Fundamentals of Power Electronics Kg法设计变压器
第14章电感设计
本章节将应用 方法来探讨诸如电感滤波器的磁性元件的设计。这种方式，预先定义最大磁通量密度 ，设计该元素来实现一个给定的铜损。
电感滤波器的基本设计将在14.1和14.1.5章节中讨论。在电感滤波器的应用中，得到所需的电感、防止饱和、并实现可接受的低直流绕组阻抗和铜损是非常必要的。当直流铜损和绕组阻抗作为主要约束条件[1,2]时，几何常数 用来衡量磁芯的有效磁尺寸。电感滤波器的设计，使用的磁芯需要选择足够大的 ，然后计算所需的间隙、圈数和线径。这样就给出了一个简单的逐步设计滤波器电感的过程。普通铁芯形状的 值的列表见附件D。
14.3章节涵盖了 方法的扩展部分-多绕组原理。在多绕组的应用中，优化绕组线径是非常重要的，这样可以降低整体的铜损。同时，写出一个峰值磁通量密度与实际波形或与期望感值之间的表达式也是必要的。这样，又给出了一个逐步设计变压器的方法。
本章节 方法的目的在于一个已知铜损的磁性元件的设计。在 方法中，磁损并没有特别指出，且 是已知的固定值。在下个章节中，通量将作为一个优化设计变量来进行讨论。这将要求降低整个损耗(铜损+磁损)。
14.1 滤波器电感设计限制条件
图.14.1(a)表述了使用在CCM 降压变换器中的滤波电感。
在此项应用中，通常选用那些电感电流的峰峰值?i是满载电感
电流DC分量I的一小部分，如图14.1(b)所示。如图14.2中所
示，使用足够大的气隙来防止由峰值电流I+?i产生的磁饱和。
我们来考虑图14.1和14.2中滤波电感的设计。假设，磁损
或近似损耗可以忽略，因此电感损耗依赖于低频铜损耗。
所以电感模型的等效电路如图14.3所示，其中R代表绕组
的直流阻抗。希望可以得到一个给定的电感L和给定的绕组阻
抗R。在最严酷的条件下，施加给定的峰值电流I ，此时，电
感不应该出现饱和。
I
R(14.1)
电感绕组阻抗对转换效率和输出电压的影响见第3章节。
假设，电感拓扑等价于图14.4(a)。等效磁回路如图14.4(b)所示。磁芯磁阻R 和气隙磁阻R 为：
(14.2)
其中， 是磁芯磁回路长度， 是磁芯横截面积， 是磁芯磁导率， 是气隙长度。假设，磁芯和气隙有相同的横截面积。由图14.4(b)得
nI ? R R 14.3 通常， ? ，所以，等式(14.3)可以近似于
nI ?R 14.4 电气间隙决定了电感的特性。以下可以定义四个设计必要条件。
14.4.1 最大通量密度
给出一个峰值绕组电流 ，期望它可以操作在最大磁通量密度 下，所选择的 的值应小于最严酷条件下磁芯的饱和磁通量密度。将? BA 带入等式(14.4)，得出，
nI BA R 14.5
以上令I ，且B ，我们得到，
nI B A B
(14.6)
这是第一个设计必要条件。匝比n和气隙长度 是未知的。
14.1.2 电感
给定的电感值必须可以实现。电感等于
L
(14.7)
这是第一个设计必要条件。匝比 和气隙长度 是未知的。
14.1.3 绕组面积
如图14.5所示，绕组必须适合穿过窗口，也就是磁芯中间的孔。导体的横截面积或者裸区是 ，假设，绕组有n圈，然后铜导体区域在窗口中就是
n (14.8) 如果磁芯面积 ，则绕组导体可用面积可以表达为
K W
(14.9)
其中， 是窗口利用因子，或填充系数。因此，第三个必要条件可以表达为
K W nA
(14.10)
填充因子 是填充满铜线的磁芯窗口面积的一个小数， 必须在1和0之间。如[1]所讨论的，有几种机制可以导致 降低。圆导线不能包裹的很完美，依赖于绕线技术，这将降低了0.7到0.55。绕线有绝缘层，绕线导体面积比上整个绕线面积大约从0.95变化到0.65，这依据导线的线径和绝缘类型。骨架用到窗口面积的一部分。绕线或者/且绕线层之间可能要求绝缘。对于低电压电感，含有骨架的磁芯，其 的典型值为0.5；对于离线式变压器来说为0.25到0.3；对于及KV 的高压变压器来说为0.05-0.2；对于低电压滤波变压器或电感来说为0.65。
14.1.4绕组阻抗 绕组阻抗为
R ρ
(14.11)
其中，ρ是导体材质的电阻系数， 是绕组长度， 是绕线横截面积。室温条件下，铜的电阻系数为1.724*10 ?m 。由n 匝绕组线长以表达为
l n MLT
(14.12)
其中，MLT 是绕组每匝平均长度。MLT 是磁芯的几何函数。将等式(14.12)带入(14.11)可以得出，
R ρn MLT
(14.13)
这就是第四个必要条件。
14.1.5 磁芯几何常数
四个必要条件中，等式(14.6)，(14.7)，(14.10)和(14.13)的必要参数 ， 和MLT，是磁芯的几何函数； ， ， ，L，K ，R是给定规格或其他已知的参数；l ，n和 是未知的。消去未知的l ，n和 ，可以得到如下等式：
A W MLT
ρL I
B
RK
(14.14)
等式右边的参数是指定或者是已知的。等式左边的参数是磁芯的几何函数。选择一个几何满足等式(14.14)的磁芯是必要的。参数，
K A W
MLT
(14.15)
称为磁芯几何常数。它是一个优良指数，在铜损和最大通量密度一定的应用中，它描述了
磁芯的有效电气尺寸。附件D包含的表格中列举了几种铁芯标准类别的K 值。K 单位是长
度尺寸的五次方。
等式(14.14)表明规格怎样影响磁芯尺寸的。增加感值或者增加峰值电流需要增加磁芯尺寸。增加峰值通量密度要求减小磁芯尺寸，因此使用有着高饱和通量密度的磁芯材质是有优势的。允许较大的绕组阻抗，则较大的铜损将导致较小的磁芯。当然，铜损的增加和较小的磁芯将导致较高的温升，可能这样是无法接受的。填充系数也会影响磁芯尺寸。
等式(14.15)表明了磁芯的几何尺寸是怎样影响磁芯的性能的。电感为满足增加电气要求的能力，可以通过增加磁芯面积 或者窗口面积 两者中的一个来实现。增加窗口面积表明所使用额铜线材质将会增加。我们可以使用铁替换铜，反之亦然，我们可以改变磁芯的几何尺寸来保证K 等式(14.15)的成立。
14.2 逐步设计过程
第14.1章节中所阐述的设计过程总结如下。该滤波电感设计过程应该认为是首过方法。很多问题包括详细绝缘要求、电感涡流损耗、温升、圈数凑整等都忽视了。
如下所描述的参数使用的单位为：
导线电阻率ρΩ?cm
绕组峰值电流 (A)
电感 L
(H)
绕组阻抗 R (Ω)
绕组填充因子
最大操作通量密度 (T) 磁芯尺寸，使用厘米表示：
磁芯横截面积 (cm )
磁芯窗口面积 (cm )
每圈平均长度MLT(cm ) 使用厘米而不是米，这就要求在等式中加入适当的系数。
1)确定磁芯尺寸
I
K
10 cm (14.16)
选择一个足够大的磁芯来满足这个不等式。注意， ，MLT， 是该磁芯的参数。电阻率铜线的 是1.724?10 Ω?cm。
2)确定气隙长度
I
10 m (14.17)
表示为cm ? 4π?10 /m。气隙长度以m给出。等式(14.17)给出的是近似值，忽略了通量边缘及其他非理想现象。
磁芯厂商出售有隙磁芯。使用相当的参数 而不是来指定气隙长度。 等于电感(mH)，以1000圈绕组来实现。一旦 确定，磁芯厂商的责任就是获得恰当的间隙长度。可以修改等式(14.17)得到所要求的 ，如下所示：
A 10 A
mH
turns (14.18)
用厘米(cm)表示，L用亨利(H)表示， 以特斯拉(T)表示。
3)确定圈数
n
LI
A
10 (14.19)
4)评估线径
cm (14.20)
所选择的导线，气裸铜区域小于或等于这个值。美国的一个导线标准如附件D所示。
绕组阻可以计算为：
R n MTL
A
Ω (14.21)
14.3 使用 方式设计多绕组磁性元件
方法可扩展为多绕组磁芯绕组的情况，比如13.5到13.55章节的电感和耦合电感。期望的匝比以及期望的绕组电压和电流波形是给定。在耦合电感或反激电感中，励磁电感也是指定的。希望可以选择磁芯尺寸、每个绕组的圈数和线径。同时，也假设磁通量密度也是已知的。
通过 方法实现期望的铜损。在多绕组条件下，每个绕组都会贡献一些铜损，在多绕组之间分配有效的窗口面积是非常有必要的。在下面的14.3.1章节中，可以发现，如果根据绕组的视在功率来分配窗口面积，可以将总铜损减到最小。这几个结论会在如下章节中得到使用，并对应用于耦合电感设计的 方法做了改进。
14.3.1窗口面积的分配
在多绕组中设计一个多绕组磁芯元件的首要问题是分配窗口面积 。希望设计一个有K 个绕组的元件，其匝比关系分别为 : :…: .这些绕组必须传导有效电流分别为 : :…: 。
应该注意的是，这些绕组必须有效的平行，这样可以使绕组电压保持理想的匝比关系。
t
t
?
t
(14.22)
然而绕组有效电流是由负载决定的，且，一般与匝比无关。器件如图14.6所示。相关参数总结如图14.7所示。必须为每个绕组在整个窗口面积中分配一部分，如图14.7所示。令小数 为绕组j所分配的窗口面积。
0 1
? 1
(14.23)
绕组j的低频铜损 依赖于此绕组的直流阻抗，如下
= (14.24) 绕组j的直流阻抗为，
=ρ
(14.25)
其中，ρ是导线电阻率， 是绕组j所使用导线的长度， 是绕组j所使用导线的截面积。这些等式可以表示为，
MLT (14.26)
(14.27)
MLT，表示绕组每圈平均长度， 是指绕组填充系数。将这些表达式带入(14.25)，得出，
ρ(14.28) 因此可以得出绕组j的铜损
(14.29)
K个绕组的总铜损为，
, , , ? ,
(14.30)
希望选择一系列 ，可以使总铜损降至最小。考虑一下，当我们在范围(0,1)内改变一个 ，即 时，看看会发生什么。
当 0时，然后我们分配面积为0的区域给绕组1。结果，绕组1的阻抗趋于无穷大。当然绕组一的铜损也接近于无穷大。另一方面，其他绕组给予最大的面积，因此，其他绕组的铜损可以降低。不管怎样，总铜损趋于无穷大。
当 1时，然后我们分配面积为1的区域给绕组1，其他的绕组为0。因此绕组1的阻抗为1，同时其低频铜损最小，但是其余绕组的铜损趋于无穷大。
如图14.8所示，必须在这两个极限之间对 进行优化，其中总铜损降至最小。我们使用拉格朗日乘积方法来计算 , ,…, 的优化值。希望根据等式(14.23)的限制，将等式(14.30)降至最低。因此，我们定义函数，
f( , ,…, , )= , ( , ,…, )+ , ,…, (14.31)
其中，
, ,…, 1
(14.32) 是限制其等于零。 是拉格朗日因子。优化关键在于求解如下系统等式，
, ,…, ,
, ,…, ,
?
, ,…, ,
, ,…, ,
(14.33)
结果为，
, (14.34)
(14.35)
这是α的最佳选择，使得 , 结果值最小。
根据等式(14.22),绕组电压与匝比成比例的。因此，我们可以通过对等式(14.35) 乘以或除以参数 / ，将α 表达成相同的格式，
∑
(14.36)
它与所使用的电压是有效值还是峰值无关。等式(14.36)是所期望的结果。这表明窗口面
积的分配必须与它们的视在功率成比例关系。等式(14.36)的分子式窗口m 的视在功率，是有效电流和有效电压的乘积。分母是所有绕组视在功率的总和。
例如，如图14.9所示，脉宽调制全桥变压器次级的中心抽头，这个可以认为三个绕组的变压器，是单一初级绕组，有 圈，两个次级绕组，每个 圈。绕组电流波形为 (t), (t),和 (t)，如图14.10所示，它们的有效值为，
I 1 t dt
√
(14.37)
I I 1 t dt 1
√1
(14.38)
将这两个表达式带入等式(14.35)得出，
α
1 1 1
(14.39)
α α
1
1 1
(14.40) 如果设计优化的操作点D=0.75，然后可以得到
α 0.396
α 0.302
α 0.302
(14.41)
所以近似40%的窗口面积应该分配给初级绕组，30%的面积分配给次级的每半个中心抽头。在此优化设计点总铜损根据等式(14.34)：
, ρ MLT
n
I
MLT n I
W K
1 2D
2 1
(14.42)
14.3.2耦合电感设计约束条件
现在我们来考虑一下如何设计一个k绕组耦合电感，如13.5.4章节所讨论的，以及图14.11所描述的。希望设计的磁芯元件的感值指定为L ，参考绕组1，同时希望其他绕组匝数的选择依据所期望的匝比关系。当磁芯元件电流 t 达到最大值，耦合电感应该操作在给定的磁通量密度 。当有效电流 , ,…, 施加到相应的绕组时，由等式(14.34)得到的总铜损值应该在期望的范围内。因此，设计过程致力于选择磁芯尺寸和初级匝数，这样可以实现所期望的感值、磁通量密度和总铜损。然后其他参数，比如气隙长度，次级圈数和线径就可以选择了。公式推导依据单绕组情况系的推导，同时结合14.3.1章节的窗口优化方式。
磁芯元件电流 t 可以根据图14.11图示的绕组电流 t , t ,… t (或者使用安培法则)，如下所示，
t t
t ?
t (14.43)
通过求解图14.11(b)的此路模式，可以得出，
n (14.44) 此等式等式类似于等式(14.4),同时假设气隙磁阻 远大于磁芯磁阻 。一般来说，磁通
总量等于 。漏感忽略。为避免磁饱和，瞬态磁通量密度必须小于磁芯材质的饱和磁通量密度 。定义I , 为励磁电流的最大值。根据等式(14.44)，这将可以导出最大磁通量密度
n ,
(14.45)
因为在实际应用电路中， , 是已知的，所以我们应该使用等式(14.45)来选择圈数n 和气隙长度，同时应满足做大磁通量密度 小于磁饱和密度 。等式(14.45)类似于等式(14.6)，但是是由多个绕组到的。
励磁电感 ，根据绕组1，等于，
L n
n
μ
(14.46)
此等式类似于等式(14.7).
如14.3.1章节所述，当窗口面积根据等式(14.35)及等式(14.36)对多绕组进行分配时总铜损降至最小。然后总铜损可以由等式(14.34)得出。等式(14.34)可以表达为如下形式，
MLT
(14.47)
其中， 是绕组有效电流的总和(参照绕组1)。
(14.48)
我们可将位置参数 , 从等式(14.45)、(14.46)中消去。等式(14.47)可以变为，
MLT
,
(14.49)
我们可以将磁芯物理尺寸放在等式左边，规格参数放在等式右边来重新整理这个等式，
,
(14.50)
等式左边的可以认为等同于等式(14.15)中定义的 。因此，设计一个耦合电感必须满足如下操作要求：给定最大的磁通量密度，给定初级励磁电感值 ，同时给定总铜损 ，我们
所选择的磁芯必须满足，
,
(14.51)
一旦磁芯选定，就可以根据符合等式(14.45)和(14.46)来选择绕组1的圈数和气隙长度。
绕组2到k 根据所期望的匝比进行选择。窗口面积根据等式(14.35)来分配，导线规格根据等式(14.27)来选择。
以上流程应用于耦合电感的设计。我们注意到此结论并没有计算磁芯或近似的损耗，尽管如此，该结论仍可以应用于反激及单端初级电感转换器的变压器。它仍然可以扩展到诸如转换变压器的其他器件的设计(这将作为留下的家庭作业)。
14.3.3 设计流程
定义如下参数，使用单位分别为： 导线有效阻抗
ρ (Ω?cm ) 绕组总有效电流，参照绕组1
(A) 励磁电流，参照绕组1 ,
(A)
期望匝比
?, ?,etc 励磁电感，参照绕组1 (H) 允许总铜损 (W)
绕组填充系数
最大工作磁通密度 (T)
磁芯尺寸使用cm表示
磁芯截面积 (cm )
磁芯窗口面积 (cm )
每圈平均长度 MLT
(cm) 由于使用的单位为厘米而不是米，这就要求在等式中加入适当的系数。
1)确定磁芯尺寸
I I ,
K
10 cm (14.52)
选择一个足够大的磁芯来满足这个不等式。注意， ，MLT， 是该磁芯的参数。电阻率铜线的 在室温条件下为1.724?10 Ω?cm，在100 条件下为2.3?10 Ω?cm。
2)确定气隙长度
I ,
10 m (14.53)
表示为cm ?， 单位为特斯拉(T)， 单位为cm ， 单位为m。空气磁阻 4π?10 /m。等式(14.17)给出的是近似值，忽略了通量边缘及其他非理想现象。
3)确定绕组1的圈数
n L I ,
A
10 (14.54)
B 单位为特斯拉(T)，A 单位为cm
3)确定次级圈数
使用期望的匝比关系
?
(14.55)
4)评估分配到每个绕组的窗口面积
α
α
?
α
(14.56)
5)评估线径
?
(14.57)
所选择导线的裸铜面积要小于等于这个值。美国的线径标准见附件D。
14.4实例
14.4.1 两路输出正激变换器的耦合电感
作为第一个例子，我们考虑一下图14.12中所描述的两路输出正激变换器的耦合电感。该元件可看做绕在同一个磁芯上的两个滤波电感。所选择的匝比与输出电压的比值相同。激磁电感起到对每路输出滤除开关谐波的作用，同时，激磁电流等于绕组电流反射的总电流。
在正常满载操作条件下，转换器工作在连续导通模式，占空比为D=0.35。开关频率为200KHz。在此工作条件下，期望激磁电流的纹波的最大幅值等于其直流分量的20%。
激磁电流的直流分量I 为
I I
4A 12
2A
=4.86A
(14.58)
激磁电流纹波? 可以表示为，
?
2
(14.59)
既然我们希望? 等于20%的I ，那么我们就用该选择L 为，
L
28V 1 0.35 5μs
47μH
(14.60)
最大幅值电流，参照绕组1，可以得出
I , I ?i
(14.61)
既然绕组文波电流相对直流分量较小，那么绕组电流的文波电流近似于直流分量：I 4A，I 2A.因此绕组电流有效值的总和，参照绕组1，等于，
I I
I 4.86A(14.62)
此项设计，磁芯工作在最大磁通量密度0.25T时，允许0.75W的铜损。假设填充系数为0.4。由等式14.52可得所要求的
1.724?10 Ω?cm 47μH 4.86A 5.83A
10
16?10
(14.62)
然后选择铁心PQ 20/16， 22.4?10 cm 。附件D中此铁心的集合参数为： 0.62 cm ， 0.256 cm ，MLT=4.4 cm。
通过等式(14.53)可以得到气隙长度如下，
I ,
10 m
4 ?10 / 47 5.83
10
0.52 mm
(14.64)
实际上，考虑到磁通边缘效应和其他非理想状态，稍长的气隙是必要的。通过等式(14.54)可以得到绕组1的圈数，
n L I ,
A
10
47μH 5.83A
0.25T 0.62cm
10 17.6 (14.65)
根据期望的匝比，绕组2圈数为，
12
17.6
7.54turns
(14.66)
圈数取整后为 17turns， 7turns(18:8可以作为另外一种选择)。窗口面积 依据等式(14.56)分配，
α
17 4A
17 4.86A
0.8235
α
7 2A
17 4.86A
0.1695
(14.67)
因此线径可以选择为，
0.8235 0.4 0.256
17
4.96?10
Use AWG #21
0.1695 0.4 0.256
7
2.48?10
Use AWG #21
(14.68)
14.4.2 CCM 反激变压器
作为第二个例子，让我们设计图14.13中描述的反激变压器。该变换器输入电压为200V，满载时输出为20V/5A。开关频率为150kHz。在这些条件下，期望变换器工作在连续导通模式，激磁电流纹波为其直流分量的20%。占空比为D=0.4，咋比为
? 0.15。可以接受1.5W的铜损，但是并不包括类似的损耗。虑及初次级绕组之间的隔离空间，假设填充系数为 =0.3。最大是磁通量密度为 0.25T，改值小于铁心在最坏条件下的磁饱和密度 。
通过使用电容放电平衡来求解转换器，激磁电流的直流分量为，
1
1.25 (14.69)
因此激磁文波电流为，
? 20% 0.25 (14.70) 同时，最大激磁电流为
, ? 1.5 (14.71) 为实现这个纹波，激磁电感应该为，
2?
1.07mH(14.72)
初级电感电流根据附件A中的等式(A.6)
√ 1 1
?
0.796 (14.73)
次级绕组电流有效值可以通过相同方式得到，
√ 1
1
?
6.50 (14.74)
请注意， 并不是简单的等于匝比乘以 。总的绕组电流有效值等于
1.77A(14.75)