高斯整数
自然数 整数 二进分数 有限小数 循环小数 有理数 代数数 实数 复数 高斯整数
负数
分数 单位分数
无限小数 规矩数 无理数
超越数 二次无理数 虚数
艾森斯坦整数
双复数 四元数 共四元数 八元数
超数 上超实数
超复数 十六元数 复四元数 Tessarine 大实数 超实数
对偶数 双曲复数 序数 质数 同余 可计算数 阿列夫数 公称值 超限数 基数 P 进数 规矩数 整数序列 数学常数
= 3.141592653...
e = 2.718281828...
虚数单位i2 = ? 1
无穷∞
。
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[隐藏]
? 1 作为唯一分解整环
o 1.1 作为整闭包
o 1.2 作为欧几里德环
? 2 未解决的问题
? 3 参见
? 4 参考文献
[编辑]作为唯一分解整环
高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为1、-1、i，以及-i。Z[i]的素元素又称为高斯素数。
高斯素数的分布
高斯整数a + bi是素数当且仅当：
?a、b中有一个是零，另一个是形为4n + 3或其相反数? (4n + 3)的素数；
?或a、b均不为零，而a2 + b2为素数。
以下给出这些条件的证明。
必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数g，。现在，N(g)是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数
的乘积。根据素数的定义，如果g是素数，则它可以整除
p i，对于某个i。另外，可以整除，因此。于是现在只有两种选择：要么g的范数是素数，要么是素数的平方。如果实际上对于某个素数p，有N(g) = p2，那么g和都能整除p2。它们都不能是可逆元，因此g = pu，以及，其中u是可逆元。这就是说，要么a = 0，要么b = 0，其中g = a + bi。
然而，不是每一个素数p都是高斯素数。2就不是高斯素数，因为2 = (1 + i)(1 ?i)。高斯素数不能是4n + 1的形式，因为根据费马平方和定理，它们可以写成a2+ b2的形式，其中a和b是整数，且a2+ b2 = (a + bi)(a?bi)。剩下的就只有形为4n + 3的素数了。
形为4n + 3的素数也是高斯素数。假设g = p + 0i，其中p = 4n + 3是素数，且可以分解为g = hk。那么p2 = N(g) = N(h)N(k)。如果这个分解是非平凡的，那么N(h) = N(k) = p。但是，任何两个平方
与最近的高斯整数的距离最多为
实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数3，7，11，19，……。在复平面上，还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗？特别地，实数部分为1的直线上存在无穷多个高斯素数吗？
在高斯素数上行走，步伐小于某个给定的值，可以走到无穷远吗？[编辑]参见
N L / K(α)定义为m
α的行列式。
因此可得N L / K的性质：
?
?N L / K(αβ) = N L / K(α)N L / K(β)
?复数的范数：对于，对于复数此一实数域扩张，N(a + bi) = (a + bi)(a?bi) = a2 + b2，即复数和其共轭复数之积，因为a + bi在的极小多项式的根是。
?设（黄金分割）。
，因为它在L的极小多项式是x2?x? 1。
单位可以指：
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唯一分解整环
目录
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? 1 定义
? 2 例子
? 3 性质
? 4 等价条件
? 5 文献
[
此表法在至多差一个可逆元的意义下唯一：若
,q j皆为不可约元，则m = n，而
，其中p
且在重排下标后存在可逆元使得p i = u i q i。
也是唯一分解整环，但
）上一点的
以下给出几个反例：
?环并非唯一分解环，因为
?令R为任一交换环，则R[X,Y,Z,W] / (XY?ZW) 非唯一分解整环；当R为域时，这在几何上对应到一个奇点。
[编辑]性质
整数的一些概念可以推广至唯一分解整环：
?在任意整环中，素元必为不可约元；在唯一分解整环中，不可约元必为素元。
?任意有限个元素有最大公因子与最小公倍数，它们在至多差一个可逆元的意义下唯一。
第一步、“如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积也能表示为两个平方数之和。”
第二步、“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除，则它们的商也能表示为两个平方数之和。”
假设a2 + b2能被p2 + q2整除，且后者为素数。则p2 + q2能整除(pb?aq)(pb + aq) = p2b2?a2q2 = p2(a2 + b2) ?a2(p2 + q2).
由于p2 + q2是素数，因此它能整除两个因子之一。假设它能整除pb?aq。由于
可推出p2 + q2能整除(ap + bq)2。于是等式能被p2 + q2的平方整除。两边除以(p2 + q2)2得：
因此其商能表示为两个平方数之和。
如果p2 + q2能整除pb + aq，则利用等式
同样可证。
第三步、“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个不能表示为两个平方数之和的整数整除，则它们的商也必有一个不能表示为两个平方数之和的因子。”
假设x能整除a2+ b2，且其商的分解式为。则
。如果所有的因子p i都能表示为两个平方数之和，则我们可以用p1、p2、等等去除a2 + b2，并使用第
二步的结论，可得每一个商都能表示为两个平方数之和。除到
只剩x的时候，可得x也能表示为两个平方数之和，矛盾。因
此，如果x不能表示为两个平方数之和，则至少有一个素数p i也
不能表示为两个平方数之和。
第四步、“如果a和b互素，则a2 + b2的所有因子都能表示为两个平方数之和。”
这一步用到了无穷递降法。设x是a2 + b2的一个因子。可记
其中c和d的绝对值最多不超过x的一半。可得：
因此，c2 + d2一定能被x整除，设c2 + d2 = yx。如果c和d不互
素，则它们的最大公约数不能整除x (否则它就能整除a和b，
与我们假设它们互素矛盾〕。因此它们的最大公约数的平方能整
除y（因为它能整除c2 + d2），于是我们得到e2 + f2 = zx，其中e
和f互素，且z不超过x的一半，这是因为
如果c和d互素，则我们可直接使用c和d，不必转换成e和f。
如果x不能表示为两个平方数之和，则根据第三步的结论，可
知必有一个z的因子不能表示为两个平方数之和；设它为w。
于是我们从x推出了一个更小的整数w，都不能表示为两个平
方数之和，但都能被一个能表示为两个平方数之和的整数整除。
由于这个无穷递降是不可能的，因此x一定能表示为两个平方
数之和。
第五步、“任何形为4n + 1的素数都能表示为两个平方数之和。”
如果p = 4n + 1，则根据费马小定理可得
被p除都余1。因此它们的差
都能被p整除。这些差可分解为
由于p是素数，它一定能整除这两个因子之一〔以下称它们为
“和因子”和“差因子”〕。如果它能整除任何一个“和因子”，则根据第四步的结论可得p能表示为两个平方数之和〔由于a
和b仅相差1，它们必然互素〕。而如果它能整除所有的4n? 1
个“差因子”，则
它也能整除4n? 2个一阶差、4n? 3个二阶差，依此类推。由
于数列的第k阶差都等于k!，于是第2n阶差都等
于(2n)!，显然它不能被p整除。因此，p不能整除所有的“差
因子”，得证p能表示为两个平方数之和。
?Richard Dedekind，“代数整数的理论”。
? C. F. Gauss，“Disquisitiones Arithmeticae”（英文版）。由Arthur
A. Clarke翻译。Springer-Verlag，1986年。
，
?若而，则存在使得a = bq + r，而且或者r = 0，或者v(r) < v(b)。
?若a整除b，则。
函数v可设想成元素大小的量度，当时可取v(x): = | x| 。
[编辑]例子
欧几理得整环的例子包括了：
，
。
的最大非负整数
表该离散赋值环的唯一
利用辗转相除法（定义中的第一条性质），可以证明欧几里得环必为主理想环，此时理想由其中v-值最小的元素生成。由此得到一个推论：欧几里得整环必为唯一分解环。
并非所有主理想环都是欧几里得整环，Motzkin 证明了的整数环在d = ? 19, ? 43, ? 67, ? 163 时并非欧几里得整环，却仍是主理想环。这方面的进一步结果详见以下文献。
艾森斯坦整数
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自然数
整数 二进分数 有限小数 循环小数 有理数 代数数 实数 复数 高斯整数
负数 分数 单位分数
无限小数 规矩数
无理数 超越数 二次无理数
虚数
艾森斯坦整数
双复数 四元数 共四元数 八元数 超数
上超实数
超复数 十六元数 复四元数 Tessarine 大实数 超实数
对偶数 双曲复数 序数 质数 同余 可计算数 阿列夫数 公称值 超限数 基数 P 进数 规矩数 整数序列 数学常数
= 3.141592653... e = 2.718281828...
虚数单位 i 2 = ? 1
无穷 ∞
艾森斯坦整数是复平面上三角形点阵的交点。艾森斯坦整数是具有以下形式的复数：
目录
[隐藏]
? 1 性质
? 2 艾森斯坦素数
? 3 欧几里德域
? 4 参见
? 5 参考文献
? 6 外部链接
[
的根。特别地，ω满足以下方程：
{±1, ±ω, ±ω2}
它们是范数为一的艾森斯坦整数。[编辑]艾森斯坦素数
Gauss整数环及其推广
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract. (1) Key words (1) 引言 (1) 1 高斯整数环及其商环的定义 (1) 定义1.1 Gauss整数环的定义 (1) 定义1.2商环的定义 (1) 定义1.3范数的定义, (1) 定义1.4素元的定义 (1) 2 有关高斯整数环的一些引理 (2) 引理2.1. (2) 引理2.2 (2) 引理2.3 (2) 引理2.4 (2) 3 高斯整数环及其商环的性质 (2) 性质3.1 (2) 性质3.2 (2) 性质3.3 (3) 性质3.4 (3) 性质3.5 (3) 性质3.6 (4) 4Gauss整数环的一些定理 (4) 4.1Gauss整数环素元的判定条件 (4) 4.2Gauss整数环的欧氏环性 (5) 4.3 (5) 5 高斯整数环的性质和定理的实际应用 (6) 6 结束语 (8) 致谢 (8) 参考文献 (8)
Gauss 整数环及其推广 数学与应用数学专业学生 颜双喜 指导老师 李荣 摘要：高斯整数环是近世代数中极为重要的一个概念，本文探讨了Gauss 整数环及其商环的定义和一些性质, 引入素元定义，并探讨Gauss 整数环中素元的性质.证明了Gauss 整数环是欧氏环和通过构造一个映射证明s ,并给出适当例题. 关键词：高斯整数环 商环 素元 Gaussian integer ring and promotion of it Pure and Applied Mathematics Yan Shuangxi Tutor Li Rong Abstract ：Gaussian integer ring is an extremely important concept in modern algebra. This paper discusses definition and properties of Gaussian integer ring and Quotient ring. It also introduces the concept of Prime element, explores its properties in Gaussian integer ring and proves that Gaussian integer ring is a Euclidean ring .Through a mapping, it proves ()2Z[i][x]1x ?+ and provides some examples. Key words ：Gaussian integer ring; Quotient ring,; Prime element 引言：1801年, 高斯出版了著作《算术研究》, 深入研究二元二次型 22ax bxy cy n ++=的整数解问题(其中a ，b ， c ，n 均为整数).以方程222x y += 为例, 他把此方程写成()()n x iy x iy =+-的形式, 其中i =高斯研究形如a ib +的数(其中a 和b 是整数), 这种数现在称为高斯整数.高斯整数所成的集合[]z i 中可以进行加减乘运算, 这是一个交换环, 称为高斯整数环. 1 高斯整数环及其商环的定义 定义1.1 设Z 为整数集, 定义[]{}2,,1Z i a bi a b Z i =+∈=-, 则[]Z i 是一个环, 称为高斯整数环. 定义1.2 设N 是[]Z i 的一个主理想, 称Z[ i] 的模N 的剩余类为商环, 记为[]Z i N . 定义1.3 设[]a bi Z i α=+∈, 定义()22a b ?α=+为[]Z i 中元素α的范数. 显然, ()?α为非负整数[]a bi Z i α=+∈,且有()()()?αβ?α?β=,[]Z i β∈. 定义1.4 设[]p Z i ∈, 如果p 既不是[]Z i 的零元, 也不是单位, 并且p 只有平
5x5,高斯,整数模板
竭诚为您提供优质文档/双击可除 5x5,高斯,整数模板 篇一：高斯整数 自然数整数二进分数有限小数循环小数有理数 代数数 实数复数 高斯整数负数 分数单位分数无限小数 规矩数无理数 超越数二次无理数虚数艾森斯坦整数双复数四元数 共四元数 八元数 超数上超实数超复数十六元数复四元数tessarine大实数超实数对偶数双曲复数序数质数 同余 可计算数 阿列夫数公称值超限数基数p进数规矩数整数序列数学常数 =3.141592653...
e=2.718281828...虚数单位i2=1无穷∞ 。 目录 [隐藏] oo1.2作为欧几里德环 [编辑]作为唯一分解整环 高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为1、-1、i，以及-i。z[i]的素元素又称为高斯素数。 高斯素数的分布 高斯整数a+(5x5,高斯,整数模板)bi是素数当且仅当： a、b中有一个是零，另一个是形为4n+3或其相反数(4n+3) 的素数； 或a、b均不为零，而a2+b2为素数。 以下给出这些条件的证明。 必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数g， 在，n(g)是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数
的乘积。根据素数的定义，如果g是素数，则它可以整除。现 pi，对于某个i。另外，可以整除，因此。于是现在只有两种选择：要么g的范数是素数，要么是素数的平方。如果实际上对于某个素数p，有n(g)=p2，那么g和都能整除p2。它们都不能是可逆元，因此g=pu，以及，其中u是可逆元。这就是说，要么a=0，要么b=0，其中g=a+bi。 然而，不是每一个素数p都是高斯素数。2就不是高斯素数，因为2=(1+i)(1i)。高斯素数不能是4n+1的形式，因为根据费马平方和定理，它们可以写成a2+b2的形式，其中a和b是整数，且a2+b2=(a+bi)(abi)。剩下的就只有形为4n+3的素数了。 形为4n+3的素数也是高斯素数。假设g=p+0i，其中 p=4n+3是素数，且可以分解为g=hk。那么p2=n(g)=n(h)n(k)。如果这个分解是非平凡的，那么n(h)=n(k)=p。但是，任何两个平方 篇二：数字图像处理实验五 数字图像处理 实验 实验五：图像增强-空域滤波 学院：信息工程学院 姓名：
高等代数第四章整环里的因子分解
第四章整环里的因子分解 §1、素元、唯一分解 一、整除、单位、相伴元 定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。b不能整除a记作b|a。 定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。 单位元必是单位，反之不然。 例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元?b=±a。在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元?g（x）=cf（x）。
定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。单位ε的逆元ε-1也是一个单位。 推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。 二、素元 定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。 定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0 ≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。 例2 在例1的Z中，素元就是素数。在F[x]中，素元就是不可约多项式。 定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。 定理3整环I的一个非零元a有真因子?a=bc，b和c都不是单位。
推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。那么c也是a的真因子。 三、唯一分解 定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元） （ii）若同时 a=q1q2…q s（q i是I的素元） 那么r=s 并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得 q i=εi p i (εi是 I的单位) 零元和单位都不能唯一分解。 例3 在整环I={}Z +, 3中： a∈ - b a b （1）ε是单位1 = ?。 ? ε = 1 ε2± （2）若4 α2=，则α是素元。 （3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）： ()()3 + - = - ? = 1 1 3 2 2 4-
有理整数环
第二学期第十四次课 第八章 有理整数环 §1 有理整数环的基本概念 8.1.1 有理整数环的基本概念 全体整数所组成的集合中有两种运算：加法和乘法，而且它们满足下面运算法则： 1） 加法满足结合律； 2） 加法满足加换律； 3） 有一个数0，是对任意整数a ，0a a +=； 4） 对任意整数a ，存在整数b ，使0b a +=； 5） 乘法满足结合律； 6） 有一个数1，是对任意整数a ，1a a ?= 7） 加法与乘法满足分配律：()a b c ab ac +=+； 8） 乘法满足加换律； 9） 无零因子：如果0,0a b ≠≠，则0ab ≠。 我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环，并用Z 代表它。 “整除”、“互素”、“倍数”、“因数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等概念在小学和中学已介绍，在这里就不再赘述。 现在，我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述。 设R 是一个非空集合。如果在R 的元素之间定义了一种运算，称做加法，即对R 中任意两元素,a b ，都按某法则f 对应于R 内的一个唯一确定的元素，记作a b +，且满足如下运算法则： （i ） 结合律：()()a b c a b c ++=++； （ii ） R 中有一元素0，是对一切0a R a a ∈+=有； （iii ） 对R 中任一元素a ，有0b R a b ∈+=使； （iv ） 交换律：a b b a +=+。 又设R 内另有一种运算称作乘法，即对R 中任意两个元素,a b ，都按某个法则g 对应于R 内一个唯一确定的元素，记作ab ，且满足如下运算法则： （v ） 结合律：()()a bc ab c =； （vi ） 加法与乘法有两方面的分配律：
高斯整数
高斯整数 数学的数 基本 自然数 整数 二进分数 有限小数 循环小数 有理数 代数数 实数 复数 高斯整数 负数 分数 单位分数 无限小数 规矩数 无理数 超越数 二次无理数 虚数 艾森斯坦整数 延伸 双复数 四元数 共四元数 八元数 超数 上超实数 超复数 十六元数 复四元数 Tessarine 大实数 超实数 其他 对偶数 双曲复数 序数 质数 同余 可计算数 阿列夫数 公称值 超限数 基数 P进数 规矩数 整数序列 数学常数 π = 3.141592653... e = 2.718281828... 虚数单位i2 = ? 1 无穷∞
高斯整数是实数和虚数部分都是整数的复数。所有高斯整数组成了一个整域，写作Z[i]。它是个不可以转成有序环的欧几里德域。 高斯整数是复数面上的整点。 高斯整数就是集 。 高斯整数的范数都是非负整数，定义为N(z×w)=N(z)×N(w)。 Z[i]的单位（1, ?1, i及?i）的范数均为1。 目录 [隐藏] ? 1 作为唯一分解整环 o 1.1 作为整闭包 o 1.2 作为欧几里德环 ? 2 未解决的问题 ? 3 参见
? 4 参考文献 [编辑]作为唯一分解整环 高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为1、-1、i，以及-i。Z[i]的素元素又称为高斯素数。 高斯素数的分布 高斯整数a + bi是素数当且仅当： ?a、b中有一个是零，另一个是形为4n+ 3或其相反数?(4n+ 3)的素数； ?或a、b均不为零，而a2 + b2为素数。
以下给出这些条件的证明。 必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数g，。现在，N(g)是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数 的乘积。根据素数的定义，如果g是素数，则它可以整除p i，对于某个i。另外，可以整除，因此。于是现在只有两种选择：要么g的范数是素数，要么是素数的平方。如果实际上对于某个素数p，有N(g) = p2，那么g和都能整除p2。它们都不能是可逆元，因此g = pu，以及，其中u是可逆元。这就是说，要么a = 0，要么b = 0，其中g = a + bi。 然而，不是每一个素数p都是高斯素数。2就不是高斯素数，因为2 = (1 + i)(1 ?i)。高斯素数不能是4n + 1的形式，因为根据费马平方和定理，它们可以写成a2+ b2的形式，其中a和b是整数，且a2+ b2 = (a + bi)(a?bi)。剩下的就只有形为4n + 3的素数了。 形为4n + 3的素数也是高斯素数。假设g = p + 0i，其中p = 4n + 3是素数，且可以分解为g = hk。那么p2 = N(g) = N(h)N(k)。如果这个分解是非平凡的，那么N(h) = N(k) = p。但是，任何两个平方数的和都不能写成4n + 3的形式。因此分解一定是平凡的，所以g 是高斯素数。
Gauss整数环的主理想及其商环研究
Gauss 整数环的主理想及其商环研究 摘要:本文给出了Gauss 整数环的若干性质,并用一种新的初等方法解决了文献[1]中提出的一个猜想: Gauss 整数环的商环[]() Z i n m i +元素个数是22m n +. 关键词:Gauss 整数环;商环;素元;主理想;单位 Research the Principal Ideal and Quotient Ring of Gaussian Integral Domain Wang xiao-juan (Department of Mathematics,Xiaogan University 031114328) Abstract :This paper gives some proterties of Gaussian integral domain, and proves the two conjectuires of Arch.[1] with a new and elementary method. In light of the Gaussian integral domain,the number of elements of its ring of quotients is 22m n +. Key words : Gaussian integral domain; quotient ring; prime element; principal ideal;unit. 1 介绍 在文献[1]中,提出两个猜想 :(1) Gauss 整数环的商环 []()Z i n mi +元素个数是22m n +;(2) 对于[]() Z i n i +,显然1,2i i ++为素元,问n i +形式的素元是否为无穷多.文献[1]证明了:对0m = (或0n =)以及1m =但n 任意(或1n =但m 任意)的情形有[]()Z i n mi +的元素个数恰为22m n +.近期有关Gauss 整数环的商环[]() Z i n mi +所含元素的个数, 文献[12]-都讨论了这个问题,并得到了很好的结果,即︱ [] ()Z i n mi +︱=22m n +其中()n mi +表示由n mi +所生成的主理想.本文以一种新的初等的方法明确了[]() Z i n mi +的元素个数就是22m n +,为了解决上述两个猜想,首先给出Gauss 整数环的一些相关定义. 我们用X 表示集合X 的元素个数，n mi +的范数
欧几里得整环
欧几里得整环 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 欧几里得整环。在抽象代数中。欧几里得整环是一种能作辗转相除法的整环。 凡欧几里得整环必为主理想环。 中文名,欧几里得整环。欧几里得性质,能作辗转相除法的整环。条件,主理想环。 定义。一个欧几里得整环是一整环D 及函数。 使之满足下述性质：若而。则存在使得 a = bq + r。而且或者r = 0。或者v < v。若 a 整除b。则。函数v 可设想成元素大小的量度。当时可取v: = | x | 。 例子。欧几理得整环的例子包括了：整数环。 v = | x | 。高斯整数环。域上的多项式环与幂级数环。离散赋值环。v
定义为使的最大非负整数n。其中表该离散赋值环的唯一极大理想。利用辗转相除法。可以证明欧几里得环必为主理想环。此时理想由其中v-值最小的元素生成。由此得到一个推论：欧几里得整环必为唯一分解环。并非所有主理想环都是欧几里得整环。Motzkin 证明了的整数环在 d = ? 19, ? 43, ? 67, ? 163 时并非欧几里得整环。 却仍是主理想环。这方面的进一步结果详见以下文献。 定义 若而，则存在使得 a = bq + r，而且或者r = 0，或者v(r) < v(b)。若 a 整除b，则。函数v 可设想成元素大小的量度，当时可取v(x): = | x | 。 例子 整数环，v(x) = | x | 。高斯整数环。域上的多项式环与幂级数环。欧几里得离散赋值环，v(x) 定义为使的最大非负整数n，其中表该离散赋值环的唯一极大理想。利用辗转相除法，可
以证明欧几里得环必为主理想环，此时理想由其中v-值最小的元素生成。由此得到一个推论：欧几里得整环必为唯一分解环。 并非所有主理想环都是欧几里得整环，Motzkin 证明了的整数环在 d = ? 19, ? 43, ? 67, ? 163 时并非欧几里得整环，却仍是主理想环。这方面的进一步结果详见以下文献。 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢
近世代数计算题
计算题 1、在整数环Z 中，令I = {5k |k ∈Z } （1）确定商环Z /I 中的元素。 （2）Z /I 是不是一个整环？求Z /I 的特征。 2、确定3次对称群S 3的所有子群及所有正规子群。 3、求模6的剩余类环Z 6的所有理想。 4、在10次对称群S 10中，σ =??? ? ??1968752431010987654321. （1）将σ表成一些不相交轮换之积。 （2）求| σ|。 5、设G = {2m 7n |m ，n ∈Q} 是关于普通数的乘法构成的群，f ：2m 7n |→7n 是G 到G 的一个同态映射，求f 的同态核Kerf 。 6、设（Z 16，＋，·）是模16的剩余类环，求Z 16的所有理想，求Z 16的所有非零理 想的交。 7、在7次对称群S 7中,将(12)(2347)-1(12)-1表为一些互不相交的轮换之积。 8、在高斯整数环Z[i]={a + bi |a , b ∈Z,i 2 =-1}中,(1)求主理想(1+i )，(2)求 ) 1(] [i i Z +。 9、给出整数加群Z 的所有自同构。 10、设R=Z 4是模4的剩余类环,确定Z 4的所有理想。 11、设R=Z[i]={a + bi |a , b ∈Z ,i 2=-1}是高斯整数环,试求Z[i]的所有单位。 12、设G={ 2m 3n | m, n ∈Q}是关于通常数的乘法作成的群,令 f:2m 3n 2m (1)验证f 是G 到G 的同态映射， (2)确定Ker f 。 13、找出三次对称群3S 的所有子群；找出3S 关于子群H={(1),(12)}的右陪集分解。 14、在整数环Z 中，试求出所有包含30的极大理想。 15、求出模6的剩余类加群Z 6的所有自同构。 16、（10分）求模12的剩余类加群（Z 12，＋）的所有自同构映射
高等代数环的定义与性质
一、 环的定义与基本性质 （一） 环的定义： 1、 定义1：交换群称为加群（Aβελ群），其运 算叫做加法，记为“+”。 2、 定义2：代数系统),;A (?+称为环，若 1）（A ，+）是加群； 2）代数系统);A (?适合结合律； 3）乘法);A (?对加法+的分配律成立。 3、 例子 （1）),;Z (?+、),;Q (?+、),;R (?+、),;C (?+都是环，均称为数环。 （2）Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z ，ι2=－1 }，则),];i [Z (?+也是数环，称之为高斯整环。 （3）设Φ是任一数环，则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。 （4）Z ν={所有模ν剩余类}，则),;Z (n ?+是模ν剩余类环，这里[α]＋[β] = [α+β]，]b []a [? = [αβ]. （5）设（A ，＋）是加群，规定乘法如下： ,A b ,a ∈?αβ=0，则),;A (?+作成一个环，称之为零环。
（二）环的基本性质： （1）0x a a x =?=+。 （2）a x x a -=?=+0。 （3）c b c a b a =?+=+。 （4）nb na )b a (n +=+。（ν为整数） （5）na ma a )n m (+=+。（μ、ν为整数） （6）)na (m a )mn (=。（μ、ν为整数） （7）,A a ∈? 000=?=?a a 。 （8）ab )b (a b )a (-=-=-。 （9）ab )b )(a (=--。 （10）ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。 （11）j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====???? ?????? ??11 11 。 （12）)ab (n )nb (a b )na (==。 (ν为整数)。 （13）若环中元a 、b 满足ba ab =，则 ()k n k n k k n n b a C b a -=∑ =+0 （14）mn n m n m n m a )a (,a a a ==?+。（μ、ν为整数）
近世代数选择题
选择题 1. 设映射f ：A →B 和g ：B →C ，如果gf 是双射，那么g 是（ ）。 A 、单射 B 、满射 C 、双射 2. 设A =｛a 1, a 2 ,… , a 10｝, B =｛1, 2, 3, 4, 5｝，则A 到B 的不同单射的总数是（ ）。 A 、510C B 、5！ C 、?510C 5！ 3. 设M 是数域F 上的全体100阶方阵的集合，规定～如下：A ～B ?A 的秩=B 的秩（A ，B ∈M ），那么M 的所有不同的等价类为（ ）。 A 、100个 B 、101个 C 、102个 5.设Z 是整数加群，H ≤G ，H =＜a ＞,(a ∈Z ) ,则[G ：H ]为（ ）。 A 、a B 、∞ C 、∞或a (a 为a 的绝对值) 6.设G 是一个100阶的交换群，H ≤G ，H =10，则H G 中10阶元的个数为（ ） 。 A 、9 B 、4 C 、1 7. 6阶非交换群的所有子群的个数是（ ）。 A 、2 B 、3 C 、6 8.若商环),(][x a x Z 是域（Z a ∈），则a 是（ ）。 A 、1± B 质数 C 、0 9.在模100的剩余环中，零因子的个数是（ ）。 A 、58 B 、59 C 、60 10.21阶交换群的所有子群的个数是（ ）。 A 、2 B 、3 C 、4 11.设H ，K ≤G ，a , b ∈G, x ∈Ha ∩Kb,则Ha ∩Kb =（ ）。 A 、x(H ∩K) B 、(H ∩K) x C 、不能确定 12. 设H ，K ≤G ，a , b ∈G ，e 是群G 的单位元，e ∈Ha ∩Kb, 则Ha ∩kb 为（ ）。 A 、(H ∩K) a B 、(H ∩K) ab C 、H ∩K 13.在6次对称群S 6中，σ=（16）（23）（456）的阶为（ ）。 A 、6 B 、12 C 、4 14.设G 是60阶群,则G 中一定有( ) 子群存在。 A 、12阶 B 、4阶 C 、14阶 16.设),(,,:,G g gN g N G G f G N ∈?→→ 那么=Kerf （ ）。 A 、N G B 、G C 、N 17.设G 与_G 是两个群，,,~_ G S G G f ≤ 则=-))((1S f f （ ）。 A 、不能确定 B 、S C 、S Kerf