人船模型必修精品

人船模型之一

“人船模型”，不仅是动量守恒问题中典型的物理模型，也是最重要的力学综合模型之一．对“人

船模型”及其典型变形的研究，将直接影响着力学过程的发生，发展和变化，在将直接影响着力学过程的分析思路，通过类比和等效方法，可以使许多动量守恒问题的分析思路和解答步骤变得极为简捷。

1、“人船模型” 质量为M 的船停在静止的水面上，船长为L ，一质量为m 的人，由船头走到船尾，若不计水的阻力，则整个过程人和船相对于水面移动的距离？

分析：“人船模型”是由人和船两个物体构成的系统；该系统在人和船相互作用下各自运动，运动过程中该系统所

受到的合外力为零；即人和船组成的系统在运动过程中总

动量守恒。

解答：设人在运动过程中，人和船相对于水面的速度分别为ν和u ，则由动量守恒定律得：

m v =Mu

由于人在走动过程中任意时刻人和船的速度ν和u 均满足上述关系，所以运动过程中，人和船平均速度大小u 和也应满足相似的关系，即m ν=M u

而x t =

，y

u t

=，所以上式可以转化为：mx=My 又有，x+y=L,得： M x L m M =

+ m

y L m M

以上就是典型的“人船模型”，说明人和船相对于水面的位移只与人和船的质量有关，与运动情况无关。该模型适用的条件：一个原来处于静止状态的系统，且在系统发生相对运动的过程中，至少有一个方向(如水平方向或者竖直方向)动量守恒。

2、“人船模型”的变形

变形1：质量为M 的气球下挂着长为L 的绳梯，一质量为m 的人站在绳梯的下端，人和气球静止在空中，现人从绳梯的下端往上爬到顶端时，人和气球相对于地面移动的距离？

分析：由于开始人和气球组成的系统静止在空中，竖直方向系统所受外力之和为零，即系统竖直方向系统总动量守恒。得： mx=My

x+y=L 这与“人船模型”的结果一样。

变形2：如图所示，质量为M 的

圆弧轨道静止于光滑水平面上，轨道半径为R ，今把质量为m 的小球自轨道左测最高处静止释放，小球滑至最低点时，求小球和轨道相对于地面各自滑行的距离？分析：设小球和轨道相对于地面各自滑行的距离为x 和y ，将小球和轨道看成系统，

该系统在水平方向总动量守恒，由动量守恒定律得：

mx=My

x+y=L

这又是一个“人船模型”。

3、“人船模型”的应用

①“等效思想”

如图所示，长为L 质量为M

别站立质量为m 1、m 2（m 1>m 2）的两个人，那么，当两个人互换位置后，船在水平方向移动了多少？

分析：将两人和船看成系统，系统水平方向总动量守恒。本题可以理解为是人先后移动，但本题又可等效成质量

为12()m m m m ??=-的人在质量为2'2M M m =+的船上走，这样就又变成标准的“人船模型”。

解答：人和船在水平方向移动的距离为x 和y ，由动量守恒定律可得：

'mx M y ?=

x y L +=这样就可将原本很复杂的问题变得简化。

②“人船模型”和机械能守恒的结合

如图所示，质量为M 的物体静止于光滑水平面上，其上有一个半径为R 的光滑半圆形轨道，现把质量为m 的小球自轨道左测最高点静止释放，试计算：

1．摆球运动到最低点时，小球与轨道的速度是多少? 2．轨道的振幅是多大?

分析：设小球球到达最低点时，小球与轨道的速度分别为v 1和v 2，

m 1

m 2

根据系统在水平方向动量守恒，得：12mv Mv =

又由系统机械能守恒得：22

121122mgR mv Mv =

解得：1v =

2v =

当小球滑到右侧最高点时，轨道左移的距离最大，即振幅A 。由“人船模型”得：

mx My =

2x y R +=

解得：2M x R m M =

+，2m

y R m M

即振幅A 为：2m

A R m M

例1．质量是M ，长为L 的船停在静止水中，若质量为m 的人，由船头走向船尾时，人行走的位移和船的位移是多少？

解：不考虑水的粘滞阻力，人和船组成的系统在水平方向不受外力，系统在水平方向动量守恒，则

人船υυm M = ①

人进船退，人停船停，人由船头走向船尾的这个过程中，始终满足①式，则全过程有

S S =

人船人船人

船υυυυ ② 又 L S S =+人船 ③ 由②③得， L m

M m

S +=

船

例2．一长为L ，质量为M 的船上两端分别站有甲、乙两人，质量分别为m 甲和m 乙．当两人交换位置后，船移动距离多大？其中m 甲>m 乙．

解：（方法一）先作出如右草图，解法同上面例1，

υυυM m m +=乙乙甲甲 ① MS S m S m +=乙乙甲甲 ②

乙S L S =+ ③

L S S =+甲 ④

由②③④得， L m m M m m S 乙

甲乙

甲++-=

（方法二）等效法：把（乙甲m m -）等效为一个人，把（乙m M 2+）看成船，用例1 结论，即得

到L m m M m m S 乙

甲乙甲++-=

说明：无论甲、乙谁先走还是同时走，无论在运动过程中谁的速度大谁的速度小，也无论谁先到达船的

另一头，最终的结果，船移动的方向和距离都是唯一确定的。

例3．小车静置在光滑水平面上，站在车上的人练习打靶，靶装在车上的另一端。已知车、人、枪和靶的总质量为M （不含子弹），每颗子弹质量为m ，共n 发。打靶时，每发子弹打入靶中，就留在靶里，且待前一发打入靶中后，再打下一发。若枪口到靶的距离为d ，待打完n 发子弹后，小车移动的距离为_______。

解：等效为人船模型，总质量为nm 的子弹，运动到小车的另一端，则小车移动的距离可直接由例1结论得到， d nm

M nm

S +=车

例4．如图所示,一辆小车静止在光滑水平面上在C 、D 两端置有油灰阻挡层,整辆小车质量1㎏,在车的水平底板上放有光滑小球A 和B,质量分别为m A =1㎏,m B =3㎏,A 、B 小球间置一被压缩的弹簧,其弹性势能为6J,现突然松开弹簧,A 、B 小球脱离弹簧时距C 、D 端均为0.6m.然后两球分别与油灰阻挡层碰撞,并被油灰粘住,问：

(1)A 、B 小球脱离弹簧时的速度大小各是多少? (2)整个过程小车的位移是多少?

解：（1）以向左为正方向

0=+B B A A m m υυ ①

p B B A A E m m =+222

121υυ ② 由①②得，s m A /3=υ s m B /1-=υ

（2）（方法一）A 以s m A /3=υ向左运动，经0.2s 和C 碰撞时，B 只前进了0.2m ，离D 还有0.4m ，

A 和C 碰撞，水平方向动量守恒

AC A A A m m m υυ)(+= 解得，s m AC /5.1=υ

碰后瞬间，A 和C 就以共同速度s m AC /5.1=υ向左运动，B 继续以s m B /1=υ的速度向右运动。B 再经s s

m m

t 16.0/15.14.0=+=

与D 相碰。则整个过程小车的位移是

m t S AC 24.0=?=υ

（方法二）等效为“人船模型”的例2，注意这里的“船长”为 “L =0.6m ”.则，

m m L m m m m m S B A A B 24.06.03

111

3=?++-=++-=

车

图2中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B 相连，B 静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B 相同滑块A ，从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行，当A 滑过距离l 1时，与B 相碰，碰撞时间极短，碰后A 、B 紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A 恰好返回出发点P 并停止，滑块A 和B 与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为l 2，重力加速度为g ，求A 从P 出发时的初速度v 0。

图2

解析：令A 、B 质量皆为m ，A 刚接触B 时速度为v 1（碰前）由功能关系，有

1202

121mgl mv mv μ=- A 、B 碰撞过程中动量守恒，令碰后A 、B 共同运动的速度为v 2 有212mv mv =

碰后A 、B 先一起向左运动，接着A 、B 一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A 、B 的共同速度为v 3，在这一过程中，弹簧势能始末状态都为零，利用功能关系，有

)2()2()2(2

1)2(2122

322l g m v m v m μ=- 此后A 、B 开始分离，A 单独向右滑到P 点停下，由功能关系有12

1mgl mv μ= 由以上各式，解得)1610(210l l g v +=

用轻弹簧相连的质量均为2kg 的A 、B 两物块都以s m v /6=的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg 的物体C 静止在前方，如图3所示，B 与C 碰撞后二者粘在一起运动。求：在以后的运动中，

图3

（1）当弹簧的弹性势能最大时物体A 的速度多大？（2）弹性势能的最大值是多大？（3）A 的速度有可能向左吗？为什么？