经典的微积分习题库
习题1—2
1．确定下列函数的定义域：
（1）91
2
-=x y ；
（2）x y a arcsin log =；
（3）x
y πsin 2
=
； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 2
1
arccos 2x x y a -+-= 2．求函数
?????=≠=)
0(0
)0(1sin x x x
y
的定义域和值域。
3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？
（1）2)(,)(x x g x x f ==；
（2）2
sin 21)(,cos )(2π
-==x g x x f ；
（3）1)(,1
1
)(2-=+-=x x g x x x f ；
（4）0)(,)(x x g x
x
x f ==
。 4．设x x f sin )(=证明：
??
? ??
+=-+2cos 2sin
2)()(x x x
x f x x f ??? 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。
6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？
（1）)1(22x x y -= （2）3
23x x y -=； （3）2
211x x y +-=； （4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2
x
x a a y -+=。
7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：
（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。
8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。
10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。
11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。
（1）t x x y sin ,3==
（2）2,x u a y u ==； （3）23,log 2+==x u u y a ；
（4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。
12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）321)1(++=x y
（2）2
)1(3+=x y ；
（3）)13(sin 2+=x y
（4）32cos log x y a =。
13．求下列函数的反函数： （1）x y sin 2=；
（2）)2(log 1++=x y a ；
（3）1
22+=x x
y 。
习题1—3
1．利用数列极限定义证明：如果A u n n =∞
→lim ，则||||lim A u n n =∞
→，并举例说明反之不然。
习题1—4
1．设?
??≥+<=)1(1)1()(2x x x x x f
（1）作函数)(x f y =的图形； （2）根据图形求极限)(lim 1
x f x -→与)(lim 1
x f x +→；
（3）当1→x 时，)(x f 有极限吗？ 2．求下列函数极限：
（1）|
|lim 0x x x +→； （2）||lim 20x x x
x ++→；
（3）||lim 2
x x x
x +-
→。 3．下列极限是否存在？为什么？ （1）x x sin lim +∞
→；
（2）x x arctan lim ∞
→；
（3）x
x 1cos
lim 0
→； （4）)e 1(lim x x -∞
→+；
（5）1
|
1|lim
1--→x x x ；
（6）x x -+∞
→e lim 。
习题1—5
求下列极限
1．???? ??+++?+?∞→)1(1321211lim n n x Λ； 2. ??? ??+++∞→22221
lim n n n n x Λ； 3. 3
5
lim 22-+→x x x ； 4．11
2lim 221++-→x x x x ；
5. h
x h x h 2
20)(lim -+→； 6. 1
1
lim
3
1
--→x x x 。
习题1—6
1．求下列极限：
（1）)0(sin sin lim 0≠→b bx ax
x ；
（2）30sin tan lim
x
x
x x -→； （3）x
x x
x sin cos 1lim
0-→；
（4）x x
x x sin tan 2lim 0-→；
（5）x x
x arcsin lim 0→；
（6）x
x x ??
? ?
?
+
∞→21lim ； （7）t
t t ??
? ??-∞→11lim ；
（8）3
11lim +∞→?
?
? ??+x x x ；
（9）x x x cot 0
)tan 1(lim +→；
（10）x
x a x a x ??
?
??-+∞→lim ；
（11）1
22
212lim +∞→???
?
??++x x x x ； （12）n
x n ??
? ??
-∞→211lim 。
2．利用极限存在准则证明：
（1）11211
lim 2
22=??
?
??++++++∞→π
ππn n n n n x Λ； （2）数列222,22,2+++，…的极限存在； （3）11
1
lim 2=+++∞
→x x x 。
习题1—7
1．当n 无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？
（1）21n
； （2）1)1(+-n n ； （3）n n 12+； （4）n n π
cos 1-。
2．已知函数
x x x x
x x x -+e ,e ),1ln(,1
,1,sin 2
（1）当0→x 时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？ （2）当+∞→x 时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？
（3）“x
1
是无穷小”，这种说法确切吗？
3．函数x x y cos =在),(∞+-∞是是否有界？又当+∞→x 地，这个函数是否为无穷大？为什么？
4．求下列极限 （1）1
000!lim 2+∞→n n
x ；
（2）2
lim
2-+∞
→n n n x ； （3）n n
x b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim
；
)1||,1|(|<
（4）113)2(2)2(lim ++∞→+-+-n n n n x ； （5）1lim 3
1+-→x x x ； （6）15614lim 222
1+--→
x x x x ；
5．求下列极限：
（1）??
? ??
++∞→x x x x sin e lim ；
（2）x
x x 1
cos
lim 0
?→； （3）ππ
n n
n sin lim
∞
→；
（4）x
x
x arctan lim ∞→； （5）x x x arctan e lim -∞→； （6）x x x arctan e lim -+∞→。
6．下列各题的做法是否正确？为什么？ （1）∞=--=--→→→)
9(lim )9(lim 99lim
9
2929x x x x x x x （2）01
1
lim 11lim )1111(
lim 21121
=∞-∞=---=---→→→x x x x x x x
（3）01
lim cos lim cos lim
=?=∞→∞→∞→x
x x x x x x 。
7．证明：当0→x 时，x x ~arcsin ，x x ~arctan 。 8．利用等价无穷小的性质，求下极限：
（1）x x x 3sin 2sin lim 0→； （2）x
x
x arctan 2sin lim 0→；
（3）m n x x x )(sin sin lim 0→（n m ,为正整数）；（4）x
x
x cos 1lim 0-+→。 9．当1→x 时，233+-x x 是1-x 是多少阶无穷小？
10．当+∞→x 时，114++x x 是x 1
是多少阶无穷小？
11．当∞→x 时，x x 1sin 1是x
1
是多少阶无穷小？
习题1—8
1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： （1）x
x
x f =)(；
（2）?
??≤<-≤≤=)21(2)
10()(2x x x x x f ；
（3）???>≤=)
1|(|)1|(|)(2x x x x x f ； （4）???=≠=)0(1)
0(||)(x x x x ?。
2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。
（1）23122+--=x x x y ； （2）x n y tan =； （3）x
y 1
cos 2=。
3．a 为何值时函数???≤<+≤≤=)21()
10(e )(x x a x x f x 在[0，2]上连续？
4．讨论函数x x x x f n
n
n 2211lim
)(+-=∞→的连续性，若有间断点，判断共类型。
习题1—9
1．设)(x f 连续，证明|)(|x f 也是连续的。
2．若)(x f 在],[b a 上连续，且在],[b a 上)(x f 恒为正，证明：)
(1
x f 在],[b a 上迹连续。
3．求下列极限：
（1）52lim
20
+-→x x x ； （2）34
)2(sin lim x x π
→
； （3）x
x
x x sin 3sin 5sin lim
0-→；
（4）a
x a
x a x --→sin sin lim ； （5）)0(lim
>--→a b x a a b x b x ； （6）x
x x )
31ln(lim
0+→；
（7）x x x
x +→20sin lim ； （8）x x th lim +∞
→；
（9）)12(lim 3
-+-∞
→x x x ；
（10）4
2
2lim 2
2
--+-+
→x x x x ；
（11）1
lim
++++∞
→x x
x x x
（12）x
a
x a x ln )ln(lim 0-+→。
习题1—10
1．证明：方程135=-x x 在区间（1，2）上至少有一个根。
2．设)(x f 在闭区间[a ，b ]上连续，n x x x ,,,21Λ是[a ，b ]内的n 个点，证明：],[b a ∈?ξ，使得
n
x f x f x f f n )
()()()(21+++=
Λξ
习题2—1
1．用导数定义求下列函数的导数： （1）b ax y += （b a ,是常数）；
（2）x x f cos )(=；
（3）x
y 1
=
。 2．下列各题中假定)(0x f '存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么？ （1）A x
x f x x f x =--→???)()(lim 000
； （2）A x x f x =→)
(lim 0，其中，0)0(=f ；
（3）A h
h x f h x f h =--+→)
()(lim
000。
3．利用幂函数求导数公式，求下列函数的导数：
（1）x x y ?=2； （2）326.1x x y ?=； （3）2
x x y =
；
（4）5
32x
x x y ?=
。
4．已知函数x
x f 1
)(=
，求)2(),1(-''f f 。 5．已知函数x x f =)(，求)4(),2(f f ''。
6．自由落体运动22
1
gt s =（g =9.8米/秒2）。
（1）求在从5=t 秒到（t t ?+）秒时间区间内运动的平均速度，设1=?t 秒，1.0-秒，
0.001秒；
（2）求落体在5秒末的瞬时速度； （3）求落体在任意时刻t 的瞬时速度。
7．函数在某点没有导数，函数所表示的曲线在该点是不是就没有切线？举例说明。
8．设函数?
??>+≤=)1()
1()(2x b ax x x x f 为了使函数)(x f 在1=x 处连续可导，a ，b 应取什
么值？
9．求曲线x y sin =在π=x 及3
2
=x π处的切线斜率。
10．求曲线3x y =上取横坐标为11=x 及32=x 的两点，作过这两点的割线。问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？
12．证明函数数?????=≠=)0(0
)
0(1sin )(x x x
x x f 在0=x 处连续，但不可导。 13．函数|sin |x y =在0=x 处的导数是否存在，为什么？ 14．讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性：
（1）?????=≠=)0(0)
0(1sin )(2
x x x
x x f 在点0=x 处； （2）1
1
--=x x y 在点1=x 处；
（3）|2|+=x y 在点2-=x 处。
习题2—2
1．求下列函数的导数： （1）c bx ax y ++=2； （2）)2(2x x y +=； （3）)1()1()(2-+=v v v f ；
（4）x x y cos 2=；
（5）???ρsin )(=； （6）x a y x 2
3-=；
（7）2
11
x
x y ++=
； （8）t
t
s sin 1sin 1+-=
；
（9）t t y sin )sec 2(+=。
2．求下列函数在指定点处的导数：
（1）0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ，求)0(f '，)1(f '；
（2）)2sin(2-=x x y ，求)2(y '。
3．求下列函数的导数（其中x ，t 是自变量，b a ,是大于零的常数）： （1）2
21x a y -=
； （2）2
22a x x y +=
； （3）x y 2ln 1+=； （4）2
tan
x
y =；
（5）x y e 1+=；
（6）2cos x y =；
（7）2
1121x x y ++
+=；（8）2
cot 3sin 2
x
x y =； （9）)12(sin 2-=x y ；
（10）21sin x y +=； （11）321cot x y +=；
（12）2
2
sine -+=x x
y ； （13）)(cos cos 22x y =； （14）x
x y 1
sin 2=； （15）??
? ?
?
+
+=x x y 1tan 1； （16）x x y ln /2=；
（17）t t y 33-= （18）)21ln(2x x x y +++=；
（19）x y 3
sin e =；
（20）)(ln 23x y =；
（21）)]ln[ln(ln t y =；
（22）x
y 1
arccos =；
（23）x y 31arccos -=； （24）x x y arctan =；
（25）2
1arccos x x x y --= （26）2
1arcsin x x
y -=； （27）x x y -??? ??
=e 1arccos 2
；
（28）x x y +-=11arcsin
； （29）)1ln(arctan 2x y +=；（30）x
x
y arccos arcsin =； （31）???
? ??=x y 1arccos cos ；（32）x
x y e arctan e arcsin +=；（33）b
x
x
a x x
b b a y ??? ????? ????? ??=； （34）x
y 1
sin 2
e
-=； （35）)ch(sh x y =； （36）)th(ln x y =； （37）x x y ch e sh =；
（38）)arctan(th x y =
（39）x
x y 2
ch 21)ln(ch +
=。
4．求与曲线52+=x y 相切且通过点（1，2）的直线方程。
5．求曲线x x y ln =的平行于直线0322=+-y x 的法线方程。 6．抛物线2x y =上哪一点的切线与直线013=+-y x 交成45°角。
7．求过曲线22e x y x +=上横坐标0=x 的点处的法线方程，并求从原点到该法线的距离。
8．设)(x f 对x 可导，求x
y
d d ：
（1）)(2x f y =； （2）)(e )(e x f x f y =；
（3）)]([x f f y =
（4）)(cos )(sin 22x f x f y +=。
习题2—3
1．求下列函数的二阶导数： （1）x x y cos =； （2）2
2
x a y -=；
（3）x
x x y 4
23++=；
（4）x y tan =； （5）x x y arctan )1(2+=； （6）x
y e
=；
（7）x y sin ln =；
（8）x x x y 3sin 2sin sin ??=；（9）)ln(22a x x y -+=。
2．验证函数2121,,(e e C C C C y x x λλλ-+=是常数）满足关系式02=-''y y λ。 3．验证函数x y x sin e =满足关系式022=+'-''y y y 。
4．求下列函数的高阶导数： （1）x x y 22e =，求)20(y ； （2）x x y 2sin 2=，求)50(y 。
5．若)(x f ''存在，求下列函数y 的二阶导数2
2d d x y ：
（1）)(2x f y =
（2）)(sin 2x f y =；
（3）)](ln[x f y =。
6．试从y y x '=1
d d 导出3
22)
(d d y y y x '''-=。
习题2—4
1．求下列方程所确定的隐函数y 的导数
x
y
d d ： （1）222R y x =+； （2）222a y xy x =++；
（3）y x xy +=e ；
（4）x y y x =
（5）)sin(cos y x y x +=；
（6）22ln arctan y x x y
+=。
2．利用对数求导法求下列函数的导数： （1）x
x
y 2=；
（2）x
x y )(ln =； （3）x
x y 1=
； （4）x
x y cos )
(sin =； （5）)
1)(25(2
3---=
x x x y ；
（6）3
2
2)
1()
1(-+=x x x y 。
3．求圆17)3()1(22=++-y x 过点（2，1）的切线方程。 4．设)sin(y x y +=，求y ''。 5．设s t s e 1+=，求t s ''。
6．已知???==t
y t x 42， 求 2
2d d ,d d x y
x y 。 7．已知星形线?????==t
a y t
a x 33sin cos ， 求 22d d ,d d x y x y 。 8．已知摆线?
??-=-=)cos 1()sin (???a y a x ，求 22d d ,d d x y
x y 。 9．求下列曲线在给定点处的切线和法线方程：
（1）???==θθsin cos b y a x ，在4πθ=处； （2）???
?
???+=
+=22
21313t at y t at x ，在2=t 处。 10．已知质点运动方程为?????=-+=2
2421t
y t
t x
（1）求质点出发时所在的位置；
（2）2=t 秒时的水平与铅直方向的速度； （3）求水平方向加速度与铅直方向加速度。
11．验证参量方程??
???==t y t
x t
t cos e sin e ，
所确定的函数y 满足关系式
??
? ??-=+y x y x y x x y
d d 2)(d d 2
22。 12．一架直升机离开地面时，距离一观察者120米，它以40米/秒的速度垂直上飞，求起飞后15秒时，飞机飞离观察者的速度？
13．将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速度为多少？
14．有一长为5米的梯子，靠在墙上，若它的下端沿地板以3米/秒的速度离开墙脚滑动，问：
（1）当其下端离开墙脚多少米，梯子的上、下端滑动的速率相同？ （2）它的下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速率是多少？ （3）何时它的上端下滑的速率为4米/秒？
习题2—5
1．求下列函数的微分 （1）1352++=x x y ； （2）)4)(2(2-+=x x x y ；
（3）
)12arcsin(2-=x y ；
（4）x x y +=2ln 2； （5）)tan ln(sec t t y +=； 2．求下列函数在指定点的微分：
（1）x y arcsin =，在2
1
=x 和22α=x 时)2|(|<α；
（2）2
1x
x
y +=，在0=x 和1=x 处。 3．求下列函数在指定条件下的微分：
（1）1.0,10,2==-=x x x x y ?； （2）2
)1(tan 1+=x y ，当x 从6π变到36061π
时。 4．若函数12+=x y ，
（1）在1=x 处，01.0=x ?，试计算y y ?,d 及y y d -?；
（2）将点x 处的微分y d ，增量y ?和y y d -?在函数图形上标出。 5．填空：
（1）x x d 2)d(=； （2）x x d 1
)d(=
（3）x x
d 1)d(2=； （4）x x d
e )d(-=； （5）x x d 2sin )d(=；
（6）x x
2d )d(= （7）x x x d )(
d e )d(22
==；（8）x x x x d )()d(cos )d()cos d(sin =+=+。
1．验证x x F sin ln )(=在?
?????65,6ππ上满足Rolle 定理的条件，并在??
?
??65,6ππ上，找出使0)(='ξf 的ξ。
2．以定义在[1，3]上的函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 为例，说明Rolle 定理是正确的。
3．已知函数)1()1(,1)(32f f x x f =--=，但在[-1，1]没有导数为零的点，这与Rolle 定理是否矛盾？为什么？
4．验证函数x x f arctan )(=在[0，1]上满足Lagrange 中值定理的条件，并在区间（0，1）内找出使))(()()(a b f a f b f -'=-ξ成立的ξ。
5．当0 x f 1 )(=在（a ，b ）上能否找到满足有限增量公式的ξ点？ 这与Lagrange 中值定理是否矛盾？ 6．不用求出函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(='x f 有几个实根？并指出它们所在的区间。 7．证明恒等式：)11(2 arccos arcsin ≤≤-=+x x x π 。 8．若方程011 1=+++--x a x a x a n n n n Λ有一个正根0x x =，证明：方程 0)1(1211=++-+---a x n a nx a n n n n Λ必有一个小于0x 的正根。 9．若函数)(x f 在),(b a 上具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==其中，b x x x a <<<<321，证明：在（31,x x ）上至少有一点ξ，使得0)(=''ξf 。 12．证明下列不等式： （1）|||sin sin |1212x x x x -≤-； （2）|||arctan arctan |1212x x x x -≤-； （3）当1>x 时，x x e e >。 习题3—2 1．求下列各题的极限： （1）x x x ) 1ln(lim 0+→； （2）)0(lim 33 >--→a a x a x a x ； （3）x x x sin ln 3sin ln lim 0 + →； （4）x x x x sin e e lim 0-→-； （5）2/120e lim x x x →； （6）x x x cot arc 11ln lim ? ? ? ?? ++∞→； （7）)1ln(ln lim 1-?+→x x x ；（8）?? ? ??--→x x x x ln 11lim 1； （9）x x x sin 0 lim +→； （10）x x x tan 01lim ?? ? ??+→； （11）)0,1(lim >>+∞→n a a x x n x ； （12）3 sin lim 0x x x x ??? ??→。 2．验证x x x x x cos sin lim +-+∞→存在，但不能用L 'Hospital 法则计算。 1．将x 的多项式435234+-+-x x x x 表为（4-x ）的多项式。 2．应用Maclaurin 公式，将函数33)13()(+-=x x x f 表示为x 的多项式。 3．当40=x 时，求函数x y =的三阶Taylor 公式。 4．当10-=x 时，求函数x x f 1 )(=的n 阶Taylor 公式，并写出拉格朗日型余项。 习题3—4 1．判定函数)20(cos )(π≤≤+=x x x x f 的单调性。 2．证明：x x y +=3单调增加。 3．判定函数x x x f -=arctan )(的单调性。 4．证明：x x y 1 2-=在不含点0=x 的任何区间都是单调增加的。 5．求下列函数的单调区间： （1）7186223---=x x x y ； （2）45)12()2(+-=x x y ； （3）x x x y 69410 2 3+-=； （4）)0())(2(32>--=a x a a x y ； （5）x x y ln 22-=； （6）)1ln(2x x y ++=。 6．证明下列不等式： （1）x x +>+12 1 1 )0(>x ； （2）)0(1)1ln(12 2>+>+++x x x x x ； （3）??? ?? <<>+202tan sin πx x x x ； （4）)0(arctan ≤≥x x x 。 7．试证方程x x =sin 只有一个实根。 8．试确定方程029323=+--x x x 的实根个数，并指出这些根所在范围。 9．单调函数的导函数是否必为单调函数？（研究：x x x f sin )(+=） 习题3—5 1．求下列函数的极值： （1）2332x x y -=； （2）2 5431x x y ++= ； （3）)1ln(2x x y +-=； （4）x x y 1 =； （5）x x y -+=e e 2； （6）x x y tan +=。 2．求下列函数在指定区间上的最大值和最小值： （1）155345++-=x x x y ， ]2,1[-； （2）,112 2x x x x y -++-= ]1,0[； （3）x b x a y -+ =12 2， )0(),1,0(>>b a ； （4）x x y -+=1， ]1,5[-； （5）x x y -=2sin ， ?? ????-2,2ππ； （6）x x y +-=11arctan ， ]1,0[； （7）|23|)(2+-=x x x f ， ]10,10[-。 3．将8分为两部分，怎样分才使它们的立方之和为最小？ 4．设一球的半径为R ，内接于此球的圆柱体的最高为h ，问h 为多大时圆柱的体积最大？ 5．过平面上一已知点)4,1(P 引一条直线，要使它在二坐标轴上的截距都为正，且它们之和为最小，求此直线的方程。 6．对某个量x 进行n 次测量，得到n 个测量值n x x x ,,,21Λ，试证：当x 取这n 上数的算术平均值 n x x x n +++Λ21时，所产生的误差的平方和： 22221)()()(n x x x x x x -++-+-Λ为最小。 7．有一杠杆，支点在它的一端，在距支点0.1m 处挂一重量为49kg 的物体，加力于杠杆的另一端，使杠杆保持水平（图3.5.3），如果杠杆本身每米的重量为5kg ，求最省力的杆长？ 8．从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（图 3.5.4）。问留下的扇形的中心角?为多大时，做成的漏斗的容积最大？ 习题3—6 1．求下列各函数的凹凸区间及拐点： （1）5352 3 -+-=x x x y ； （2）2 2 3 3a x x y += （a 为任意正数）； （3）5x y =； （4）x x y e )1(4++=； （5）x y arctan e =； （6）)1ln(2+=x y ； （7）)7ln 12(4-=x x y ； （8）x x y -=e 。 2．问a 和b 为何值时，点（1，3）为曲线23bx ax y +=的拐点？ 3．求曲线?? ???+==3 23t t y t x 的拐点。 4．试确定22)3(-=x k y 中的k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。 习题3—7 求下列曲线的渐近线： 1．5 41 2+-=x x y ； 2．2)1)(1(x x x y -+=； 3．3 4)1(x x y +=； 4．1 2 2-= x x y ； 5．2 arctan 2x x y +=。 习题3—8 描绘下列函数的图形： 1．)786(51 24++-=x x x y 。 2．241 x x y +=。 3．2 )1(e --=x y 。 4．)1ln(2+=x y 。 5．)0(92 2 3 >+= a a x a y 。 6．)0(sin e ≥=-x x y x 。 习题3—9 1．求抛物线342+-=x x y 在顶点处的曲率及曲率半径。 2．计算曲线x y ch =上点（0，1）处的曲率。 3．求曲线?? ???==t a y t a x 3 3sin cos 在0t t =处的曲率。 4．求曲线???-=+=) cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 在2π =t 处的曲率。 5．证明曲线a x a y ch =在任何一点处的曲率半径为a y 2。 习题3—10 1．试证明方程0155=++x x 在区间（0,1-）内有惟一的实根，并用切线法求这个根的近似值，使误差不超过0.01。 2．求方程1lg =x x 的近似根，使误差不超过0.01。 习题4—1 1．定积分 ? b a x x f d )(的几何意义可否解释为： 介于曲线)(x f y =，x 轴与b x a x ==,之间的曲边梯形的面积？ 2．设物体沿x 轴，在变力)(x F F =的作用上，由点a 移到点)(b a b <，试用定积分概念（积分和式的极限）来表示变力F 所作的功W 3．利用定积分的几何意义，说明下列等式： （1）1d 210 =? x x ； （2）? = -10 24 d 1π x x ； （3） ?- =π π0d sin x x ； （4） ?? -=22 20 d cos 2d cos π ππ x x x x 。 4．把下列定积分写成积分和式的极限： （1）?+102d 11 x x ； （2）? π0 d sin x x 。 5．根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大？ （1）?102 d x x 与 ? 10 3 d x x ； （2）? 2 1 2 d x x 与 ? 2 1 2d x x ； （3） ? 2 1 d ln x x 与 ? 2 1 2 d )(ln x x ； （4） ? --?? ? ??12d 31x x 与? --12 d 3x x 。 6．求由 ? ? =+ -y x t t t t 0 20d )cos(d e 2 确定的隐函数y 对x 的导数 x y d d 。 7．计算下列各导数： （1）? x t t t x 1d sin d d ； （2） ?x t t x ln 1d e d d 2 ； （3）x x y y d 1d d 40 +? ； （4） ? -22 d e d d x x t t x 。 8．计算下列各定积分： （1）? 3 1 3d x x ； （2）? +94 d )1(x x x ； （3） ? --212 12 1d x x ； （4） ? + 3 3/12 1d x x ； （5）?-10 d e x x （6） ? 40 2d tan π θθ； （7） ? π20 d |sin |x x ； （8）设???>≤=) 1(3) 1(2)(2 x x x x x f ，求? 20 d )(x x f 。 9．求下列极限 （1）? →0sin 20d )cos(1lim x x t t x ； （2）1 d )(arctan lim 2 20 2+? +∞ →x t t x x 10．设?? ?≤<≤≤=) 21() 10()(2 x x x x x f ， 求? = x t t f x 0 d )()(Φ在[0，2]上的表达式，并讨论)(x Φ在（0，2）内的连续性。 11．求极限 2 3)321(lim - ∞ →++++n n n Λ。 习题4—2 1．求下列不定积分（其中，a ，m ，n ，g 为常数）： （1）?x x x d ； （2）? x x x 2 d ； （3） ? x x m n d ； （4）? ??? ? ??+--u u u u d 1136.0； （5）? gh h 2d ； （6） ? -x x d )2(2； （7） ?+x x d )1(2 2 ； （8） ?-+x x x d )1)(1( 3 ； （9）? +x x x d 3104 3； （10）? -x x x d )1(2 ； （11） ? +++x x x x d 1 1 33224； （12）x x x d 12 1322 ? ??? ? ? ?--+； （13）? ??? ? ??--x x x x d e 1e 2； （14）??t a t t d e ； （15） ? ?-?x x x x d 3 2532； （16）?-x x x x d )tan (sec sec ；（17）? x x d tan 2； （18） ? +x x 2cos 1d ； （19） ? x x d 2 cos 2 ； （20） ? -x x x x d sin cos 2cos ； （21） ? ?x x x x d sin cos 2cos 22。 2．x x x sh e ,e 2 1 2和x x ch e 是否都是x 2e 的原函数？ 3．已知曲线上任意一点的切线的斜率为切点横坐标的二倍，求满足上述条件的所有曲线方程，并求出过点（0，1）的曲线方程。 4．一物体由静止开始运动，经t 和后的速度是23t （米/秒），问： （1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完360米需要多少时间？ 习题4—3 1．计算下列不定积分： （1）?t t d e 5； （2）? -x x d )21(5； （3） ? -x x 23d ； （4）?-x x d 28； （5）? t t t d sin ； （6）? +x x x d e e ； （7） ? -+x x a x a d ； （8） ?x x x x ln ln ln d ； （9）? x x x d sec tan 210； （10）? ?x x x cos sin d ； （11）?-+x x x e e d ； （12）? x x x d )cos(2； （13）? +x x x d 46 2 ； （14）? +x x x d 13 2 ； （15） ? -x x x d 4 12； （16）? +-x x x x d e 1)e 1(e 2； （17）? ?x x x d sin cos 34； （18）?+?x x x x d cos 1sin cos 2 ； （19）? --x x x d 11 22 ； （20）?+x x x d 92 3 ； （21）?++x x x x d 5 224 ； （22） ?-2 4d x x ； （23） ?-1 2d 2x x ； （24） ? -+) 2)(1(d x x x ； （25）?x x d cos 2 ； （26）?+t wt d )(cos 2 ?； （27）??x x x d sec tan 3 ； （28）?-x x x d 1102 arccos 2； （29）??x x x d 5cos 3cos ； （30）?-2 2 1) (arcsin d x x x ； （31） ? -2 2 2d x a x x ； （32） ?-1d 2 x x x ； （33） ? +3 2 ) 1(d x x ； （34） ? -x x x d 9 2； （35）?+ x x 21d ； （36） ?-+ 2 11d x x 。 2．计算下列定积分 （1）? -+122sin 1d x x ； （2）? -++02 2 2 2d x x x ； （3）? +411d x x ； （4）? +40 2sin 1d π x x ； （5） ?2 /6 /2d cos ππ u u ； （6）? -10d 1x x x ； （7） ? --2 2 2 d 28y y ； （8） x x a x a d 0 2 22 ? - （9） ? -22 /12 2d 1x x x ； （10） ?+312 21d x x x ； （11） ? +3 0)1(d x x x ； （12） ? -a x a x x 20 2 2 3d ； （13） t t t t d e 10 2? - ； （14）? +2e 1 ln 1d x x ； （15） ?-22 d 2cos cos π πx x x ； （16） ?- -22 3 d cos cos π π x x x ； （17）? +π d 2cos 1x x ； （18）? +10 1 e d x x 。 3．利用函数的奇偶性计算下列积分 （1）?- π πx x x d sin 4 ； （2）?-22 4 d cos 4π πθθ； （3） ? --212 12 2 d 1)(arcsin x x x ； （4） ? -++55 2 4 23d 1 2sin x x x x x 。 4．设)(x f 为连续函数，证明： ? ? >=a a a x x xf x x f x 00 2 32)0(d )(2 1 d )(。 5．设)(x f 在],[b b -上连续，证明： ?? ---= b b b b x x f x x f d )(d )(。 6．对于任意常数a ，证明： ? ? -= a a x x a f x x f 0 d )(d )(。 7．证明：? ? >+= + 1 11 2 2 )0(1d 1d x x x x x x x 。 8．证明：? ? -= -10 1 d )1(d )1(x x x x x x m n n m 。 9．证明： ? ? =π π 20 d sin 2 d sin x x z x n n 。 10．设)(x f 是以l 2为周期的连续函数，证明：? +-l a l a x x f d )(的值与a 无关。 11．若)(x f 是连续函数且为奇函数，证明：? x t t f 0 d )(是偶函数； 若)(x f 连续函数且为偶函数，证明：? x t t f 0 d )(是奇函数。 习题4—4 1．计算下列不定积分： （1）? x mx x d cos ； （2）?-t t t d e 2； （3）? t t d arcsin ； （4）?-x x x d )1ln(； （5）?x x x d ln 2； （6）?x x x d arctan 2 ； （7）?x x x d tan 2 ； （8）?x x x d cos 2 ； （9）?x x d )(ln 2 ； （10）?-x x x d ) 1(ln 2 ； （11）?-x x x d 2sin )1(2；（12）? ?x x x x d cos sin ； （13）?dx ) (ln 2 2x x ； （14）? -x x x d 2 sin e 2； （15）?x nx ax d sin e ； （16）x x d e 1 2-? ； （17）?x x x d cos 2； （18）x x ? d )(arcsin 2； （19） ? ++x x x d 1 )1ln(； （20）x a x x d 222 ?+； （21）?x x d arctan 。 2．计算下列定积分： （1） ? e 1d ln x x x ； （2）?3 42d sin π πx x x ； （3） ? π 2d )sin (x x x ； （4）?-+1 02 d )2() 1ln(x x x ； （5）? -2 1 2 d 1arctan x x ； （6）?20 2d cos e π x x x ； （7）? e 1 d )sin(ln x x ； （8） ? 40 d e x x ； （9） ? -e e 1 d |ln |x x 。 习题4—5 1．求下列不定积分： （1）?-++x x x x d 10 3322 ； （2）? --+x x x x x d 8 345； （3） ?+x x d 1 3 3 （4）? +++)3)(2)(1(d x x x x x ；（5） ? -++x x x x d ) 1()1(122； （6）? +)1(d 2x x x ； （7）? ++))(1(d 22x x x x ； （8）? +1 d 4x x （9）? -x x d 1 1 4； （10）?+x x tan 1d ； （11）? ++x x x cos sin 1d ； （12）? ++3 1 1d x x ； （13）? ++x x x d 1 1)(3； （14）?++-+x x x d 1111； （15） ? +x x x d 14； （16） ? -+x x x d 11； （17） ? +x x x d ) 1(1； （18） ?++x x x x d 2 212 。 2．用学过的方法求下列不定积分 （1）?-x x x d ) 1(3 ； （2）? +x x x d )6(3611； （3） ? ++x x x x d sin cos 1； （4）?x x x d ln ln ； （5）? -2 /522) (d x a x ； （6） ? +x x x d 11 24； （7） ? x x x d sin ； （8）? +x x d )1ln(2； （9）? x x x x d sin cos 3 ； （10） ? +x x x d sin cos 1； （11） ?+x x x d ) 1(2 83 ； （12）x x x x d 2 34 811 ? ++； （13） ?-x x x d 14 2 ； （14） ? x x x d sin 2cos 34 π ； （15） ?+x x x x x d ( 3 3 ； （16）? x x d 2sin e 2 sin ； （17）? ++x x x d )]1[ln(22；（18） ?+x x x d ) 1(ln 2 /32； （19） x x x d arcsin 12 ? -；（20） ? -x x x x d 1arccos 2 2； （21） ?+x x x d 2sin tan 1； （22）?x x x d cos sin 14 4； （23）? +-x x x d cos 2sin 2； （24） ? +x x x x x d cos sin cos sin 。 习题5—2 1．求由下列各曲线所围图形的面积： （1）x y x y -+==1e ,ln 及直线0=y ； （2）x x y y -==e ,e 及直线1=x ； （3）y x y ,ln =轴与直线)0(ln ,ln b a b y a y <<==；（4）2x y =与直线x y =及x y 2=。 2．求由下列曲线所围图形的面积： （1）θcos 2a r =； （2）t a y t a x 33sin ,cos ==； （3）)cos 2(2θ+=a r 。 3．求下列各曲线所围图形的公共部分的面积： （1）1=r 及θsin 1+=r ； （2）θsin 2=r 及θ2cos 2=r 。 习题5—3 1．设D 曲线x y sin 1+=与三角直线0,,0===y x x π围成的曲边梯形，求D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体积。 2．求2x y =与3x y =围成的图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积。 3．有一铸件，系由抛物线110 ,1012 2+==x y x y 与直线10=y 围成的图形绕y 轴旋转而 成的旋转体。试算出其质量（长度单位是10-2m ，铸件密度7.8×103kg/m 3）。 4．求下列曲线围成的图形沿给定轴旋转产生的旋转体之体积： （1）2x y =，2y x =，绕y 轴； （2）16)5(22=-+y x ，绕x 轴。 5．设有截锥体，高为h 上、下底为椭圆，椭圆的轴长分别为a 2，b 2和A 2，B 2，求截锥体的体积。 6．计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底而上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的体积（图5.3.5）。 习题5—4 1．计算曲线x y ln =上相应于83≤≤x 的一段弧的长度。 2．计算曲线)3(3 x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的长度。 3．求曲线?- = x x x y 2 d cos π 的弧长。 4．计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==的全长。 5．计算渐伸线)cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x -=+=上相应于t 从0到π的一段弧的长度。 6．求对数螺线θa r e =自0=θ到?θ=的一段弧长。 7．求曲线1=θr 自43=θ到3 4 =θ的一段弧长。 8．求心形线)cos 1(θ+=a r 的全长。 9．计算曲线)1ln(2 1 ,arctan 2t y t x +==从0=t 到1=t 的弧长。 习题5—6 1．直径为20厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强为10Newton/厘米2的蒸气，设温度保持不变，要使蒸气体积缩小一半，问需要做多少功? 2．一物体按规律3ct x =作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体在由0=x 移至a x =时，克服媒质阻力所做的功。 3．洒水车上的水箱是一个横向的椭圆柱体，尺寸如图5.6.5所示，当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。 4．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10米和6米，高为20米，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。 5．一高为5米的圆柱形贮水桶，其底半径为3米，桶内装满了水，问把桶内的水全部吸收需要做多少功? 6．一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3厘米，试求它每面所受的压力。 7．边长为a 和b (b a >)的矩形薄板，与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深ｈ处，试求薄板每面所受的压力(假设液体比重为ρ重力加速度为ｇ)。 8．设有长为l ，线密度为ρ的均匀细棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求细棒对质点M 的吸引力。 9．设有一半径为R ，中心角为?的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力F 。 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞. 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 习题 1—2 1．确定下列函数的定义域： （1）91 2 -=x y ； （2）x y a arcsin log =； （3）x y πsin 2 = ； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 2 1 arccos 2x x y a -+-= 2．求函数 ?????=≠=) 0(0 )0(1sin x x x y 的定义域和值域。 3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？ （1）2)(,)(x x g x x f ==； （2）2 sin 21)(,cos )(2π -==x g x x f ； （3）1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g x x x f == 。 4．设x x f sin )(=证明： ?? ? ?? +=-+2cos 2sin 2)()(x x x x f x x f ??? 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？ （1）)1(22x x y -= （2）3 23x x y -=； （3）2211x x y +-=； （4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2 x x a a y -+=。 7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明： （1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。 8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。 （1）t x x y sin ,3== （2）2,x u a y u ==； （3）23,log 2+==x u u y a ； （4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）321)1(++=x y （2）2 )1(3+=x y ； 高等数学下册试题库 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。 练习题 第六章 定积分 1． 1 1()(2)(0)x F x dt x t = - >? 的单调增加区间为_____. 1 (,)4+∞ 2． 函数0 ()x t F x te dt -=? 在点x =____处有极值. 0 3．设sin 2 01()sin ,()sin 2 x f x t dt g x x x = =-?，则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶，但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x = 4．计算35 2322 0sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx π π?-=? 5．计算 2 1 1ln e dx x x +? . 2(31)- 6.求函数dt t t x x I )ln 1(1 )(-= ? 在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值() 341 2-e ，最小值0 7.设函数??? ??≥=<<-+01 2cos 110 )(2x x x xe x f x ，计算 ? -4 1 )2(dx x f . () 11tan 2 1 4-+e 8. 2 sin ( )x t dt t π'=?( C ) (其中2x π >). (A) sin x x (B) sin x C x + (C) sin 2x x π- (D) sin 2x C x π -+ 9. 设()f x 是连续函数,且 3 ()x f t dt x =? ,则(8)f =_____. 1 12 10. x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim -+?→=___1__ ； ) 1ln(cos lim 20 2x tdt x x +?→=__1__ . 微积分试题及答案 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数 的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数 一、 选择题 1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、 解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=- 第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1 微积分习题集带参考答案 综合练习题1（函数、极限与连续部分） 1．填空题 （1）函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x . （2）函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-?-- （3）函数74)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2 +=x x f （4）若函数?? ??? ≥<+=0,0 ,13sin )(x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2 -=-，则=)(x f ．答案：1)(2 -=x x f （6）函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x （7）=∞→x x x 1 sin lim ．答案：1 （8）若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题 （1）设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 答案：B （2）下列函数中为奇函数是（ ）． A ．x x sin B ．2 e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2 x x + 答案：C （3）函数)5ln(4 +++=x x x y 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 答案：D （4）设1)1(2 -=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2 x 《微积分Ⅱ》课外练习题 一、选择： 1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( ) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．无关条件 2. 二元函数定义域是． ( ) B． D． 比较大小：． ( ) B． C． D．不确定 4.微分方程的阶数是． ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 5.下列广义积分发散的是． ( ) A． B． C． D． 6.是级数收敛的条件． ( ) A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( ) 最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对 微分方程是微分方程． ( ) A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次 9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。记，，，则的大小顺序是 ． ( ) C. D. 10. 函数的连续区域是． ( ) B. D. 1. ． ( ) B. C. D. 12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D． ．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D． ．微分方程的阶数是． ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 ．二元函数的定义域是． ( ) A． B． C． D． ．设，则 ( ) A． B． C． D． ．= 其中积分区域D为区域：． ( ) A． B． C． D． 18．下列等式正确的是． ( ) A．B． C．D． 19．二元函数的定义域是． ( ) A． B． C． D． 20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( ) A．B．C．D．|| ．． ( ) A． B． C． D． 22．= 其中积分区域D为区域：． ( ) A． B． C． D． (3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相 应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。 数学试题 热工二班 温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种 似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！ 一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、 求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（ ） 3、 计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（ ） 4、 设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（ ） 5、 已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（ ） Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤ （ ） Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数 Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数 Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数 ９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分 别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ） Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０ 三、计算，证明题（共６０分） １１、求下列极限和积分 （１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分） （２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分） （３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分） １２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f 微积分习题库 习题1—2 1．确定下列函数的定义域： （1）?Skip Record If...?；（2）?Skip Record If...?； （3）?Skip Record If...?； （4）?Skip Record If...?；（5）?Skip Record If...? 2．求函数 ?Skip Record If...? 的定义域和值域。 3．下列各题中，函数?Skip Record If...?和?Skip Record If...?是否相同？ （1）?Skip Record If...?；（2）?Skip Record If...?； （3）?Skip Record If...?；（4）?Skip Record If...?。 4．设?Skip Record If...?证明： ?Skip Record If...? 5．设?Skip Record If...?且?Skip Record If...?，试确定?Skip Record If...?的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？ （1）?Skip Record If...?（2）?Skip Record If...?；（3） ?Skip Record If...?； （4）?Skip Record If...?；（5）?Skip Record If...?（6）?Skip Record If...?。 7．设?Skip Record If...?为定义在?Skip Record If...?上的任意函数，证明：（1）?Skip Record If...?偶函数；（2）?Skip Record If...?为奇函数。 8．证明：定义在?Skip Record If...?上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设?Skip Record If...?定义在?Skip Record If...?上的奇函数，若?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上单增，证明：?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）?Skip Record If...?（2）?Skip Record If...?；（3） ?Skip Record If...?； （4）?Skip Record If...?；（5）?Skip Record If...?（6）?Skip Record If...?。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。 （1）?Skip Record If...?（2）?Skip Record If...?；（3）?Skip Record If...?； 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢39 《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 0201《微积分（上）》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题（10道题，每题2分或者3分）。 填空题（5-10道题，每题2分或者3分）。 计算题（一般5-7道题，共40分或者50分）。 证明题（2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1．考试内容 集合的定义，集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数，复合函数，隐函数，函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2．考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法，会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 1．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质，函数的左极限与右极限，无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限。 2．考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。 85 考试试卷（一） 一、填空 1．设c b a ,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ?+?+?= 2．x x e 10 lim +→= ，x x e 10 lim -→= ，x x e 1 lim →= 3．设2 11)(x x F -= '，且当1=x 时，π2 3)1(=F ，则=)(x F 4．设= )(x f ? dt t x 2sin 0 ，则)(x f '= 5．???>+≤+=0 ,0 ,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b 二、选择 1．曲线???==-0 1 22z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。 （A ）12222=+-z y x ； （B ）122222=--z y x ； （C ）12222=--z y x ； （D ）122222=+-z y x 2．2 )1 1(lim x x x x -∞→-+=（ ） 。 （A ）1 （B ）2 1 e （C ）0 （D ）1-e 3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'? dx x f x f x )]()([（ ） （A ）c x xf +)(； （B ）c x f x +')(； （C ）c x f x +'+)(； （D ）c x f x ++)( 4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（ ） （A ）0)(='ξf （B ）a b a f b f f --= ') ()()(ξ 86 （C ）0)(=ξf （D ）a b dx x f a b f -=?)()(ξ 5．设函数x x a y 3sin 3 1sin +=在x = 3 π 处取得极值，则=a （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题 1． 求与两条直线?? ? ??+=+==2 11 t z t y x 及112211-= +=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。 2．求下列极限 （1）12cos 1lim 21 +-+→x x x x π； （2）1 arctan lim 30--→x x e x x 3．计算下列积分 （1）?dx x sin ； （2） ? +dx x sin 21 （3）?+dx x x e ln 11 2； （4）?--+2/12/111dx x x 4．求下列导数或微分 （1） 设3 2 ) 1)(21()2(x x x y +--=，求dy 。 （2）? ??+=+-=2 3)1ln(t t y t t x ，求22dx y d 。 （3）x x x y sin )1( +=，求dy 。 （4）设a y x =+，求隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d 。 四、设)1,0()(],1,0[)(D x f C x f ∈∈，且1)2 1(,0)1()0(===f f f ，证明： （1）存在)1,2 1(∈η，使ηη=)(f （2） 对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使1])([)(=--'ξξλξf f 高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数 北京邮电大学高等函授、远程教育 04—05学年春季学期《高等数学（微积分）》综合练习题与答 案 经济管理、电子邮政专业 第一部分练习题 、判断题 设f （x ）的定义域为（,1），则f （1的定义域为（0，1）. x 设f （X ）的值域为（，1），则arctgf （x ）的值域为（一,一）. 2 4 11. 12 .如果0 1 13.如果级数 n 1. 2. 3. e （x 1^是偶函数. 4. 1 x y ln —是奇函数. 5. 1 lim (1 x)， e 6. d 2 2 设 f (u)是可导函数，则 一 f (sinx 2 ) 2xcosx 2 f (u) dx u sin x 2 7. 设函数y f （e x ）可微,则dy e x f(e x )dx . 9. 10. 设 df (x)」^dx ,则 f (x) 1 x dx f(x)df(x) f(x)df(x) . f (x)dx f (x) c . arctgx . 1u n发散，则n imu n 0. 14.级数 X n (x 0)收敛的充分必要条件是 X 1. 1 15.级数 1 nz 收敛的充分必要条件是p 16.如果 a(|)n 1 4 1，则常数a 1 4 17. —f(x,y) X X X 0 y y 0 f (x, y 。) x Xo - 18.设 z xy r 「 Z X ，则—— X xy 1 xyx 19. d-f[x,y(x)] dx X f y y (X). 20.设 f 、u 、 v 都是可微函数，则 一 f [u(x, y), v(x, y)] f^U X X f￡. X 二、单项选择题 1.设 f(x) X, 0 X, 2 2, X 0则f(X)的定义域为 A.( B.[ 2,2 ) C. ( ,2 ] D.[ 2,2 ] 2.设 f(X)的定义域为( ,0),则函 数 f (In X) 的定义域是 A. (0, B.(0,1 ] C.(1 , D.(0,1) 3.设 f(X 1) X (X 1),则 f(X)= A. x(x 1) B. x(x 1) C.(x 1)(x 2) D.X 2 4.下列函数中，奇函数为 A. sin(cosx) B.l n(x J x 2 1) 1 X C. tgxln C f si nx D. e sin n 5. lim ----- n n 1 A.0 B.1 C. 1 D.微积分期末测试题及复习资料
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