二次函数基础知识

二次函数基础知识命题：张班级姓名 12.3

【知识梳理】

1.二次函数的定义：如果那么y 叫做x 的二次函数。

2.二次函数的图象：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象是一条

3.二次函数的性质：

(1)抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是（，）；对称轴是 . (2)当a ＞0时，抛物线开口，a ＜0时，抛物线开口。

(3)当a ＞0，x=-2b a 时，y 有最小值；当a ＜0，x=-2b

时，y 有最大值。

(4)

4.抛物线解析式的三种形式： (1)一般形式：

(2)顶点式：

(3)交点式：

5. 抛物线y=ax 2+bx+c ，a,b,c 的作用：

（1）a 决定抛物线的和；

（2）a 和b 一起决定抛物线对称轴的位置（也即顶点的位置）。当b=0时，对称轴是，当a 和b 同号时对称轴在，a 和b 异号时对称轴在。（3）c 决定抛物线，且交点坐标是。 6.已知二次函数y= x 2+(2m-1)x+m 2.

(1)当m___ __时，图象与 x 轴有两个交点； (2)当m____ 时，顶点在 x 轴上； (3)当m__ 时，顶点在 y 轴上； (4)当m 时，图象过原点。

(5)当m _时，图象的对称轴在y 轴的左侧。

【小试牛刀】一、填空题

1、把二次函数x x y 2)2(22--=化为c bx ax y ++=2的形式：______________，其中a=_____,b=________,c=________.对称轴是，顶点坐标是。

2、已知二次函数12)2(22

-++=-x x m y m ，则m= 。 3、函数293x x y -+=，当=x _________时有最大值等于________ 4、抛物线y =x 2+8x －4与直线x ＝-2的交点坐标是__________.

5、点A （1，-2）、B （2，n ）都在2mx y =的图像上，则m=_____.n=______.

6、函数x x y 422+-=的图像是_____线，其开口向___,对称轴是_______,顶点坐标是_______, 此顶点是图像的最______点（填高或低），当x______时，y 随x 的增大而增大。

7、顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为． 8、抛物线1242-+=x x y 在x 轴上截得的线段长度是．

9、抛物线1412+-=x y ，2)1(41+-=x y 与抛物线)1(4

2+-=x y 的___ _ _相同，___

_ 不同. 10、将抛物线y=3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是_ ___.

11、若函数232(1)(1)y m x m x =-++的图象是抛物线，则______=m ；

12、函数2y ax =的图象若是一条不经过一、二象限的抛物线，则a 的符号是_______

13、点A(2-，a )是抛物线2y x =上一点，则a =_______，A 点关于原点的对称点B 是_______，

A 点关于y 轴的对称点C 是____ ___，其中点

B 、点

C 在抛物线2y x =上的是_______； 14、抛物线772--=x kx y 的图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是二．选择题：

15、已知)41

,21(-是二次函数2x y =图像上的点，则图像上与之对称的点的坐标是（）

A 、)41,21(--

B 、)41,21(

C 、)41,21(-

D 、)2

,21(

16、若函数y=4x 2+1的函数值为5，则自变量x 的值应为（）

A.1

B.－1

C.±1

D. 2 17、直线y=x 与抛物线y=－2x 2的交点是（）

A.)0,21(

B. )21,21(--

C. )21,21(-和(0，0)

D.(0，0)和)21,21(--

18、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（）

19、二次函数y=ax2+bx+c的图像上有两点（3，0）和（-5，0），则抛物线的对称轴是（）

A、x=4

B、x=3

C、x=-5

D、x=-1

20、已知原点是抛物线2

=的最高点，则m的范围是（）

A、m＜-1

B、m＜1

C、m＞-1

D、m＞-2

21、在同一直角坐标系中，一次函数c

=和二次函数c

=2的图像大致是（）22、反比例函数

y=的图像如右下图，则二次函数2

）

【函数应用】

24、分别写出下列函数关系式，并指出关系式中的自变量与因变量：

（1）设一长方体盒子高为10cm，底面是正方形，求这个长方体的体积V（cm3）与底面边长a（cm）的关系式；

（2）秀水村的耕地面积是106（m2），求这个村人均占有耕地面积y（m2）与人数x的关系．

25、已知矩形的长是4cm ,宽是3cm ，如果将长和宽都增加Xcm,那么面积增加Ycm2,

（1）求y与x之间的函数关系式。

（2）求当边长增加多少时，面积增加8 cm2

A. B. C.

26、我州有一种可食用的野生菌，上市时，李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存入

冷库中,根预测,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元;但冷冻放这批野生菌时每天需要支出各种

费用合计310元,而且这类野生菌在冷库中最多保存160天,同时,平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售.

(1)设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元,试写出y与x之间的函数关系式.

(2)若存放x天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为P元,试写出P与x之间的函数关系式.

(3)李经理将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润W元?(利润=销售总额-收购成本-各种费用) 27、如图在梯形ABCD中,A B∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M、N分别在边AD、BC上运动,并保持MN∥AB,ME

(1)求梯形ABCD的面积;

(2)求四边形MEFN面积的最大值;

(3)试判断四边形MEFN能否为正方形,若能,求出正方形MEFN的面积;

若不能,请说明理由.

初中数学二次函数专题复习教案

初中数学二次函数专题复习教案〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向。〖大纲要求〗 1．理解二次函数的概念; 2．会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3．会平移二次函数y=a ｘ2 （ａ≠0)的图象得到二次函数y=a(ax ＋ｍ)２ +k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4．会用待定系数法求二次函数的解析式； 5．利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与ｘ轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。内容 (1）二次函数及其图象如果y=ａx 2+ｂx+c （a,b ，c 是常数，a ≠0),那么,ｙ叫做x 的二次函数。二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线ｙ＝ａx 2 +bx ＋c(a ≠0)的顶点是)44, 2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=,当a>0时，抛物线开口向上,当ａ<0时,抛物线开口向下。抛物线y ＝a （x+h)2+ｋ(a ≠０)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=－h. 〖考查重点与常见题型〗 1．考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以x 为自变量的二次函数y ＝（m-2)ｘ2＋m ２－m-2额图像经过原点, 则m 的值是 2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y ＝k ｘ＋ｂ的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2+ｂx －1的图像大致是（） y 0 -1 x

初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．

史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结

史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识 1.定义：一般地，如果y ax2bx c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y ax2的性质（1）抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数y ax2的图像与a的符号关系. ①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2（a0）. 3.二次函数y ax2bx c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. b 2a4ac b4a 224.二次函数y ax bx c用配方法可化成：y a x h k的形式，其中h22，k. 25.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y ax2；②y ax2k；③y a x h； ④y a x h k； ⑤y ax2bx c. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x0. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y ax2b4ac b bx c a x2a4a22b4ac b（），对称轴是直线x，∴顶点是. 2a2a4a 2b2 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y a x h k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线 x h. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 - 1 - 称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线y ax2bx c中，a,b,c的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的a完全一样. （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2bx c的对称轴是直线 x b2a

二次函数基本知识点梳理及训练(最新)

① 二次函数考点一一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数． 1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式；②x 的最高次数是2；③二次项系数a ≠0. 2．二次函数的三种基本形式一般形式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)；顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k)；交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1 、x 2 是图象与x 轴交点的横坐标．考点二二次函数的图象和性质

考点三二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系考点四任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：考点五 1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式． 3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式考点六二次函数的应用包括两个方法 ①用二次函数表示实际问题变量之间关系． ②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围． (1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是() A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2)D．(1，－4) (2)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为() A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2 (3)函数y＝x2－2x－2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是() ②

二次函数y=abc知识点及练习

二次函数 y =a x 2 +b x +c (a ≠0)知识点及练习一、y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的性质：二、解读：①抛物线开口向上时，a ＞0；开口向下时，a ＜0；抛物线与y 轴交点在x 轴上方（即交于y 轴正半轴）时，c ＞0；反之，c ＜0. ②配方法确定顶点坐标：将y=ax 2+bx+c (a ≠0)转化为顶点式，y=ax 2+bx+c =a(x 2 +a b x+a c )=a[x 2 +2·a 2b +(a 2b )2 -(a 2b )2+a c ]=a(x+a 2b )2+a b 4ac 42- ③抛物线顶点横坐标- a b 2，若顶点在y 轴左侧时，-a b 2＜0即a b ＞0，所以a 、b 同号；反之a 、b 异号。 ④抛物线顶点纵坐标a b 4a c 42 -，根据a 的符号，判定其最值； ⑤抛物线与x 轴有两个交点，则b 2-4ac ＞0；一个交点b 2-4ac=0；没有交点b 2-4ac ＜0.

三、牢记：（1）二次函数各项系数与图像的关系 ①a ＞0<=>开口向上；a ＜0<=>开口向下 ②b=o<=>对称轴为y 轴；ab ＞0<=>对称轴在y 轴左侧；ab ＜0<=>对称轴在y 轴右侧 ③c=0<=>经过原点；c ＞0<=>与y 轴正半轴相交；c ＜0<=>与y 轴负半轴相交（2）常用的二次函数的表达式有以下三种： ①一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0) ②顶点式：()2y a x h k =-+ （a ≠0） ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1与x2为二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图像与x 轴交点的横坐标。练习一、填空题： 1. 函数y=2x 2-8x+1，当x= 时，函数有最值，是 . 2. 函数2133 y x =---，当x= 时，函数有最值，是 . 3. 函数y=x 2-3x-4的图象开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，当x 时，函数y 有最值，是 . 4、二次函数y=x 2+2x-5取最小值时，自变量x 的值是 . 5、二次函数y=ax 2+4x+a 的最大值是3，则a= .

二次函数知识点汇总(全)

二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）

3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有

二次函数知识点总结59889

二次函数知识点一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 3. ()2 y a x h =-的性质： 4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成c m x b m x a y ++++=)()(2 （或 c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意ａ不为零，那么ｙ叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。２、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法－－-----－五点作图法：（１)先根据函数解析式，求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点Ｍ，并用虚线画出对称轴（２）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点Ａ,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点Ｄ。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例1】已知函数y=x 2-２x-3，（１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；（２）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: （3)根据第(１)题的图象草图，说出 x 取哪些值时，① y=０；② y ＜0；③ ｙ>0

知识点二：二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式： (1）一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点,则不能这样表示。（3)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。【例１】抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1,０),Ｂ（3,0）两点，且过（-1，16)，求抛物线的解析式。【例2】如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2，０)和(-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部)的一个动点,则： (１）abc 0 (>或<或＝）（2)a 的取值范围是 ? 【例３】下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( ) A.ｙ = (ｘ ? 2)2 + 1 B ．y = (ｘ + ２）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.ｙ = (x + 2）２ – 3

二次函数知识讲解基础(供参考)

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】 1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题； 4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 要点二、二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时(轴) (0，0)

开口向上当时开口向下 (轴) (0，) (，0) (，) () 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3.抛物线20 () y ax bx c a =++≠中，,, a b c的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则. 4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.) (3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 要点诠释：

初中数学二次函数知识点汇总

1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0