浅谈特例解题法及其应用

浅谈特例解题法及其应用

特例解题法是根据“若一个命题在Ａ的集合中成立，则这个命题在Ａ的集合的子集也成立。”这一数学逻辑而进行一种特殊的解题方法。它是数学解题方法中的一个重要组成部分。它最为突出的解题特点是：“简捷”、“四两拨千斤”、“事半而功倍”。但是，长期以来，由于人们对特例解题法的偏见和误解——认为它是“走邪道”，担心它会把学生引上“以点代线、以线代面、以面代体、以偏概全”的解题岐途，致使特例解题法长期“深居冷宫”，无法登上“大雅之堂”而难以发挥其应有的作用。

近年来，随着数学竞赛题和高、中考数学题的解法对特例解题法的“频繁涉足”，才使特例解题法在数学教学中逐步得到重视，特例解题法才得以发挥其应有的作用：

例１．如图１，已知△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ、Ｍ为BC的中点，ＡＭ交ＢＣ于Ｄ，若ＡＤ＝３，ＤＭ＝１，则ＭＢ·ＭＣ＝。

这道填空题，采用常规方法来解是相当麻烦的（先由已知条件推出△ＡＢＭ∽△ＡＤＣ和△ＡＣＭ≌△ＡＤＢ，再根据相交弦定理方可求出ＭＢ，ＭＣ的值。详解略），如果我们注意到题目的暗示：在满足△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，BM=MC，ＡＤ＝３，ＤＭ＝１的条件下，ＭＢ·ＭＣ的值与点Ａ的位置无关，那么我们就可以知道——满足题目的原有条件且使ＡＭ为⊙Ｏ的直径是本题的一个特例。（如图２），于是我们采用特例解题法就可以非常简捷地求出ＭＢ·ＭＣ的值：

ＡＭ为⊙Ｏ的直径ＢＤ⊥ＤＭ

AB=MCBD⊥DM

MB＝MC BD＝DC＝■

ＡＤ＝３ＤＭ＝１

ＤＭ＝１

例２.若ａｂｃ＝１，则■+■+■=＿＿＿＿＿。

这道填空题的通常解法是利用ａｂｃ＝１这一条件对所求式子进行通分变形，进而求出其值（详解略）。这种方法也是相当繁锁的。如果我们以发现题目的隐含条件：在满足ａｂｃ＝１的条件下，所求式子的值与ａ、ｂ、ｃ的具体取值无关，也就是说满足ａｂｃ＝１的每一组ａ、ｂ、ｃ的具体取值都是本题的一个特例，于是我们令ａ＝ｂ＝ｃ＝１即可求出所求式子的值为１。