两条直线的位置关系-点到直线的距离公式

高一年级备课组 主备教师:朱相平 授课教师: 总第 课时

教材章节: 解析几何 课题名称:两条直线的位置关系―点到直线的距离公式

知识与技能目标:

理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式

过程与方法:

会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞

情感、态度、价值观目标:

认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题王新敞

教学重点:点到直线的距离公式。

教学难点:点到直线距离公式的理解与应用. 教学(实验)器材:

教学过程:

一、情境设置,导入新课:

前面几节课,我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件,两直线的夹角公

式,两直线的交点问题,两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思

想方法.这一节,我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离。 用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾两直线的位置关系,且在直线上取两点,让学生指出两点间的距离公式,复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算?能否用两点间距离公式进行推导?

两条直线方程如下:

??

?=++=++00

2

22111C y B x A C y B x A . 二、讲解新课:

1.点到直线距离公式:

点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为:2

200B

A C

By Ax d +++=王新敞

(1)提出问题

在平面直角坐标系中,如果已知某点P 的坐标为),(00y x ,直线=0或B =0时,以上公式

0:=++C By Ax l ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?

学生可自由讨论。

(2)数行结合,分析问题,提出解决方案

学生已有了点到直线的距离的概念,即由点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的

备课组

意见记录及个

性化备

长.

这里体现了“画归”思想方法,把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题,一个自己熟悉的问题。

画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。 方案一:

设点P 到直线l 的垂线段为PQ ,垂足为Q ,由PQ ⊥l 可知,直线PQ 的斜率为

A

B (A ≠0),根据点斜式

写出直线PQ 的方程,并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ |,得到点P 到直线l 的距离为d 王新敞

此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别

一种方法王新敞

方案二:设A ≠0,B ≠0,这时l 与x 轴、y 轴都相交,过点P 作x 轴的平行线,交l 于点

),(01y x R ;作y 轴的平行线,交l 于点),(20y x S ,

由???=++=++0

020011C By Ax C By x A 得B C Ax y A C By x --=

--=0201,. 所以,|P R|=|10x x -|=

A

C

By Ax ++00

|PS |=|20y y -|=

B

C

By Ax ++00

|RS |=AB

B A PS

PR

2

22

2

+=

+×|C By Ax ++00|由三角形面积公式可知:

d ·|RS |=|P R|·|PS |王新敞

所以2

2

00B

A C

By Ax d +++=

可证明,当A=0时仍适用王新敞

这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力。意志品质等方面得到了提高。

3.例题应用,解决问题。

例1 求点P=(-1,2)到直线 3x=2的距离。 解:d=

()2

2

31253

30

?--=

+

例2 已知点A (1,3),B (3,1),C (-1,0),求三角形ABC 的面积。 解:设AB 边上的高为h ,则

S A B C =

12

A B h ?

o

x

y

l d

Q

S

R

P(x 0,y 0)

()

()2

2

311322AB =

-+-=,

AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离。 AB 边所在直线方程为

3113

31

y X --=--

即x+y-4=0。

点C 到X+Y-4=0的距离为h h=

2

10452

11

-+-=

+,

因此,S A B C =

152252

2

??

=

通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。

同步练习:114页第1,2题。

4.拓展延伸,评价反思。

(1) 应用推导两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l :01=++C By Ax , 2l :02=++C By Ax ,则1l 与2l 的距离为2

22

1B

A C C d +-=

王新敞

证明:设),(000y x P 是直线02=++C By Ax 上任一点,则点P 0到直线01=++C By Ax 的距离为2

21

00B

A C By Ax d +++=

王新敞

又 0200=++C By Ax 即200C By Ax -=+,∴d =

2

2

21B

A C C +- 王新敞

01032=-+y x 的距离.

解法一:在直线1l 上取一点P (4,0),因为1l ∥2l

王新敞

例3 求两平行线1l :0832=-+y x ,2l :,所以点P 到2l 的距离等于1l 与2l 的距离.于

是1313

213

23

210

03422

2

=

=

++?-?=

d

解法二:1l ∥2l 又10,821-=-=C C . 由两平行线间的距离公式得13

3

23

2)10(82

2

=

+---=d 王新敞

四、课堂练习:

1,

已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且该直线过点(2,3),求该直线方程。王新敞

王新敞

五、小结 :点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距

离转化为点到直线的距离公式王新敞

六、课后作业:

13.求点P (2,-1)到直线2x +3y -3=0的距离.

14.已知点A (a ,6)到直线3x -4y =2的距离d=4,求a 的值:

15.已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l :01=++C By Ax , 2l :02=++C By Ax ,则1l 与2l 的距离为2

22

1B

A C C d +-=

王新敞

七.板书设计:略

教学(课后)反思:

授课教师签名: 日期:

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