2009数学建模试题与答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009学年第二学期考试科目：数学模型
考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟
学号姓名年级专业
1、（13分）设已知某正方形板材边长20cm，现将之加工出半径为1cm的
圆盘，请对下面给出的两种排列方法，写出能加工出的尽可能多的圆盘数。
（1）排列1：圆盘中心按正方形排列（如右图）的尽可能多
的圆盘数。（4分）
解：圆盘总数：
2020
100
22
?=
排列2：圆盘中心按六角形排列（如右图）的尽可能多的圆盘数。
（4分）
解：行数：111
+=
圆盘总数：
2011
11105
22
-
?+=
（2）设计出不同于(1)(2)的方案，且加工出的圆盘更多。（5
分）
解：前三行正方形，后八行六角形，圆盘总数为106
（此题考虑的是当两种方案当两种方案被提出的时候，但仍需改进的时候，应该考虑这两者的综合是否可行，如果可行，则给出方案。）
2、（10分）在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面
两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：
（1）假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。5分
（2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。5分
解：设体重w（千克）与举重成绩y （千克）
（1）由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以y∝I∝S
设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ∝ h2
再体重正比于身高的三次方，则w ∝ h3
（2）a, 则一个最粗略的模型为
更好的模型：
3、 （10分）在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象
了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二
者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）请写出商品价恪c 与商品重量w 的关系，其中价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素。（5分） （2）给出单位重量价格
c 与w 的关系，并解释。（5分） 解：（1）生产成本主要与重量w 成正比，包装成本主要与表面积s 成正比，其他成本也包含w 和s 成正比的部分，上述三种都含有与w 和s 均无关的成分。又因为形状一定时有23
s w ∝，故商品的价格可表示为23
C w w αβγ=++，,,αβγ为大于0的常数。
（2）单位重量价格1
1
3C c w w w
αβγ--==++。显然c 是w 的减函数，说明大包装比小包装
4、 （10分）药的剂量和用药间隔时间应该如何调节，才能保证在血液中维持安全有效的药物浓度？设H 为药物的最高安全量级，L 为最低有效量
级，x 0为每次所开药物的剂量，T 为用药间隔时间。现给定H ＝2.5mg/ml ，L ＝0.5mg/ml 。并假定血液中药物浓度的减少速率与浓度成正比（设比例系数k ＝0.01）， （1）写出第n 次用药期内的药物浓度变化的动力学模型；5分 解：
设C n (t )表示第n 次用药期内时刻t 的药物浓度，其变化的动力学模型为：
其中：x 0 = H -L = 2 mg/ml ，
（2）请在安全有效范围内对用剂量的浓度和用药间隔制定一个用药计划。5分 解：11 2.5
ln ln 160.94380.010.5
H T k L === 5、 （13分）设在一个一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着
茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存，假
设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从Logistic 变化规律，植物独自生存时其生物量的增长服从指数增长规律。
（1） 请建立三者关系的模型；5分
解：将植物、哺乳动物和爬行动物的数量分别记为x 1(t )、x 2(t )和x 3(t )，则三者关系模型为：
1111222
22
2132
3333323()()()dx
x r x dt dx x x r x x dt K dx x
x r x dt
K λλμλ?=-???=--+-???=--+?
? 01
()
()(0)n n n n dC t kC t dt C x R -?=-?
??=+?102()kT
n n and R x R e ---=+10kT
R x e -=1
02()kT
n n and R
x R e ---=+()y k w a γ
=-
（2） 求平衡点；3分 A （0，0，0）
或 B （x 1，x 2，x 3），其中 121
333322123
22
()1
()r x x k r x x x r x K λ
λμλ?=???
=-+???=++??
（3） 分析各平衡点的稳定性。5分
（送分）
6、 （12分）某研究单位现有3个科研课题，限于人力物力，只能承担其中
一个课题，其中，建立了如下的层次分析模型：
并分别建立了如下的准则层B 1, B 2, B 3对目标层A 的成对比较矩阵：
（1） 请判断矩阵A 是否为一致阵（已知RI=0.58）；（6分）
解：首先计算A 的最大特征值，令|A-λE|=0，得λmax = 3.0945，对应的归一化特征向量u =(0.0943，0.6259，0.2798)T
计算CI=（3.0945-3）/(3-1)= 0.0473 计算CR=CI/RI=0.0816<0.1 所以A 是一致阵。
（2） 若还已经求得方案层C 1 ，C 2 ，C 2对准则层B 1, B 2, B 3的权向量分别为（0.595，
0.277，0.128）， （0.082，0.236，0.682），（0.429，0.429, 0.142）, 据此计算该选择何种方案。（6分）
解：
由于w=()0.595 0.277 0.1280.09430.082 0.236 0.682
0.62590.2653 0.346
2 0.34870.429 0.429 0.1420.2798????
??
?
= ??? ???????
因此，选择课题C3。 7、（10分）设报童销售一份报纸的零售价为a = 15分，购进价b = 8分，退回价c = 6分。
设每天需求量为 r 时的概率为 f (r )（r = 0,1,2 …）。请回答如下两个问题：
合理选择课题A 成果贡献B 1 人才培养B 2 课题可行性B 3 课题C 1 课题C 2 课题C 3 目标层 准则层 方案层 1 1/6 1/35 1 34 1/3 1A ??
?= ?
?
??
（1） 当每天购进 n 份时，请写出日平均收入 G (n )的模型；（5分） 解： （2） 当n 满足什么条件时，日平均收入 G (n )最大。（5分） 解：满足如下条件：
8、（10分）设磷元素在土壤中记状态1，在草、牛、羊等生物体中记状态2，此外记3。随机变量n X 表示磷元素在第n 年的状态，记(
)()i n a n P X i ==，状态
概率向量123()((),(),())a n a n a n a n =。三种状态和状态转移概率表示如下：
（
1） 写出状态转移矩阵P 。 3分
解：
（2） 什么叫吸收状态？指出哪个状态吸收状态。3分 解：吸收态指一旦到达就不会离开的状态i, p ii =1。 3是吸收态。
（3） 若(0)(1,0,0)a =，计算(2)a 。4分
解：(2)a = 9、（12分）在意外事件发生的时候，建筑物内的人员是否能有效疏散撤离是人们普遍关心的问题。尤其是911事件发生后。对于—个特定建筑物，人们
关心疏散路线和全部疏散完毕所用时间等。这个问题可以通过反复的实际演习来解决。但多次反复的演习实际上是不可能的，理想的办法是通过理论上的分析来得到。
考虑学校的一座教学楼，其中一楼有一排四间教室(下图)，学生们可以沿教室外的走道一间。
00()[()()()]()()()[72()]()7()n n
n n
G n a b r b c n r p r dr a b np r dr
r n r f r dr nf r dr
∞
∞=----+-=--+??
??
0()7
2
()n n f r dr f r dr ∞
=??
0.4 0.3 0.3 0.6 0.1 0.3 0 0 1p ?? ?= ? ???()()
2
0.4 0.3 0.3100 0.6 0.1 0.30.3400 0.1500 0.5100 0 0 1??
?
= ? ???
现有如下假设：
1）为简单起见，可设疏散时大家秩序井然地排成单行均匀稳定地向外走，则疏散时队列中人与人之间的距离为常数，记为d 米；
2）设逃离是匀速行进的，速度为v 米／秒； 并设置如下的符号体系： d —— 疏散时人与人的距离 v —— 疏散时人员的行进速度 n i ——第i 个课室的人数
L i —— 第i 个课室门口到第i – 1 个课室门口的距离 t 0 —— 疏散时第一个到达教室门口所用的时间
下面，设d = 0.2米，v = 0.5米／秒，n 1 = 30，n 2 = 40，n 3 = 50，n 4 = 35，L 1= 5米，L 2= 6米，L 3= 6米，L 4= 5米，t 0= 10秒 请回答如下问题：
（1） 考虑靠近出口的第一个教室内人员的疏散。写出这个教室撤空的时间及全部撤离的时间；
（4分）
解：第一个课室全部撤空时间：
10(1)(301)*0.2
1021.60.5n d t v --+=+=（秒）
第一个课室全部撤离时间： 110(1)5
21.6=31.60.5
L n d t v v -++=+（秒）
（2） 考虑第二个课室撤离时出现重叠的情况，即当第二个教室的第一个撤离者到达第一个教室
的门口A 时，第一个教室内的人还没有疏散完毕，这时如果两支队伍同时行进势必造成混乱，因此需要等待第一个教室撤空以后第二个教室的队伍再继续前进。请问本问题中会出现这种情形吗？并说明理由。（4分）
解：由于第二个课室第一个人到达第一个课室门口的时间是：
20610=22>21.60.5
L t v +=+ 因此，不需要等待。
（3） 请计算四个课室全部撤离所用时间。（4分）
解：
A ． 第二个课室第一个人到达第一个课室门口时间是
2
022>21.6L t v
+=，不需等待，因此，第二个课室全部撤空时间为：20(1)(401)*0.2
1025.60.5
n d t v --+=+=（秒）
。 B ． 第三个课室第一个人到达第二个课室门口时间是
3
022<25.6L t v
+=，
故第二个课室需要等待，等待时间是25.6-22=3.6（秒）。加上等待时间，第三个课室全部撤空时间为：
30(1)(501)*0.2
3.610 3.633.20.5
n d t v --++=++=（秒）
。 C ． 第四个课室第一个人到达第三个课室门口时间是
4
020<33.2L t v
+=，因此，需要等待的时间是33.2-20=13.2（秒）。
因此，加上等待时间，四个课室全部撤离时间是：123440()(1)13.2
(5665)(351)*0.21013.2
0.50.5=80.80L L L L n d
t v v +++-++++++-=+++（秒）
2009年全国大学生数学建模A题优秀论文
制动器试验台的控制方法分析 摘要 汽车制动性能的检测是机动车安全技术检验的重要内容之一，制动器的设计也成为车辆设计中重要的环节，在车辆设计阶段需要在制动试验台上对路试制动情况进行模拟，本文主要对制动试验台上的一系列问题进行了研究。 对问题1，我们利用能量守恒定律，把车辆平动时具有的动能等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的转动动能，以此求得等效的转动惯量为51.9989J =2kg m ?。 对问题2，根据刚体转动知识建立了飞轮转动的积分模型，求得3个飞轮的转动惯量，进而可以组合成8种机械惯量。由电动机补偿惯量的范围及问题1等效的转动惯量，可以计算出需要电动机补偿的惯量为11.99062kg m ?，或-18.01772kg m ?，考虑节能时，取补偿惯量为11.99062kg m ?。 对问题3，由机械动力学知识建立刚体转动的微分模型，可以得到电动机驱动电流依赖于可观测量（主轴的扭矩M ）的数学模型表达式为d d f J I K M J J =? ?+， 代入已知数据可以计算出驱动电流为174.6882I =A 。 对问题4，通过固定机械惯量与路试时的转动惯量进行比较，确定电惯量的补偿量，进而确立了混合惯量模拟方法，建立微分方程模型，求出主轴扭矩为恒定值 0276.6218M =N m ?，又对实验的数据与理论值进行比较，用隔项逐差法分析了相对误差的大小分别为 4.12%n e =， 2.08%M e =，可以得知该控制方法是切实可行的。 对问题5，我们可以根据自动控制原理建立单闭环反馈系统，通过传感器检测出主轴的扭矩，通过线性关系建立差分模型，可依据前一时间段观测到的瞬时扭矩，求出前段时间的电流值(1)I t -，并可预测出本时段驱动电流的值 10()((1))(1)I t a M M t I t =?--+-。将能量误差等效为预测电流值与理论值的相对 误差，利用问题4的数据，分析处理得到的相对误差为2.31%，此控制方法比较合理。 对问题6，我们分析了上个模型在实际模拟时要受到转速的影响，可在模型5的系统上再加上一个转速反馈，建立双闭环反馈系统，反应了转速与扭矩的关系(1)() a M t b n t += +（a 、b 常数） ，可预测出下段时间的电流2()I t 。由问题4求出扭矩和转速的相对误差的倒数的比重等效为预测的电流1()I t 、2()I t 的权重，对其加权求和后计算出与其理论值的相对误差为1.91%，此系统的控制方法较问 题5更加合理一些。 关键词：转动惯量 电惯量 微分模型 逐差法 相对误差 闭环反馈系统
数学建模习题集及标准答案
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
2009年数学建模竞赛题目
2009年数学建模竞赛题目 论文要求： 1、请在A题和B题中任选一道题作答；以论文以电子版形式上交，上交邮箱为math.model@https://www.360docs.net/doc/4019001324.html,。 2、答卷书写格式参照正式发表的论文，包括论文名、作者姓名、中文摘要、正文（问题的重述、问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、模型验证、模型评价与推广等方面）、参考文献（如果是引用互联网上的文章也要注明网址）和附录（例如计算过程中编写的程序）；引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）必须按照规定的参考文献的表达方式在正文引用处的参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][2]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文的引用次序列出，其中： 参考文献中书籍的表达方式为： [编号]作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表达方式为： [编号]作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表达方式为： [编号]作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 3、论文（答卷）统一使用WORD编排，上下左右各留出2.5cm的页边距。论文第一页为题目（自拟）、队员（班级、姓名、联系电话）；第二页为摘要；第三页开始是论文正文。论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号宋体字，行距用单倍行距。 A题洁具流水时间设计 我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四分之一。特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大面积的干旱。许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源消费。而另一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出60%以上。 某洁具生产产家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。 方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。 方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也是T……在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。 该厂家随机调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间(单位：秒)见下表： （1）请你根据以上数据，比较上述两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的； （2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。 B题手机购买方案
最新历年全国数学建模试题及解法归纳
历年全国数学建模试题及解法归纳 赛题解法 93A非线性交调的频率设计拟合、规划 93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划 94B锁具装箱问题图论、组合数学 95A飞行管理问题非线性规划、线性规划 95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化 96B节水洗衣机非线性规划 97A零件的参数设计非线性规划 97B截断切割的最优排列随机模拟、图论 98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化 99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟 99B钻井布局0-1规划、图论 00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工 神经网络 00B钢管订购和运输组合优化、运输问题
01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建 赛 题解法 01B 公交车调度问题多目标规划 02A车灯线光源的优化非线性规划 02B彩票问题单目标决策 03A SARS的传播微分方程、差分方程 03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题 04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化 05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理 05B DVD在线租赁随机规划、整数规划 06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析 07A 人口问题微分方程、数据处理、优化07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图 论、0-1规划 08A 照相机问题非线性方程组、优化 08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分 析、回归分析 2009年A题制动器试验台的控制方法分析工程控制
2009数学建模试题与答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009学年第二学期考试科目：数学模型 考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟 学号姓名年级专业 1、（13分）设已知某正方形板材边长20cm，现将之加工出半径为1cm的 圆盘，请对下面给出的两种排列方法，写出能加工出的尽可能多的圆盘数。 （1）排列1：圆盘中心按正方形排列（如右图）的尽可能多 的圆盘数。（4分） 解：圆盘总数： 2020 100 22 ?= 排列2：圆盘中心按六角形排列（如右图）的尽可能多的圆盘数。 （4分） 解：行数：111 += 圆盘总数： 2011 11105 22 - ? += （2）设计出不同于(1)(2)的方案，且加工出的圆盘更多。（5 分） 解：前三行正方形，后八行六角形，圆盘总数为106 （此题考虑的是当两种方案当两种方案被提出的时候，但仍需改进的时候，应该考虑这两者的综合是否可行，如果可行，则给出方案。） 2、（10分）在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面 两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1）假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。5分 （2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。5分 解：设体重w（千克）与举重成绩y （千克） （1）由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以y∝I∝S 设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ∝ h2 再体重正比于身高的三次方，则w ∝ h3 （2）a, 则一个最粗略的模型为 更好的模型：() y k w aγ =-
3、 （10分）在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象 了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二 者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）请写出商品价恪c 与商品重量w 的关系，其中价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素。（5分） （2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释。（5分） 解：（1）生产成本主要与重量w 成正比，包装成本主要与表面积s 成正比，其他成本也包含w 和s 成正比的部分，上述三种都含有与w 和s 均无关的成分。又因为形状一定时有23 s w ∝，故商品的价格可表示为23 C w w αβγ=++，,,αβγ为大于0的常数。 （2）单位重量价格1 1 3C c w w w αβγ--==++。显然c 是w 的减函数，说明大包装比小包装 4、 （10分）药的剂量和用药间隔时间应该如何调节，才能保证在血液中维持安全有效的药物浓度？设H 为药物的最高安全量级，L 为最低有效量 级，x 0为每次所开药物的剂量，T 为用药间隔时间。现给定H ＝2.5mg/ml ，L ＝0.5mg/ml 。并假定血液中药物浓度的减少速率与浓度成正比（设比例系数k ＝0.01）， （1）写出第n 次用药期内的药物浓度变化的动力学模型；5分 解： 设C n (t )表示第n 次用药期内时刻t 的药物浓度，其变化的动力学模型为： 其中：x 0 = H -L = 2 mg/ml ， （2）请在安全有效范围内对用剂量的浓度和用药间隔制定一个用药计划。5分 解：11 2.5 ln ln 160.94380.010.5 H T k L === 5、 （13分）设在一个一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着 茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存，假 设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从Logistic 变化规律，植物独自生存时其生物量的增长服从指数增长规律。 （1） 请建立三者关系的模型；5分 解：将植物、哺乳动物和爬行动物的数量分别记为x 1(t )、x 2(t )和x 3(t )，则三者关系模型为： 1111222 22 2132 33 33 323()()()dx x r x dt dx x x r x x dt K dx x x r x dt K λλμλ?=-???=--+-???=--+?? （2） 求平衡点；3分 01 () ()(0)n n n n dC t kC t dt C x R -?=-? ??=+?102()kT n n and R x R e ---=+10kT R x e -=1 02()kT n n and R x R e ---=+
数学建模习题
数学建模与数学实验课程练习 练习集锦 1简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题。 2 简述数学模型及数学建模的特点。 3 简述数学建模的常用分类方法。 4求方程 06 /12 625 .05 .04 )(=------=x x x x f 的模最大的根的近似 值（精确到小数点后两位）。 5在抢渡长江模型中，如果水流速度 1.8/v m s =为常数，人的游泳速度 1.5/u m s =为常数，江面宽度为1200H m =，终点位置在起点下游 1000L m =处的条件，确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间。 6沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂送水。水厂与江岸的位置见右图。 如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。 （1） 对于最优方案，用α表示,βγ。 （2） 求最优取 水口位置。 7在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵 (,0) P x
31/52a b P c d e f ?? ??=?? ???? ， （1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求P 模最大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 8在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵 322P ? ???=?????? ，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最 大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 9考虑下表数据 (1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 10考虑微分方程
数学建模及全国历年竞赛题目
数学建模及全国历年竞赛题目 (2010-09-28 21:58:01) 标签： 分类：专业教学 数学建模 应用数学模型 教育 一、数学建模的涵 （一）数学建模的概念 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。使用数学语言描述的事物就称为数学模型，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。（二）应用数学模型 应用数学去解决各类实际问题，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。需要诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包如 Mathematica,Matlab,Lingo,Spss,Mapple的使用，甚至排版软件等知识的基础。
（三）数学建模的特点 数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点；数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。（四）数学建模的指导思想 数学建模的指导思想就是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。 （五）数学建模的意义 数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。 1.培养创新意识和创造能力； 2.训练快速获取信息和资料的能力； 3.锻炼快速了解和掌握新知识的技能； 4.培养团队合作意识和团队合作精神； 5.增强写作技能和排版技术；
2009年全国大学生数学建模竞赛D题
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） D题会议筹备 某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。 1 筹备组经过实地考察，筛选出10家宾馆作为备选，它们的名称用代号①至⑩表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1。 根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2。从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，相关数据见附表3。附表2，3都可以作为预订宾馆客房的参考。 需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常被动的局面，引起代表的不满。 会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客车接送代表。现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元。 请你们通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。
附表2 本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人） 价格的房间。合住是指要求两人合住一间。独住是指可安排单人间，或一人单独住一个双人间。 附表3 以往几届会议代表回执和与会情况
2003年数学建模A题
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） A题 SARS的传播 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。
（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 附件1： SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测 2003年5月8日 在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。 1 模型与参数 假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K
09年数学建模A题(含代码)
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：华南师范大学增城学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 何高志 2. 曾庆东 3. 曾利 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2013 年 8 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
制动器试验台的控制方法分析 摘要 本文在专门的汽车行车制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验，检测汽车的行车制动器的综合性能，检验设计的优劣。针对此问题，我们结合实际，对转动惯量、补偿惯量、驱动电流、控制方法等问题作了深入详细的分析，建立了相应的数学模型，较好地解决了制动器试验台的控制方法分析问题，并且对模型和结果进行了评价和分析。 对于问题1，根据转动惯量的表达式，结合力学知识，代入数据从而求得车辆单个前轮滚动的等效转动惯量约为522m kg ?。 对于问题2，首先需要理解机械惯量与飞轮单个惯量、基础惯量和电动机补偿惯量之间的关系。根据题意，进行推断，可知机械惯量是组合问题。即飞轮组与基础惯量可以组合8种数值的机械惯量。问题1中得到等效的转动惯量522m kg ?，且电动机能补偿的能量有限，所以符合题意，在范围内的有2种，分别为飞轮1加基础惯量；飞轮2加基础惯量。且可得需要电动机补偿的惯量分别为122m kg ?，-182m kg ?。 对于问题3，飞轮做圆周运动根据角速度与线速度、半径的关系，结合问题2中得出符合题意的补偿惯量，联立转动定律，可求得其扭矩。且电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，比例系数取为1.5m N A ?，因此可求得驱动电流分别为。；A I A I 05.2629.17421-== 对于问题4，我们使用Matlab 软件画出扭矩随时间、转速随时间的变化曲线，由此可知转速与时间近似成一次函数的关系，且汽车在制动的时候载荷是一个恒定不变的力，即角加速度恒定不变，方向与其运动方向相反，所以做匀减速运动。通过Lingo 软件进行具体数值处理，根据能量守恒，转动动能，可知飞轮组产生的能量供给不足，需要电动机补偿供给。对该控制方法进行评价的标准是能量误差，我们计算的能量误差为5.53%，相对较小，接近实际情况。 对于问题5，根据问题3的数学模型，已知前一个时间段的瞬时转速与瞬时扭矩，结合转动定律，使用Matlab 进行拟合，得前一个时间段的转动惯量J 与时间的函数。把现阶段的时间段平均分为足够小，可视为瞬时时间，代入即可得现阶段转动惯量J ，再结合驱动电流与扭矩成正比，因此可求得驱动电流。评价： n 和拟合的次数都是可以在现阶段自行设置的，该方法的确信性是可以控制的，且可行的。 对于问题6，根据问题5的控制方法的不足之处进行改进，提高该计算机控制方法的精确性。我们可以使角加速度精确即对角加速度进行拟合，并可通过增加其驱动电流来完善该计算机的控制方法。评价：对角速度进行了细化，提高结果的准确性。 关键词：转动惯量 机械惯量 补偿惯量 曲线拟合 转动动能
东三省数学建模竞赛试题
A题：垃圾分类处理与清运方案设计 垃圾分类化收集与处理是有利于减少垃圾的产生，有益于环境保护，同时也有利于资源回收与再利用的城市绿色工程。在发达国家普遍实现了垃圾分类化，随着国民经济发展与城市化进程加快，我国大城市的垃圾分类化已经提到日程上来。2010年5月国家发改委、住房和城乡建设部、环境保护部、农业部联合印发了《关于组织开展城市餐厨废弃物资源化利用和无害化处理试点工作的通知》，并且在北京、上海、重庆和深圳都取得一定成果，但是许多问题仍然是垃圾分类化进程中需要深入研究的。 在深圳，垃圾分为四类：橱余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他不可回收垃圾，这种分类顾名思义不难理解。其中对于居民垃圾，基本的分类处理流程如下： 在垃圾分类收集与处理中，不同类的垃圾有不同的处理方式，简述如下：1）橱余垃圾可以使用脱水干燥处理装置，处理后的干物质运送饲料加工厂做原料。不同处理规模的设备成本和运行成本（分大型和小型）见附录1说明。
2）可回收垃圾将收集后分类再利用。 3）有害垃圾，运送到固废处理中心集中处理。 4）其他不可回收垃圾将运送到填埋场或焚烧场处理。 所有垃圾将从小区运送到附近的转运站，再运送到少数几个垃圾处理中心。显然，1）和2）两项中，经过处理，回收和利用，产生经济效益，而3）和4）只有消耗处理费用，不产生经济效益。 本项研究课题旨在为深圳市的垃圾分类化进程作出贡献。为此请你们运用数学建模方法对深圳市南山区的分类化垃圾的实现做一些研究，具体的研究目标是： 1）假定现有垃圾转运站规模与位置不变条件下，给出大、小型设备（橱余垃圾）的分布设计，同时在目前的运输装备条件下给出清运路线的具体方案。以期达到最佳经济效益和环保效果。 2）假设转运站允许重新设计，请为问题1）的目标重新设计。 仅仅为了查询方便，在题目附录2所指出的网页中，给出了深圳市南山区所有小区的相关资料，同时给出了现有垃圾处理的数据和转运站的位置。其他所需数据资料自行解决。 附录1 1）大型厨余垃圾处理设备（如南山餐厨垃圾综合利用项目，处理能力为200吨/日，投资额约为4500万元，运行成本为150元/吨。小型餐厨垃圾处理机，处理能力为200-300公斤/日，投资额约为28万元，运行成本为200元/吨。橱余垃圾处理后产物价格在1000-1500元/吨。 2）四类垃圾的平均比例 橱余垃圾：可回收垃圾：有害垃圾：其他不可回收垃圾比例约为4：2：1：3。可回收垃圾划分为纸类、塑料、玻璃、金属四大类，大概比例分别是：55%、35%、6%、4%。纸类、塑料、玻璃、金属四类的废品回收价格是每公斤：1元、2.5元、0.5元、2.5元。 3）南山区的垃圾清运设备情况（主要是车辆数目和载重）。
国赛历届数学建模赛题题目与解题方法
历届数学建模题目浏览：1992--2009 1992年 (A) 施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B) 实验数据分解问题（华东理工大学:俞文此; 复旦大学：谭永基） 1993年 (A) 非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (B) 足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年 (A) 逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (B) 锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1995年 (A) 飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B) 天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官, 李吉鸾） 1996年 (A) 最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B) 节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年 (A) 零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B) 截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1998年 (A) 投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B) 灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年 (A) 自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 1999年(C) 煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）
(D) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年 (A) DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B) 钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C) 飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D) 空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年 (A) 血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C) 基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年 (A) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B) 彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚） (C) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (D) 赛程安排问题（清华大学：姜启源） 2003年 (A) SARS的传播问题（组委会） (B) 露天矿生产的车辆安排问题（吉林大学：方沛辰） (C) SARS的传播问题（组委会） (D) 抢渡长江问题（华中农业大学：殷建肃） 2004年 (A) 奥运会临时超市网点设计问题(北京工业大学：孟大志) (B) 电力市场的输电阻塞管理问题(浙江大学:刘康生) (C) 酒后开车问题（清华大学：姜启源）
数学建模试题
2012-2013第一学期 《数学建模》试题卷 班级：2010级统计 姓名：石光顺 学号：20101004025 成绩：
一、用Matlab 求解以下优化问题（10分） 用Matlab 求解下列线性规划问题： 解：首先化Matlab 标准型，即 123min 3w x x x =-++ 123121114123x x x ?? -??????≤??????---???? ???? ， [][]1 2 32011T x x x -?= 然后编写Matlab 程序如下： f=[-3,1,1]; a=[1,-2,1;4,-1,-2]; b=[11,-3]; aeq=[-2,0,3]; beq=1; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x,y=-y 运行结果： x = 0.0000 2.3333 0.3333 y = -2.6667 即当1230, 2.3333,0.3333x x x ===时，max 2.6667z =-。
二、求解以下问题，列出模型并使用Matlab求解（20分） 某厂生产三种产品I，II，III。每种产品要经过A, B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1, A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1, B2, B3表示。产品I可在A, B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III 只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表1，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。 表1 解：（1）根据题意列出所有可能生产产品I、II、III的工序组合形式，并作如下假设： x ; 按(A1，B1)组合生产产品I，设其产量为 1 x; 按(A1，B2)组合生产产品I，设其产量为 2 x; 按(A1，B3)组合生产产品I，设其产量为 3 x; 按(A2，B1)组合生产产品I，设其产量为 4 x; 按(A2，B2)组合生产产品I，设其产量为 5
中国研究生数学建模竞赛历届竞赛题目截止
中国研究生数学建模竞赛历届竞赛题目 第一届2004年题目 A题发现黄球并定位 B题实用下料问题 C题售后服务数据的运用 D题研究生录取问题 第二届2005年题目 A题HighwayTravelingtimeEstimateandOptimalRouting B题空中加油 C题城市交通管理中的出租车规划 D题仓库容量有限条件下的随机存贮管理 第三届2006年题目 A题AdHoc网络中的区域划分和资源分配问题 B题确定高精度参数问题 C题维修线性流量阀时的内筒设计问题 D题学生面试问题 第四届2007年题目 A题建立食品卫生安全保障体系数学模型及改进模型的若干理论问题 B题械臂运动路径设计问题 C题探讨提高高速公路路面质量的改进方案 D题邮政运输网络中的邮路规划和邮车调运 第五届2008年题目 A题汶川地震中唐家山堪塞湖泄洪问题 B题城市道路交通信号实时控制问题 C题货运列车的编组调度问题 D题中央空调系统节能设计问题 第六届2009年题目 A题我国就业人数或城镇登记失业率的数学建模 B题枪弹头痕迹自动比对方法的研究 C题多传感器数据融合与航迹预测 D题110警车配置及巡逻方案 第七届2010年题目 A题确定肿瘤的重要基因信息 B题与封堵渍口有关的重物落水后运动过程的数学建模 C题神经元的形态分类和识别 D题特殊工件磨削加工的数学建模 第八届2011年题目 A题基于光的波粒二象性一种猜想的数学仿真 B题吸波材料与微波暗室问题的数学建模 C题小麦发育后期茎轩抗倒性的数学模型 D题房地产行业的数学建模
第九届2012年题目 A题基因识别问题及其算法实现 B题基于卫星无源探测的空间飞行器主动段轨道估计与误差分析C题有杆抽油系统的数学建模及诊断 D题基于卫星云图的风矢场（云导风）度量模型与算法探讨 第十届2013年题目 A题变循环发动机部件法建模及优化 B题功率放大器非线性特性及预失真建模 C题微蜂窝环境中无线接收信号的特性分析 D题空气中PM2.5问题的研究attachment E题中等收入定位与人口度量模型研究 F题可持续的中国城乡居民养老保险体系的数学模型研究 第十一届2014年题目 A题小鼠视觉感受区电位信号(LFP)与视觉刺激之间的关系研究B题机动目标的跟踪与反跟踪 C题无线通信中的快时变信道建模 D题人体营养健康角度的中国果蔬发展战略研究 E题乘用车物流运输计划问题 第十二届2015年题目 A题水面舰艇编队防空和信息化战争评估模型 B题数据的多流形结构分析 C题移动通信中的无线信道“指纹”特征建模 D题面向节能的单/多列车优化决策问题 E题数控加工刀具运动的优化控制 F题旅游路线规划问题 第十三届2016年题目 A题多无人机协同任务规划 B题具有遗传性疾病和性状的遗传位点分析 C题基于无线通信基站的室内三维定位问题 D题军事行动避空侦察的时机和路线选择 E题粮食最低收购价政策问题研究 数据来源：
数学建模试题(带答案)
数学建模试题（带答案） 第一章 4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。 答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换， 0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证 明如下的数学命题： 已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且， 0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f 证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。 根据连续函数的基本性质， 必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ，所以0)()(00==a g a f
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第二章 7. 10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设 kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ， 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--= 6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x . 利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销售价格为2p 。 前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12 /011--=? 后期利润 dt bp a t q p p u T T ))](([)(22/22--=? 总利润 )()(21p u p u U += 由 0,02 1=??=??p U p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++= )]4 3([2102T q b a b P β++=
全国数学建模大赛题目
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 地平线油位探针
中国大学生数学建模竞赛历年试题
中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)历年赛题一览! CUMCM历年赛题一览!! CUMCM从1992年到2007年的16年中共出了45个题目,供大家浏览 1992年Ａ)施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B)实验数据分解问题（复旦大学：谭永基） 1993年Ａ)非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (Ｂ)足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年Ａ)逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (Ｂ)锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1995年:(Ａ)飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾） 1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B)节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年:(A)零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B)截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B)灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年:(A)自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） (D)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年:(A)DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B)钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C)飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D)空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年:(A)血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年:(A)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B)彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚） (C)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此））
数学建模习题答案
数学建模部分课后习题解答 中国地质大学 能源学院 华文静 1、在稳定的椅子问题中,如设椅子的四脚连线呈长方形,结论如何？ 解: 模型假设 （1） 椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处视为一点,四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度就是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情 况),即从数学角度来瞧,地面就是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 （3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点,要求对于椅脚的间距 与椅腿的长度而言,地面就是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距与椅腿长度的尺寸大小相当的范围内,如果出现深沟或凸峰(即使就是连续变化的),此时三只脚就是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下,解决问题的关键在于选择合适的变量,把椅子四只脚同时着地表示出来。首先,引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们,要把椅子通过挪动放稳,通常有拖动或转动椅子两种办法,也就就是数学上所说的平移与旋转变换。然而,平移椅子后问题的条件没有发生本质变化,所以用平移的办法就是不能解决问题的。于就是可尝试将椅子就地旋转,并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形,长方形就是中心对称图形,绕它的对称中心旋转180度后,椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转,这可以表示椅子位置的改变。于就是,旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此,在平面上建立直角坐标系来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴,对称中心O 为原点,建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后,长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置,这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。 其次,把椅脚就是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,椅脚不着地。由于椅子在不同的位置就是θ的函数,因此,椅脚与地面的竖直距离也就是θ的函数。 由于椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都就是θ的函数,而由假设(3)可知,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于任意的θ,其函数值至少有三个同时为0。因此,只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 就是对称中心图形,绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后,长方形位置不变,但A,C 与B,D 对换了。因此,记A,B 两脚与地面竖直距离之与为)(θf ,C,D 两脚之与为)(θg ,其中[] πθ，0∈,使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(== g f ,那么结论成立。 如果)0(与) 0(g f 不同时为零,不妨设.0)0(,0)0(=>g f 这时,将长方形ABCD 绕点O