概率论与数理统计(魏宗舒)答案
第一章 事件与概率
1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则
，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，， =A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，
(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。则=Ω{1ω，
2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }
1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。(1) 叙述C AB 的意义。(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ?是正确的？(4) 什么时候B A =成立？
解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ?，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。用i A 表示下列事件：
(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1)
n i i
A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n
i j j j
i A A 1
1
)]([=≠=;
(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 n
j
i j i j
i
A
A ≠=1
,；
1.4 证明下列各式：
(1)A B B A ?=?;(2)A B B A ?=?(3)=??C B A )()(C B A ??;(4)=??C B A )()(C B A ?? (5)=??C B A )(??)(C A )(C B ?(6)
n
i i
n i i
A A 1
1
===
证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。 1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。
解 样本点总数为782
8?=A 。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A “所得分数为既约分数”包含63221
51323??=?+A A A 个样
本点。于是 14
9
78632)(=???=
A P 。
1.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。
解 样本点总数为1035=???
?
??。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A “所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是10
3)(=
A P 。 1.7 一个小孩用13个字母T T N M M I I H E C A A A ,,,,,,,,,,,,作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率为多大？
解 显然样本点总数为!13，事件A “恰好组成“MATHEMATICIAN ”包含!2!2!2!3个样本点。所以
!
1348
!13!2!2!2!3)(=
=
A P 1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。
解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于891109=-?个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”
。故所求概率为 89
17
)(=A P 1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为7
9。事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含7
9A 个样本点，
于是77
99
)(A A P =。
1.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？
解 用A 表示“牌照号码中有数字8”，显然4
4109100009)(??
?
??==A P ，所以
1)(=A P -4
410911000091)(??
?
??-=-=A P
1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：
(1)该数的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1； 解 (1) 答案为
51。(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为5
2104= (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含2
10个样本点。用事件A 表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a ，则该数的立
方的最后两位数字为1和3a 的个位数，要使3a 的个位数是1，必须7=a ，因此A 所包含的样本点只有71这一点，于是（……）
1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到n 2根草的情形。
解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有135??种接法，同样对尾也有135??种接法，所以样本点总数为2
)135(??。用A 表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有135??种连接法，而对尾而言，
任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为24?。所以A 包含的样本点数为)24)(135(???，于是
158
)
135()24)(135()(2
=?????=
A P (2) n 2根草的情形和(1)类似得 1.13 把n 个完全相同的球随机地放入N 个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是
哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好
有k 个球的概率为???
? ??-+????
??---+n n N k n k n N 12，n k ≤≤0 (2)恰好有m 个盒的概率为???
? ??-+????
??---???? ??n n N m N n m N 111，1-≤≤-N m n N
(3)指定的m 个盒中正好有j 个球的概率为???
? ??-+???
?
??---+-???? ??--+n n N j n j n m N m j m 1111，.0,1N j N m ≤≤≤≤ 解 略。
1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。 解 所求概率为5
3)(=
A P 1.15 在ABC ?中任取一点P ，证明ABC ABP ??与的面积之比大于
n n 1-的概率为21
n
。 解 截取CD n D C 1='，当且仅当点P 落入B A C ''?之内时ABC ABP ??与的面积之比大于n
n 1
-，因此所求概
率为22
)(CD D C ABC C B A A P '=?''?=的面积有面积2221
CD
D C n '=2
1n =。 1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小
时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。
解 分别用y x ,表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当
10,20≤-≤≤-≤x y y x 。因此所求概率为121.024
2221
232124)(2
2
22≈?-?-=A P 1.17 在线段
AB 上任取三点321,,x x x ，求：(1) 2x 位于31x x 与之间的概率。(2) 321,,Ax Ax Ax 能构成一个三角形的概率。
解 (1) 31)(=A P (2) 2
11213131)(=??-=
B P 1.18 在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为c b a ,,（均小于d ），求三角形与平行线相交的概率。
解 分别用321,,A A A 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然
.0)()(21==A P A P 所求概率为)(3A P 。分别用bc ac ab c b a A A A A A A ,,,,,表示边c b a ,,，二边bc ac ab ,,与平行线相交，
则
=)(3A P ).
(bc ac ab A A A P ??显然
)
(a A P )
()(ac ab A P A P +，
=)(b A P )
()(bc ab A P A P +，
=)(c A P )()(bc ac A P A P +。所以 2
1
)(3=
A P [+)(a A P +)(b A P )(c A P ])(22c b a d ++=
π)(1c b a d ++=π （用例1.12的结果）
1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。
解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A “该点命中AB 的中点”的概率等于零，但A 不是不可能事件。
1.20 甲、乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。
解1ω表示白，2ω表示黑白，3ω表示黑黑白，…白黑黑表示个
b b 1+ω，
则样本空间=Ω{1ω，2ω，…，1+b ω}，并且b
a a
P +=})({1ω，
1})({2-+?+=b a a b a b P ω， 2
11})({3-+?
-+-?+=b a a
b a b b a b P ω，…， )1()2()2(11})({--+?--+--??-+-?+=
i b a a i b a i b b a b b a b P i ω a
b a b a a
b P b )1)((!})({1-++=+ω 甲取胜的概率为})({1ωP +})({3ωP +})({5ωP +… 乙取胜的概率为})({2ωP +})({4ωP +})({6ωP +… 1.21 设事件B A ,及B A ?的概率分别为p 、q 及r ，求)(AB P ，)(B A P ，)(B A P ，)(B A P 解 由)()()()(AB P B P A P B A P -+=?得 r q p B A P B P A P AB P -+=?-+=)()()()(
q r AB P A P AB A P B A P -=-=-=)()()()( ，p r B A P -=)( r B A P B A P B A P -=?-=?=1)(1)()(
1.22 设1A 、2A 为两个随机事件，证明： (1) )()()(1)(212121A A P A P A P A A P +--=; (2) )()()()()()(121212121A P A P A A P A A P A P A P +≤?≤≤--.
证明 (1) -=?=1)()(2121A A P A A P )(21A A P ?=)()()(12121A A P A P A P +--
(2) 由(1)和0)(21≥A A P 得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。 1.23 对于任意的随机事件A 、B 、C ，证明：)()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+ 证明 )()()()]([)(ABC P AC P AB P C B A P A P -+=?≥)()()(BC P AC P AB P -+≥
1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订
丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；
(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。
解 事件A 表示订甲报，事件B 表示订乙报，事件C 表示订丙报。
(1) ))(()(AC AB A P C B A P ?-==)()(AC AB P A P ?-=30% (2) %7)()(=-=ABC AB P C AB P
(3) %23)]()()([)()(=-+-=ABC P BC P AB P B P C A B P %20)]()()([)()(=-+-=ABC P BC P AC P C P B A C P ?C B A P (+C A B +)B A C =)(C B A P +)(C A B P +)(B A C P =73%
(4) =++)(A BC B AC C AB P %14)()()(=++A BC P B AC P C AB P (5) %90)(=++C B A P (6) %10%901)(1)(=-=++-=C B A P C B A P
1.26 某班有n 个学生参加口试，考签共N 张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？
解 用i A 表示“第i 张考签没有被抽到”， N i ,,2,1 =。要求)(
1
N
i i A P =。
n
i N N A P ??? ??-=1)(，n
j i N N A A P ?
?
? ??-=2)(，……，0)(1=??? ??-=n
N N N N A A P n N
i i N N N A P ??? ??-????? ??=∑=11)(1n
N N N ??? ??-???? ??-=-11)1(1
1 n N i j i N N N A A P ??? ??-???? ??-=-∑≤≤22)(1n
N N N ??? ?
?-???? ??-=-22)1(12，…… 所以n N i i N i i N i N A P ??? ??--=∑=-=111)1()(
1.27 从n 阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？
解n 阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为n ni i i a a a 2121，当且仅当n ,,2,1 的排列)(21n i i i 中存在k 使k i k =时这一项包含主对角线元素。用k A 表示事件“排列中k i k =”即第k 个主对角线元素出现于展开式的某项中。则
n i n n A P i ≤≤-=
1!)!
1()( )1(!
)!2()(n j i n n A A P j i ≤<≤-=，…… 所以!1)1(!)!()1()(1111
1i n i n i n A P n i i n
i i N
i i ∑∑=-=-=-=-???
? ??-= 1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是
女孩是等可能的）。
解 用g b ,分别表示男孩和女孩。则样本空间为：
)},,)(,,}(,,),,(),,,)(,,(),,,(),,,{(g g g b g g g b g g g b b b g b g b g b b b b b =Ω
其中样本点依年龄大小的性别排列。A 表示“有女孩”， B 表示“有男孩”，则 7
6
8/78/6)()()|(===
A P A
B P A B P
1.30 设M 件产品中有m 件是不合格品，从中任取两件，
(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 (2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 解（1）设A 表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B 表示“所取产品都是不合格品”，则
???? ?????? ??-???? ??+???? ??=2112)(M m M m m A P ???
? ???
??? ??=
22)(M m B P ===
)()()()()|(A P B P A P AB P A B P 1
21
---m M m
(2)设C 表示“所取产品中至少有一件合格品”， D 表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则
???
? ??????
??-+???? ??-???? ??=2211)(M m M m M m C P ???
? ???
??? ??-???? ??=
211)(M m M m D P ===
)()()()()|(C P D P C P CD P C D P 1
2-+m M m
1.31 n 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：
(1)已知前1-k )(n k ≤个人都没摸到，求第k 个人摸到的概率； (2)第k )(n k ≤个人摸到的概率。 解 设i A 表示“第i 个人摸到”， n i ,,2,1 =。 (1) 1
1
)1(1)|(11+-=--=-k n k n A A A P k k
(2) =)(k A P =
-)(11k k A A A P n
k n n n n n 1
11121=+-??--?- 1.32 已知一个母鸡生k 个蛋的概率为
)0(!
>-λλλe k k
，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p ，证明：一个母鸡
恰有r 个下一代（即小鸡）的概率为
p
r e r p λλ-!
)(。 解 用k A 表示“母鸡生k 个蛋”， B 表示“母鸡恰有r 个下一代”，则
)|()()(k r
k k A B P A P B P ∑∞==r
k r r
k k p p r k k e -∞
=--????
?
???=∑
)1(!λλ ∑
∞=----=r
k r k r r k p e r p )!()]1([!)(λλλ)1(!)(p r e e r p --?=λλλp r e r p λλ-=!)( 1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、
三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。
解 用k A 表示“任选一名射手为k 级”， 4,3,2,1=k ，B 表示“任选一名射手能进入决赛”，则
)|()()(4
1
k k k A B P A P B P ∑==645.02.020
15.02077.02089.0204=?+?+?+?=
1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？
解 用1A 表示“任取一只产品是甲台机器生产” 2A 表示“任取一只产品是乙台机器生产”
3A 表示“任取一只产品是丙台机器生产” B 表示“任取一只产品恰是不合格品”。 则由贝叶斯公式：
6925)
|()()
|()()|(3
1
111
=
=
∑=k k k A B P A P A B P A P B A P 69
28)
|()()|()()|(31
222==∑=k k k A B P A P A B P A P B A P
69
16)
|()()
|()()|(3
1
333=
=∑=k k
k
A B P A P A B P A P B A P 1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？ 解 则 159)(1=
A P ， 153)(2=A P ，152)(3=A P ，151)(4=A P 71)|(1=A
B P ，72)|(2=A B P ， 73)|(3=
A B P ，71
)|(4=A B P 由贝时叶斯公式得 22
9)
|()()|()()|(41
111==∑=k k
k
A B P A P A B P A P B A P
1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是41、31、12
1，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？
解 用1A 表示“朋友乘火车来”，2A 表示“朋友乘轮船来”，3A 表示“朋友乘汽车来”，4A 表示“朋友乘飞机来”，B 表示“朋友迟到了”
。 则 2
1)
|()()|()()|(4
1
111==∑=k k
k
A B P A P A B P A P B A P 1.37 证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则B A ?、AB 及B A -都与C 独立。 证明 （1）)()()())((ABC P BC P AC P C B A P -+=? =)()(C P B A P ? （2）)()()()()()C P AB P C P B P A P PABC ==
（3）)())(())((ABC AC P C AB A P C B A P -=-=-=)()(C P B A P -
1.38 试举例说明由)()()()(C P B P A P ABC P =不能推出)()()(B P A P AB P =一定成立。 解 设},,,,{54321ωωωωω=Ω，641})({1=
ωP ，64
18})({5=ωP ， =})({2ωP =
})({3ωP 64
15
})({4=
ωP ，},{21ωω=A ，},{31ωω=A ，},{41ωω=A 则 416415641)()()(=+===C P B P A P ， )()()(641
})({)(1C P B P A P P ABC P ===ω
但是)()(641
})({)(1B P A P P AB P ≠==ω
1.39 设n A A A ,,,21 为n 个相互独立的事件，且)1()(n k p A P k k ≤≤=，求下列事件的概率： (1) n 个事件全不发生；(2) n 个事件中至少发生一件；(3) n 个事件中恰好发生一件。 解 (1) ∏∏===-==n k k k k n
k k
p A P A
P n
1
1
1
)1()()(
(2) ∏===--=-=n
k k n k k n k k p A P A P 1
11)1(1)(1)(
(3) ])1([)()]([
111
1
1
1 n
k
j j j n k
j j n k k j n k k n
k n
k
j j j
k
p p A A A
A P ≠=≠====≠=-==∑∑.
1.40 已知事件B A ,相互独立且互不相容，求))(),(min(B P A P （注：),min(y x 表示y x ,中小的一个数）。
解 一方面0)(),(≥B P A P ，另一方面0)()()(==AB P B P A P ，即)(),(B P A P 中至少有一个等于0，所以
.0))(),(min(=B P A P
1.41 一个人的血型为AB B A O ,,,型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事
件的概率 。(1)两个人为O 型，其它三个人分别为其它三种血型；(2)三个人为O 型，两个人为
A 型；(3)没有一人为A
B 。
解 (1)从5个人任选2人为O 型，共有???
?
??25种可能，在其余3人中任选一人为A 型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B 型，共有2种可能，另一人为AB 型，顺此所求概率为：
0168.013.011.040.046.023252≈?????????? ?? (2) 1557.040.046.0352
2≈???
??
? ??(3) 8587.0)03.01(5≈- 1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。
解 用k A 表示“第k 门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， ,2,1=k ，B 表示“击中飞机”。则6.0)(=k A P ，
,2,1=k 。 (1) 84.04.01)(1)(22121=-=-=?A A P A A P
(2) 99.04.01)(
1)(1
1>-=-=?=n n
k k n A P A A P , 026.54
.0lg 01
.0lg ≈>
n
取6=n 。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。
1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p ，求在成功n 次之前已失败了m 次的概率。 解 用A 表示“在成功n 次之前已失败了m 次”， B 表示“在前1-+m n 次试验中失败了m 次”， C 表示“第
m n +次试验成功” 则 p p p m m n C P B P BC P A P m n ?-???? ??-+===-)1(1)()()()(1m
n p p m m n )1(1-?
??
? ??-+= 1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完
一盒时另一盒中还有r 根火柴（n r ≤≤1）的概率。
解 用i A 表示“甲盒中尚余i 根火柴”， 用j B 表示“乙盒中尚余j 根火柴”， D C ,分别表示“第r n -2次在甲盒取”，“第r n -2次在乙盒取”， C B A r 0表示取了r n -2次火柴，且第r n -2次是从甲盒中取的，即在前1
2--r n 在甲盒中取了1-n ，其余在乙盒中取。所以 2
12121112)(1
0???
?
????
?
? ?????? ??---=--r
n n r n r n C B A P 由对称性知)()(00D B A P C B A P r r =，所求概率为：=?)(00D B A C B A P r r 1
2021112)(2--?
?
?
?????? ??---=r n r n r n C B A P
第二章 离散型随机变量
2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？ (1)????
??2.03.05.0531(2) ???? ??1.01.07.0321(3) ????? ????? ????? ????? ?? n n 312131213121212102 (4)?
???
? ????? ????? ?? 2221212121n 解 （1）是 （2）11.01.07.0≠++，所以它不是随机变量的分布列。
（3）4
33121312131212
12=+??
? ??++??? ??+??
? ??+ n
,所以它不是随机变量的分布列。
（4）,021>??? ??n
n 为自然数，且1211=??
? ??∑∞
=n n
，所以它是随机变量的分布列。 2.2 设随机变量ξ的分布列为：5,4,3,2,1,15
)(===k k
k P ξ，求(1))21(==ξξ或P ; (2))2
5
21(
<<ξP ) ； (3) )21(≤≤ξP 。 解 (1) 51152151)21(=+===ξξ或P ; (2) 5
1
)2()1()2521(==+==<<ξξξP P P ;
(3) )21(≤≤ξP 5
1
)2()1(==+==ξξP P .
2.3 解 设随机变量ξ的分布列为3,2,1,32)(=??
? ???==i C i P i
ξ。求C 的值。 解 132323232=???
???????? ??+??
? ??+C ，所以3827=C 。 2.4 随机变量ξ只取正整数N ，且)(N P =ξ与2
N 成反比，求ξ的分布列。
解 根据题意知2
)(N C N P ==ξ，其中常数C 待定。由于16212=?=∑∞
=πC N
C N ，所以26π=C ，即ξ的分布列为2
26)(N N P πξ=
=，N 取正整数。
2.5 一个口袋中装有m 个白球、m n -个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了ξ个白球，求ξ的分布列。
解 设“k =ξ”表示前k 次取出白球，第1+k 次取出黑球，则ξ的分布列为：
.,,1,0,)
()1()
)(1()1()(m k k n n n m n k m m m k P =---+--=
=ξ
2.6 设某批电子管的合格品率为
43，不合格品率为4
1
，现在对该批电子管进行测试，设第ξ次为首次测到合格品，求ξ的分布列。 解 .,2,1,4
3
41)(1
=??
? ??==-k k P k ξ 2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以ξ表示取出球的取大号码，
求ξ的分布列。 解 .5,4,3,3521)(=???
? ?????? ??-==k k k P ξ 2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p )10(<
数，求ξ的分布列。 解 ,3,2,)(11
=+==--k q p p q
k P k k ξ，其中p q -=1。
2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。
解 设ξ，η表示第二名队员的投篮次数，则
4.04.06.0)(11--==k k k P ξ+6.04.06.01-k k ,2,1,24.076.01=?=-k k ； 6.04.06.0)(1-==k k k P η4.04.06.0k k + ,2,1,4.06.076.01=?=-k k k 。
2.10 设随机变量ξ服从普哇松分布，且==)1(ξP )2(=ξP ，求)4(=ξP 。
解 ,2,1,0)0(!
)(=>=
=-k e k k P k
λλξλ。由于,2
2
λλ
λλ--=
e e
得,21=λ02=λ（不合要求）。所以
2
243
2!42)4(--===e e P ξ。
2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，
才能保证当月不脱销的概率为0.999。
解 设ξ为该种商品当月销售数，x 为该种商品每月进货数，则999.0)(≥≤x P ξ
。查普哇松分布的数值表，得16≥x 。
2.12 如果在时间t （分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t 成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。
解 设ξ为时间t 内通过交叉路口的汽车数，则 ,2,1,0),0(!
)()(=>=
=-k e k t k P t
k λλξλ 1=t 时，2.0)0(===-λξe P ，所以5ln =λ；2=t 时，5ln 2=t λ，因而
=>)1(ξP -=-)0(1ξP ==)1(ξP 83.025/)25ln 24(≈-。
2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。
解 在指定的一页上出现某一个错误的概率500
1
=
p ，因而，至少出现三个错误的概率为 k
k k k -=?
?? ????? ?
????? ??∑500500
35004995001500k
k
k k -=?
??
????? ?
????? ??-=∑5002
050049950015001
利用普哇松定理求近似值，取15001
500=?
==np λ，于是上式右端等于 080301.0251!
1112
0≈-=--=∑e e k k 2．14 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100
个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？
解 设每箱至少装x +100个产品，其中有k 个次品，则要求x ,使 k
x k x
k k x -+=∑???
? ??+≤100097
.003.01009.0，
利用普哇松分布定理求近似值，取303.0)100(≈?+=x λ，于是上式相当于3
0!
39.0-=∑≤e k x
k k ，查普哇松分布数值表，得5=x 。
2.15 设二维随机变量),(ηξ的联合分布列为：)10,0()
!(!)1(),(<<>--=
==--p e m n m p p m n P m
n m n λληξλ
,2,1,0,,1,0==n n m 求边际分布列。
解 ∑====
=n
m m n P n P 0
),()(ηξξm n m n
m n p p m n m n n e -=---=
∑)1()!(!!!
λ
λ ,2,1,0!==-n n e n λλ
∑
∞
=====0
),()(n m n P m P ηξηm
n m m
n m p p m n m n m e p -∞
=---=
∑)1()!(!!!λ
,2,1,0!)(==-m m e p p m λλ。
2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为ξ、η、ζ，求),,(ζηξ的联合分布列与各自的边际分布列。
解 k n m k n m k n m P 2.03.05.0!
!!!
4),,(=
===ζηξ ，.44,3,2,1,0,,=++=k n m k n m m m m m P -???? ??==45
.05.04)(ξ ，4,3,2,1,0=m ； n n n n P -???? ??==47.03.04)(η ，4,3,2,1,0=n ； k
k k k P -???
? ??==48.02.04)(ζ ，4,3,2,1,0=k 。
2.18 抛掷三次均匀的硬币，以
ξ表示出现正面的次数，以η表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求),(ηξ的联合分布列及边际分布列。
2.21 设随机变量ξ与η独立，且)1(=ξP 0)1(>===p P η，
又)0(=ξP 01)0(>-===p P η，定义??
?++=为奇数
若为偶数若ηξηξζ01，问p 取什么值时ξ与ζ独立？ 解)1()1()0()0()1(==+====ηξηξζP P P P P =2
2)1(p p +-
)1()0()1()0()0(==+====ηξηξζP P P P P )1(2p p -=
而)1,1(==ζξP 2)1,1(p P ====ηξ，由)1,1(==ζξP )1()1(===ζξP P 得2
1=p
2.22 设随机变量ξ与η独立，且)1(±=ξ
P 2
1
)1(=
±==ηP ，定义ξηζ=，证明ηξζ,,两两独立，但不相互独立。 证明21
)1()1()1()1()1(=-=-=+====ηξηξζP P P P P
2
1
)1()1()1()1()1(==-=+-===-=ηξηξζP P P P P
因为41
)1,1()1,1(======ηξζξP P )1)1(===ζξP P
4
1
)1,1()1,1(=-===-==ηξζξP P )1)1(-==ζξP P
41
)1,1()1,1(=
-=-===-=ηξζξP P )1()1(=-=ζξP P 41
)1,1()1,1(==-==-=-=ηξζξP P )1()1(-=-=ζξP P 所以ξ
ζ,相互独立。同理η与ζ相互独立。
但是)1()1()1()1,1,1(===≠===ζηξζηξ
P P P P ，因而ηξζ,,不相互独立。
2.23设随机变量ξ与η独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明ηξ+不服从均匀分（即不可能有
12,,3,2,11
1
)( ==
=+k k P ηξ。
） 证明 设,)(k p k P ==ξ6,,2,1,)( ===k q k P k η。 若12,,3,2,11
1
)( ===+k k P ηξ，则 111)2(11===+q p P ηξ （1）111
)7(165261=+++==+q p q p q p P ηξ )2(
11
1
)12(66===+q p P ηξ )3(
将（2）式减去（1）式，得：0)(116<-q p p ，于是16p p <。同理16q q <。因此11
1
1166= 2.24 已知随机变量ξ的分布列为?? ?? ? ? ??412 14 120 ππ ，求232 +=ξη与ξζcos =的分布列。 解 η分布列为41)2(= =ηP ，21)32(=+=πηP ，41)322(=+=πηP ； ζ的分布列为41)1(=-=ζP ，21)0(==ζP ，4 1 )1(==ζP 。 2.25 已知离散型随机变量ξ的分布列为??? ? ??--3011151 51615 131 012，求2 ξη=的分布列。 解51)0(==ηP , 307)1(==ηP , 51)4(==ηP , 30 11 )9(==ηP 2.26 设离散型随机变量ηξ与的分布列为ξ：? ?? ? ??818321310 ， η ：???? ??323110，且ηξ与相互独立，求η ξζ+=的分布列。 解 ? ?? ? ??1212414 124 116 1 43210 2.27 设独立随机变量ηξ与分别服从二项分布：),;(1p n k b 与),;(2p n k b ，求ηξ+的分布列。 解 设ξ为1n 重贝努里试验中事件A 发生的次数（在每次试验中p A P =)(），η为2n 重贝努里试验中事件A 发生的次数（在每次试验中p A P =)(），而ηξ与相互独立，所以ηξ+为21n n +重贝努里试验中事件A 发生的次数， 因而 ,,,1,0,)(2121 =??? ? ??+==+-+k q p k n n k P k n n k ηξ21n n +。 2.28 设ηξ与为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为 ,2,1,2 1 )()(== ===n n P n P n ηξ 求ηξ+的分布列。 解n k n n k k n k n k n P k P n P 21212 1)()()(1 11 1 -=?=-=== =+--=-=∑ ∑ηξηξ 2.29 设随机变量ξ具有分布：5,4,3,2,1,5 1 )(== =k k P ξ，求ξE 、2ξE 及2)2(+ξE 。 解，3)54321(51=++++=ξE ，11)54321(5 12 22222=++++=ξE =+2)2(ξE 2ξE +4ξE +4=27 2.30设随机变量ξ具有分布： ,2,1,2 1 )(===k k P k ξ，求ξE 及ξD 。 解 221212 1 11=? ?? ??==-∞=∞ =∑∑k k k k k k E ξ，621212 1 12122 =? ?? ??==-∞=∞ =∑∑k k k k k k E ξ ，2)(22=-=ξξξE E D 2.31设离散型随机变量ξ的分布列为： ,2,1,2 1 ]2)1([==-=k k P k k k ξ，问ξ是否有数学期望？ 解 ∑∑∞=∞ ==?-11121|2) 1(|k k k k k k k ，因为级数∑∞ =11 k k 发散，所以ξ没有数学期望。 2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2克、…、 10克，现有三组砝码：（甲组）1，2，2，5，10（克）（乙组）1，2，3，4，10（克）（丙组）1，1，2，5，10（克） 问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？ 解 设1ξ、2ξ、3ξ分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1ξ 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2ξ 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 3ξ 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1 于是 8.1)1332212211(10 1 1=+++++++++= ξE 7.1)1332221111(1012=+++++++++= ξE 2)1432213211(10 1 3=+++++++++=ξE 所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。 2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49, 10±米的概率各是0.16，20±米的概率各是0.08，30±米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。 解 设场地面积为2 米S ，边长的误差为ξ米，则0=ξE 186)05.03008.02016.010(22 2 2 2 =?+?+?=ξE 所以)(2501862500001000)500(2 2 2 米=++=+=ξξξE E E ES 2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为1p 、2p 、3p 。试证发生故障的仪器数的数学1p +2p +3p 。 证 令3,2,101=?? ?=i i i i 架仪器未发生故障 第架仪器发生故障第ξ ξ为发生故障的仪器数，则3,2,1,)1(====i p P E i i i ξξ， 所以=++=321ξξξξE E E E 1p +2p +3p 。 2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。 解 设， 则i η的分布列为??? ? ??151415101，因而151 =i E η。设ξ为查得的不合格品数，则∑==1501i i ηξ，所以101501==∑=i i E E ηξ。 2.38 从数字0，1，…，n 中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。 解 设ξ为所选两个数字之差的绝对值，则n k n k n k P ,,2,1,211 )( =??? ? ??++-= =ξ， 于是32])1[()1(221112 1 +=-++=??? ? ??++-=∑∑==n k k n n n n k n k E n k n k ξ。 2.39 把数字n ,,2,1 任意在排成一列，如果数字k 恰好出现在第k 个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的 数学期望。 解 设???=个位置上不在第数字个位置上出现在第数字k k k k k 01ξ则k ξ的分布列为：???? ??-n n 111 01 于是n P E k k 1 )1(===ξξ，设匹配数为ξ，则∑==n k k 1ξξ，因而11 ==∑=n k k E E ξξ。 2.40 设ξ为取非负整数值的随机变量，证明：(1) ∑∞ =≥= 1 )(n n P E ξξ; (2) ).1()(2 1 +-≥=∑∞ =ξξξξE E n nP D n 证明 (1)由于∑∞ === )(n n nP E ξξ存在，所以该级数绝对收敛。从而 = ==∑∞ =1 )(n n nP E ξξ∑∑∑∑ ∞=∞=∞=====111)()(i i n n n i n P n P ξξ∑∞ =≥=1 )(i i P ξ。 (2) ξD 存在，所以级数∑∞ ===0 22 )(n n P n E ξξ 也绝对收敛，从而 )1(2 +-+=ξξξξξE E E E D ∑∞ =+-=+=1 )1()()1(n E E n P n n ξξξ )1()(2)1()(2111 +-==+-==∑∑∑∑∞=∞=∞==ξξξξξξE E n iP E E n P i i i n n n i ).1()(21 +-≥=∑∞ =ξξξE E n nP n 2.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p ，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。 解 设成功与失败均出现时的试验次数为ξ，则 1)1(=≥ξP ，)1(,3,2,)(11p q n q p n P n n -==+=≥-- ξ 利用上题的结论，=ξE )1(≥ξP + ∑∞=≥2 )(n n P ξ=1+)(1 1 2 --∞ =+∑n n n q p ) 1(11112p p p p q q p p -+-=-+-+= 2.42 从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球 是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。 解 略。 2.43 对一批产品进行检验，如果检查到第0n 件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第0n 件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是p ，问平均每批要检查多少件？解 略。 2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p ，当生产出k 个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。 解 设第1-i 个不合格出现后到第i 个不合格品出现时的产品数为i ξ，.,,2,1k i =又在两次检修之间产品总数为ξ，则.1 ∑== k i i ξξ 因i ξ 独立同分布， )1(,2,1,)(1p q j p q j P j i -====- ξ，由此得： p p jq E j j i 1 1 1 = =∑∞ =-ξ，21 122 2p p p q j E j j i -= = ∑ ∞ =-ξ， 2 2 21)(p p E E D i i i -=-=ξξξ。 p k E E k i i ==∑=1 ξξ，2 1)1(p p k D D k i i -==∑=ξξ。 2.46 设随机变量ξ与η独立，且方差存在，则有 22)()()(ηξηξηξξηE D D E D D D ?+?+?=（由此并可得ηξξηD D D ?≥)(） 证明 2 2 2 )()(ξηηξξηE E D -=2 2 2 2 )()(ηξηξE E E E -= 2 2222222)()()()(ηξηξηξηξE E E E E E E E -+-= ξηηξD E D E 22)(-=22)()(ηξηξηξE D D E D D ?+?+?= 2.47 在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为ξ和η：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在)90(≤≤=k k η的条件下ξ的分布列。 解 (1) 9,,1,0101 )|( == ==i k i P ηξ. (2) ),9,,1,0(9 1 )|(k i i k i P ≠==== ηξ , 0)|(===k k P ηξ 2.49 在n 次贝努里试验中，事件A 出现的概率为p ，令n i A i A i i ,,2,101 =?? ?=不出现 次试验中在第出现次试验中在第ξ 求在)0(21n r r n ≤≤=+++ξξξ 的条件下，)0(n i i ≤≤ξ的分布列。 解 ) (),0()|0(2111121 n n i i i n i P r P r P ξξξξξξξξξξξξ+++=+++++===+++=+- n r n q p r n q p q n q r n r r n r -=??? ? ?????? ??-=---11 )|1(21r P n i =+++=ξξξξ n r n r n =--=1。 2.50 设随机变量1ξ，2ξ相互独立，分别服从参数为1λ与2λ的普哇松分布，试证： k n k k n n k P -??? ? ??+-??? ? ??+???? ??==+=211211211)|(1λλλλλλξξξ 证明 )(),()|(21211211n P n k P n k P =+=+== =+=ξξξξξξξξ) () ()(2121n P k n P k P =+-===ξξξξ 由普哇松分布的可加性知1ξ+2ξ服从参数为1λ+2λ的普哇松分布，所以 ) (2121 21212 1 1 ! )()! (! )|(λλλλλλλλξξξ+----+-? ==+=e n e k n e k n k P n k n k k n k k n -? ??? ? ?+-? ?? ? ??+???? ??=2112111λλλλλλ 2.51 设 1ξ，2 ξ，…， r ξ为r 个相互独立随机变量，且)1(r i i ≤≤ξ服从同一几何分布，即有 p q r i k qp k P k i -=≤≤===-1),1(,,2,1,)(1其中 ξ。试证明在n r =+++ξξξ 21的条件下， ),,,(21r ξξξ 的分布是均匀分布，即 ??? ? ??--= =+++==111 |,,(2111r n n n n P r r r ξξξξξ ，其中n n n n r =+++ 21. 证明 =+++==r r r n n P ξξξξξ 2111|,,()(),,,(1111n P n n n P r r r r =++=++==ξξξξξξ ) () ,,(111n P n n P r r r =++===ξξξξ 由于1ξ，2ξ，…，r ξ相互独立且服从同一几何分布，所以 r n r r i k n k k r i k r p q r n p q n P i r i -===++=-??? ? ??--=?= =+++∑∏11)()(,,1,2,111 211 ξξξ。 从而)|,,(2111 n n n P r r r =+++==ξξξξξ r n r r n r p q r n p q --???? ??--=11??? ? ??--= 111 r n 。 第三章 连续型随机变量 3.1 设随机变数ξ的分布函数为)(x F ，试以)(x F 表示下列概率： （1）)(a P =ξ；（2）)(a P ≤ξ；（3）)(a P ≥ξ；（4）)(a P >ξ 解：（1）)()0()(a F a F a P -+==ξ；（2）)0()(+=≤a F a P ξ；（3）)(a P ≥ξ=1-)(a F ； （4）)0(1)(+-=>a F a P ξ。 3.2 函数2 11 )(x x F += 是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果（1）∞<<∞-x π （2）0∞< 解：（1）)(x F 在（-∞∞,）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； （2）)(x F 在（0，∞）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； （3）)(x F 在（-)0,∞内单调上升、连续且)0,(-∞F ，若定义???≥<<∞-=01 )()(~ x x x F x F 则)(~ x F 可以是某一随机变量的分布函数。 3.3 函数x sin 是不是某个随机变数ξ的分布密度？如果ξ的取值范围为（1）]2, 0[π ；（2）],0[π；（3）]2 3,0[π。 解：（1）当]2 , 0[π ∈x 时，0sin ≥x 且?20 sin π xdx =1，所以x sin 可以是某个随机变量的分布密度； （2）因为 ? x xdx 0 sin =21≠，所以x sin 不是随机变量的分布密度； （3）当]2 3 ,[ππ∈x 时，0sin ≤x ，所以x sin 不是随机变量的分布密度。 3.4 设随机变数ξ具有对称的分布密度函数)(x p ，即),()(x p x p -=证明：对任意的,0>a 有（1） -= -=-2 1)(1)(a F a F ? a dx x p 0 )(；（2）P （1)(2)-=ξ。 证：（1）? ?-∞ -∞ --== -a a dx x p dx x p a F )(1)()(=?? ∞ --∞ -=-+a a dx x p dx x p )(1)(1 =?∞--=-0 )(1)(1dx x p a F ??-=-a a dx x p dx x p 0 0)(21)(；