离散型随机变量的分布列综合题精选(附答案)

离散型随机变量的分布列综合题精选（附答案）

1.某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖。卡片用后入回盒子，下一位参加者继续重复进行。

（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从

盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是

18

5

，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及ξξ，D E 的值。 解：（I ）设“世博会会徽”卡有n 张，

由,18

5292

=C C n 得n=5， 故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为6

1

2924=C C

…………5分

（II ）)

1,4(~B ξ的分布列为)4,3,2,1,0()5()1()(44===-k C k P k

k k ξ

.9

)61(4,364=-?==?=∴ξξD E …………12分

2.某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D 两个动作。比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。 假设每个运动员完成每个系列中的K 和D 两个动作的得分是相互独立的。根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列中的K 和D 两个动作的情况如下表： 表1：甲系列 表2：乙系列 动作

K 动作 D 动作

得分 90 50 20 0 概率

10

9 10

1 10

9 10

1 现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分。

（1） 若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由。

并求其获得第一名的概率。

（2） 若该运动员选择乙系列，求其成绩ξ的分布列及数学期望.ξE

解.（1）应选择甲系列，因为甲系列最高可得到140分，而乙系列最高只可得到110分，不

可能得第一名。

动作 K 动作 D 动作 得分 100 80 40 10 概率

4

3

4

1 4

3 4

1

该运动员获得第一名的概率.4

3

43414343=?+?=p

（2）ξ的可能取值有50,70,90,110。

();10081109109110=?==ξp ();100

910110990=?==ξp ();100910110970=?==ξp ().100

110110150=?==ξp

ξ

110 90 70 50 P

100

81

100

9 100

9 100

1

3．在本次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：‘每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。’某考生每道题都给出一个答案。某考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：

（Ⅰ）选择题得60分的概率； （Ⅱ）选择题所得分数ξ的数学期望

解：（1）得分为60分，12道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为

1

2

，有1道题答对的概率为

13，还有1道答对的概率为14

， 所以得分为60分的概率为： 1111

.23424

P =??=，。。。。。。5分

（2）依题意，该考生得分的范围为｛45，50，55，60｝. ，。。。。。。6分 得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，

所以概率为112361

.234484

P =??== ，。。。。。。7分 得分为50分的概率为： 212311312111

.23423423424

P =??+??+??=，。。。。。。8分

同理求得得分为55分的概率为：36

.24

P = ，。。。。。。9分 得分为60分的概率为：41

.24

P = ，。。。。。。10分 所以得分ξ的分布列为

数学期望61605

45505560424242412

E ξ=?+?+?+?=。。。。。。12分

4．某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x ，“实用性”得分为y ，统计结果如下表：

（Ⅰ）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率； （Ⅱ）若“实用性”得分的数学期望为

167

50

，求a 、b 的值． 解：（Ⅰ）从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，

∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为

6

0.1250

=． …………4分 （Ⅱ）由表可知“实用性”得分y 有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，

且每个等级分别有5件，4b +件，15件，15件，8a +件． …………5分 ∴“实用性”得分y 的分布列为：

又∵“实用性”得分的数学期望为50

，

∴541515816712345505050505050

b a ++?+?+?+?+?=． ……………10分 ∵作品数量共有50件，∴3a b +=

解得1a =，2b =． ……………………13分

5．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.

（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；

（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；

（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列. 解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为,m n ，则两次取球的编号的一切可能结果),(n m 有6636?=种， ………………2分

其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种， 则所求概率为

5

36

. ………………4分 （Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球,抽到编号为6的球的概率15261

3

C p C ==.

………………6分

所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为

2223122

(1)3()()339

C p p -=?=. ………………8分

（Ⅲ）随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6. ………………9分

33361

(3)20

C P X C ===

， 23363

(4)20

C P X C ===

， 243663

(5)2010

C P X C ====，

2536101

(6)202

C P X C ====. ………………12分

所以，随机变量X 的分布列为:

………………13分

6．甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方块4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。 （1）设),(j i 分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况 （2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？

（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜。你认为此游戏是否公平？请说明你的理由.

解：（1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况为（2，3），（2，4），（2，'

4），（3，2），（3，4），（3，'

4），（4，2），（4，3），（4，'

4），（'

4，2），（'

4，3），（'

4，4），共12种不同情况 ………4分

（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，'

4.因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为

3

2

. ……8分 （3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2），（4，2），（4，3），（'

4，2），（'

4，3），共5种甲获胜的概率,1251=P 乙获胜的概率为12

7

2=P 12

7125<

∴此游戏不公平 ……..13分

7．某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：

（Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得

分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题得分ξ的数学期望.

解：（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为x ，则由表中数据可得:

0198380206982302

3.011000x ?+?+?+?== ，

…….3分

据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分. …….4分 （Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3， ………6分

(0)(10.8)(10.3)0.14P ξ==--=

(2)(10.8)0.30.06P ξ==-= (3)0.8(10.3)0.56P ξ==-= (5)0.80.3)0.24P ξ==?=

则该同学这道题得分ξ的分布列如下：ks5u

所以E ξ=0×0.14+2×0.06+3×0.56+5×0.24=3 ……12分

8．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为

2

3

.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.

解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分

事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ………2分

15

13

32104106)(=?+=

A p ………………4分 (Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.

30463101(0)30C C P X C ===,21463103

(1)10

C C P X C ===,

12463101(2)2C C P X C ===,03463101

(3)6

C C P X C ===. …………8分

……………9分

(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ………10分 事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，

3111()()303810

P B =

?=. ……………13分

9．某商场进行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘(转盘为十二等分的圆盘)一次进行抽奖，满200元转两次，以此类推（奖金累加）；转盘的指针落在A 区域中一等奖，奖10元，落在B 、C 区域中二等奖，奖5元，落在其它区域则不中奖．一位顾客一次购物消费268元，

(Ⅰ) 求该顾客中一等奖的概率；

(Ⅱ) 记ξ为该顾客所得的奖金数，求其分布列；

(Ⅲ) 求数学期望E ξ(精确到0.01)．

解(Ⅰ) 设事件A 表示该顾客中一等奖 11111

()212121212144

P A =?+?? 所以该顾客中一等奖的概率是

23

144

……4分 （Ⅱ）ξ的可能取值为20，15，10，5，0 ………5分

111(20)1212144P ξ==

?=，121(15)2121236P ξ==??=， 221911

(10)21212121272P ξ==?+??=

291(5)212124P ξ==??=，999

(0)121216P ξ==?=（每个1分）……………10分

所以ξ的分布列为 ………………10分

（Ⅲ）数学期望11111

2015105 3.3314436724

E ξ=?+?+?+?≈…………………14分

10．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为

，乙、丙面试合格的概率都是

，且面试是否合格互不影响．

（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率； （Ⅱ）求签约人数的分布列和数学期望．

解：（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且.

至少有1人面试合格的概率是

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.

＝

＝

=

=

∴的分布列是

的期望

11．甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有

一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为

1

()

2

p p ，且各局胜负

相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59

． （Ⅰ）求p 的值；

（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．

解：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，

故2

2

5

(1)9

p p +-=， 解得13p =或23

p =． 又12p >

，所以2

3

p =． …………………6分 （Ⅱ）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6．

5

(2)9

P ξ==

， 5520

(4)(1)9981P ξ==-?=，

52016

(6)198181

P ξ==--=，

所以随机变量ξ的分布列为：

所以ξ的数学期望2469818181

E ξ=?

+?+?=．………………13分

12．甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.

（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.

（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望. 解：（Ⅰ）事件A 表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知

2

32254

()C P A C C = ………………3分

11110220

=

?=. ………………5分

（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. ………………6分

23225431

(0)10620

C P X C C ====?， ………………7分

1121233322

5423337

(1)10620C C C C P X C C +??+====?， ………………9分 21332254333

(3)10620

C C P X C C ?====

?， ………………10分 (2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=9

20=. ………………11分 X

………………12分

179317()01232020202010

E X =?

+?+?+?=. ………………13分

13．为振兴旅游业，某省2009年面向国内发行了总量为2000万张的优惠卡，其中向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省旅游，其中43是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有3

1

持金卡，在省内游客中有

3

2

持银卡。 （1）在该团中随机采访3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人 持银卡的概率； (2 ) 在该团的省外游客中随机采访3名游客，设其中持金卡人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望EX 。 .解：（1）由题意知，省外游客有27人，其中9人持有金卡，省内游客有9人，其中6人持有银卡。

记事件B 为“采访该团3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡，” 记事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡,1人持银卡，” 记事件2A 为“采访该团3人中，2人持金卡,1人持银卡，”

则23845

)()()(3

36

1

629336121161921=+=+=C C C C C C C A P A P B P 所以在该团中随机采访3名游客，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡的概率为238

45

。 …………………………………….6分

（2）X 的可能取值为0,1,2,3

因为975272

)0(327318===C C X P ， 325153)1(3

2721819===C C C X P 32572)2(32711829===C C C X P ，975

28

)3(3

273

9===C C X P 所以X 的分布列为

…10分

故

1975

28

332572232515319752720=?+?+?+?

=EX ……………………13分

14．张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为

1

2

；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为

34，35

． （Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．

遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上

述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由． 解：（Ⅰ）设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则

031

2331111()=()()2222

P A C C ?+??=． ………………4分

所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为1

2

．

（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2． ……5分

331

(=0)=(1)(1)4510P X -?-=，

33339

(=1)=(1)(1)454520P X ?-+-?=，

339

(=2)=4520

P X ?=． ……8分

随机变量X 的分布列为：

01210202020

EX =?+?+?=． ……10分

12

（Ⅲ）设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，1(3,)2

Y B ，

所以13

322

EY =?

=． ……12分 因为EX EY <，所以选择L 2路线上班最好． ……14分

15．在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖。 （Ⅰ）求仅一次摸球中奖的概率；

（Ⅱ）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率； （Ⅲ）记连续3次摸球中奖的次数为ξ，求ξ的分布列。

解：（Ⅰ）设仅一次摸球中奖的概率为P 1,则P 1=252102C C =49

……………………3分

（Ⅱ）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P 2，则

P 2=1

211(1)C P P -=

40

81

………………………………………………7分 （Ⅲ）ξ的取值可以是0，1，2，3

(0)P ξ==(1-1P )3=

125729, (1)P ξ==12

311(1)C P P -=300729=100243

, (2)P ξ==22311(1)C P P -= =240729=80243

, (3)P ξ==3

1

P =64729 所以ξ的分布列如下表

………………………………………………………13分

16．在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜. (Ⅰ) 求该考生8道题全答对的概率；

(Ⅱ)若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.

解：(Ⅰ)说明另四道题也全答对，相互独立事件同时发生，即：64

141412121=???

5分 (Ⅱ)答对题的个数为4，5，6，7，8，其概率分别为：

()649434321214=???=

=ξP ()6424

2434121212434321215=????+????==ξP

()64226==ξP ()6487==ξP ()==ξ8P 641

41412121=???

分布列为：

………13分

17．为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立. （Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率；

（Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及期望． 解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A . ………1分

每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有43种等可能的情况 . ……2分

事件A 所包含的等可能事件的个数为3， ………3分 所以，()4

31

327

P A =

=. 即：4人恰好选择了同一家公园的概率为

1

27

. ……5分

（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则()1

3

P C =. …………6分

4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数，因此，随机变量X 服从二项分布.

X 可取的值为0，1，2，3，4.

………………8分 ()4412()()33

i i i

P X i C -==， 0,1,2,3,4i =.

………………10分

.…12分

X 的期望为()14

433

E X =?=．

.……………………13分

18．某学校高一年级开设了,,,,A B C D E 五门选修课．为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程．假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．

（Ⅰ）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数； （Ⅱ）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；

（Ⅲ）设随机变量X 为甲、乙、丙这三名学生参加A 课程的人数，求X 的分布列与数学期

望．

解：（Ⅰ）甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种，

故共有555125??=（种）．

（Ⅱ）三名学生选择三门不同选修课程的概率为：3

5312

525

A =．

∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为：1213

12525

-=． （Ⅲ）由题意：0,1,2,3X =．

33464

(0)5125P X ===； 1233

448(1)5125C P X ?===； 233412(2)5125C P X ?===； 3331

(3)5125

C P X ===．

ξ的分布列为

数学期望64481210123125125125125EX =?

+?+?+?=35

．--------------- 13分

19．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考

核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核，若小张参加每次考核合格的概

率依次组成一个公差为

18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过1

2

，且他直到参加第二次考核才合格的概率为9

32

（I ）求小张第一次参加考核就合格的概率P 1；

（Ⅱ）求小张参加考核的次数ξ和分布列和数学期望值.E ξ 解：（I ）由题意得,32

9)81

)(1(11=

+-p p

.85411或=

∴p .85

,2111=∴>p p …………4分

（II ）由（I ）知小张4次考核每次合格的概率依次为

1,87,43,85，所以,32

9)2(,85)1(====ξξP P ,

256

3

1)871)(431)(851()4(,

256

2187)431)(851()3(=?---===?--===ξξP P

所以ξ的分布列为

.256

2564256332281=?+?+?+?=∴ξE …………12分

20．已知５条桥梁横跨A 、Ｂ两岸，假设各条桥梁的车流量分别为１、１、２、２、３（单

位：万量），现从这５条桥梁中任取三条桥梁，考察这三条桥梁的车流量之和ξ． （１）求4=ξ的概率；（２）求ξ的数学期望． 解：（１）由等可能事件得51

2)4(3

5

==

=C P ξ．……………………………………… 5分 （２）由已知得9,8,7,6,5,4=ξ．分布列如下：

……………………………………………………………………………………………10分 故5

27

=ξE ． ……………