第8章 假设检验

第8章假设检验

(Hypothesis Testing)

假设检验是抽样统计推断的另一项重要内容。它是利用样本的实际观测资料来检验事先对总体某些数量特征所作的假设是否可信的统计分析方法。根据已有的知识（情报）对总体的数量特征和变动规律做出一定的假设，然后运用观测到的样本的资料和一定程序，来判断事先所作的假设是不是合理可信，从而决定接受或拒绝这个假设。

8.1假设检验的概念

小概率的原理

假设检验的基本思想是应用小概率的原理。所谓小概率原理是指发生概

率很小的随机事件在一次试验中几乎是不可能发生的。根据这一原理我们可以做出是否接受原假设的决定，即进行假设检验时必须事先确定一个作为接受或拒绝的判断界限的小概率标准。该小概率标准就是统计假设检验中的显著性水平。在假设检验过程中,我们可以依据显著性水平的大小把概率分布划分为接受区间和拒绝区间。大于给定标准的概率区间称为接受区间,小于给定的概率区间称为拒绝区间。

假如给定的小概率标准为α=0.1,凡概率小于10%的事件都称为小概率事件，均属于拒绝区间。而概率大于等于1-α=90%的事件都称为对立事件概率,

均属于接

受区间。事件属

于接受区间,意味着原假设成立而无显著性差异；事件属于拒绝区间,意味着原假设不成立,而认为有显著性差异。显著性水平α所对应的概率度t 称为α

的临界值,记为αt 例如α=0.1时,

1

.0t =1.64。我们称概率小于0.1的事件为小概率事件。但实际假设检验分析中作为接受或拒绝的判断尺度临界值t 比显著性水平α更为常用。

(图8-1) 接受区和拒绝区

2/α2/α

μ

根据我们所研究的对象的性质和特征的不同，统计假设检验又可分为双侧检验和单侧检验两种类型。当我们的研究只对检验样本和总体的平均数，或样本和总体的平均数有没有显著性差异关心，而不问差异的方向（正差或负差）时采用双侧检验方法。但我们所要检验的是抽取样本的总体的参数值偏大于还是偏小于某个特定值时采用单侧检验方法。因此，单侧检验方法有右单侧检验和左单侧检验两种。当我们所要检验的是总体的参数值是否大于某个特定值，应采用右单侧检验；反之，应采用左单侧检验。在双侧检验中原假设与替换假设通常采用等式，在单侧检验中原假设与替换假设取不等式。 双侧检验： 0

H : 0

μμ= 1

H :0

μ

μ≠

右单侧检验:0

H : 0

μμ≤ 1

H :0

μμ> 左单侧检验:0

H : 0

μμ≥ 1

H :0

μμ< μ为计算值 0

μ为假设值

总而言之,假设检验是对我们所关心的,却又是未知的总体参数先做出假设,然后抽取样本,利用样本提供的信息对假设的正确性进行判断的过程。它是进行各种经济行为、管理及决策的有力工具。

8.2一个正态总体参数的假设检验

根据已知条件，一个正态总体参数的检验方法通常可以分为两种。一种方法是当总体的方差2

σ为已知数时，以Z 为检验统计量进行检验；另一种方法是当总体的方差2

σ为未知数时，以*

T 作为

检验统计量进行检验。

8.2.1 总体平均数μ的假设检验

8.2.1.1总体的方差2

σ为已知数时

设随机变量n

X X X ,,,2

1

是从符合正态分布的总体中抽取的样本，且总体和样

本的平均数及方差分别为0

μ、x 、2σ、2

s

①原假设与替换假设；

0H : μ=0

μ 1H :μ≠0

μ

②检验统计量（概率度）Z ；

n

x Z σ

μ0

-=

σ

μ)

(0-=

x n …

(8-1)

③设定显著性水平α

④计算检验统计量(概率度)Z 值：

⑤ 做出统计决策：

若Z <2

/αZ , 则接受原假设0

H ，拒绝替换假设1

H

若Z >2

/αZ ，则拒绝原假设0

H ，接

受替换假设1H

例8-1：设μ=600，x =630，σ=30，n =100, α=0.05。

试求双侧检验（替换假设1H :μ≠600）和右侧检验（替换假设1H :μ>600）时的临界值。

解：□SAS PROGRAM

DATA example1;

ALPHA=0.05; n=100; sigma=30; mu0=600; barX=630;

Zcal=(barX-mu0)/(sigma/SQRT(n)); z1=PROBIT(ALPHA/2); ←双侧检验（计算临界值）

IF ABS(Zcal)>=ABS(z1) THEN RESULT1='REJECT'; ELSE RESULT1='ACCEPT';

z2=PROBIT(1-ALPHA); ←右侧检验（计算临界值）

IF Zcal >= z2 THEN RESULT2='REJECT'; ELSE RESULT2='ACCEPT'; RUN;

PROC PRINT; VAR ALPHA ZCAL z1 RESULT1 z2 RESULT2; RUN; □运行结果

OBS ALPHA ZCAL Z1 RESULT1

Z2 RESULT2

1 0.05 10 -1.95996 REJECT

1.64485 REJECT

利用SAS PROGRAM 计算的结果得，双侧检验临界值2αZ =96.1± 右侧检验临界值αZ =645.1; 因为

Z >2/αZ ,Z >αZ ,所以双侧检验原假设0

H :0

μμ=和右单侧检验的原假设:

H

:0μμ≤均被否定.

8.2.1.2总体的方差2

σ为未知数时 因为总体的方差2

σ为未知数，不能直接利用Z -统计量。所以利用*

T -检验统计量(详见8.6)。

=*

T

n

s

x 0

μ- …

-1.96 1.96 1.64

（图8-2） 0H 的接受区和拒绝区

（a ）双侧检验 (b)右侧检验

（8-2） 当n ≥30时，=

-n s

x 0

μt

～Z ，即t -分布

和Z-分布相接近，可设

n

s

x Z 0μ-=

,并把它

作为检验统计量计算临界值，这样可以不用考虑自由度的问题。

例8-2：设某百货商店的电冰箱销售量服从正态分布。已知

100

10

1

=∑=t i X （X i 代表第

i

天电冰箱销售量）；

2350010

1

2

=∑=t i X 。并设定0H :μ

≥12。试在α=0.05

的条件下检验。

□SAS PROGRAM

DATA example2;

ALPHA=0.05; MU0=12; N=10; SUMX=100; SUMX2=23500; BarX=sumX/n; s2=(sumX2-n*barX**2)/(n-1); Tcal=(barX-mu0)/SQRT(s2/n); T=TINV(ALPHA,n-1); IF Tcal=T THEN RESULT=’REJECT’; ELSE RESULT=’ACCEPT’; RUN;

PROC PRINT; VAR ALPHA Tcal t RESULT; RUN; □ 运行结果

OBS ALPHA TCAL T

RESULT

1 0.05 -0.12649

-1.83311 ACCEPT

解：因为总体的方差2σ为未知数，以t -统计量作为检验统计量。又因为0H :μ>=12，所以替换假设为1H :μ<12。根据题意作左侧检验。若*T >αt -则原假设成立。利用SAS PROGRAM 计算的结果*

T =-0.1265>αt -=-1.833，所以，一天的电冰箱平均销售量超过12台的原假设成立。

例8-3：若把例8-2的样本容量由原来的10天增加到100天（N=100），并设其他的条件不变。这时我们可以利用Z -统计量。即

n

s

x Z 0μ-=

…（8-3）

计算结果Z=-0.4>Z α=-1.64485，所以原假设成立。

例8-4：某生产灯泡企业的新职工，上班的第一个月生产了100只灯泡，其中随机抽出5只灯泡作了寿命试验,其寿命分别为70，75，80，85，90（天）。试检验灯泡的平均寿命为75天的可能性（设α=0.1）。

解：设0H :μ≤75, 1H :μ>75。即作右侧检验，若*

T <αt 则原假设成立。因为N=100,所以利用有限总

体调整系数来计算。利用SAS Program计算的结果，*

t=1.53321。所以灯泡的平均寿命不T=1.44368<

能超过75天的原假设成立。

□SAS PROGRAM

DATA EXAMPEL4;

INPUT X @@;

CARDS;

70 75 80 85 90

RUN;

PROC MEANS NOPRINT; VAR X; OUTPUT OUT=OUTPUT N=n MEAN=BARX VAR=S2; RUN;

DATA RESULT; SET OUTPUT ;

ALPHA=0.1; MU0=75; CC=(100-n)/(100-1);

TCAL=(BARX-MU0)/SQRT((S2/N)*CC);T=TINV(1-ALPHA ,N-1

);

IF TCAL=T THEN RESULT=’REJECT’;ELSE RESULT=’ACCEPT’; RUN;

PROC PRINT; VAR ALPHA TCAL T RESULT; RUN;

□运行结果

OBS ALPHA TCAL T RESULT

1 0.1 1.44368 1.53321 ACCEPT

8.3 两个正态总体参数检验

8.3.1两个正态均值之间的假设检验

8.3.1.1 21

σ、2

2σ为已知数时，两个总

体平均值的假设检验

在经济分析中，常常需要比较两个总体的参数。比如，北方地区和南方地区的经济发展水平是否有显著性差异等，对这种两个总体（地区）的参数是否有显著性差异的问题，可用两个正态总体参数检验的方法来解决，其检验步骤如下：

第一步：设两个总体的平均值和方差分别为1

μ、2

μ和21

σ、22

σ，原假设可设定为两个总体的平均值相等。即0H :1μ=2

μ 1H ：1μ≠2μ

第二步：分别从两个总体中抽出一个样本，得到样本容量和平均数分别为

1n 、1X 和2n ,2X 的样本。如果1X 和2X 服

从正态分布，则1

X

±2

X

也服从正态分

布。下面计算一下新的概率变量1

X -2

X 的平均值和方差。

2

12121][][][μμ-=-=-X E X E X X E …(8-8) )

,(2][][][2

12121---+=-X

X Cov X V X V X X V

1X 和2

X

是相互独立的，所以其协方差2Cov(1X ，

2

X

)=0

2

2

1

2

21][n n X X V σ

σ

+

=

-

…(8-9)

)

(21X X -～

)](

),[(2

2

2

1

2

1

21n n N σσμμ+

- …(8-10)

把)(21X X -进行标准化得到标准化的检验统计量；

()()

2

22

1

2

1212

1

n n X

X

Z σ

σμμ

+

---=

…(8-11)

第三步：计算检验统计量。并根据原假设设定双侧检验还是单侧检验。若原假设为 0H :02

1

=-μμ，则需要双侧检验2αZ ±；若0H :02

1

>-μμ，则左侧检

验2αZ -；若0H :02

1

<-μμ，则右侧检验2αZ 。

第四步：根据所给定的显著性水平α值和Z 的临界值，进行判断。

例8-7：某汽车公司为了检验A 型汽车和B 型汽车的耗油量，分别从A 型和B 型汽车中随机抽出9辆

汽车作了试验。试验结果表明，当消耗1升汽油时，

B A ,两种型号汽车的平均行驶距离分别为12Km 、11Km 。如果B A ,这两种型号汽车的标准差分别服从 1.5Km/升和1Km/升的正态分布， 试分析在显著性水平为α=1%的条件下，02

1=-μμ的原假设是否成立。

解：根据题意，利用检验统计量（8-11）进行双侧检

验。

()()

7

.19

1

9

5.1011122

2

2

22

121

2

12

1

≈-

--=

+---=

n n X

X

Z σ

σ

μμ

与显著性水平为α=1%相对应的临界值为575.22±=±αZ ，因为2αZ -=-2.575

ALPHA=0.01; n1=9; n2=9; barX1=12; barX2=11; s1=1.5; s2=1;

Zcal=(barX1-barX2)/SQRT(s1**2/n1+s2**2/n2); Z=PROBIT(ALPHA/2);

IF ABS(Zcal) >=ABS(Z) THEN RESUL=’REJECT’; ELSE RESULT=’ACCEPT ’; RUN;

PROC PRINT; VAR ALPHA Zcal z RESULT; RUN; □运行结果

OBS ALPHA ZCAL Z RESULT 1 0.01 1.66410 -2.57583 ACCEPT

8.3.1.2 21σ

、22

σ

为未知数时，两个总

体均值之差的假设检验

1.样本容量较大的情况

如果21

σ、22

σ为未知数，但样本为大

样本时，我们可用样本的方差21s 、22s 代

替总体的21σ、22

σ，利用下面的近似公式计算检验统计量。

()()

=

+---=

2

22

121

212

1

n n X

X

Z σσ

μμ

()()

2

22

121

21

2

1

n s

n s

X X

+---μμ

… (8-12)

在前面的例8-6中, 假设21

σ、22

σ是未知数。 如果把样本容量由原来的9

个扩大到32个时, 测得B A ,两种型号汽车的平均行驶距离分别为12Km/升、11.5Km/升。这时我们可利用（8-12）式来进行假设检验。

()

2

)

321()321(5.1112Z 2

2

=+-=

显著性水平为α=1%的条件下575.22

±=±αZ ，所以原假设成立。但如果给定的显著性水平为α=0.05%（96.12

±=±αZ ），则原假设不成立。 2．样本容量较小的情况

如果21σ、22

σ为未知数，且样本容量较小时，可利用下面的检验统计量进行假设检验（详见8.6.3）。

()()2

1

2121

211?21n n s

X X

t n n +?---=

-+μμ …(8-13)

()()()

2

11?12

11212

2

12

11+

-=

-+-+-=∑n X X n n s n s n s

i

但利用上面的检验统计量，必须满足这样的两个条件。首先两个总体必须满足正态分布；其次是两个总体的方差必须相等21

σ=22

σ。

例8-8：在同届毕业的文科和工科毕业生中各随机抽出10、15名，其调查结果表明，文科和工科类毕业生的工资收入分别为80、75万（韩币），方差分别为300、200。试问在显著性水平α=0.05的条件下，同届毕业的文科和工科类毕业生的工资水平是否有显著性差异。

解：设同届毕业的文科和工科类毕业生的工资水平没有显著性差异。

1）

9）DATA example8;

ALPHA=0.05; n1=10; n2=15; barX1=80; barX2=75; S1=SQRT(300); S2=SQRT(200);

即0H ：1μ-2μ=0

()()()()23

550

2

15102001153001102

11?212

2

22

112

=

-+-+-=

-+-+-=

n n s n s n s

∵1X =80，2X =75

()792

.015

110

123

5500

7580

=+

--=

t

在

α

=0.05的条件下，自由度为21n n +-2=10+15-2=23时，相应的临界值查表可得069.223,2±=±αt 。因为23,223,2ααt t t <<-，所以同届毕业的文科和工科类毕业生的工资水平没有显著性差异的原假设成立。

DATA example8;

ALPHA=0.05; n1=10; n2=15; barX1=80; barX2=75; S1=SQRT(300); S2=SQRT(200);

Spooled=((n1-1)*s1**2+(n2-1)*s2**2)/(n1+n2-2);Tcal=(barX1-barX2)/SQRT(Spooled*(1/n1+1/n2)); T=TINV(ALPHA/2,n1+n2-2);

Spooled=((n1-1)*s1**2+(n2-1)*s2**2)/(n1+n2-2);Tcal=(barX1-barX2)/SQRT(Spooled*(1/n1+1/n2)); T=TINV(ALPHA/2,n1+n2-2);

IF ABS(Tcal) >=ABS(t) THEN RESULT=’REJECT’; ELSE RESULT=’ACCEPT’; RUN; PROC PRINT; VAR ALPHA Tcal t RESULT; RUN; □运行结果

OBS ALPHA TCAL T RESULT

1 0.05 0.79201 -2.06866 ACCEPT

IF ABS(Tcal) >=ABS(t) THEN RESULT=’REJECT’; ELSE RESULT=’ACCEPT’; RUN;

PROC PRINT; VAR ALPHA Tcal t RESULT; RUN; □运行结果

OBS ALPHA TCAL T

RESULT

1 0.05 0.79201 -2.06866 ACCEPT

8.6 假设t -检验

8.6.1 一个总体平均数的t -检验

设随机变量n X X X ,,,21 是从符合正态分布的总体中抽取的样本，且总体和样本的平均数及方差分别为0

μ、X 、

2

σ、2

s 。当总体方差2

σ为未知数时，不能选择Z 统计量，此时需要用样本方差

2

s

代替总体方差2

σ

，检验统计量服从自

由度为1-n 的t -分布。t -检验步骤如下; 1)原假设与替换假设: 0

H :μ=0μ 1

H :μ≠0

μ

2)检验统计量（概率度）t ：

s

X n n

s X T

)

(/

00*

μμ-=

-=

…(8-1

7)

在大样本（随机变量的容量n ≥30）的情况下，t -分布和Z-分布相接近。样本统计量t

服从或趋近于期望值为０、

方

差为

１

的标

准正

态分布N (0,1)。根据实际抽样调查资料，计算样本的平均数X 及标准差s,

就可以具体确定统计量*T 值。

（图8-5）t

-检验的接受区和拒绝区