列表样式如下： 零点所在 区 间 区间中点函数值 区间长度 1 0.5 0.25 0.125 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步. 例2：利用计算器，求方程Igx 3 x 的近似解(精确到0.1). 数图象的交点处，函数值相等?因此，这个 程lg x 3 x 的解.由函数y lg x 与 以发现，方程Igx 3 x 有惟一解，记为为, 【解】设f (x) x 2 2x 1,卜 I 先画出函数图象的简图 V (如右图所示) 因为 f(2) 1 0, f (3) 2 ° 入 所以在区间(2,3)内， 方程 X 2叫 f(2.5) 0.25 所以 2 x 1 2.5. 0 , x ,.取2与3的平均数 2.5，因为 再取 所以 如此继续下去，得 f(2) 0, f(3) f(2.25) f (2.375) 近似值都为 0, f (2.5) 0 0, f (2.4375) 2.4，所以此方程的近似解为 (2,3) f(2) 0, f(2.5) x 1 (2.25, 2.5) f (2.375) 0, f (2.5) 0 0 x . (2,2.5) (2.375, 2.5) 人(2.375, 2.4375)，因为 2.375与 2.4375精确到 0.1 的 X i 2.25 x , 分析：分别画函数y 的图象，在两个函 点的横坐标就是方 y 3 x 的图象可 lg x 和 y 3 x 丁 1 0有一解，记为 3斗 用二分法求方程的近似解 一、教材分析 ⒈教材的地位和作用 用二分法解方程的近似解是新课程中新增内容.为了帮助学生认识函数与方程的关系,教科书分三个层面来展现：第一层面,从简单的一元二次方程和二次函数入手,建立起方程的根和函数的零点的联系.第二层面,通过二分法求方程近似解,体现函数与方程的关系.第三层面,通过建立函数模型以及运用模型解决问题,进一步体现函数与方程的关系.本课正处于第二个层面,要求学生根据具体函数的图像,能借助计算器用二分法求相应方程的近似解,沟通了函数,方程,不等式等高中的重要内容,同时为必修3的算法学习做准备. 本节内容体现了数学的工具性、应用性,同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想等数学思想. ⒉教材的重点、难点和疑点 教学重点：二分法基本思想的理解；借助计算器用二分法求所给方程近似解的步骤和过程的掌握； 教学难点：精确度概念的理解,二分法一般步骤的归纳和概括. 教学疑点：方程近似解的选取. 二、教学目标分析 通过本节的学习达到以下目标： 1、知识目标：理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法,了解这种方 法是求方程近似解的常用方法. 2、能力目标：利用直观想象分析问题来培养学生直观想象能力,通过让学生概括二分法 思想和步骤培养学生的归纳概括能力；培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力. 3、情感目标：在问题的发现、探究过程中,感受成功的体验,激发学习的兴趣. 从知识、能力和情感态度三个维度分析学生的基础、优势和不足,是制定教学目标的重要依据.这里避免使用“使学生掌握…”、“使学生学会…”等通常字眼,体现了学生的主体地位和新课程理念. 三、学况分析和学法指导 1、高一学生通过函数和本章第一节学习,对函数的基本性质及函数与方程的联系有了初步认识,初步具备了数形结合思想方法考察问题的能力. 2、积极启发诱导,使学生学会观察问题、探究问题,自主归纳总结进而得出规律. 备课不只是对知识和教学过程的准备,也包括对学情的分析掌握和学法指导.二者的和谐统一是提高教学效果的基本要求. 四、教学方法和教学手段 建构主义认为,知识是在原有知识的基础上,在人与环境的相互作用过程中,通过同化和顺应,使自身的认知结构得以转换和发展.元认知理论指出,学习过程既是认识过程又是情感过程,是“知、情、意、行”的和谐统一.遵循教师为主导,学生为主体的教学原则,体现知识为载体, 3.1.3 二分法求方程的近似解 【学习目标】 1.通过实例了解二分法求方程近似解的原理；能借助计算器用二分法求方程的近似解； 2.体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一，感受数学中辩证唯物主义思想． 【学习重点】用“二分法”求方程的近似解． 【难点提示】“二分法”的理解与运用. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材8994P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 1.请回顾我们前面学习了的函数零点的概念、零点存在性定理等，并完成下列填空： 对于函数()y f x =，我们把使 的实数x 叫做函数()y f x =的零点. 方程()0f x =有实数根?函数()y f x =的图象与x 轴 ?函数()y f x = ；如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ， 那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点. 2.如何求一元二次函数的零点呢？ 3.一元二次方程可以用公式求根，但方程062ln =-+x x 的根怎么求解呢？通过本节内容的学习便可知道了. 二、探究新知 二分法的定义及使用二分法求零点的步骤 ●观察思考 （1）中央电视台由李咏主持的节目《幸运52》中有一项猜测商品价格的游戏，首先给出了商品价格的范围，如果是你，你将用什么方法快速猜中商品的真实价格呢？现实中还有这种方法的实例吗？ （2）有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的（要求次数越少越好）？具体做法如下(链接1)： 第一次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球. 第二次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球. 第三次，两端各放 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. 上述（2）的做法是怎样找出重的那个球的，深刻理解该方法，你能否用该方法求函数 ln 26y x x =+-的零点所在区间？又如何找出这个零点的近似值? 请阅仔细读教材P89-P90，回答以下问题： （1）我们是怎么找出函数ln 26y x x =+-的零点所在区间的？ （2）如何使用二分法？具体步骤是什么？ ●归纳概括 (1)对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足()()0f a f b ?<的函数)(x f y =， 通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 教学方法 教学程序与环节设计: 由二分查找及高次多项式方程的求问题引入. 二分法的意义、算法思想及方法步骤. 体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围. 二分法的算法思想及方法步骤， 初步应用二分法解 决简单问题. 二分法应用于实际. 1.二分法为什么可以逼近零点的再分析; 2.追寻阿贝尔和伽罗瓦. 饶平二中2010学年度第一学期高一数学（必修1）教案 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近 似解. 教学过程： 教 知识与 技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件， 了解二分法是求 方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在 实际问题中 的应用. 学 过程与 并了解这一数 目 方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解， 学思想，为学习算法做准备. 标 情感态度 与价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一. § 3.1.2用二分法求方程的近似解 课时 1课时 课题 教学重点 通过用二分法求方程的近似解， 体会函数的零点与方程根之间的 联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 教学难点 1创设情景： 材料一：二分查找(binary-search) (第六届全国青少年信息学(计算机)奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题) 某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索 (binary-search)，在最坏的情况下，需检索( )个单元。 A. 1000 B. 10 C. 100 D. 500 二分法检索(二分查找或折半查找) 演示. 2.求区间(a , b)的中点X i； 1 求下列方程的所有实根。 5342 +--+-= x x x x x 21.204508967.8701231924.7590738320.6246081017.082712590用二分法程序计算该题 (1)该方程区间以确定为[1,2] (2) 用程序中的x=(a+b)/2求区间(a,b)的中点x. (3) 判断根在那个区间 (a) 若f(a)*f(x)<0，则根在区间的左半部分,b=x; (b) 若f(a)*f(x)>0，则根在区间的右半部分,a=x; ( b) fabs(b-a)>eps;判断结果是否达到精度要求, 若没有达到,则返回前面继续执行； 若达到精度,则取最后的小区间中点作为根的近似值x=(a+b)/2； （4）运行结果 #include 1.3 用二分法求方程的近似解 大荔县朝邑中学杨艳 （一）教学目标 1．知识与技能 掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解. 2．过程与方法 体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想. 3．情感、态度及价值观 在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力. （二）教学重点与难点 重点：用二分法求方程的近似解； 难点：二分法原理的理解 （三）教材分析 本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献. （四）教学方法 讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果. （五）教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意图 《1》复习引入课题 问题：方程的根与函数的零点 1 方程的根与函数的零点 2、零点存在判定法则 3、零点个数的求法 4 求根：如何求得方程的根呢？ 《2》例题讲解 例1：例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数 ①函数f (x) = lnx + 2x – 6在区间(2，3)内有零点. ②如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可 以得到零点的近似值. ③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. ④取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5)≈–0.084.因为f (2.5)?f (3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.再取内间(2.5，3)的中点 2.75，用计算 器算得f (2.75)≈0.512.因为f (2.5)?f (2.75)＜0，所以零点在区间(2.5， 2.75)内. ⑤由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了. ⑥例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5 – 2.531 25| = 0.007 812 5 ＜0.01，所以，我们可以将x = 2.531 25作为函数 f (x) = lnx + 2x – 6零点的近似值，也即方程lnx + 2x – 6 = 0根的近 似值. 师：怎样求方程lnx + 2x – 6 = 0的根. 引导：观察图形 共同探究已知方程的根. 师生合作，借助计算机探求方程根的近似值. 区间中点的值中点函数近似值 (2,3) 2.5 –0.084 (2.5,3) 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.5625 0.066 (2.5,2.5625) 2.53125 –0.009 (2.53125,2.5625) 2.546875 0.029 (2.53125,2.546875) 2.5390625 0.010 课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解 教学目标： 知识与技能――通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想． 过程与方法――借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备． 情感、态度、价值观――通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识。通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一． 教学重点： 重点――通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点――恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 教学方法： 问题导学、数学探究：通过问题引导学生自主探究二分法的原理与步骤，以师生互动为主的教学方法。并辅以多媒体教学手段，创设问题情景，学生根据问题研讨。 教学程序与环节设计： 由猜商品价格及实际问题引入现实生活中的二分法． 提出本节课研讨的数学问题． 分析、研讨用二分法求方程近似解的思想、学生总结研讨成果，领悟新知识，提高认识. 应用二分法解决简单问题，体会函数零点的意义，明确二 分法的适用范围． 教学过程与操作设计： 260x x +-=的近似解（误差不超过 首先利用函数性质或借助计算机、出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，二分法逐步计算解答． 探究交流问题： 、你是如何确定函数()ln f x x = “用二分法求方程的近似解（一）”教案说明 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》3.1.2用二分法求方程的近似解（下面简称‘二分法’），为更好地把握这一课时内容，对本课时教案给予以下说明. 一、授课内容的数学本质 本课时的主要任务是结合3.1.1中的例1，介绍二分法的基本操作思路，在此基础上又从算法思想的角度归纳了二分法的一般操作步骤，并使学生尝试用二分法按给定的精确度、借助计算器或计算机等，求一个具体方程的近似解. 借以体验从具体到一般的认识过程，渗透运动变化（逐步逼近）和极限思想（无限逼近），初步体会“近似是普遍的、绝对的，精确则是特殊的、相对的”辩证唯物主义观点，树立追求真理、崇尚科学的信念. 函数与方程是中学数学的重要内容之一，又是初等数学和高等数学的衔接的枢纽，其实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系，因而函数与方程思想的教学，有着不可替代的重要位置。二分法的设置是通过研究函数的某些性质，把函数的零点与方程的解等同起来，加强了函数与方程的联系，突出函数的应用，这又是本节课要渗透的一个数学思想 所以本节课的本质是向学生渗透函数与方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想。 二、教学目标定位 本节课在教学内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，学生在学习了上一节的内容后，已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具有一定的数形结合思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识。但学生对于函数与方程之间的联系的认识还比较薄弱，对于函数的图象与性质的应用、计算机的使用尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程、发现函数值逼近函数零点时造成了一定的困难。 所以根据教材的要求，学生的实际情况，我将本课的教学目标设定如下：知识与技能――通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想．过程与方法――借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备． 情感、态度、价值观――通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识。通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一． 三、本课内容的承前启后、地位作用 “二分法”所涉及的主要是函数知识，其理论依据是“函数零点的存在性（定理）”，本课“承前”是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸。 算法作为一种计算机时代最重要的数学思想方法，将作为新课程新增的内容安排在数学必修3中进行教学，“二分法”是数学必修3教学的一个前奏和准备，“启后”是渗透近似思想、逼近思想和算法思想的重要内容。 四、与其他知识、其他学科的联系及应用 “二分法”不仅是求一元方程近似解的常用方法，利用“二分法”还可以帮 二分法求方程近似解 1．二分法 对于在区间上连续不断，且满足()f a ?)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数 )(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值 的方法叫做二分法． 2．给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间[,]a b ，验证()f a ?)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间(,)a b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ： ①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点； ② 若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε：即若ε<-||b a ，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4． 例1：利用计算器，求方程0122 =--x x 的一个近似解（精确到0.1）． 【解】设2()21f x x x =--， 先画出函数图象的简图. (如右图所示) 因为 (2)10,(3)20f f =-<=>， 所以在区间(2,3)内，方程2210x x --=有一解，记为1x .取2与3的平均数2.5，因为 (2.5)0.250f =>， 所以 12 2.5x <<. 再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<， 所以 12.25 2.5x <<. 如此继续下去，得 1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>?∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5) f f x <>?∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>?∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5) f f x <>?∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>?∈ 2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的 近似值都为2.4，所以此方程的近似解为 1 2.4x ≈. 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解. 点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(b a ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器， 但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； ②建议列表样式如下： 零点所在 区间 区间中点函数值 区间长度 ]3,2[ 0)5.2(>f 1高中数学教材必修一《用二分法求方程的近似解》教学设计
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