3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程2
高二数学B3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程2 编号6 编制：孙国兴 滕雁霏 审核：李春焕 日期：2009-2-17
一．学习目标
掌握空间直线的向量参数方程，理解直线的方向向量，掌握运用向量方法证明线线、线面、面面垂直关系，用向量方法求两直线所成的角。
二．知识梳理
设两条直线所成角为θ（锐角），则直线方向向量的夹角与θ ，设直线l 1或l 2的方向向量分别为21v v 和，则l 1⊥l 2? ，cos θ= .
三．典例解析：
例 已知正方体ABCD —A′B′C′D′中，点M 、N 分别是棱BB′与对角线CA′的中点。 求证：MN ⊥BB′；MN ⊥A′C
四．课堂练习：
1、设l 1的方向向量为=（1，2，-2），l 2的方向向量为=（-2，3，m ），若l 1⊥l 2,则m=( )
A.1
B.2
C.21
D.3
2、已知A 、B 、C 三点坐标分别为A （4，1，3）B （2，-5，1）C （3，7，λ）若AB 与AC 垂直，则λ等于（ ）
A 、λ=28
B 、λ=-28
C 、λ=14
D 、λ=-14
二、填空题
3、已知正四面体OABC ，M ，N 分别是棱OA 、BC 的中点，则MN 与OB 所成的角为 。
4、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=1，DD 1=3，则AC 与BD 1所成角的余弦值为 。
三、解答题
5、在正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，P ，Q 分别是棱AB 、B 1C 1的动点，且AP=B 1Q ，M ，N ，R 分别是AB 1，PQ ，BC 1的中点。
(1)求证： MR ⊥OB 1 (2)求证 ：点N 恒在线段MR 上
（3）当2AP PB = 时，求11cos ,PM AC <>
的值
6、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，090,//,,BAD AD BC AB BC a ∠=== 2,AD a =且，PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成300角，AE ⊥PD ，E 为垂足，
（1） 求证：BE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的大小。
选作 直线l 1，l 2分别过点O （0，0）和A （0，2）且l 1的方向向量为（1，λ）l 2的方向向量为（λ，-1）则l 1，l 2交点轨迹方程是 .
探索空间平面法向量的求法与方向的判定
“ 量无论无论是 和具有规具有规律性。 时有时会显得特别探索空间平面法向量的求法与方向的判定 问题，都离不开平面的 成角 ” ” 距离 “ 问题，还是 杨玉春 (铜仁市第二中学，贵州铜仁 554300) 向量具有一套完整的运算体系，可以把几何图形的性质 转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实 现了“数”与“形”的结合。因此用量知识解决某些立体几 何问题，有时会显得特别简洁和具有规律性。但用向量无论 是解决“成角”问题，还是“距离”问题，都离不开平面的 法向量，可以说平面的法向量是用向量来解决立几问题的瓶 颈，平面法向量的正确求出是关键。而用向量来求二面角的 大小时，往往还需判断法向量的方向，是指向二面角内还是 指向二面角外。本文介绍空间平面法向量的求法与方向的判 定。 一、平面法向量的求法 1、几何法：如图(1)，若λ⊥α，在λ上任取两点A、B， 则或即为平面α的一个法向量。 2、待定系数法(两种设法)：
（1）设n=(1,λ,μ)或n=(λ，1，μ)或n=(λ, μ，1)是平面α的一个法向量。a ，b 是平面α内任一两个不共线向量，由 n ·a=0 n ·b=0求出λ，μ即可。 （2）或设n=（x ，y ，z ）是平面a=0 ·b=0 得出关于x 、y 、z 的三元一次方程组的一个解即为平面α的一个法向量。 3、利用空间平面方程：Ax+By+Cz+D=0(其中：A 、B 、C 不同时为零)，则n=（A ，B ，C ）为平面的一个法向量。 4利用向量的向量积：如图(1)，设a=(111,,x y z ),b=（223,,x y z ） 则a ×b= =( ,| |,|) =(122121121221,,y z y z x z x z x y x y ---) 取n=(a ×b )(λ∈R 且λ≠0)是平面α的法向量。 二、空间平面法向量方向的判定 1、由几何法求出的法向量，此时方向看图即可。 2、由向量的向量积求出的法向量，用“右手定则”可确定a ×b 的方向，取n=λ(a ×b),当＞0时，则n 方向与向
直线的方向向量与点向式方程
《直线的方向向量与点向式方程》教学设计 授课教师专业、班级 授课类型新授课时第1课时 所在册第二册所在章节第九章第1.1节 课题内容直线的方向向量与点向式方程 一、教材及单元内容分析 1．使用教材：中等职业教育规划教材《数学》第二册。 2．本章内容分析：本章教材共分4单元：第1单元直线的方程.(第1节:直线的方向向量与点向式方程, 第2节:直线的斜率与点斜式方程,第3节:直线的法向量与点法式方程,第4节:直线的一般式方程.)第2单元两条直线的位置关系.(第1节,两条直线的平行,第2节,两条直线的交点与垂直,)第3单元点到直线距离.第4单元圆的方程.(第1节,圆的标准方程,第2节,圆的一般方程.) 3．地位和作用：直线是最简单的几何图形，是解析几何的入门。而如何运用直线方程研究有关直线在平面内的位置关系的方法，为下面学习曲线与方程的概念以及圆锥曲线打下基 础。直线和圆的方程是解析几何的主要部分,直线和圆是基本的几何图形,研究图形的基本性质又是几何学习的主要内容,本章要学会领会数形结合的思想,向量是处理本章问题的重要工具.借助代数方程研究数学图形的几何性质. 二、学情分析 学生进入中职学校后，学生没了目标，也没有动力，既使有些家长希望孩子能学得一技 之长，将来好找个合适的工作，但是学生自己可不这么认为，他们不知道为什么要学？学 了有什么用？无求知、上进的愿望；缺乏自尊心、自信心，学习不好不觉得丢面子，考试 不及格也无所谓，不想上课或上课不专心听讲，课后不肯花时间复习巩固所学的知识，做 作业应付了事，一知半解；缺乏吃苦精神和学习毅力，遇到学习困难就放弃，把时间用到 玩手机、看小说、打游戏、谈恋爱等上面。 三、教学目标 知识目标：( 1）了解直线的方向向量和点向式方程. (2)理解直线的点向式方程的推导过程. 能力目标：能用直线的点向式方程求满足条件的直线方程. 情感目标：培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。 培养学生观察和归纳的能力。 四、教学重点与难点 【教学重点】: 能用直线的点向式方程求直线的方程.. 【教学难点】：理解直线的点向式方程的推导过程.. - 1 -
空间直线与平面的方程及其位置关系
空间直线与平面的方程及其位置关系
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空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 １0级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.１ 直线的对称式（点向式)方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v （非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1－1） 叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ,那么 （１.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。
高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 平面的法向量 仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。平面.：＞ 的法向量共有两大类(从方向上分) ，无 数条。 2、平面法向量的求法 斗 ■ 4 方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中， 设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］， 在平面:内任找两个不共线的向量 a,b 。由n _ ：?，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此 i 方程组即可得到n 。 方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量 n -(A, B,C)；若平面与3个坐 标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为?上 ］--1,称此方程为平面的截距 a b c 式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法)：设 ，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 .. 例 1、 已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1), T T —f —f 试求(1): a^b ； (2)： b 汉a. T T T T Key: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 7 T T T 的方向转为 匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向 ^( x i ,y i ,z i ),^(x 2, r 「 T T 丫2二2),则:a b = Z 2 X 1乙 X 2 Z 2 X 1 X 2 y 1 y 2 (注：1、二阶行列式 =ad —cb ； d 2、适合右手定 则。 x, y, z 的一次方程。
直线的方向向量(空间)测试题
直线的方向向量（空间）测试题 1. 已知直线l 的一个方向向量m ??? =(2,?1,3)，且直线l 过A(0,y ， 3)和B(?1,2，z)两点，则y ?z =( ) A. 0 B. 1 C. 3 2 D. 3 2. 设A(2,2，3)，B(4,0，1)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A. (1,2，5) B. (3,?2,?2) C. (1,?1,?1) D. (?1,1，?1) 3. 设l 1的方向向量为a ? =(1,2，?2)，l 2的方向向量为b ? =(?2,3，m)，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A. 1 B. 2 C. 1 2 D. 3 4. 若点A (?1 2,0,1 2)，B (1 2,2,7 2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A. (13,2 3,1) B. (13,1,2 3) C. (23,1 3,1) D. (1,23,1 3) 5. 若两条不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为ν1??? =(1,0,?1)， ν2??? =(?2,0,2)，则l 1和l 2的位置关系是( ) A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定 6. 已知向量a ? =(2,4，5)，b ? =(3,x ，y)，分别是直线l 1、l 2 的方向向量，若l 1//l 2， 则( ) A. x =6，y =15 B. x =3，y =15 C. x =83，y =10 3 D. x =6，y =15 2 7. 直线2x ?3y +1=0的一个方向向量是( ) A. (2,?3) B. (2,3) C. (?3,2) D. (3,2) 8. 已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(?1,3,1)，则不正确的有( ) A. AB ????? 与AC ????? 是共线向量 B. AB ????? 的单位向量是(1,1,0) C. AB ????? 与BC ????? 夹角的余弦值是√5511 D. 直线AC 的一个方向向量是(2,?4,?2) 9. 已知直线l 的一个方向向量为u → =(? √36,1 2 )，且l 经过点(1,?2)，则下列结论中正 确的是( ) A. l 的倾斜角等于150° B. l 在x 轴上的截距等于2√33 C. l 与直线√3x ?3y +2=0垂直 D. l 与直线√3x +y +2=0平行 10. 已知向量A (?1,0，1)，B (1,2，0)，请写出直线AB 的一个单位方向向量________．
对法向量的透彻理解与灵活运用
对法向量的透彻理解与灵活运用 一、法向量概念理解 如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的； （2）一个平面的所有法向量一定是平行向量； （3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则n m 0=； （4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的． 二、法向量求解步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤： （1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ； （2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ； （3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组0 =?? =?n a n b ； （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）． 三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角 直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ== |||| l n l n ． 注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角 设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12
(立体几何)法向量判断向量方向
用法向量求二面角时法向量方向的判断 （法一） 摘要：在求二面角时如何判断法向量的方向 关键词：法向量二面角方向判断 借助法向量求二面角的平面角时，二面角的平面角的大小与法向量的所成角（）相等或互补，当二面角两个法向量都指向二面角的内部或外部时，（图1）；当两个法向量一个指向二面角的内部而另一个指 向二面角的外部时，（图2）。 求二面角的方法——“一里一外” 为了计算方便，我们求得的法向量夹角最好大小等于二面角的大小。所以，要求一个法向量方向朝着二面角的内部，一个方向量方向朝着二面角的外部，简记为“一里一外”。
那么有没有判断法向量方向的方法呢？ 其实我们可以借助空间坐标系的坐标原点来判断法向量 的方向，具体方法如下： 面A B C与空间直角坐标系的坐标轴分别交于A,B,C三点,不 妨设A(,0,0),B(0,,0),C(0,0,),坐标原点O在面A B C上的射影 为D点。 容易证明：是锐角三角形，而且D点为的垂 心1,也就可以知道D点在的内部。 设D（x,y,z）,也即向量=（x,y,z），则知x，y，z分别与，，同号，此时取平面A B C的一个法向量=（），若与向量的对应的一个坐标同号，则另外两个也必然对应同号，也即与，，对应同号，这样，只要与对应的，，有一个同号，则可知与同向，从而可进一步判断出的方向为指向平面A B C异于原点O的一侧，否则就指向原点所在的那一侧。 这样一来我们可以很容易地判断法向量的方向。 特别的，若二面角的一个半平面过坐标原点，则可以通过平移半平面，让坐标原点置于二面角的内部或外部，再用上面的方法判断。 例.如右图在四棱锥P—A B C D中，底面A B C D是边长为2的 正方形，侧棱P D⊥底面A B C D，P D=D C，E，F分别是P C,P D的中点， （1）求二面角F—B E—C的大小； （2）求二面角D—B E—C的大小。 解析：（1）以D点为原点，D A所在直线为x轴，D C所在 直线为y轴，D P所在直线为z轴，建立如图所示的空间 直角坐标系D-x y z， 依题意有P（0，0，2），F（0，0，1），E（0，1，1）， 1容易证明三侧棱两两垂直的三棱锥的性质：顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，底面为锐角三角形，锐角三角形的垂心在三角形的内部。
数学33《空间直线的方向向量和平面的法向量》教案
3.3空间直线的方向向量和平面的法向量 一、教学内容分析 这一节课重点介绍了空间直线的方向向量的概念和求法.例1是长方体在已经建立了空间直角坐标系得基础上求相关直线的方向向量，例2要求读者根据自己的理解，建立坐标系后求三棱锥中相关直线的方向向量；这两个例题都是简单几何体中空间直线的方向向量的基本运算，必须掌握好空间直线的方向向量求法，为后面用空间直线的方向向量求解有关度量问题打下好的基础. 二、教学目标设计 1、理解空间直线的方向向量概念； 2、掌握空间直线的方向向量的求法. 三、教学重点及难点 1、理解空间直线的方向向量概念; 2、掌握空间直线的方向向量的求法. 四、教学用具准备 运用多媒体展示相关例题及图形 五、教学流程设计 六、教学过程设计
（一）问题引入 1、 复习：平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？ 2、 思考：如何表示空间直线的方向？ （二）学习新课 1、空间直线的方向向量的概念 （1）怎么确定空间直线的方向向量？ 对于空间任意一条直线l ,我们把与直线l 平行的非零向量d 叫做直线l 的一个方向向量. （2）空间直线的方向向量是唯一的吗？ （3）一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？ 2、尝试解决 例1 如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，F 为棱BC 上的中点， （1）向量BC OC AA ,,'可以分别表示哪条空间直线的方向向量？ （2）写出空间直线F A '的一个方向向量，并说明这个方向向量是否可以表示正方体的某条棱所在直线的方向. 解：（略） （三）巩固新知
例2（教材P48 例题1）已知长方体''''D C B A ABCD -的棱长3',4,2===AA AD AB ，以长方体的顶点'D 为坐标原点，过'D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：')4(;')3(;')2(;')1(DB C A C B AA . 解：（略） [说明]对于学生求出的同一直线的不同方向向量进行点评. . 例3（教材P49 例题2）已知所有棱长为a 的正三棱锥BCD A -，试建立空间直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量. 解：（略）
用法向量求面角时法向量方向的判断
用法向量求二面角时法向量方向的判断 贺年成 摘要：在求二面角时如何判断法向量的方向 关键词：法向量 二面角 方向 判断 借助法向量求二面角的平面角时，二面角的平面角θ的大小与法向量的所成角α（=α12<,>n n ）相等或互补，当二面角两个法向量都指向二面角的内部或外部时，θπα=-（图1）；当两个法向量一个指向二面角的内部而另一个指向二面角的外部时，θα=（图2） 。 对于法向量的方向的判断一直是个难点，其实我们可以借助空间坐标系的坐标原点就可以判断法向量的方向，具体方法如下： 面ABC 与空间直角坐标系的坐标轴分别交于A,B,C 三点,不妨设A(a ,0,0), B(0, b ,0), C(0,0, c ),坐标原点O 在面ABC 上的射影为D 点,容易证明：ABC ?是锐角三角形，而且D 点为ABC ?的垂心1,也就可以知道D 点在ABC ?的内部，设D （x,y,z ）,也即向量 OD =（x,y,z ），则知x ，y ，z 分别与a ，b ，c 同号，此时取平 面ABC 的一个法向量n =（111,,x y z ），若n 与向量OD 的对应的一个坐标同号， 1 容易证明三侧棱两两垂直的三棱锥的性质：顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，底面为锐角三角形，锐角三角形的垂心在三角形的内部。
则另外两个也必然对应同号，也即111,,x y z 与a ，b ， c 对应同号，这样，只要111,,x y z 与对应的a ，b ，c 有一个同号，则可知n 与OD 同向，从而可进一步判断出n 的方向为指向平面ABC 异于原点O 的一侧，否则就指向原点所在的那一侧，这样一来我们可以很容易地判断法向量到底指向二面角的内部还是外部。若二面角的一个半平面过坐标原点，则可以通过平移半平面，让坐标原点置于二面角的内部或外部，再用上面的方法判断。 例. 如右图在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E ，F 分别是PC,PD 的中点，（1）求二面角F —BE —C 的大小，（2）求二面角D —BE —C 的大小。 解析：（1）以D 点为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，依题意有P （0，0，2），F （0，0，1），E （0，1，1），B （2，2，0），C （0，2，0），BE =（-2，-1，1），FE =（0，1，0），EC =（0，1，-1），DE =（0，1，1），设1n =（111,,x y z ）, 2n =（222,,x y z ）, 3n =（333,,x y z ）分别为平面BEF ，平面BEC ，平面BDE 的法向量， 110 BE n FE n ?=??=???1111200x y z y --+=?? =? 可取平面BEF 的一个法向量 1n =（-1，0，-2） ， 220 BE n EC n ?=?? =???22222200x y z y z --+=??-=? 可取平面BEC 的一个法向量2n =（0，1，1），坐标原点D 在二面角的内部，平面BEF 与Z 轴交于F 点，F 点的竖坐标与0n 的竖坐标符号相异，可知1n 的方向指向坐标原点D 所在的一侧，也即1n 指向二面角的内部，同理，平面BEC 与Y 轴交于C 点，C 点的纵坐标与2n 的纵坐标符号相同，可知2n 的方向指向异于坐标原 A
判断法向量的方向
构造三角形重心巧定两平面法向量的方向 安徽省五河县刘集中学 刘瑞美（邮编：233333） 利用平面的法向量可以方便的求出二面角平面角的大小，由于两法向量的夹角未必就是二面角的平面角的大小，许多杂志上都介绍了直接从图形上观察两法向量的方向，来确定两法向量的夹角是否为两平面的夹角。这种方法虽然简单，但由于空间任意两个向量都是共面的，要从图形上直接判定他们的方向，需要很强的空间想象能力，好多学生是达不到这种境界的。在最后的复习中，我利用下面的两个定理引导学生用向量法求二面角的大小时，而学生不知道如何找二面角内的点P ，结果给解题带来麻烦。为了帮助学生更好更快的解题，我们在二面角内总可以找到一个三角形，将此三角形的重心作为二面角内的点P ，可以不加思索的让学生很方便的正确求解，偶有所得，现结合近年的年高考题，写出来与大家同享。 为了解决问题的方便，现给出如下的两个定理： 定理1：向量是平面α的一个法向量，点O 在平面α内，点P 在平面α外。若0＞?，则向量m 与向量OP 指向平面α的同侧（如图1）；若0OP m ?，则向量m 与向量OP 指向平面α的异侧（如图2）。 证明：当0＞?时，∵θ =? ，∴θcos ＞0，∴2 0θ＜ ≤，∴向量与向量OP 指向平面α的同侧。同理可证当0OP m ?时，θcos ＜0，∴πθπ ≤＜2， ∴向量与向量指向平面α的异侧。 定理2：点P 是二面角βα--l 内一点，点O 是棱l 上一点，向量n m ,分别是平面βα,的一个法向量，二面角βα--l 大小为θ。若?与?同号，则><-=n m ,πθ；若 ?与?异号，则>=<,θ（如图3）
如何控制法向量的方向来求面角
控制法向量的方向求解二面角 向量法求证空间位置关系及其求解距离和角为大 家所知，但很多人在求解二面角时，法向量求出来后再利用夹角公式求出余弦值，但有时不能确定究竟是钝角还是锐角二面角，事实上，我们在设置法向量时是可以控制法向量的夹角就是二面角的大小的。 首先我们认识一下法向量夹角和二面角的关系： 如上图所示，当我们把法向量控制成“一进一出”是不难得出12,n n 的夹角就是二面角的大小，反之就不是。 其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”？ 我们知道在空间直角坐标系中，任何平面都会有 n n
法向量，仅且存在两个方向相反的方向，所以在空间直角坐标系中，你总是可以控制任何半平面的法向量的方向在二面角中的“进”与“出”的。 n 如图所示：平面ABC的法向量Array Array (1)若以“向上”可设n＝（x,y,1） (2)若以“向前”可设n＝（1,y,z） (3 )若以“向右”可设n＝（x,1,z） 若将1变成－1，那么将会变成与n方向相反的 法向量。 一般来说，总有一个明显的方向，因此我们
了解了这点，那么控制法向量的“进与出”可以做到随心所欲。 例如2005年高考题： 已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ， ⊥=∠PA DAB ,90 底面 ABCD ，且PA=AD=DC=2 1AB=1，M 是PB 的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值。 （Ⅰ）（Ⅱ）此处略。（Ⅲ）其他方法从略，下面就法向量法求解说明。 解（Ⅲ）：A(0,0,0) ,B(0,2,0) ,C(1,1,0) ,M(0,1,1 2 ) , 1(0,1,),2AM =,(1,1,0),AC =1 (0,1,)2 MB =-(1,1,0)CB =- 设1n ＝(,,1)x y -,2n =(,,1)x y ,分别为平面AMC,平面BMC 的法向量， n
经典习题平面法向量求法及应用
平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或 (1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于 ,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3 个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于 θs in ||||→ → b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采 取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→ →?b a 的方向,→ → → → ?-=?a b b a 。:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ??? ? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 二、 平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设→ n 是平面α的法向 量， )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量
直线的方向向量
正确理解直线的方向向量 笔者在实际教学的过程中发现，学生在方向向量概念的理解上存在疑问，方向向量是在直线方程这一章提出的，其主要作用是刻画已知直线的斜率，通过翻阅近三年的高考试卷，发现高考题对方向向量也有充分的考查，那么如何充分理解方向向量来解决相关的问题，我在这谈一些粗浅的认识. 书本上是这样引入方向向量的. 直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量.理解这句话的意思需要弄清这样几个概念：①什么是直线上的向量？ ②P1，P2在直线上有没有顺序？ ③什么是平行向量？ 首先，直线上的向量指的是向量的起点与终点都在直线上. 其次，直线上的向量的起点与终点是没有顺序之分的，如图所示，有两种情况： 再次，平行向量指的是与已知向量方向相同或相反的向量，可以在直线上，也可以在直线外.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),根据向量的坐标运算，
对图一：=（x2- x1，y2- y1）=(x2-x1)(1,)= (x2-x1)(1,k) 1 对图二：=（x1- x2，y1- y2）=(x1-x2)(1,)= (x1-x2)(1,k) 2 从上面两个式子发现，如果给出了直线上的两个点，我们很快便可以表示出这条直线的方向向量，同时，也能得出直线的斜率，如果给出了直线的方向向量，我们可以根据向量的坐标运算,表示成1 2的形式，直接找到直线的斜率. 下面我们看这样一个例子： 例1 求过点（1，2），方向向量是（3，5）的直线方程 分析：由题可得，于是得到直线的斜率k=,根据直线方程的点斜式，问题得解. 解：设所求的直线方程是：y=kx+b， 由题可知，可知该直线的斜率是k=， 又因为该直线方程过点（1，2）， 故所求直线的方程是：，即5x-3y+1=0. 通过以上题目的分析，我们发现，直线的方向向量在教学大纲中也是着重要求的内容，同学们在学习的时候必须加以透彻理解，在平常做练习的时候加以体会和运用.
人教版数学选修21第三章直线的方向向量与直线的向量方程讲义
案例（二）——精析精练 课堂合作探究 重点难点突破 知识点一 空间直线的向量参数方程 给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量ta AP =①，如 下左图，这时点P 的位置被完全确定，向量方程①通常称作直线l 以t 为参数的参数方程，向量a 称为该直线的方向向量。 如上右图，ta OA AP OA OP +=+=②，若在直线l 上取a AB =，则②式可化为() ()OB t OA t OA OB t OA AB t OA OP +-=-+=+=1③，①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程。②和③的推导依据的是向量加法的三角形法则。 知识点二 用向量方法证明平行关系。 （1）设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则由向量共线的条件，得21//l l （或1l 与2l 重合）21//v v ?。 （2）已知两个非零向量，1v ，2v 平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得α//l 或??αl 存在两个实数 y x ,，使21yv xv v +=。
（3）如果C B A ,,三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是：存在一对实数y x ,，使向量表达式y x +=成立。 （4）已知两个不共线的向量21,v v 与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得βα//或α与β重合β//1v ?且β//2v 。 知识点三 用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角 （1）两直线垂直的条件 如果我们知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直，如下左图，设直线1l 、2l 的方向向量分别为1v 、2v ，则有2121v v l l ⊥?⊥。 由上述条件，证明空间两条直线21l l ⊥可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明021=?v v 。 （2）两条直线所成的角 设空间两条直线所成的角为θ，当两直线平行时?=0θ，当两直线垂直时?=90θ，既 不平行也不垂直的两直线所成的角()??∈90,0θ，所以空间两直线所成 的角[]??∈90,0θ。 如上右图所示，设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则有 21cos cos v v ?=θ。