第五章 数 列

第五章?

??

数 列

第一节 数列的概念与简单表示法

1．数列的有关概念

n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，

则a n ＝?

????

S 1，n ＝1，

S n －S n －1，n ≥2.

4．数列的分类

[小题体验]

1．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，则数列{a n }的一个通项公式为________． 答案：a n ＝2n －1(n ∈N *)

2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n

2a n ＋3

，则a 5等于________． 答案：

1161

3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝x －1

x ，设a n ＝f (n )(n ∈N *)，则{a n }是________数列(填

“递增”或“递减”)．

答案：递增

1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．

2．易混项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．

3．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．

[小题纠偏]

1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是________．

答案：a n ＝?

????

2，n ＝1，

2n －1，n ≥2

2．数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋9n ，则该数列第________项最大． 答案：4或5

考点一 由数列的前几项求数列的通项公式

(基础送分型考点——自主练透)

[题组练透]

1．已知n ∈N *

，给出4个表达式：①a n ＝?

????

0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1＋(－1)n

2，③a n ＝

1＋cos n π2

，④a n ＝????sin n π

2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )

A ．①②③

B ．①②④

C ．②③④

D ．①③④

解析：选A 检验知①②③都是所给数列的通项公式． 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)(易错题)－

11×2，12×3，－13×4，14×5

，…； (3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….

解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式a n ＝2(n ＋1)，n ∈N *. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×

1

n (n ＋1)

，n ∈N *.

(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝

?

????

a ，n 为奇数，

b ，n 为偶数. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1，n ∈N *.

[谨记通法]

由数列的前几项求数列通项公式的策略

(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：

①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等．

(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n

＋1

来调整．如“题组练透”第2(2)题．

考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋1.

解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式， ∴a n ＝4n －5.

(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －

1＋1)＝2·3n －

1.

当n ＝1时，2×31－

1＝2≠a 1，

所以a n ＝?

????

4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.

[由题悟法]

已知S n 求a n 的3个步骤

(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；

(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；

(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．

[即时应用]

已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋

1·n ，求a 5＋a 6及a n ；

(2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .

解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋

1·n －(－1)n ·(n －1)

＝(－1)n ＋

1·[n ＋(n －1)]

＝(－1)n ＋

1·(2n －1)，

又a 1也适合此式， 所以a n ＝(－1)n ＋

1·(2n －1)．

(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －

1＋2(n －1)＋1]

＝2·3n －

1＋2，

由于a 1不适合此式，

所以a n ＝?

????

6，n ＝1，

2·3n －1＋2，n ≥2.

考点三 由递推关系式求数列的通项公式

(常考常新型考点——多角探明)

[命题分析]

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．

常见的命题角度有： (1)形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n ； (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n ；

(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n ； (4)形如a n ＋1＝

Aa n

Ba n ＋C

(A ，B ，C 为常数)，求a n .

[题点全练]

角度一：形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n 1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1

n a n －1

(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＝n －1

n a n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝

n －2n －1

a n －2，…，a 2＝1

2a 1.

以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·2

3

·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .

当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立．∴a n ＝1

n . 角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n

2．(1)(2015·江苏高考改编)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．

(2)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，求数列{a n }的通项公式． 解：(1)由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)． 以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22

.

又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n

2

(n ≥2)．

∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n

2(n ∈N *)．

(2)由题意知a n ＋1－a n ＝2n ，

a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2

n －1

＋2

n －2

＋…＋2＋1＝1－2n

1－2

＝2n －1.

角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n

3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，

∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －

1，

∴a n ＝2·3n －

1－1.

角度四：形如a n ＋1＝

Aa n

Ba n ＋C

(A ，B ，C 为常数)，求a n

4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝

2a n

a n ＋2

，求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＋1＝2a n

a n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，

∴

1

a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，

∴????

??1a n 是以1为首项，1

2为公差的等差数列．

∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋1

2，

∴a n ＝

2

n ＋1

(n ∈N *)． [方法归纳]

典型的递推数列及处理方法

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2015·宝鸡一检)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8

D ．10

解析：选C a 4＝S 4－S 3＝20－12＝8.

2．数列1，23，35，47，5

9，…的一个通项公式a n ＝( )

A.n 2n ＋1

B.n 2n －1

C.n 2n －3

D.n 2n ＋3

解析：选B 由已知得，数列可写成11，23，3

5，…，故通项为n 2n －1.

3．(2015·哈尔滨二模)下列说法正确的是( ) A ．数列1，－2,3，－4，…是一个摆动数列 B ．数列－2,3,6,8可以表示为{－2,3,6,8} C ．{a n }和a n 是相同的概念

D ．每一个数列的通项公式都是唯一确定的

解析：选A 对于A ，摆动数列是指从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，故A 正确；数列与数集是不同的，故B 错误；{a n }和a n 是不同的概念，{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，而a n 表示的是这个数列的第n 项，故C 错误；每一个数列的通项公式并不都是唯一确定的，故D 错误．

4．(2015·黄冈月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( )

A ．a n ＝2n －3

B ．a n ＝2n ＋3

C ．a n ＝?

????

1，n ＝1，

2n －3，n ≥2

D ．a n ＝?

????

1，n ＝1，

2n ＋3，n ≥2

解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故通项公式为C.

5．(2015·杭州三模)数列{a n

}定义如下：a 1

＝1，当n ≥2时，a n

＝???

1＋a n 2

，n 为偶数，

1

a n －1

，n 为奇数，

若a n ＝1

4

，则n 的值为( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

解析：选C 因为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝1

3，

a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝1

4

，所以n ＝9.

二保高考，全练题型做到高考达标

1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋1

2

B ．cos n π

2

C ．cos n ＋1

2

π

D ．cos n ＋2

2

π

解析：选D 令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确．

2．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1

2(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )

A ．5 B.72 C.92

D.132

解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝1

2，a 2＝2，

∴a n ＝?????

－32，n 为奇数，

2， n 为偶数.

∴S 21＝11×????－32＋10×2＝7

2

. 3．(2015·石家庄二模)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝( )

A ．8

B ．6

C ．4

D ．2

解析：选D 由题意得：a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8；所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 015＝a 335×6＋5＝a 5＝2.

4．设曲线y ＝x n ＋

1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，

则a 1＋a 2＋…＋a 99＝( )

A ．100

B ．2

C ．－2

D ．－100

解析：选C 因为y ′＝(n ＋1)x n ，所以曲线y ＝x n

＋1

在点(1,1)处的切线斜率为n ＋1，切

线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝1－1

n ＋1＝n n ＋1.则a n ＝lg x n ＝lg n n ＋1

，所以a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg ????12×23×…×99100＝lg 1

100

＝－2. 5．(2016·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，

∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，

则有????? a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N *

，∴?

????

22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，

∴193≤k ≤223

， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.

6．在数列－1,0，19，1

8，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第____________项．

解析：令n －2

n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，

即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝5

2(舍去)．

答案：10

7．(2015·浙江瑞安三校联考)已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 013＝________，a 2 016＝________.

解析：由题意可得a 2 013＝a 4×504－3＝1，a 2 016＝a 1 008＝a 504＝a 252＝a 126＝a 63＝a 4×16－1＝0. 答案：1 0

8．在一个数列中，如果?n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.

解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3

＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.

答案：28

9．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *

)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．

解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2； 同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12

a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，

故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.

(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1

因为n ∈N *，所以n ＝2,3，

所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝????n －522－9

4

， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<3

2

，即得k >－3.

所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．已知{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n ，且a 1＝33，则a n

n 的最小值为( )

A ．21

B ．10 C.212

D.172

解析：选C 由已知条件可知，当n ≥2时， a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝33＋2＋4＋…＋2(n －1)

＝n 2－n ＋33，又n ＝1时，a 1＝33满足此式． 所以a n n ＝n ＋33

n －1.

令f (n )＝a n n ＝n ＋33

n －1，则f (n )在[1,5]上为减函数，

在[6，＋∞)上为增函数，又f (5)＝535，f (6)＝21

2，

则f (5)>f (6)，故f (n )＝a n n 的最小值为21

2

.

2．(2016·天水一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋a n ＋1＝2n .求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＋a n ＋1＝2n ，① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋

1，②

②－①，得a n ＋2－a n ＝2n ， 由a 1＝1，a 1＋a 2＝2，得a 2＝1. 当n 为奇数时，

a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 3－a 1)＋a 1 ＝2n －

2＋2n －

4＋…＋2＋1

＝13×2n ＋1

3； 当n 为偶数时，

a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 4－a 2)＋a 2 ＝2n －

2＋2n －

4＋…＋22＋1

＝13×2n －13

. 故a n

＝???

13×2n ＋1

3

，n 为奇数，13×2n

－1

3

，n 为偶数.

第二节 等差数列及其前n 项和

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．

(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b

2，其中A 叫做a ，b 的等

差中项．

2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )

2

. 3．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．

[小题体验]

1．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9

D ．11

解析：选A ∵a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3， ∴a 3＝1，

∴S 5＝5(a 1＋a 5)

2

＝5a 3＝5，故选A.

2．(教材习题改编)已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________ 答案：－15－n

3．(教材习题改编)已知等差数列5,427，34

7

，…，则前n 项和S n ＝________.

答案：

1

14

(75n －5n 2)

1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．

2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．

3．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．

[小题纠偏]

1．(2014·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12

D ．14

解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.

2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项公式为a n ＝________. 答案：2n －1

考点一 等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)

[题组练透]

1．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )

A.17

2 B.192

C ．10

D ．12

解析：选B ∵公差为1， ∴S 8＝8a 1＋

8×(8－1)

2

×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝1

2，

∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝19

2

.

2．(2015·沈阳质量监测)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2

－S n ＝36，则n ＝( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

解析：选D 法一：由题知S n ＝na 1＋

n (n －1)

2

d ＝n ＋n (n －1)＝n 2，S n ＋2＝(n ＋2)2，由S n ＋2

－S n ＝36得，(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4＝36，所以n ＝8.

法二：S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8.

3．(2016·衡水中学模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，数列{a n

＋a n ＋1＋a n ＋2}是公差为2的等差数列，则S 25＝( )

A ．232

B ．233

C ．234

D ．235

解析：选B 由题可得a 4＝3，所以a 2＋a 3＋a 4＝8，

∴S 25＝a 1＋(a 2＋a 5＋…＋a 23)＋(a 3＋a 6＋…＋a 24)＋(a 4＋a 7＋…＋a 25)＝1＋

????2×8＋8×72×2＋????3×8＋8×72×2＋???

?3×8＋8×72×2＝233，故选B.

4．(易错题)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由已知，得?????

a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×8

2＝－9，

解得?????

a 1＝3，

d ＝－1. ∴S 16＝16×3＋16×15

2

×(－1)＝－72. 答案：－72

[谨记通法]

等差数列运算的解题思路及答题步骤

(1)解题思路

由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．如“题组练透”第4题易出现计算失误．

(2)答题步骤

步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 步骤二：根据已知条件列方程求出未知量； 步骤三：利用前n 项和公式求得结果。

考点二 等差数列的判断与证明(题点多变型考点——纵引横联)

[典型母题]

[类题通法]等差数列的判定与证明方法

[越变越明]

[变式1] 试说明母题中数列{a n }是不是等差数列． 解：当n ≥2时，a n ＋1＝－1

2n (n ＋1)

，

而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ?

???1

n ＋1－1n －1

＝

1

n (n －1)(n ＋1)

.

∴当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列．

本题在求解时，可以举出反例，也可以用反证法．

[变式2] 若将母题条件变为“数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n ，”求证：{a n }为等差数列．

证明：∵2S n －na n ＝n ，①

∴当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝n －1，②

∴①－②得：(2－n )a n ＋(n －1)a n －1＝1，(1－n )a n ＋1＋na n ＝1，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴数列{a n }为等差数列．

[变式3] 若母题变为：已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1

a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设

b n ＝1

a n －1(n ∈N *)．求证：数列{

b n }是等差数列．

证明：∵a n ＝2－1

a n －1， ∴a n ＋1＝2－1a n .

∴b n ＋1－b n ＝

1a n ＋1－1－1

a n －1

＝

12－1a n

－1

－1

a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{

b n }是首项为b 1＝1

2－1

＝1，公差为1的等差数列.

[破译玄机]

考点三 等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

1．(2015·洛阳统考)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )

A ．18

B ．99

C ．198

D ．297

解析：选B 因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝11

2

(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.

2．(2016·常德一模)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20

＋a 21＝________.

解析：法一：设数列{}a n 的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.

法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D .

所以5＋2D ＝10， 所以D ＝52

.

所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. 答案：20

3．等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 取得最大值．

解：法一：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－2

13a 1.

从而S n ＝d 2n 2＋????a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋49

13a 1， 因为a 1>0，所以－

a 1

13

<0. 故当n ＝7时，S n 最大． 法二：由法一可知，d ＝－2

13

a 1.

要使S n 最大，则有?

????

a n ≥0，

a n ＋1≤0，

即?

?

a 1＋(n －1)???

?－2

13a 1≥0，a 1

＋n ???

?－213a 1

≤0，

解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大． 法三：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，

故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0， 所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大．

[由题悟法]

1．等差数列的性质

(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ?

a m －a n

m －n

＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．

(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .

2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法

(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．

(2)邻项变号法：

①当a 1>0，d <0时，满足????

? a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；

②当a 1<0，d >0时，满足?

????

a m ≤0，

a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .

[即时应用]

1．(2015·南昌二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11

S 9＝( )

A ．1

B ．－1

C ．2

D.1

2

解析：选A S 11S 9＝11(a 1＋a 11)

29(a 1＋a 9)

2＝11a 69a 5＝119×9

11＝1.

2．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.

解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差

为d .由已知条件，得????? S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得?????

S 偶＝192，

S 奇＝162.

又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－162

6＝5.

答案：5

3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.

解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②

①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.

∵a 1＋a n ＝36，n ＝18，∴a 1＋a 18＝36， 从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14

D ．15

解析：选B 由S 5＝(a 2＋a 4)·52?25＝(3＋a 4)·5

2

?a 4＝7，所以7＝3＋2d ?d ＝2，所以a 7

＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.

2．(2015·西安八校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )

A ．37

B ．36

C ．20

D ．19

解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋

9×8

2d ＝36d ＝a 37. 3．(2016·陕西质量监测)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )

A ．21

B ．22

C ．23

D ．24

解析：选C 3a n ＋1＝3a n －2?a n ＋1＝a n －23?{a n }是等差数列，则a n ＝473－2

3n .∵a k ＋1·a k <0，

∴????473－23k ????453－23k <0，∴452

2

，∴k ＝23. 4．(2015·唐山期末)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 解析：设数列{a n }的公差为d ，S 3＝6，S 4＝12， ∴???

3a 1＋3×2

2

d ＝6，4a 1

＋4×3

2

d ＝12，∴?

????

a 1＝0，

d ＝2， ∴S 6＝6a 1＋6×5

2

d ＝30. 答案：30

5．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．

解析：∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1， 又a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0， ∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0. ∵a n ≠0，∴a n ＝2.

∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：10

二保高考，全练题型做到高考达标

1．(2015·太原一模)在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )

A ．－1

B ．0 C.14

D.12

解析：选B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，

又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝3

2.

∴公差d ＝

a 4－a 22＝1

2

.∴a 1＝a 2－d ＝0. 2．(2015·江西八校联考)数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( )