2015第八届网络建模第一阶段c题特等奖荒漠区动植物关系的研究
第八届“认证杯”数学中国
数学建模网络挑战赛
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参赛队伍组别（例如本科组）：本科组
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数学建模网络挑战赛
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2015年第八届“认证杯”数学中国
数学建模网络挑战赛第一阶段论文
题目荒漠区动植物关系的研究
关键词无量纲化相关性回归模型主成分分析法稳定性
相关系数 Excel SPSS
摘要：
本文针对荒漠区动植物关系的问题，首先对西北某干旱区植物动物数据元
素进行分析，然后对各数据元素进行统计分析及无量纲化处理，再对各数据元
素进行相关性分析，最后针对各个问题建立模型并求解。
针对问题一，我们首先利用Excel和 SPSS统计软件对各数据元素进行处理，
再利用Excel建立以不同干扰因素下植物地上生物量、啮齿动物生物量的变化趋
势条形图、散点图以及表格，既醒目、直观的体现了各生物量的变化趋势，也
通过数、图、文字描述结合，更明确的表现出他们之间的变化趋势；之后运用
SPSS软件对数据做相对性分析，得出不同组数据元素的相关系数，通过分析建
立回归模型，定量分析不同数据元素间的关系得出四组用于刻画不同干扰下植
物生物量与啮齿动物生物量间变化关系的回归方程，详细刻画生物量之间的变
化关系。
针对问题二，影响啮齿动物群落稳定性的主要原因，我们分别对7月和10
月不同认为干扰因素下的高、盖、密采用主成分分析来进行分析。主成分分析
能用较少的变量去解释原有资料中的大部分变异，将我们已知的相关性很高的
变量转换成彼此相互独立或不想关的变量。定性对重复性进行8项指标值考察，
通过对数据的标准化处理，利用SPSS软件计算相关系数矩阵及其特征值和特征
向量、贡献率。最后分析得出影响啮齿动物群落稳定性的主要原因，继而阐述
干扰对于啮齿动物群罗的影响机制。
最后，根据对上述几个问题的分析，给当地政府部门写了一封如何使荒漠
区动植物关系呈现良性发展态势，并达到维护当地荒漠区生态化发展的目的。
参赛队号: 2456 所选题目: C 题参赛密码
（由组委会填写）
Abstract:
In this paper, the relationship between plants and animals of the problem desert area, the first of a drought in the Northwest area of plant and animal data elements will be analyzed and the various data elements for statistical analysis and non-dimensional treatment, then for each data element correlation analysis, and finally, for each model and solve problems.
One of the problem, we first use Excel and SPSS statistical software for processing each data element, and then use Excel to establish aboveground biomass, biomass trends rodents bar graph under different disturbances, scatter plots and tables, both eye-catching and intuitive reflects the various trends of biomass, but also by the number, figure, combined with text descriptions, clearer trends exhibited between them; after using SPSS software for data analysis done relative, come to different the correlation coefficient set of data elements, through regression model analysis, quantitative analysis of the relationship between different data elements drawn into four groups for the characterization of the relationship between changes in the regression equation of plant biomass and biomass rodents under different disturbances, detailed characterization of biomass the relationship between the change.
For the second question, the main impact of rodent community stability, we were in July and October of different factors considered under high interference, cover, density using principal component analysis for analysis. Principal component analysis can be less variable to explain most of the variation in the original data, will we have a very high correlation between the known variable into each other or do not want to shut the independent variables. Qualitative repetitive inspection conducted eight index value, the data normalized by using SPSS software to calculate the correlation coefficient matrix and its eigenvalues and eigenvectors, the contribution rate. Finally come to affect the stability of the main communities in rodents, and then describes the interference group for rodents Luo impact mechanism.
Finally, according to the analysis of the above several problems to the local government to write a letter how to make the relationship between animals and plants in desert area showed healthy development trend and achieve the maintenance of local desert region of ecological development purposes.
一、问题重述
环境与发展是当今世界所普遍关注的重大问题, 随着全球与区域经济的迅猛发展, 人类也正以前所未有的规模和强度影响着环境、改变着环境, 使全球的生命支持系统受到了严重创伤, 出现了全球变暖、生物多样性消失、环境污染等全球性的环境问题, 并已经严重影响到了全球人类社会的发展。在探讨环境与发展问题的过程中, 人们越来越认识到了现代社会发展过程中自然——社会——经济复合生态系统的复杂性, 以及生态学理论在解决这些问题中的重要性。
干旱区是全球生态系统中的重要类型之一, 也是目前全球开发较晚的区域之一, 因此, 积极开展干旱区的生态学理论与实践研究, 对于干旱区当前面临的重大环境问题的解决, 以及未来防患于未然的科学决策均具有极其重要的现实意义。作为我国三大自然区域之一的西北干旱区, 由于其大规模、高强度的开发历史较短, 因此, 与其它区域相比较而言, 其境内蕴藏了丰富的待开发自然资源, 也奠定了其在我国未来经济建设中的举足轻重的战略地位, 并担负着重要的历史使命, 西部大开发战略的实施即是最显著的证明。因此, 积极开展和深化干旱区的生态学研究, 对于该区域的经济发展与生态环境保护具有深远的理论意义与实践价值。
生态研究与资源利用是分不开的, 荒漠区是我国典型的温带荒漠和干旱脆弱生态系统, 生态环境条件十分严酷, 动物的可利用资源在数量和质量上与湿润区、半干旱区存在差异, 啮齿动物的分布具有明显的区域性特征。由于近年来人为干扰不断加重, 使得该地区的荒漠化日益严重。依赖于植物生存的动物种群和群落格局随之受到了明显影响。
啮齿动物群落是荒漠生态系统食物链上必不可少的消费者, 对荒漠的利用与保护有至关重要作用。许多物种群体与人的干扰具有密切关系, 干扰的一个突出作用是导致生态系统中各类资源的改变和生态系统结构的重组, 导致异质性环境的形成。有关不同干扰方式下, 栖息地破碎化过程中研究群落的变化特征是当前景观生态学和群落生态学研究的前沿。
第一阶段问题：
1、请根据附件一提供的数据，建立数学模型，分析荒漠区不同干扰下植物地上生物量、啮齿动物生物量的变化趋势, 并揭示不同干扰下植物生物量与啮齿动物生物量之间的变化关系。
2、建立模型对于附件一中给出的地区，进行啮齿动物群落稳定性的研究, 揭示干扰对于啮齿动物群落的影响机制，并且给当地政府写一封信，陈述你的观点和主张。
二、模型的假设
1、假设轮牧区、过牧区即表示不同干扰类型下的人为干扰因素，7月和10月即表示不同干扰类型下的自然干扰因素；
2、假设本题所要考虑的不同干扰类型只包含人为干扰和自然干扰因素；
3、假设问题中所给出的数据来源可靠，能客观反映现实情况；
4、假设用相关性明显的组代替总体的变化关系是可靠的；
5、重复项位置分析时忽略其海拔高度。
三、符号的说明
四、数据处理
4.1对基本数据的分析
用 EXCELL 软件和 SPSS 统计软件处理数据如表1所示：
表1-1
7月过牧
项目 数值 草本
灌木
三趾跳鼠
子午沙鼠
小毛足鼠
生物量 高 盖 密 生物量
高
盖
密
百夹捕获率
平均值 7.84
2.12
1.92 68.73 49.74 4
2.10 16.19 0.56 3 4 5 最大值 49.52 11.00 12.00 249.00 171.38 80.50 40.18 2.13 8 12 23 最小值 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
17.22 0.42 0.11
0 0 1 中位数 3.55 2.00 0.90 43.00 41.13 40.14 12.97 0.38 3 3 3 标准差 11.99 2.23 2.71 72.67 36.34 13.25 10.32 0.53 2 5 6 变异系数
1.53
1.05
1.41
1.06
0.73
0.31
0.64 0.94
1
1
1
表1-2
ij x
标准化指标 -
j x
指标的样本均值
j s
样本标准差
j y
信息贡献率 z 综合得分
j H 群落稳定度指数
i w
第i 个指标的权重系数 p α
累积贡献率
7月轮牧
项目
数值
草本
灌木
三趾跳鼠
子午沙鼠
小毛足鼠
生物量
高 盖 密 生物量
高
盖
密
百夹捕获率 平均值 12.96 5.66 4.07 74.77 33.07 29.45 18.53 1.04 3 7 3 最大值 88.76 17.67 20.00 536.00 78.56 55.00 71.28 5.00
8 25 10 最小值 0.00 0.00 0.00 0.00 5.15
16.58 5.69 0.09 0 0 0 中位数 10.03 4.39 3.00 47.50 28.96 27.36 11.97 0.84 2 5 2 标准差 17.96 4.14 4.36 110.51 17.58
9.23 15.48 0.98 2 7 3 变异系数
1.41
0.73
1.07
1.48
0.53
0.31
0.84 0.95
1
1
1
表1-3
表1-4
4.2 元素浓度的无量纲化处理
在利用SPSS 统计分析软件对数据进行分析时，因为单位的不统一需要进行数据的无量纲化处理，我们采用均值化方法[1]，即每一个变量除以改变量的平均值，即
10月过牧
项目
数值 草本 灌木 三趾
跳鼠 子午
沙鼠
小毛足鼠 生物量
高
盖
密
生物量 高
盖
密
百夹捕获率
平均值 15.01 2.64 3.06 126.77 8.13 39.51 12.40 0.51
2 2 1 最大值 83.36 2.70 1.00 180.00 19.89 110.00 44.39 2.06
6 8
7 最小值 0.00
0.00 0.00
0.00
0.00 9.67 1.21 0.06
0 0 0 中位数 10.07 2.37 2.00 70.50 8.61 35.48 9.09 0.36 2 2 1 标准差 18.68 1.70 4.74 203.84 5.95 22.81 11.12 0.48 2 2 2 变异系数
1.25
0.65 1.55
1.61
0.73
0.58
0.90 0.94
1 1
1
10月轮牧
草本 灌木 三趾
跳鼠 子午
沙鼠
小毛足鼠 生物量
高 盖 密
生物量 高 盖
密
百夹捕获率
平均值 29.27 5.72 5.15 108.00 50.38 29.41
15.53 1.20
1 4 0 最大值 89.75 19.3
2
15.0
0 431.00
188.06 79.17 31.27 10.00 3 21 1 最小值 2.91
1.90 0.70
7.00 7.98 16.33 4.07 0.19 0 0 0 中位数 14.91 4.47 5.00 71.50 30.01 26.67 14.45 0.59
1 1 1 标准差 25.51 4.23 3.78 120.97 48.36 12.97 6.60 2.00 1 6 0 变异系数
0.87
0.74 0.73
1.12
0.96
0.44
0.42
1.66
1 1
1
j i j
x x x -
=
标准化以后各变量的平均值都为1，标准差为原始变量的变异系数。该方法不仅消除指标量纲和数量级的影响，同时能更全面地反映原始数据中各指标的变异程度和相互影响程度的信息，差异程度越大的变量对综合分析的影响也大。
5、模型的建立和问题的求解
5.1问题一的分析与求解
5.1.1荒漠区不同干扰类型下啮齿动物生物量的变化趋势 5.1.1不同干扰类型下啮齿动物组成种的总体特征
为了从整体上了解荒漠区不同干扰下对啮齿动物生物量的变化，对7月和10月22个不同尺度、不同人为干扰类型下的啮齿动物优势种的百夹捕获率换算得到的捕获数量进行分析，如下表1所示。不同人为干扰下啮齿动物的捕获数量情况为，过牧区中与轮牧区中数量较为一致，过牧区384只、轮牧区387只。可以人为轮牧对荒漠区植被的恢复具有积极的作用，同时也为啮齿动物提供了较为丰富的食物资源，但实际上过牧区与轮牧区中啮齿动物的捕获数量并无明显差别，可能是由于7月和10月不同的自然因素所导致的。
图1 7月和10月荒漠区不同干扰类型（人为干扰）下啮齿动物捕获数量条形分析图
从如下表1可以看出，4种不同干扰类型下（2种人为干扰、2种自然干扰）啮齿动物数量特征的差异明显，10月份过牧区和轮牧区的啮齿动物生物量明显少于7月份过牧区和轮牧区的啮齿动物生物量，但是7月份过牧区、轮牧区的啮齿动物数量差异与10月份过牧区、轮牧区的啮齿动物数量差异较小。主要表现在轮牧区中10月份小毛足鼠的捕获数量为10，而其他干扰下小毛足鼠的捕获数量相对较高；三趾跳鼠在轮牧区中10月份的捕获数量相对于其他干扰下的捕获数量也相对较低；同时子午沙鼠在轮牧区7月份的捕获数量相对其他干扰类型较高；小毛足鼠在过牧区中7月份的捕获数量相对于其他干扰类型较高。各种干扰类型下数量最多的均为子午沙鼠，但是不同干扰类型下的捕获数量大小
不同类型
捕获数量（只）
为：7月轮牧区>10月轮牧区>7月过牧区>10月过牧区；数量最少的近似为三趾跳鼠，但是不同干扰类型下的捕获数量为：10月轮牧区<10月过牧区<7月轮牧区<7月过牧区。
表2 不同干扰类型下荒漠区啮齿动物组成种捕获数量的7月和10月变动特征
5.1.2同一月份中不同人为干扰类型下啮齿动物组成种的生物量特征
以上分析了不同干扰类型下啮齿动物组成种的总体特征，然而外界条件的变化会使啮齿动物生物量在不同的月份、不同的人为干扰下呈现不同的结构特征。为此，我们进一步分析每个月份中不同人为干扰下啮齿动物生物量的特征，能够更加明确了解啮齿动物生物量的干扰效应。7月和10月2中不同人为干扰类型下啮齿动物组成种的生物量特征如表2和图2、图3。
图2 7月不同干扰类型下啮齿动物组成种的捕获数量
从表2和图2可以看出，7月份不同认为干扰类型下啮齿动物的捕获量不同，轮牧区中子午沙鼠的捕获数量最多，其它鼠种捕获量相对较少；过牧区中各鼠种的捕获数量均不太高，其中小毛足鼠最多。各鼠种在不同人为干扰类型下的明显区别为：轮牧区中子午沙鼠的数量明显高于其他干扰类型，过牧区中的小毛足鼠次之；轮牧区中的三趾跳鼠数量最少，过牧区中三趾跳鼠数量高于其他两种。
三趾跳鼠 子午沙鼠 小毛足鼠 ∑
过牧
7月 67 93 109
269 10月
46
40
30
116 ∑
113
133
139
770
三趾跳鼠 子午沙鼠 小毛足鼠 ∑
轮牧
7月 59 145 67
271 10月
18
89
10 117
∑
77
234
77
776
干扰类型
捕获数量（只）
图3 10月不同干扰类型下啮齿动物组成种的捕获数量
从表2和图3可以看出，10月不同干扰类型下啮齿动物的捕获数量与7月有较为明显差异，轮牧区中的三趾跳鼠和小毛足鼠的捕获数量降低较为明显，且三趾跳鼠略多于小毛足鼠；而过牧区中啮齿动物的捕获数量与7月份所呈现的趋势正好相反，三趾跳鼠>子午沙鼠>小毛足鼠，且各啮齿动物的捕获数量比7月份低2-2.5倍;虽然捕获量最多的仍为轮牧区中的子午沙鼠，但捕获量最低的变为轮牧区中的小毛足鼠，总体而言，仍是轮牧区的三趾跳鼠和小毛足鼠数量较少。
从以上2个月不同认为干扰类型下各啮齿动物的捕获数量分析发现，在过牧区与轮牧区2种不同人为干扰类型中，啮齿动物各捕获数量具有明显差异，不仅同一月份中不同人为干扰类型的捕获情况不同，而且同一人为干扰类型中不同月份的差异也较大，但啮齿动物在不同干扰类型下的鼠种捕获量相对稳定。 5.1.3同一人为干扰类型下不同区(尺度)上的啮齿动物组成种的生物量特征
啮齿动物生物量的变化趋势在不同的干扰因素下不是一成不变的，随着干扰因素的不同表现出各种不同的变化。以上对同一月份中不同人为干扰类型下的啮齿动物组成种的生物量特征进行了分析，阐述了啮齿动物生物量特征在过牧区与轮牧区的特征，在此基础上，我们进一步对啮齿动物组成种在同一月份不同区（尺度）即不同的自然干扰类型下的生物量特征进行分析。7月和10月同一人为干扰类型下啮齿动物组成种中各鼠种的区（尺度）际动态如图4-图7。
图4 7月和10月过牧区中啮齿动物组成种的种群动态分析图
干扰类
型
捕获数量（只）
图5 7月和10月过牧区中啮齿动物组成种的捕获量比例
从7月和10月过牧区中各啮齿动物的种群动态来看（图4），小毛足鼠的种群波动性较大，1-3区时较低，3区时数量迅速上升，4区时达到22个区中的数量高峰期，5区时迅速下降到一个定值，之后12个区时一直在这个定值区间波动，18区时到22区时略有回升，从图中可以看出小毛足鼠的生物量基本完成了一个周期变化。三趾跳鼠的数量动态为，1区时-8区时数量较平稳而且较高，之后逐渐降低至平稳变化，18区时最低，19区时-22区时数量呈明显波动变化，最小值捕获率为2.6%，最大值捕获率为10.8%。子午沙鼠的数量在1区时-8区时和9区时-17区时较平稳，8区时-9区时数量逐渐下降，18区时数量逐渐回升。
从图5可以看出三趾跳鼠的捕获量比例相对较高，子午沙鼠次之，小毛足鼠最低，且三趾跳鼠捕获量比例波动较小，小毛足鼠捕获量比例波动较大，子午沙鼠居中。通过分析可知，不同区时过牧区啮齿动物的捕获率并无明显的差别，但是捕获量比例却有显著差异。
图6 7月和10月轮牧区中啮齿动物组成种的种群动态分析图
捕获量比例
区
图7 7月和10月轮牧区中啮齿动物组成种的捕获量比例从7月和10月轮牧区中各啮齿动物的种群动态来看（图6），小毛足鼠与子午沙鼠1区时-5区时的种群动态较为相似，5区时-19区时三种鼠的种群动态极为相似，19区时-22区时三趾跳鼠和小毛足鼠的种群动态较为相似与子午沙鼠的差异较大，整个区时间三趾跳鼠呈稳定性波动，子午沙鼠呈一定性周期变化，小毛足鼠种群动态变化在区时后期趋于平稳，变化不太明显。
从图7可以看出三趾跳鼠捕获量比例相对较高，小毛足鼠与子午沙鼠捕获量比例几乎持平，6区时-19区时间，三趾跳鼠的捕获量比例呈现均匀性波动变化，而小毛足鼠在整个区时间呈现捕获量比例稳定性变化趋势。通过分析可知，不同区时轮牧区啮齿动物的捕获率前期差别明显，而中后期并无太大差别，捕获量比例差异相对较小。
上述两种对比充分体现了过度放牧使荒漠区的啮齿动物的生物量相对循环放牧（轮牧）显著降低，并且啮齿动物捕获量比例中三趾跳鼠都占有相当大的比重。同一人为干扰类型下不同月份不同区(尺度)上的啮齿动物组成种的生物量特征啮齿动物生物量的变化趋势在不同的干扰因素下不是一成不变的，随着干扰因素的不同表现出各种不同的变化。以上对不同区时间中不同人为干扰类型下的啮齿动物组成种的生物量特征进行了分析，阐述了啮齿动物生物量特征在过牧区与轮牧区的特征，在此基础上，我们进一步深化分析对啮齿动物组成种在不同月份不同区（尺度）即不同的自然干扰类型下、同一人为干扰类型下的生物量特征进行分析。7月、10月同一人为干扰类型下啮齿动物组成种中各鼠种的区（尺度）际动态如图8-图11。
图8 7月啮齿动物组成种的种群动态分析图
图9 7月人为干扰下（过牧、轮牧）啮齿动物物种组成比例分析图
从图8可以看出，小毛足鼠与子午沙鼠数量曲线较高，各鼠种在22个区时间的高峰期也明显不同，子午沙鼠在区时间中有两次高峰，分别在4、21区时间；而小毛足鼠有一个最大数量曲线高峰期，在4区时间；三趾跳鼠在整个区时间的数量曲线相对稳定。
从图9可以看出三种鼠的捕获量比例几乎都趋于均匀变化，无明显区别。
图10 10月份啮齿动物组成种的种群动态分析图
图11 10月不同干扰类型下（过牧、轮牧）啮齿动物物种组成比例分析图从图10可以看出，子午沙鼠数量曲线较高，在22个区时间有2个峰值，分别在2、20区时间，而三趾跳鼠与小毛足鼠数量曲线相对较低，具有一定波动，但是幅度不大，且三条曲线均未完成一个完整的周期性变化。
从图11可以看出三趾跳鼠的捕获量比例较高，小毛足鼠的捕获量比例较低，子午沙鼠的捕获量比例居中，且三趾跳鼠捕获量比例更均匀，小毛足鼠与子午沙鼠的捕获量比例相对分散。
上述两种对比充分体现了，不同月份、不同区时间所导致的自然因子干扰因素的不同，对啮齿动物生物量产生明显的影响。7月份荒漠区啮齿动物的生物量明显高于10月份；且捕获量比例也有显著的差异，7月的捕获量比例相对于10月的捕获量比例更为均匀，体现了7月份啮齿动物生物量相对较多。
5.2荒漠区不同干扰类型下植物地上生物量的变化趋势
5.2.1同一人为干扰类型下不同区(尺度)上的植物地上生物量
植物地上生物量的变化趋势在不同的干扰因素下不是一成不变的，随着干扰因素的不同表现出各种不同的变化。对植物地上生物量在不同月份不同区（尺度）即不同的自然干扰类型下的生物量变化趋势进行分析。7月和10月同一人为干扰类型下植物地上生物量的区（尺度）变化如图12-图13。
图12 过牧区7月与10月植物生物量
从7月和10月过牧区中植物地上生物量的变化趋势来看（图12）,7月过牧植物生物量的浮动趋势明显大于10月，而且7月过牧植物生物量的数量也总体明显大于10月，我们可知，7月、10月因为季节关系即自然干扰因素不同，植物生物量随着呈现出不同的态势。
图13 轮牧区7月与10月植物生物量分析图
从7月和10月轮牧区中植物地上生物量的变化趋势来看（图13），10月轮牧植物生物量的浮动趋势明显大于7月，而且10月过牧植物生物量的数量也总体明显大于7月，我们可知，7月、10月因为季节关系即自然干扰因素不同，植物生物量随着呈现出不同的态势。
从上述两种分析可知，7月过牧植物生物量>10月过牧植物生物量，10月轮牧植物生物量>7月轮牧植物生物量，反而是7月过牧植物生物量与10月轮牧植物生物量、10月过牧植物生物量与7月轮牧植物生物量变化态势略微相同，由此，我们可断定10月份轮牧会导致荒漠区植物生物量总体增长，而7月份过牧反而会导致荒漠区植物量总体增长。
5.2.2不同人为干扰类型下不同区(尺度)上的植物地上生物量
植物地上生物量的变化趋势在不同的干扰因素下不是一成不变的，随着干
扰因素的不同表现出各种不同的变化。对植物地上生物量在同一月份不同区（尺度）即同一自然干扰类型下的生物量变化趋势进行分析。7月和10月不同人为干扰类型下植物地上生物量的区（尺度）变化如图14-图15。
图14 7月过牧区与轮牧区植物生物量分析图
从7月过牧区、轮牧区中植物地上生物量的变化趋势来看（图14）,7月过牧植物生物量的浮动趋势明显大于7月轮牧区植物生物量，而且7月过牧植物生物量的数量也总体明显大于7月轮牧区，我们可知，7月因为人为干扰因素不同，植物生物量随着呈现出不同的态势。
图15 10月份过牧区与轮牧区植物生物量分析图从10月过牧区、轮牧区中植物地上生物量的变化趋势来看（图15），10月轮牧植物生物量的浮动趋势明显大于10月过牧区植物生物量，而且10月过牧区植物生物量的数量也总体明显大于10月轮牧区，我们可知，10月因为人为干扰因素不同，植物生物量随着呈现出不同的态势。
从上述两种分析可知，10月轮牧植物生物量>7月过牧植物生物量>7月轮牧植物生物量>10月过牧植物生物量，由此，我们可断定10月份轮牧会导致荒漠区植物生物量总体增长，而7月份过牧反而会导致荒漠区植物量总体增长；反
之，7月份轮牧会导致荒漠区植物生物量总体减少，10月份过牧会导致荒漠区植物生物量总体减少。
5.2.3不同人为干扰类型下不同区(尺度)上的草本植物生物量
草本植物地上生物量的变化趋势在不同的干扰因素下不是一成不变的，随着干扰因素的不同表现出各种不同的变化。对草本植物地上生物量在同一月份不同区（尺度）即同一自然干扰类型下的生物量变化趋势进行分析。7月和10月不同人为干扰类型下草本植物生物量的区（尺度）变化如图16-图17。
图16 7月份轮牧区与过牧区草本植物生物量对比图从7月过牧区、轮牧区中草本植物地上生物量的变化趋势来看（图16）,7月过牧区草本植物生物量的浮动趋势7月轮牧区草本植物生物量大致相同，但是二者的生物量峰值大小与峰值出现区时间不同，而且7月过牧区草本植物生物量的数量也总体明显大于7月轮牧区，我们可知，7月因为人为干扰因素不同，草本植物生物量随着呈现出不同的态势。
图17 10月份轮牧区与过牧区草本植物生物量对比图从10月过牧区、轮牧区中草本植物地上生物量的变化趋势来看（图17），10月轮牧植物生物量的浮动趋势明显大于10月过牧区植物生物量，但是二者的生物量峰值大小与峰值出现区时间不同，而且10月轮牧区草本植物生物量的数量也总体明显大于10月过牧区，我们可知，10月因为人为干扰因素不同，草本植物生物量随着呈现出不同的态势。
从上述两种分析可知，10月轮牧草本植物生物量>10月过牧草本植物生物量>7月过牧草本植物生物量>7月轮牧草本植物生物量，由此，我们可断定10月份轮牧会导致荒漠区草本植物生物量总体增长，而7月份过牧反而会导致荒漠区草本植物量总体增长；反之，7月份轮牧会导致荒漠区草本植物生物量总体明显减少，10月份过牧会导致荒漠区草本植物生物量总体略微减少。
5.2.4不同人为干扰类型下不同区(尺度)上的灌木植物生物量
灌木植物地上生物量的变化趋势在不同的干扰因素下不是一成不变的，随着干扰因素的不同表现出各种不同的变化。对灌木植物地上生物量在同一月份不同区（尺度）即同一自然干扰类型下的生物量变化趋势进行分析。7月和10月不同人为干扰类型下灌木植物生物量的区（尺度）变化如图18-图19。
图18 7月份轮牧区与过牧区灌木植物生物量对比图从7月过牧区、轮牧区中灌木植物地上生物量的变化趋势来看（图18）,7月过牧区灌木植物生物量的浮动趋势7月轮牧区灌木植物生物量大致相同，但是7月过牧区灌木植物生物量的数量总体明显大于7月轮牧区，我们可知，7月因为人为干扰因素不同，灌木植物生物量随着呈现出不同的态势。
图19 10月份轮牧区与过牧区灌木植物生物量对比图
从10月过牧区、轮牧区中灌木植物地上生物量的变化趋势来看（图19），10月轮牧区灌木植物生物量的浮动趋势明显大于10月过牧区灌木植物生物量，而且10月轮牧区灌木植物生物量峰值出现两次且大小较一致，同时10月轮牧区灌木植物生物量的数量也总体明显大于10月过牧区，我们可知，10月因为人为干扰因素不同，灌木植物生物量随着呈现出不同的态势。
从上述两种分析可知，10月轮牧灌木植物生物量>7月过牧灌木植物生物量>7月轮牧灌木植物生物量>10月过牧灌木植物生物量，由此，我们可断定10月份轮牧会导致荒漠区灌木植物生物量总体增长，而7月份过牧反而会导致荒漠区灌木植物量总体增长；反之，7月份轮牧会导致荒漠区灌木植物生物量总体略微减少，10月份过牧会导致荒漠区灌木植物生物量总体明显减少。 5.3不同干扰下植物生物量与啮齿动物生物量之间的变化关系
5.3.1不同干扰下植物生物量与啮齿动物生物量元素间的相关性分析
研究不同干扰下植物生物量与啮齿动物生物量元素间相关性可以分为三种：当不同干扰下植物生物量元素变化完全由啮齿动物生物量元素变化所确定时称这两种元素间的关系为完全相关；当不同干扰下植物生物量元素变化与啮齿动物生物量元素变化彼此互不影响时，其元素变化各自独立时，称为不相关现象；当不同干扰下植物生物量元素变化与啮齿动物生物量元素变化介于完全相关和不相关之间，称为不完全相关。
我们用积差法来计算不同干扰下植物生物量与啮齿动物生物量元素的相关系数，所谓积差法就是用两个变量的协方差与两个变量的标准差的乘积之比：
r =
1
2
1
1
()(y )
()()
n
i
i
i n
n
i
i
i i x x y x x y y --
=-
-
==----∑∑∑
=()()
2
2
22*n xy x y
n x x n y y ---∑∑∑∑∑∑∑
表2 不同干扰下植物生物量与啮齿动物生物量元素间的相关系数
生物量
7月过牧植物生物量 7月过牧动物生物量
10月过牧植物生物量 10月过牧动物生物量 7月轮牧植物生物量 7月轮牧动物生物量
10月轮牧植物生物量 10月轮牧
动物生物
量 7月过牧植物生物量 1.000
7月过牧动物生物量 0.319
1.000
10月过牧植物生物量 0.366 0.140 1.000
10月过牧动物生物量 0.515 0.772 0.377 1.000
7月轮牧植物生物量 0.394 0.095 0.508 0.383 1.000
7月轮牧动物生物量 0.411 0.766 0.277 0.714 -0.057 1.000
10月轮牧植物生物量 -0.016 -0.023 0.181 0.035 0.288 -0.012 1.000
10月轮牧动物生物量
0.084 0.788 0.159 0.691 0.026 0.672 0.158 1.000
由相关系数表可我们对这些元素进行粗略分组，分为以下两组：
A 组：10月过牧植物生物量、7月轮牧动物生物量、10月过牧动物生物量；
B 组：10月轮牧植物生物量、7月过牧动物生物量、10月轮牧动物生物量。 而对于7月过牧植物生物量、7月轮牧植物生物量由相关系数表可知，其相关系数较小，我们认为相关系数小的元素间没有关系，所以将其各自单独一组。 建立回归模型图像验证它们之间的函数关系：
通过上述分析，我们建立10月过牧植物生物量与7月轮牧动物生物量、7月过牧动物生物量与10月轮牧植物生物量、10月轮牧植物生物量与10月轮牧动物生物量、10月过牧植物生物量与10月过牧动物生物量回归分析模型。
建立不同干扰下植物生物量与啮齿动物生物量之间的变化关系的回归分析模型 （1）建立一元线性回归模型 一元线性回归模型可表示为
012
~(0,)
y x N ββε
εσ=++??? 为了方便，我们可以利用样本去估计总体回归参数0β、1β，用样本统计量0β∧
、
1β∧
代替回归方程中的未知参数0β和1β，就得到了估计的回归方程。
2015全国大学生数学建模竞赛B题
“互联网+”时代的出租车资源配置 摘要 随着“互联网+”时代的到来，针对当今社会“打车难”的问题，多家公司建立了打车软件服务平台，并推出了多种补贴方案，这无论是对乘客和司机自身需求还是对出租车行业发展都具有一定的现实意义。本文依靠ISM解释结构、AHP-模糊综合评价、价格需求理论、线性规划等模型依次较好的解决了三个问题。 对于问题一求解不同时空出租车资源“供求匹配”程度的问题，本文先将ISM模型里的层级隶属关系进行改进，将影响出租车供求匹配的12个子因素分为时间、空间、经济、其它共四类组合，然后使用经过改进的AHP-模糊综合评价方法建立模型，提出了出租车空载率这一指标作为评价因子的方案，来分析冬季某节假日市南岗区出租车资源“供求匹配”程度。通过代入由1-9标度法确定的各因素相互影响的系数，得出各个影响因素的权重大小，利用无量纲化处理各影响因素，得出最终评判因子为0.3062，根据“供求匹配”标准，得出市南岗区出租车资源“供求匹配”程度处于供需合理状态的结论。同理，也得到了市不同区县、不同时间的供求匹配程度，最后作出市出租车“供求匹配”程度图。 对于问题二我们运用价格需求理论建立模型，以补贴前后打车人数比值与空驶率变化分别对滴滴和快的两个公司的不同补贴方案进行求解，依次得到补贴后对应的打车人数及空驶率的变化，再和无补贴时的状态对比，最后得出结论：当各公司补贴金额大于5元时，打车容易，即补贴方案能够缓解“打车难”的状况；当补贴小于5元时，不能缓解“打车难”的状况。 对于问题三，在问题二的模型下，建立了一个寻找最优补贴金额的优化模型，利用lingo软件[1]进行求解算出最佳补贴金额为8元，然后将这个值带入问题二的模型进行验证，经论证合理后将补贴金额按照4种分配方案分配给司机乘客。关键词：ISM解释结构模型；AHP-模糊综合评价；价格需求理论；线性规划
HIMCM 2014美国中学生数学建模竞赛试题
HIMCM 2014美国中学生数学建模竞赛试题 Problem A: Unloading Commuter Trains Trains arrive often at a central Station, the nexus for many commuter trains from suburbs of larger cities on a “commuter” line. Most trains are long (perhaps 10 or more cars long). The distance a passenger has to walk to exit the train area is quite long. Each train car has only two exits, one near each end so that the cars can carry as many people as possible. Each train car has a center aisle and there are two seats on one side and three seats on the other for each row of seats.To exit a typical station of interest, passengers must exit the car, and then make their way to a stairway to get to the next level to exit the station. Usually these trains are crowded so there is a “fan” of passengers from the train trying to get up the stairway. The stairway could accommodate two columns of people exiting to the top of the stairs.Most commuter train platforms have two tracks adjacent to the platform. In the worst case, if two fully occupied trains arrived at the same time, it might take a long time for all the passengers to get up to the main level of the station.Build a mathematical model to estimate the amount of time for a passenger to reach the street level of the station to exit the complex. Assume there are n cars to a train, each car has length d. The length of the platform is p, and the number of stairs in each staircase is q. Use your model to specifically optimize (minimize) the time traveled to reach street level to exit a station for the following: 问题一:通勤列车的负载问题 在中央车站,经常有许多的联系从大城市到郊区的通勤列车“通勤”线到达。大多数火车很长(也许10个或更多的汽车长)。乘客走到出口的距离也很长，有整个火车区域。每个火车车厢只有两个出口,一个靠近终端, 因此可以携带尽可能多的人。每个火车车厢有一个中心过道和过道两边的座椅，一边每排有两个座椅，另一边每排有三个座椅。走出这样一个典型车站,乘客必须先出火车车厢,然后走入楼梯再到下一个级别的出站口。通常情况下这些列车都非常拥挤,有大量的火车上的乘客试图挤向楼梯，而楼梯可以容纳两列人退出。大多数通勤列车站台有两个相邻的轨道平台。在最坏的情况下,如果两个满载的列车同时到达,所有的乘客可能需要很长时间才能到达主站台。建立一个数学模型来估计旅客退出这种复杂的状况到达出站口路上的时间。假设一列火车有n个汽车那么长,每个汽车的长度为d。站台的长度是p，每个楼梯间的楼梯数量是q。使用您的模型具体来优化(减少)前往主站台的时间，有如下要求: Requirement 1. One fully occupied train's passengers to exit the train, and ascend the stairs to reach the street access level of the station. 要求1.一个满载乘客的火车，所有乘客都要出火车。所有乘客都要出楼梯抵达出主站台的路上。 Requirement 2. Two fully occupied trains' passengers (all passengers exit onto a common platform) to exit the trains, and ascend the stairs to reach the street access level
2005年数学建模B题
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：华南师范大学增城学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：年月日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
DVD在线租赁 摘要 问题（三）：题目需要我们回答购买各种DVD的数量来使95%的会员能看到他DVD想看到的DVD，并且要怎么分配才能使满意度达到最大；每种建立以总的购买数最小、会员满意度最大为双目标的规划模型。通过确定在一个月内每张DVD的在每个会员中手中的使用率；然后通过c语言程序编程来确定每种DVD 的购买量；建立0-1规划模型；通过LINGO软件使满意度达到最大，来最终确定DVD的分配； 一级，二级目标，将多目标规划转化为单目标；同时将第j种DVD的购买量y的整数约束去掉，求解出最小购买数为张。将最小购买数作为约束条件，优j 化满意度后，得到最大满意度为95%；然后对此时DVD的购买量 y向上取整，得 j 到总购买数为186张。当购买数为186张时，会员满意度达到97%。 三、模型假设 1、租赁周期为一个月，每月租两次的会员可以在月中再租赁一次； 2、同一种DVD每人只能租赁一次； 3、DVD在租赁过程中无损坏； 4、会员每月至少交一次订单； 5、会员只有把前一次所借的DVD寄回，才可以继续下一次租赁 6、月底DVD全部收回，继续下个周期的租赁； 7、随着时间的推移，该网站的会员们的流动情况不会出现大变动。 四、符号说明
数学建模练习试题
2011年数学建模集训小题目 1.求下列积分的数值解 ? +∞ +-?23 2 2 3x x x dx 2.已知)s i n ()()c o s (),(2h t h t h t e h t f h t ++++=+，dt h t f h g ?=10 ),()(，画出 ]10,10[-∈h 时，)(h g 的图形。 3.画出16)5(2 2=-+y x 绕x 轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。 4.画出下列曲面的图形 （1）旋转单叶双曲面 14 92 22=-+z y x ； （2）马鞍面xy z =； 5.画出隐函数1cos sin =+y x 的图形。 6.（1）求函数x x y -+=12 ln 的三阶导数； 法一：syms x y dy; >> y=log((x+2)/(1-x)); >> dy=diff(y,3) dy = (6/(1-x)^3+6*(x+2)/(1-x)^4)/(x+2)*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)^2*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^3*(1-x)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^2 （2）求向量]425.00[=a 的一阶向前差分。 7.求解非线性方程组 （1）?????=-+=-+060622x y y x （2）???=+=++5 ln 10tan 10cos sin y x y e y x 8.求函数186)(2 3-++=x x x x f 的极值点，并画出函数的图形。 9.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m 和1m 的圆钢各一根。已知原料长6.9m ，问应如何下料，使用的原材料最省。 10. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A ，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％； 项目B ，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元；
2003年数学建模A题
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） A题 SARS的传播 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。
（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 附件1： SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测 2003年5月8日 在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。 1 模型与参数 假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K
2015年全国数学建模B题论文思路
B题“互联网+”时代的出租车资源配置 出租车是市民出行的重要交通工具之一，“打车难”是人们关注的一个社会热点问题。随着“互联网+”时代的到来，有多家公司依托移动互联网建立了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴方案。 请你们搜集相关数据，建立数学模型研究如下问题： (1)试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。指标：里程利用率，车辆满载率，车辆拥有量（万人）等，从这些指标去按以下步骤收集数据并分析 1分别收集一线（比如北上广），二线（比如西安），三线（比如拉萨）城市各一个的出租车数据来分析，这样就能代表全国了。这就是第一问中的“空” 2主要分析各个城市早（7:00——8:30） 中（11:30——2:30） 晚（17:30——18:30）上班高峰 和平时时段的打车的供求情况这就是第一问中的“时” 3最后总结哈供求匹配程度
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西南大学2016年春《数学建模》作业及答案(已整理)(共5次)
西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理) 第一次作业 1：[填空题] 名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测 参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。19．2倍周期收敛：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为2倍周期收敛。20．灵敏度分析：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。这叫灵敏性分析。21．TSP问题：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为TSP问题。22．随机存储策略：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货不小于s时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S，这种策略称为随机存储策略。23．随机模型：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。24．概
2015年全国大学生数学建模C题月上柳梢头
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）： 参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3.
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日 （此承诺书打印签名后作为纸质论文的封面，注意电子版论文中不得出现此页。以上容请仔细核对，特别是参赛队号，如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 赛区评阅编号（由赛区组委会填写）： 2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
送全国评奖统一编号（由赛区组委会填写）： 全国评阅统一编号（由全国组委会填写）： 此编号专用页仅供赛区和全国评阅使用，参赛队打印后装订到纸质论文的第二页上。注意电子版论文中不得出现此页，即电子版论文的第一页为标题和摘要页。 月上柳梢头
数学建模作业
习 题 1 1. 请编写绘制以下图形的MA TLAB 命令，并展示绘得的图形. (1) 221x y +=、224x y +=分别是椭圆2241x y +=的内切圆和外切圆. (2) 指数函数x y e =和对数函数ln y x =的图像关于直线y=x 对称. (3) 黎曼函数 1, (0)(0,1) 0 , (0,1), 0,1 q x p q q x y x x x =>∈?=? ∈=?当为既约分数且当为无理数且或者 的图像（要求分母q 的最大值由键盘输入）. 3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次掷出3或11点，打赌者赢；如果第一次掷出2、7或12点，打赌者输；如果第一次掷出4、5、6、8、9或10点，记住这个点数，继续掷骰子，如果不能在掷出7点之前再次掷出该点数，则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？
4. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题： (1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 和r ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. (2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MA TLAB 函数polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图. (3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？ (4) 如果用阻滞增长模型00 () 00()()e r t t Nx x t x N x --= +-模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MA TLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r 和N ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 、r 和N ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890
数学建模全国赛07年A题一等奖论文
关于中国人口增长趋势的研究 【摘要】 本文从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了Logistic、灰色预测、动态模拟等方法进行建模预测。 首先，本文建立了Logistic阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合，对2007至2020年的人口数目进行了预测，得出在2015年时，中国人口有13.59亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后，为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响，本文建立了GM(1,1) 灰色预测模型，对2007至2050年的人口数目进行了预测，同时还用1990至2005年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出2030年时，中国人口有14.135亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 为了对人口结构、男女比例、人口老龄化等作深入研究，本文利用动态模拟的方法建立模型三，并对数据作了如下处理：取平均消除异常值、对死亡率拟合、求出2001年市镇乡男女各年龄人口数目、城镇化水平拟合。在此基础上，预测出人口的峰值，适婚年龄的男女数量的差值，人口老龄化程度，城镇化水平，人口抚养比以及我国“人口红利”时期。在模型求解的过程中，还对政府部门提出了一些有针对性的建议。此模型可以对未来人口做出细致的预测，但是需要处理的数据量较大，并且对初始数据的准确性要求较高。接着，我们对对模型三进行了改进，考虑人为因素的作用，加入控制因子，使得所预测的结果更具有实际意义。 在灵敏度分析中，首先针对死亡率发展因子θ进行了灵敏度分析，发现人口数量对于θ的灵敏度并不高，然后对男女出生比例进行灵敏度分析得出其灵敏度系数为0.8850，最后对妇女生育率进行了灵敏度分析，发现在生育率在由低到高的变化过程中，其灵敏度在不断增大。 最后，本文对模型进行了评价，特别指出了各个模型的优缺点，同时也对模型进行了合理性分析，针对我国的人口情况给政府提出了建议。 关键字：Logistic模型灰色预测动态模拟 Compertz函数
2014数学建模B题解读
承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。 我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)： B 我们的报名参赛队号为(8位数字组成的编号)： 所属学校(请填写完整的全名)： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： (论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) 日期：年月日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号)：
编号专用页 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号)： 全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号)：全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号)：
创意平板折叠桌的设计 摘要 随着人类思维的不断进步，极具创意的作品也层出不穷。本文对创意平板折叠桌进行分析，运用三维坐标对不同平板折叠桌的结构进行描述。桌子外形由直纹曲面构成，桌面近似圆形，桌腿分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上。随着铰链的活动，折叠桌可以平摊成一张平板，折叠时，沿木条有空槽以保证滑动的自由度。此折叠桌不仅设计精妙，造型美观。而且具有一定的实用价值，节省存储空间。 针对问题一，给定了一块平板的长宽高、木条宽度、以及折叠桌的高度。以折叠桌的某一桌脚为原点，利用对称性，建立空间直角坐标系。通过构建几何模型来找出桌面与最外侧桌脚木条的夹角(锐角)关系。然后运用三角函数计算出每根桌脚木条的长度以及开槽的大小。设每根桌脚木条与桌面的夹角为变量，通过几何关系，列出每条桌脚顶点处的坐标,, x y z分别满足的函数表达式，根据表达式编写MATLAB程序，画出桌脚边缘线变化过程。最后根据每个桌脚点在折叠过程中的改变，加入动态函数，用MATLAB画出折叠桌的动态过程。 针对问题二，根据稳固性好、加工方便、用材最少这三个限制条件求出非线性规划的目标函数和约束条件。由于问题一中要求稳固性好，所以对折叠桌的受力点做受力分析，为了使桌子承受最大的力量，对作用于折叠桌的压力、支持力、摩擦力等作分析。一个好的设计没有实用性就不能使用，所以我们把受力分析放在首要地位。为了使加工方便和用材最少，在保证稳固性的前提下减少使用的钢筋数量和选择最优加工参数。同时加工方便与材料的质地也有关，但是我们这里不考虑，统一用木质平板。根据以上三个约束条件，运用最优化的方法建立非线性规划模型，再用MATLAB求出最优解，得到最优的加工设计参数。 针对问题三，在问题一与问题二的模型基础上，设计出两种创意平板折叠桌。创意平板折叠桌一为桌面类似为菱形的折叠桌，建立坐标系得出菱形桌面和桌腿木条的方程，用MATLAB 进行编程，画出其动态图形。创意平板折叠桌二采用题目已给的图，采用一定的拼接技术，可根据顾客需求拼接出满足条件的的折叠桌。 关键词：边缘线MATLAB LINGO 受力分析最优化
2014年美国数学建模大赛(MCM)试题译文
2014年美国数学建模大赛（MCM）试题译文 王景璟大连理工大学 问题A：超车之外靠右行原则 在一些开车必须靠右行驶的国家（比如：美国，中国，以及其他除了英国，澳大利亚，和一些前英国殖民地的国家），行驶在多车道高速路必须遵循一个规则，那就是要求驾驶员在超车之外的情况下，必须在最靠右的车道行驶，超车时，他们向左变道，超车，然后再回到之前行驶的车道。 构建一个数学模型来分析该规则在车流量很少和很大的时候的执行情况。你最好能考察车流量与安全的之间的相互关系，过低或是过量的速度限制的作用（速度设置过低或是过高），以及/或者其他在该问题陈述中没有明确提到的因素。该原则是否能有效促进更好的车流量？如果无效，请建议和分析其他更有助于提高车流量、安全、以及其他你认为重要的因素的其他方案（可以完全不包括该原则）。 在开车靠左行的国家，讨论一下你的方案在经过对方向的简单修改之后或是添加额外的要求之后是否也适用。 最后，以上原则取决于人们遵循交通规则的判断力。如果道路上的车流完全在智能系统（要么是道路体系的一部分，要么是包含在使用道路的所有车辆的设计之中）的控制之下，该改变在多大程度上会影响你先前分析的结果？ 问题B: 大学教练联盟 《体育画报》，一本体育爱好者的杂志，正在寻找上世纪“最好的大学教练”，包括男性和女性。建立一个数学模型以从诸如大学曲棍球，曲棍球，橄榄球，棒球，垒球，篮球，或足球等运动的男性或女性教练中选出最好的一个教练或几个教练（过去的或现在的）。分析中使用的时间分界线是否有影响？即在1913执教和在2013年执教有不同吗？清晰地表达你们模型中的评判标准。讨论你们的模型如何能广泛地应用于两种性别及所有可能的体育运动。分别选出你模型中3种不同运动的前5位教练。 除了MCM格式及要求，准备一篇1-2页的文章给《体育画报》以解释你们的结论并包括一份能让体育迷们看懂的对你们数学模型的非技术性解释。 问题C：使用网络模型测量影响力
2015全国大学生数学建模竞赛D题答案
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题评阅要点 [说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。本题的难点在于通过学习国家相关政策文件，理解真实案例中一次项目规划中的各种约束条件，以此为基础建立成本核算体系，借助各类模型或算法，衡量并调整众筹筑屋规划方案，以实现不同目标的优化问题。 评阅时请关注如下方面：建模的准备工作（对题目的正确理解，文献查询，核算模型的依据），模型的建立、求解、求解方法的灵活性和分析方法，计算程序的可运行性，结果的表述，合理性分析及其模型的拓广。 问题1：众筹筑屋规划方案Ⅰ的核算流程 需熟悉众筹筑屋的新型房地产形势，包括结合实际需求，考虑容积率约束，考虑税务和预估纯收益，这其中包括土地增值税的计算、对取得土地使用权所支付的金额、开发成本、开发费用、与之有关的税金、其它扣除项目等核算，并对核算方式进行说明，应该有文献支持。原始方案（规划方案Ⅰ）的核算: 结合附件中的数据，使用已建立的核算模型对原始开发方案进行一次核算，给出建设规划方案Ⅰ的总购房款、增值税、纯利润、容积率、总套数等计算结果。 问题2：考虑参筹者平均购买意愿最大的建设规划方案 建立模型，给出合理的约束项和目标函数，并解释。注意考虑必要的套数上下限约束和目标函数的非线性。 选取合适的算法进行求解，并对结果给出合理的解释。 问题3：项目能成功执行的建设规划方案 对问题2中的方案进行核算，得出投资回报率低于25%的结论，对方案进行改进。建立或修改得到新模型，包含投资回报率需达到25%的约束，建立单目标非线性整数优化问题，注意目标函数与约束中均存在非线性，同时目标函数中存在分段的特性，寻求算法并求解，对于求解结果进行合理解释。
2015年B题数学建模_滴滴打车模型分析
2015 数学建模B题 （公选课） 后打车时代究竟能走多远 --基于数学分析的打车软件盈利模式的评估体系 1．摘要 打车软件作为新兴的交易平台，增加了交易机会。且与街头扬招方式相比，打车软件优势也很明显，它可以让出租车司机迅速找到它的客户。出租车正在寻找客人而“空跑”。打车软件的出现则改变了这种信息不对称，大大降低了司机的“空载率”，减少了司机和乘客之间的交易成本——司机扫街和乘客扫街的时间成本。 其次，改变了支付方式。传统现金交易有两个弊病，一是安全性。另外，大量现金交易增加了司机的交易成本：时不时收到假钞，蒙受经济损失；每周几次到银行存钱也增加了时间成本。这些优势就使得打车软件极具有盈利的可能，只有软件找到用户并增强对他们的粘性，就有许多渠道来针对他们来盈利。 随着近两年打车软件的兴起，从原先40多款打车软件的百花齐放演变成现在的嘀嘀、快的双雄争霸，市场竞争也趋于白热化。2014年伊始，嘀嘀打车和快的打车进入史上空前的“烧钱大战”，在高峰期甚至达到2月17日乘客返现10—15元，新司机首单立奖50元，而且每单都有补贴十块。目前两大打车软件纷纷将针对乘客的补贴降至3元/单，对司机端的补贴，嘀嘀是5元/单，快的4元/单。部分城市的嘀嘀打车更已取消“立减优惠”，取而代之的是“用嘀嘀添新衣”的广告或改送购物网站现金券。那么，在后打车时代，滴滴打车这类打车软件还能走多远了？我们通过对打车软件盈利模式的研究来探索这个问题。 关键词：空载率，支付方式，交易成本，后打车时代2．模型的假设 ①打车软件开拓的市场基本成熟，大公司的投资也不再，补贴也不再， 利用生活服务来增强对用户的粘性。 ②假设软件公司为用户提高的生活服务质量日趋完善，出租车司机的
2012-2015数学建模国赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题葡萄酒的评价 确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题： 1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？ 2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。 3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。 4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？ 附件1：葡萄酒品尝评分表（含4个表格） 附件2：葡萄和葡萄酒的理化指标（含2个表格） 附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物质（含4个表格）
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） B题太阳能小屋的设计 在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。 附件1-7提供了相关信息。请参考附件提供的数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。 在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。 在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。 问题1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。 问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。 问题3：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。 附件1：光伏电池组件的分组及逆变器选择的要求 附件2：给定小屋的外观尺寸图
数学建模B题
数学建模B题 The following text is amended on 12 November 2020.
B题“互联网+”时代的出租车资源配置 摘要 本文针对现代生活中“打车难”这一问题，寻找引起其发生的主要因素，并在此基础上建立了与之相对应的打车软件服务信息平台，提出了最优控制策略，最后通过对深圳市出租车辆的调查做出了具体检验措施，验证出此模型的合理性。 针对问题一，本文首先运用层次分析方法，筛选出四至五个相对合理的指标以此来评判出对出租车供求的影响；其次运用SPSS软件对这些指标的数据进行预处理，应用主成分分析法从中再次筛选出三个重要指标，分别得出深圳市和佛山市供给量与需求量与对应三个重要指标间的关系，并利用MATLAB软件绘制供求量随影响因素变化的模型。利用灰色预测模型来分别预测未来几年深圳市和佛山市供给量与需求量发展趋势，验证其匹配状况，进而解决不同时间下的匹配度问题。运用灵敏度分析法，修正误差，完善模型。 针对问题二，考虑到出租车补贴主要为燃油补贴，由问题一的模型可知，燃油价格因素直接影响了供给量，通过问题一得出出租车补贴方案对缓解打车难有明显影响。 针对问题三，在软件平台建立上，为实现匹配度最佳，基于打车者与出租车距离最短，等待时间最短，首先利用图论的知识找出最短路径，进而运用改进的遗传算法求出最短时间，寻求到最优方案。其次根据空载量，分情况讨论具体补贴方案。最后根据GPS定位数据随机选取出“滴滴打车”某一时间内的经纬度，对以上服务信息平台进行检验，得出该平台较之前具有更好的合理性。 关键词：主成分分析灰色预测模型SPSS数据处理遗传算法
2014年下学期数学实验与数学建模作业习题8
2014年下学期数学实验与数学建模作业习题8 1．轮船的甲板成近似半椭圆面形为了得到甲板的面积。首先测量得到横向最大相间8.534米；然后等间距地测得纵向高度，自左向右分别为：0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073，计算甲板的面积。 【1】命令： x=0:0.711:8.534; y2=[0,0.914^2,5.060^2,7.772^2,8.717^2,9.083^2,9.144^2,9.083^2,8.992^2, 8.687^2,7.376^2,2.073^2,0]; %plot(x,y2,'*'); a=polyfit(x,y2,2) 【2】结果： a = -5.2832 46.5248 -16.7465 得y^2=-5.2832*x^2+46.5248*x-16.7465,即y^2/85.68+(x-4.4031)^2/16.2175=1 故面积=0.5*a*b*pi=58.56. 2．物体受水平方向外力作用，在水平直线上运动。测得位移与受力如表8.1 表8.1 X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 F 20 21 21 20 19 18.5 18.0 13.5 9 4.5 0 求(a) 物体从位移为0到0.4所做的功； (b) 位移为0.4时的速度是多少？ 【1】命令： x=0:0.1:1.0; f=[20,21,21,20,19,18.5,18.0,13.5,9,4.5,0]; plot(x,f,'*');hold on; a=polyfit(x,f,2) f2=-34.4988*x.*x+14.8625*x+19.5979; plot(x,f2); syms t y=-34.4988*t.*t+14.8625*t+19.5979; w=vpa(int(y,t,0,0.4),8) V=diff(y);t=2;v=eval(V)