吉林省白山一中2014高三第二次模拟考试数学(理)试题

高三第二次模拟考试

数学（理）试题

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．i 是虚数单位，复数z 满足z （1+i ）= 1-i ，则复数z= ( )

A ．i

B ．—i

C ．1

D ．—l

2．已知全集U=R ，集合A={x|

＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（ ）

A ．A

B ? B ．A B ?

C ． U C A B ?（）

D ．U C A B ?（）

3. 一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能是

①长、宽不相等的长方形 ②正方形 ③圆 ④椭圆

A ．①② B. ①④

C. ②③

D. ③④

4. 若实数x 、y 满足??

?

??≤≥+≤-100

y y x y x ，则3x ·9y 的最大值是

A ．3

B. 9

C. 18

D. 27

7.阅读如图所示的程序框图，若输入9

19

a =，则输出的k 值是 （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12

8.函数),0()0,(,sin ππ?-∈=x x

x

y 的图象可能是下列图象中的

9．右图是某次歌唱比赛中，七位评委为某选手打出分数的茎叶 统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数 和 方差分别为

A.84，4.84

B.85，1.6

C.84，1.6

D.85，4

10．设若2

lg ,0,()3,0,a x x f x x t dt x >??

=?+≤???((1))1f f =，则a 的值是 A. -1 B. 2 C. 1 D.-2

11．若a>l ，设函数f （x ）=a x

+x －4的零点为m ，函数g （x ）= log a x+x －4的零点为n ，则

11

m n

+的最小值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8

12．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f （2 +x ）=－f （x ），且当时x∈[0，1]时

2()1f x x =-+，则方程[)(),0,1f x k k =∈在[－1，5]的所有实根之和为

A ．0

B ．2

C ．4

D ．8

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．已知向量，，满足||=2，｜｜=2，且（-）⊥，则向量与的夹角为_______. 14.已知正方体1111D C B A ABCD -的各顶点都在同一球面上，若四面体11CD B A -的表面积为38，则球的体积为____________.

15．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 11=3a 6－4，则则S n = 。

7 8

9

6

4 4

6 4 7

5

16．在（281

)x x

-的展开式中，x 的系数是 。（用数字作答）

三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）

已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，111==b a ，且3633=s b ，

()

+∈=N n s b 822.

（1）求n a 和n b ；

（2）若1+

{1

+?n n a a 的前n 项和n T .

18．（12分）

如图，四棱锥P —ABCD 的底面是菱形，∠ABC=600，PA ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是BC 、PC 的中点，PA=AB=2.

（1）若H 为PD 上的动点，求EH 与平面PAD 所成的最大角的正切值； （2）求二面角E —AF —C 的余弦值.

19．（12分）

甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对

则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321

,,432

，乙队每人答对的

概率都是

2

3

．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． （I ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E （ξ）； （Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．

20．(12分)

已知双曲线:C 22

221x y a b

-=(0,0)a b >>与圆22:3O x y +=相切，过C 线也与圆O 相切．

（Ⅰ）求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）P 是圆O 上在第一象限的点，过P 且与圆O 相切的直线l 与C 的右支交于A 、B 两点，AOB ?的

面积为l 的方程．

21． (12分) 设函数

()21

ln .2

f x x ax bx =--

（I ）当2

1

=

=b a 时，求函数()x f 的单调区间； （II ）令()()(0212x

a

bx ax x f x F +++=＜x ≤)3，其图像上任意一点P ()00,y x 处切线的斜率k ≤21恒

成立，求实数a 的取值范围；

（III ）当1,0-==b a 时，方程()mx x f =在区间[]

2,1e 内有唯一实数解，求实数m 的取值范围。

请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

22.（10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆O 的直径10=AB ，P 是AB 延长线上一点，2=BP ，割线PCD 交圆O 于点C ,D ，过点P 作AP 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F .

（I ）求证：PDF PEC ∠=∠; （II ）求PF PE ?的值.

23．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C : 122=+y x ，在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的极坐标方程为6)sin cos 2(=-θθρ. （I ）将曲线1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3倍、2倍后得到曲线2C ，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；

（II ）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.

24．（10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数a x x x f 212)(-+-=. （I ）当1=a 时，求3)(≤x f 的解集；

（II ）当[]2,1∈x 时，3)(≤x f 恒成立，求实数a 的集合.

参考答案

17. 解：（1）由题意，()()???=+=+8

236332d q d q 解得或???==22q d ??

???

=-

=632q d

所以，12-=n a n ，1

n 2

b -=n 或3

5

32+-=n a n

，16-=n n b

（2）因为1+d ，故12-=n a n

所以，

()()???

??+--=+-=+121121*********n n n n a a n n

故1

2121121513131121+=

??? ??+--++-+-=n n

n n T n 18．

解：（1）方法一：连接AE 、AH ，由题意，BC AE ⊥,故AD AE ⊥,又因为ABCD 平面⊥PA

所以，AD ABCD PAD ABCD PAD =?⊥平面且平面平面平面

所以，PAD AE 平面⊥, 所以，AHE ∠就是EH 与平面PAD 所成的角。

因为，AH

AE

AHE tan =∠，易求3=AE ，故当AH 最小时AHE ∠最大，

由题意，AD PA =

，故当H 为PD 中点时AH 最小，此时，2=AH z

从而，2

623AH

AE

AHE tan ===

∠ 方法二：以AB 所在直线为x 轴，以AP 所在直线为z 轴，以过点A 且与AB 垂直的直线为y 轴建立空间直角坐标系，

由题意，()0,0,0A 、()0,0,2B 、()

0,3,1C ，从而

???

?

??0,23,23E ，()

0,3,1-D 、()2,0,0P ，

设()z y x H ,,，并设DP DH λ=, 即()()

2,3,1,3,1-=-+λz y x

所以，()

λλλ2,33,

1--H

，所以，???

? ??--=λλλ2,323

,25EH ， 由条件易证PAD AE 平面⊥，所以平面PAD 的一个法向量为???

?

??=0,23,23AE ，

设

直

线

EH

与平面

PAD

所成的角的角为

θ

，

则

=

+?+???

? ??-+??? ??-???

? ??-+??? ??-=

=

=4349432325323232523c s i n 2

2

2

λλλλλ?5

21832

+??? ?

?

-λ

所以，当21

=

λ时，?sin 取得最大值为53，从而5

2cos =θ，此时，

2

6

2

3tan ==

θ (2) 由条件易证AFC BD 平面⊥，故取()

0,3,3-=BD 作平面AFC 的法向量。

设平面AFE 的法向量为()z y x n ,,=，则AF n ⊥且AE n ⊥

所以，??????

?=+=++02

3

2

302

3

21y x z y x ，取3=y ，则1-=x ，1-=z

即()

1,3,1--=，设二面角E —AF —C 的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角，

故5

155

1233cos =

+=

=

=θ 19.（1）ξ的可能取值为0，1，2，3

1111(0)43224P ξ==??=

;3111211111

(1)4324324324P ξ==??+??+??=; 32112131111(2)43243243224P ξ==??+??+??=

;3211

(3)4324P ξ==??= ξ∴的分布列

为

ξ 0 1 2 3

P

1

24 14 1124 14

z

y

x

1111123

()012324424412

E ξ=?

+?+?+?=

20. 解：（Ⅰ）∵双曲线C 与圆O

相切，∴ a =

过C

O 相切，得2c =，既而1b =

故双曲线C 的方程为2

213

x y -= （Ⅱ）设直线l ：m kx y +=，)0,0(>

2+=

k m d

，由d =2233m k =+

由22

13

y kx m x y =+???-=?? 得222(31)6330k x kmx m -+++=

则122631km

x x k +=--， 2122

3331m x x k +=- 1221x x k AB -?+==2121224)(1x x x x k -+?+

=

= 又AOB ?

的面积12S OP AB =

?==

AB =

= 解得1-=k

，m =

21.（Ⅰ）解：依题意,知()f x 的定义域为（0,+∞）

当 12a b ==

时,

211

()ln 42

f x x x x =--，

111(2)(1)(),222x x f x x x x

-+-'=

--= 令

111(2)(1)()0,222x x f x x x x -+-'=

--==解得1x =或2x =-（舍去） 当01x <<时

()0,f x '>当1x >时()0,f x '<

所以()f x 的单调递增区间是（0,1）单调递间区间是（

1,+∞）

（II ）()ln ,(0,3]x

F x x x a

=+∈，则有00201()2x a k F x x -'==

≤在(0,3]上恒成立，

所以200max 1()2a x x ≥-+，当01x =时，2

001()2x x -+取得最大值1

2

。

所以12

a ≥

（III ）当0,1a b ==-时，()ln f x x x =+，

由

()f x mx =得 ln mx x x =+，

又因为0,x >所以ln 1x

m x

=+

要是方程

()f x mx =在区间[21,e ]上有唯一的解，只需ln 1x

m x

=+

有唯一的解。 令

ln ()1,(0)x g x x x =+>，所以2

1ln (),(0)x

g x x x

-'=>

由

()0g x '>得0x e <<，由()0g x '<得x e >

所以()g x 在区间[1,]e 上是增函数，在区间

2[,]e e 上是减函数 所以2

2

22ln1ln 2(1)11,()11,

1ln 1

()11e g g e e e e g e e e

=+==+=+=+=+ 所以11m e =+

或2

211m e ≤<+

24、（1）3a =-时，

1439,146x x x x -+-+≥∴-+-≥

①当4x ≥时11

256,2

x x -≥∴≥ ②当14x <

<时36≥，不成立

③当1x ≤时1

526,2

x x -≥∴≤-

综上，不等式的解集为{

11122x x x ?≥

≤-??

或 （2）即14x x a -+->恒成立，14(1)(4)3x x x x -+-≥---=，当且仅当14x ≤≤时取等，3a ∴<