2008年数学科中考24题质量分析报告

2008年数学科中考24题质量分析报告

一、试题分析

2008年数学科中考24题是一道代数几何综合探究题，以平面直角坐标系作为基本载体，主要考查函数、三角形全等相似、勾股定理、等腰三角形等知识点，考查数形结合、待定系数法等数学思想方法，考查学生的探究能力。

题目给予学生很大的思维空间去做答，解决问题的方法多、角度多。

二、本题学生答题得分情况分析

三、学生答题过程分析

（一）学生在做答过程中好的方面：

1、解题思路广，方法多样。例如：

（1）第1小题用待定系数法求二次函数的关系式。学生从一般式c bx ax y ++=2（bx ax y +=2）、两根式()()40--=x x a y 、顶点式()k h x a y +-=2

三个角度去求，这涵盖了二次函数最常用的三种关系式表达形式。这三种做法的同学都相当多，没有特别偏向哪种做法。另外，将点的坐标代入关系式时，学生选择的点也是多种情况。说明学生对以上知识点的掌握比较熟练，解题方法多。

（2）第2小题第2问中证明D 是BE 的中点。学生的方法更显得多样。 思路1：利用三角形全等。方法有：〈1〉分别过B 、E 两点作y 轴的垂线，垂足分别为F 、G ，论证BDF ?≌EDG ?，得到BD=ED ，从而得证；〈2〉过点B 作x 轴的垂线BF ，过点D 做DF ⊥BF ，过点E 做EG ⊥y 轴，论证BDF ?≌DEG ?，得到BD=ED ，从而得证。

思路2：利用三角形相似。方法有：〈1〉分别过B 、D 两点作直线x=2的垂线，垂足分别为F 、G ，论证EDG ?∽EBF ?，得到2

1==BF DG EB ED ，从而得证；〈2〉

求出D （0，-1）直线BC 与y 轴的交点G （0，1.5），得到

2

1=EC DG ，易得BDG ?∽BEC ?，故21==EC DG BE BD ，从而得证。 思路3：利用等腰三角形的三线合一性质。方法有：〈1〉连结CD ，通过计算BD 、CD 、BC 长度，通过勾股定理逆定理论证CD ⊥BE ，从而得证；〈2〉直线BE 12--=x y 与直线CD 121-=x y 的斜率的乘积1212-=?-，论证CD ⊥BE ，从而得证；〈3〉设BE 与x 轴交于点G ，通过论证OCD ?∽DCG ?来说明CD ⊥BE ，从而得证，当然这不是一种好的方法。

思路4：直接计算BD 、DE 、BE 的长度。〈1〉利用勾股定理计算BD=52、DE=52、BE=54，从而得证；〈2〉利用两点距离公式计算BD=52、DE=52、BE=54，从而得证；

思路5：利用三角形中位线。方法有：〈1〉设BC 与y 轴交于点G ，则BG 是BCE ?的中位线，从而得证；〈2〉分别过B 、E 两点作直线x=2的垂线，垂足分别为F 、G ，则DG 是是BEF ?的中位线，从而得证。

思路6：利用平面直角坐标系中线段中点距离公式。方法是：由线段BE 两个端点B （-2，3）、E （2，-5）代入公式可求得中点坐标为（0，-1），而直线BE 与y 轴的交点D （0，-1），故D 是BE 的中点。

思路7：利用线段等分线段定理。方法有：〈1〉分别过B 两点作直线x=2的垂线，与y 轴和直线x=2分别交于F 、G ，易得BF=2，BG=4，由y 轴//直线

x=2，得到

2

1==BG BF BE BD ，从而得证；〈2〉分别过B 、D 两点作直线x=2的垂线，垂足分别为F 、G ，易得EF=8，EG=4，由DG//BF 得到21==EF EG EB ED ，从而得证；〈3〉求出直线BC 与y 轴的交点G （0，1.5），计算得BG=2.5，由y 轴//直线x=2，得到2

1==BC BG BE BD ，从而得证。 （3）第3小题求P 点坐标。

思路1：求直线CD 与抛物线的交点坐标。方法有：〈1〉求出直线CD 关系

式121-=x y ，利用方程组???????-=-=14

11212x y x y 求解；〈2〉求出直线CD 关系式121-=x y ，设P （x ，121-x ），把P 点坐标代入二次函数关系式，利用方程x x x -=-241121求

解；〈3〉求出直线CD 关系式12

1

-=x y ，设P （x ，x x -24

1），把P 点坐标代入直线CD 关系式，利用方程x x x -=-241121求解。 思路2：利用两点间距离公式求解。设P （x ，x x -24

1），由PB 2=PE 2得到

()()22222254123412??? ??+-+-=??? ??--++x x x x x x ，从而求解。

当然还有其它的解题思路和方法，这里不一一介绍。

2、用到课本之外的知识解答问题。例如：

（1）利用两点间距离公式求解。“A(x 1，y 1) 和B(x 2，y 2)两点距离是()()221221y y x x AB -+-=”。在第2小题求BC 、BE 、BD 、DE 的长度以及第3

小题求P 点坐标时，不少同学都用到了这个公式。（见上分析）

（2）利用线段中点坐标公式求解。“若A(x 1，y 1) 和B(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P ??

? ??++222121y y x x ，”。在第2小题论证点D 线段BE 中点时，学生用到了这个公式。（见上分析）

（3）利用平行线等分线段定理证明。在第2小题论证点D 线段BE 中点时，学生用到了这个定理。（见上分析）

（4）利用斜率证明或求解。在第2小题论证CD ⊥BE 或者求直线CD 的解析式时，学生用到了“互相垂直的两直线斜率121-=?k k ”这个定理。（见上分析）

（5）利用二元二次方程组和一元高次方程求解。在第3小题求点P 坐标时，学生列出了二元二次方程组和一元高次方程求解。（见上分析）

这些知识和方法都是课本外的，可见学生的课外阅读量是很广的，学习能

力也比较强。

（二）学生在解答过程中存在的问题

通过学生的答题情况，我们发现了学生存在的突出问题。列举如下：

1、基本数学素养低。

（1）出现“122--?-=m ”这种写法。这是非常普遍的现象。

（2）基本数学语言表述错漏百出。例如“连结BF ⊥x 轴”，在图中没有点F 的情况这么表述是错误的；“把12--=x y 代入B （-2，m ）”，应该是把点的坐标代入直线解析式，即“把B （-2，m ）代入12--=x y ”；点、线、角、全等等表示不规范等等。这也是普遍现象。

（3）同一幅图中出现相同的字母表示多个点。例如点E 在原图中已确定，有学生解答过程中写“过点B 作BE ⊥x 轴于点E ”等等。

（4）化简意识差。例如第1小题求解出函数关系式有这些写法“()()4041

--=x x y ”、“x x y -=2246”、“014

12+-=x x y ”等等。 （5）自我检验意识差。例如第2小题中，有部分学生求出BC=3，CE=5，仍下结论BC=CE 。

2、学生计算能力差。

（1）仅第1小题求m 的值，计算122--?-=）（m 出现错误的很多，也导致了后边的解题出现错误。

（2）第1小题解方程123=a 得到4=a 的学生很多。

（2）第1小题列出方程组?

??=+=-0416024b a b a ，解答的结果各种各样，错误率很高。 （3）第3小题解一元二次方程x x x -=-24

1121，由于结果是无理数，错误率更高。

3、解题过程不规范。

（1）解答过程有头无尾。例如第1小题求函数关系式，求出系数a 、b 、c

后不写关系式出来；第2小题求出BC=5，CE=5后，不下结论BC=CE ；第3小题求出P 点的横、纵坐标后不写成坐标形式P （x ，y ）。

（2）解答过程缺胳膊少腿。例如第1小题在没有设出关系式的情况下直接得到方程组；第2小题在没有说明点F 位置的情况下直接写BF=3；或者解答过程中出现的辅助线在图形中没有作出。

（3）没有解答过程直接写结论。例如第1小题求m 的值，直接写m=3，直接写出函数关系式x x -=241y ；第2小题中，D 坐标（0，-1）直接写出。

4、知识点有缺陷。

（1）对函数知识掌握不好。例如二次函数的关系式设成2ax y =（缺项），甚至设为一次函数的关系式()k h x a y +-=或其他形式；

（2）对几何知识掌握不好。例如第2小题中，连结CD 后直接就认为CD ⊥BE ；在证明BDC ?≌EDC ?时，用（SSA ）来证明，或者条件不够就下结论。

（3）对方程（组）知识掌握不好。例如方程组中未知数的个数与方程的个数不相等，从而导致不能解；不会解一元二次方程或方程组。

综上所述，学生的思维活跃，课内外阅读量大，见识面广，解题方法多样，切入点多。但是，学生暴露的问题也不少。通过得分情况分析，我们发现，两极分化现象严重，并且是落后面更大，反映出学生的学习态度有很大的问题，连最简单的小题也不做答或者答错；通过答题过程分析，我们发现，学生的基本功薄弱，动手能力低，解题速度慢，计算能力下降，严谨的数学态度差，随意性强，没有自我检验的意识。