湖北省黄石市有色一中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷

2015－2016学年度上学期期末考试数学试卷（高一）

注意事项：

1、本试卷分为试题卷和答题卡两部分。考试时间为120分钟，满分150分。

2、考生在答题前请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题。

3、所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效。

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知{{},sin ,P Q y y R θθ=-==∈，则P Q ?等于（ ）

A ．?

B ．{}0

C ．{}1,0-

D ．{- 2．sin210°cos120°的值为 ( ) A.14 B ．－34 C ．－32

D.

3

4

3.已知函数f (x )＝?

????

x 2

＋1，x ≤1，2x

＋ax ，x ＞1，若f (f (1))＝4a ，则实数a 等于( )

A.12

B.4

3

C ．2

D ．4 4.函数f (x )＝(m 2

－m －1)x m

是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．2 C ．3

D ．－1或2

5..函数f (x )＝tan ? ????2x －π3的单调递增区间是( )

A.??

????k π2－π12，k π2

＋5π12(k ∈Z ) B.?

????k π2－π12，k π2

＋5π12(k ∈Z )

C.? ????k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )

D.?

?????k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )

6.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π

4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于

( )

A.32 B . 2

3

C ．2

D ．3

7.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( ) A ．－311 B ．－113 C.12 D.35

8.将函数y ＝cos ?

????x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平

移π

6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π6

C ．x ＝π

D ．x ＝π

2

9.已知向量a ，b 满足(a ＋2b )2(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.3π4 B.π4

C.π3

D.2π

3

10.在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则 EC 2

EM 的

取值范围是( )

A.??????12，2

B.??????12，32

C.????

??0，32 D.[]0，1 11.f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点?

??

??4π3，0成中心对称，且－π2＜φ＜π2，则函数y ＝

f ?

??

??

x ＋π3

为( )

A ．奇函数且在? ????0，π4上单调递增

B ．偶函数且在? ????0，π2上单调递增

C ．偶函数且在? ????0，π2上单调递减

D ．奇函数且在?

????0，π4上单调递减 12.已知函数f (x )＝9x

－m 23x

＋m ＋1在(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( )

A ．2－22

B ．m <2

C .m ≥2＋ 2 2

D ．m <2＋2 2

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若sin θ＋cos θ

sin θ－cos θ

＝2则tan θ=_____________

14．已知|a |＝6，|b |＝3，a 2b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是______________- 15.，则关于a 的不等式()()

0422<-+-a f a f 的解集是_______.

16．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，

b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关

联区间”．若f (x )＝x 2

－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范

围为：________________

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知f (x )＝cos 2

n π＋x 2sin 2

n π－x

cos 2

[ 2n ＋1 π－x ](n ∈Z)． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f ? ????π2 016＋f ? ??

??1 0072 016π.

18．已知f (x )＝

x

x －a

(x ≠a )．

(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 19.已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．

20.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )? ????0≤θ≤π2.(1)若 AB ⊥a ，且| AB |＝5| OA |，求向量 OB ；(2)若向量 AC

与向量a 共线，当k ＞4，且t sin θ取最大值4时，求 OA 2

OC

21.为迎接夏季旅游旺季的到来，某寺庙单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．

(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份至少要准备400份的食物？

22. 已知函数4()log (41)x f x kx =++(k ∈R )是偶函数． （1）求k 的值；

（2）若函数()y f x =的图象与直线1

2

y x a =

+没有交点，求a 的取值范围；

（3）若函数

1

()

()421

f x x x

h x m

+

=+?-，[]2

0,log3

x∈，是否存在实数m使得()

h x最小值

为0，若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由

2015-2016学年度上学期期末考试数学(高一）参考答案

一、选择题: CACBB AADCB DD

二、填空题 : 3 -4 ? ??

??－94，－2 三、解答题:

17，解:(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时，

f (x )

＝

cos 2 2k π＋x 2sin 2

2k π－x

cos [ 232k ＋1 π－x ]

＝

cos 2x 2sin 2

－x

cos x π－x

＝

cos 2

x 2 －sin x

2

－cos x

2

＝

sin 2

x (n

＝2k )；

--------------------------------------------------------------------------------------3分

当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，

f (x )

＝

cos 2[ 2k ＋1 π＋x ]2sin 2

[ 2k ＋1 π－x ]

cos 2

x {[23 2k ＋1 ＋1]π－x }

＝

cos 2

[2k π＋ π＋x ]2sin 2

[2k π＋ π－x ]

cos 2

[23 2k ＋1 π＋ π－x ]

＝cos 2

π＋x 2sin 2

π－x cos 2 π－x ＝ －cos x 2

sin 2

x －cos x 2

＝sin 2x (n ＝2k ＋1)， 综

上得f (x )＝

sin 2

x .-----------------------------------------------------------------------------------6分

(2)由(1)得f ? ????π2 016＋f ? ??

?

?1 0072 016π

＝sin 2

π2 016＋sin 2? ??

??π

2－π2 016 ＝sin

2

π2 016＋cos 2π2 016

＝1.-----------------------------------------------------------------------------------10分

18. (1)证明：任设x 1

则f (x 1)－f (x 2)＝

x 1

x 1＋2－x 2x 2＋2＝2 x 1－x 2 x 1＋2 x 2＋2

. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)

f (x )在(－∞，－2)上单调递

增．---------------------------------------------------------6分

(2)任设1

f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1

x 1－a x 2－a

.

∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，

只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.

综

上

所

述

知

a 的取值范围是(0,1]．

---------------------------------------------------12分

19.解：由已知得，a 2b ＝4383? ??

??－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2

＝a 2

＋2a 2b ＋b 2

＝16＋23(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2

＝16a 2

－16a 2b ＋4b 2

＝16316－163(－16)＋4364＝768， ∴

|4a

－

2b |

＝

16 3.-------------------------------------------------------------------------6分

(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )2(k a －b )＝0， ∴k a 2

＋(2k －1)a 2b －2b 2

＝0，

即16k －16(2k －1)－2364＝0.∴k ＝－7. 即

k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂

直．--------------------------------------------12分

20.解：(1)由题设知

AB ＝(n －8，t )， ∵

AB ⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0.

又∵5|

OA |＝| AB |，

∴5364＝(n －8)2

＋t 2

＝5t 2

，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；t ＝－8时，n ＝－8，

∴ OB ＝(24,8)或

OB ＝(－8，－

8)．----------------------------------------------------6分

(2)由题设知

AC ＝(k sin θ－8，t )， ∵

AC 与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，

t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ

＝－2k ? ??

??sin θ－4k

2＋32k

. ∵k ＞4，∴0＜4

k

＜1，

∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32

k

.

由32

k

＝4，得k ＝8，

此时θ＝π6，

OC ＝(4,8)．

∴

OA

2

OC

＝(8,0)2(4,8)＝

32.----------------------------------------------------12分

21．解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，

所以f (8)＝500.

根据上述分析可得，2π

ω

＝12，

故ω＝π

6，且???

??

－A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，

解得???

??

A ＝200，

B ＝300.

------------------4分

根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小， 当x ＝8时f (x )最大，

故sin ? ????23π6＋φ＝－1，且sin ? ??

??83π6＋φ＝1.

又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π

6

.

所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为

f (x )＝200sin

?

????π6x －5π6＋

300.----------------------------------------------------------8分

(2)由条件可知，200sin ? ????π

6x －5π6＋300≥400，化简，得

sin ? ????π

6

x －5π6≥12

?2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π

6，k ∈Z ，

解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z .

因为x ∈N *

，且1≤x ≤12，故x ＝6,7,8,9,10.

即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．-------------------12分 22. 解：（1）()()f x f x -=- ，

即 44log (41)log (41)x x kx kx -+-=++对于x ∈R 任意恒成立.

-44441

2log (41)log (41)log 4+12x

x x x kx kx x

-+∴=+-+=∴=-

∴1k =- ……………………………………………………………………

…………3分

（2）由题意知方程411log (41)22

x x x a +-=+即方程4=log (41)x a x +-无解.

令4()log (41)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交

点. ………………4分

444411()log 41)log log (1)44

x x x x

g x x +=+-==+（ 任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12044x x <<，1

2

1144x x ∴>. 1

2

124411()()log 1log 1044x x g x g x ?

??

?

∴-=+-+> ? ??

??

?

， ()g x ∴在(),-∞+∞上是单调减函数.

1114x +> ，41()log 104x g x ??∴=+> ???

.

∴a

的取值范围是

(],0.-∞ ……………………………………………………………………7分

(3)由题意x x m x h 24)(?+=,[]20,log 3x ∈

令[]21,3x

t =∈

[]2() 1.3t t mt

t ?=+∈………………………………………………

…………8分

开口向上，对称轴2

m

t =- 当1,22

m

m -

≤≥-即 ，min ()(1)10t m ??==+=，1m =- 当13,622m

m <-<-<<-即 ，

2min ()()024

m m t ??=-=-=，0m =（舍去）

当32

m

-

≥，6m <-即， min ()(3)930,3t m m ??==+==-（舍去）

∴

存

在

1

m =-得()h x 最小值为

0 ……………………………………………………………… 12分