重点高中提前自主招生数学培训材料
崇礼二中2013年预备张市一中自主招生
数学培训材料
一、选拔思路：选拔具有创新意识、思维能力强、综合素质高、潜能潜力大的学生。
二、试题特点
1.注重考察学生对数学概念、数学知识的生成过程。
2.考察学生对数学问题的直观感知、操作、探究的意识和能力，从而考察了学生的整个思维过程。重点考察的思维方式：直观思维、运动变化的观点、极端原理及数学模型构建的思维方式。
3.重视对数学思想的考察，函数思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想是考察的重点。
三、重点专题培训 （一）代数式专题
1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。 A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111
2、若2001
11981
11980
11
?
?++
=
S ，则S 的整数部分是____________________
3、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元
4、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么|
||
||
||
|abc abc
c c b b a a +++的所有可能的
值为（ ） A. 0
B. 1或-1
C. 2或-2
D. 0或-2
5、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则
b
c a b
a c ++
+的
值（ ） A.
2
1 B. 2
2
C. 1
D.
2
a
6、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则b
a b a -+的值为
（ ）
A.
3
B. 6
C. 2
D. 3
7、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2
-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
8、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab
c
ca
b
bc
a
2
2
2
+
+
的值是
（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
9、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿
10、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________ 【答案与解析】
1. 解：依题意设六位数为abcabc ，则abcabc ＝a ×105＋b ×104＋c ×103＋a ×102＋b ×
10＋c ＝a ×102（103＋1）＋b ×10（103＋1）＋c （103＋1）＝（a ×103＋b ×10＋c ）（103＋1）＝1001（a ×103＋b ×10＋c ），而a ×103＋b ×10＋c 是整数，所以能被1001整除。故选C 方法二：代入法
2. 解：因1981、1982……2001均大于1980，所以9022
19801980
1221==?
>
S ，又1980、
1981……2000均小于2001，所以22219022
20012001
1221==
?
<
S ，从而知S 的整数
部分为90。
3. 解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m （1＋a%）元，因调整后的零售价为原零
售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m （1＋a%）b%元。 应选C
4. 解：由已知，a ，b ，c 为两正一负或两负一正。
①当a ，b ，c 为两正一负时：
0|
|||||||1||1|||
||
|=+++-==+
+
abc abc c c b b a a abc abc c c
b b a a 所以，； ②当a ，b ，
c 为两负一正时： 0|
|||||||1||1|||
||
|=+++=-=+
+abc abc
c c b b a a abc abc c c
b b a a 所以， 由①②知|
||
||
||
|abc abc c c b b a a +++所有可能的值为0。
应选A
5、解：过A 点作AD ⊥CD 于D ，在Rt △BDA 中，则于∠B ＝60°，所以DB ＝
2
C ，AD
＝C 2
3。在Rt △ADC 中，DC 2
＝AC 2
－AD 2
，所以有（a －
2
C ）2＝b 2－4
3C 2，整理
得a 2＋
c 2=b 2
＋
ac ，从
而
有
1)
)((2
2
2
2
2
=++++++=
+++++=
++
+b
bc ab ac bc ab c a b c b a ab a cb c b
c a b
a c
应选C
6、解：因为(a+b)2=6ab ，(a-b)2=2ab ，由于a 故 3= -+b a b a 。 应选A 7、3 ]2)1()1[(2 12 11])()()[(2 12 2 2 2 222 2 2 =+-+-= ∴=--=--=--+-+-= ---++原式 ，， 又， 解：a c c b b a a c c b b a ca bc ab c b a 8、3 ) ()()( )()()(=+ += +-+-+-=?+-+ ?+-+?+-= c c b b a a b c a c c b a b c a b a ab c b a a c b c a bc a c b 解：原式 9、解：设该商品的成本为a ，则有a(1+p%)(1-d%)=a ，解得p 100p 100d += 10、解：由已知条件知（x+1）＋y=6，(x ＋1)·y=z 2＋9，所以x ＋1，y 是t 2－6t ＋z 2＋9=0 的两个实根，方程有实数解，则△＝（－6）2－4（z 2＋9）＝－4z 2 ≥0，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。所以x+2y+3z ＝8 （二）方程专题 1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A 与B ， 若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后35分钟到达B ，甲乙的速度之比（ ） A. 3∶5 B. 4∶3 C. 4∶5 D. 3∶4 2、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个 档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，如果获利润最大的产品是第R 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么R 等于（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 3、某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润为20%（利润＝-售价进价进价 ），若这种商品 的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润率为 （ ） A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5% 4、某项工程，甲单独需a 天完成，在甲做了c （c b 天，若开始就由甲乙两人共同合作，则完成任务需（ ）天 A. c a b + B. ab a b c +- C. 2 c b a -+ D. c b a b c ++ 5、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a 小时，逆流航行这段路程需b 小时，那 么一木块顺水漂流这段路需（ ）小时 A. b a a b -2 B. a b ab -2 C. b a a b - D. a b ab - 6、甲乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有 济南市场同类产品的 4 3，然而实际情况并不理想，甲厂仅有 2 1的产品，乙厂仅有3 1 的 产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的3 1，则甲厂该产品的年产量 与乙厂该产品的年产量的比为＿＿＿＿＿＿＿ 7、假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择，甲种客 车每辆有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有50个座位，租金480元，则租用该公司客车最少需用租金＿＿＿＿＿元。 8、时钟在四点与五点之间，在＿＿＿＿＿＿＿时刻（时针与分针）在同一条直线上？ 9、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生，钱先生在三年后再以超出房 子原来标价60%的价格把房子转让给金先生，考虑到三年来物价的总涨幅为40%，则钱先生实际上按＿＿＿＿＿%的利率获得了利润（精确到一位小数） 10、甲乙两名运动员在长100米的游泳池两边同时开始相向游泳，甲游100米要72秒， 乙游100米要60秒，略去转身时间不计，在12分钟内二人相遇＿＿＿＿次。 【答案与解析】 1、D 解：设甲的速度为1v 千米/时，乙的速度为2v 千米/时，根据题意知，从出发地点 到A 的路程为1v 千米，到B 的路程为2v 千米，从而有方程： 60 352 11 2=-v v v v ，化简得012)( 7)( 122 12 2 1=-+v v v v ，解得 3 4(43212 1-== v v v v 不合题意舍去）。应选D 。 2、C 解：第k 档次产品比最低档次产品提高了（k －1）个档次，所以每天利润为 864 )9(6)]1(28)][1(360[2 +--=-+--=k k k y 所以，生产第9档次产品获利润最大，每天获利864元。 3、C 解：若这商品原来进价为每件a 元，提价后的利润率为%x ， 则?? ??+=?=% %)251(% 20x a m a m 解这个方程组，得16=x ，即提价后的利润率为16%。 4、B 解：设甲乙合作用x 天完成。 由题意：1)11(=-+ x b a c a ，解得c b a ab x -+= 。故选B 。 5、B 解：设小船自身在静水中的速度为v 千米/时，水流速度为x 千米/时，甲乙之间的 距离为S 千米，于是有b S x v a S x v = -= +，求得ab S a b x 2)(-= 所以 a b ab x S -= 2。 6、2∶1。解甲厂该产品的年产量为x ，乙厂该产品的年产量为y 。 则： 3 143 3121=+ +y x y x ，解得1:2:2=∴=y x y x 7、3520。解：因为9辆甲种客车可以乘坐360人，故最多需要9辆客车；又因为7辆乙 种客车只能乘坐350人，故最多需要8辆客车。 ①当用9辆客车时，显然用9辆甲种客车需用租金最少，为400×9＝3600元； ②当用8辆客车时，因为7辆甲种客车，1辆乙种客车只能乘坐40×7+50＝330人，而 6辆甲种客车，2辆乙种客车只能乘坐40×6+50×2＝340人，5辆甲种客车，3辆乙 种客车只能乘坐40×5+50×3＝350人，4辆甲种客车，4辆乙种客车只能乘坐40×4+50×4＝360人，所以用8辆客车时最少要用4辆乙种客车，显然用4辆甲种客车，4辆乙种客车时需用租金最少为400×4+480×4＝3520元。 8、4点11 921 分或4点11 654分时，两针在同一直线上。 解：设四点过x 分后，两针在同一直线上， 若两针重合，则x x 2 11206+ =，求得11 921 =x 分， 若两针成180度角，则1802 11206++=x x ，求得11 654=x 分。 所以在4点11 921 分或4点11 654 分时，两针在同一直线上。 9、20.3。解：钱先生购房开支为标价的95%，考虑到物价上涨因素，钱先生转让房子的 利率为 %3.20203.014 .195.06.11%) 401%(95%601=≈-?= -++ 10、共11次。 （三）三角形边角不等关系专题 1、如图8-1，已知AB ＝10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为 边作两个等边三角形APC 和BPD ，则线段CD 的长度的最小值是 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. )15(5- 2、如图8-2，四边形ABCD 中∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝7， 则BC ＋CD 等于（ ） A. 36 B. 53 C. 43 D. 33 3、如图8-3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD ＝4，若EF ∥ BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为 （ ） A. 7 45 B. 5 33 C. 5 39 D. 2 15 4、已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C 且α＝A+B ，β＝C+A ，γ＝C+B ，则α、β、 γ中，锐角的个数最多为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5、如图8-4，矩形ABCD 的长AD ＝9cm ，宽AB ＝3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合， 那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为 （ ） A. 4cm cm 10 B. 5cm cm 10 C. 4cm cm 32 D. 5cm cm 32 6、若函数)0(>=k kx y 与函数x y 1= 的图象相交于A ，C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为 （ ） A. 1 B. 2 C. k D. k 2 7、如图8-5，AA ′、BB ′分别是∠EAB 、∠DBC 的平分线，若AA ′＝BB ′＝AB ，则 ∠BAC 的度数为＿＿＿ 8、如图8-6，P 是矩形ABCD 内一点，若PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，则PD ＝＿＿＿＿ 9、如图8-8，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，点P 是△ABC 内 的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8， 60° A B C D A B C D P 图8-1 图8-2 图8-3 D 图8-4 C PC ＝6，则PB ＝＿＿ 10、如图8-9，AD 是△ABC 中BC 边上的中线， 求证：AD ＜2 1（AB+AC ） 【答案与解析】 1、如图过C 作CE ⊥AD 于E ，过D 作DF ⊥PB 于F ，过D 作DG ⊥CE 于G 。 显然DG ＝EF ＝ 2 1AB ＝5，CD ≥DG ，当P 为AB 中点时，有CD ＝DG ＝5，所以CD 长度的最小值是5。 2、如图延长AB 、DC 相交于E ，在Rt △ADE 中，可求得AE ＝16，DE ＝83，于是BE ＝AE －AB ＝9，在Rt △BEC 中，可求得BC ＝33，CE ＝63，于是CD ＝DE －CE ＝23 BC ＋CD ＝53。 3、由已知AD+AE+EF+FD ＝EF+EB+BC+CF ∴AD+AE+FD ＝EB+BC+CF ＝11)(21=+++CD BC AB AD ∵EF ∥BC ，∴EF ∥AD ，FC DF EB AE = 设 k FC DF EB AE ==，1 41161+= += += +=k k CD k k DF k k AB k k AE ， AD+AE+FD ＝3+13131416++=+++k k k k k k ∴111 3 13=++k k 解得k ＝4 作AH ∥CD ，AH 交BC 于H ，交EF 于G ， 则GF ＝HC ＝AD ＝3，BH ＝BC －CH ＝9-3＝6 ∵ 5 4==AB AE BH EG ，∴5 245 4==BH EG ∴5 3935 24=+=+=GF EG EF 4、假设α、β、γ三个角都是锐角，即α＜90°，β＜90°，γ＜90°，也就是A+B ＜90°，B+C ＜90°，C+A ＜90°。∵2（A+B+C ）＜270°，A ＋B ＋C ＜135°与A ＋B ＋C ＝180°矛盾。故α、β、γ不可能都是锐角，假设α、β、γ中有两个锐角， 不妨设α、β是锐角，那么有A ＋B ＜90°，C ＋A ＜90°，∴A ＋(A ＋B ＋C)<180°，即A+180°＜180°，A ＜0°这也不可能，所以α、β、γ中至多只有一个锐角，如 60° A B C D E H B D 图8-9 A ＝20°， B ＝30°， C ＝130°，α＝50°，选A 。 5、折叠后，DE ＝BE ，设DE ＝x ，则AE ＝9－x ，在Rt △ABC 中，AB 2＋AE 2＝BE 2 ，即 2 22)9(3x x =-+，解得x ＝5，连结BD 交EF 于O ，则EO ＝FO ，BO ＝DO ∵1033 92 2=+=BD ∴DO ＝ 102 3 在Rt △DOE 中，EO ＝2 10) 102 3( 52 2 2 2 = -=-DO DE ∴EF ＝10。选B 。 6、A 。设点A 的坐标为（y x ，），则1=xy ，故△ABO 的面积为2 121= xy ，又因为△ ABO 与△CBO 同底等高，因此△ABC 的面积＝2×△ABO 的面积＝1。 7、12°。设∠BAC 的度数为x ，∵AB ＝BB ′ ∴∠B ′BD ＝2x ，∠CBD ＝4x ∵AB ＝AA ′ ∴∠AA ′B ＝∠AB A ′＝∠CBD ＝4x ∵∠A ′AB ＝)180(2 1x -? ∴ ?=++-?18044)180(2 1x x x ，于是可解出x ＝12°。 8、过P 作AB 的平行线分别交DA 、BC 于E 、F ，过P 作BC 的平行线分别交AB 、CD 于G 、H 。 设AG ＝DH ＝a ，BG ＝CH ＝b ，AE ＝BF ＝c ，DE ＝CF ＝d ， 则 2 2 2 2 2 2 2 22 222DP a d c b BP d b CP c a AP ++=+=+=＝， ， ， 于是22 2 2 DP BP CP AP +=+，故184532 2 2 2 2 2 2 =-+=-+=BP CP AP DP ， DP ＝32 9、提示：由题意∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝120°，设∠PBC ＝α，∠ABC ＝60° 则∠ABP ＝60°－α，∴∠BAP ＝∠PBC ＝α， ∴△ABP ∽△BPC ， PC BP BP AP =，BP 2＝AP ·PC 3448== ?= PC AP BP 10、证明：如图延长AD 至E ，使AD ＝DE ，连结BE 。 ∵BD ＝DC ，AD ＝DE ，∠ADC ＝∠EDB ∴△ACD ≌△EBD ∴AC ＝BE 在△ABE 中，AE ＜AB ＋BE ，即2AD ＜AB ＋AC ∴AD ＜2 1（AB ＋AC ） E F H （四）面积及等积变换专题 1、如图9-1，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 交于O ，点P 在AB 的延长线上，且BP ＝CD ，则图形中面积相等的三角形有 （ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 2、如图9-2，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE ，设AF 、CE 交于点G ，则ABCD AGCD S S 矩形四边形 等于 （ ） A. 6 5 B. 5 4 C. 4 3 D. 3 2 3、设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且AB AD ＝ 3 1，若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EA CE 的值为 （ ） A. 2 1 B. 3 1 C. 4 1 D. 5 1 4、如图9-3，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、AB 为边，在△ABC 外作正方形ACEF 和正方形AGHB ，作CK ⊥AB ，分别交AB 和GH 于D 和K ，则正方形ACEF 的面积S 1与矩形AGKD 的面积S 2的大小关系是 （ ） A. S 1＝S 2 B. S 1＞S 2 C. S 1＜S 2 D. 不能确定，与 AB AC 的大小有关 5、如图9-6，矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 为垂足，则DE ＝（ ） A. 2 2 42b a a b + B. 2 2 4b a a b + C. 2 2 42b a a b + D. 2 2 4b a a b + 6、O 为△ABC 内一点，AO 、BO 、CO 及其延长线把△ABC 分成六个小三角形，它们的面积如图9-7所示，则S △ABC ＝（ ） A. 292 B. 315 C. 322 D. 357 图 9-1 F 图9-2 图 9-3 C 图9-7 C D 图9-6 7、如图9-11，已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且BD ＝4，DC＝1，AE＝5，EC＝2。连结AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q、R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为＿＿＿＿＿ 8、如图9-13，P是矩形ABCD内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝ 5，则PD＝＿＿＿＿ 9、如图9-16，在 中，P1、P2、 P3……P n-1是BD的n等分 点，连结AP2，并延长交BC于点E，连结AP n-2并延长交CD于点F。 ①求证：EF∥BD ②设的面积是S，若S △AEF ＝ 8 3 S，求n 10、如图9-17，△ ABC是等腰三角形，∠C＝90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC 各边的距离等于1，将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A1B1C1，两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ。 ①证明：△AKL，△BMN，△CPQ ②求证：△ABC与△A1B1C1公共部分的面积。 B 图9-11 D B E 图9-16 图9-17 A1 D 图9-13 【答案与解析】 1、C 。ACD BCP BCD BCP BCD ACD BOC AOD ABD ABC S S S S S S S S S S ??????????=====，，，， 2、D 。连结AC ，有3:1:=??ABC AGC S S ，则 ABCD ABCD ABCD ACD AGC AGCD 3 22 1213 1S 矩形矩形矩形四边形 ＝ S S S S S +?= +=??。 3、B 。如图联结BE ，ADE ?S ＝4 14 31= -， 设 x AC CE =，则x ABE -=?1S 4 14131S = =-=?x x A D E ， ∴ 3 1=EA CE 4、A 。解：AG AD S AC S ?==221，，因为ACB Rt ADC Rt ??∽， 所以 AB AC AC AD =，即AB AD AC ?=2 ，又因为AB ＝AG ， 所以22 1S AG AD AC S =?==，所以应选A 。 5、A 。解：由△ADE ∽△ABM ，得DE ＝ 2 2 22 42) 2 1(b a a b b a ab AM AB AD += += ? 6、B 。 ∵ CDO ACO BDO ABO S S DO AO S S ????==，即 303540 84x y += + 又∵CEO BCO BDE ABO S S OE BO S S ????==，即 35 7084=+x y ∴???=-=-84211234y x y x ，解之得? ??==5670y x ∴S △ABC ＝84+40+30+35+70+56＝315。 7、 1089 400。解：过点E 作EF ∥AD ，且交BC 于点F ，则 5 2= = EA CE FD CF ，所以 B C 7 52 55= ?+= CD FD 。因为PQ ∥CA ，所以 33 287 544= + = = = BF BD BE BP EA PQ 于是33 140= PQ 。因为PQ ∥CA ，PR ∥CB ，所以∠QPR ＝∠ACB ， 因为△PQR ∽△CAB 故1089 400)33 20( )(2 2 = ==??CA PQ S S CAB PQR 。 8、32。解：过点P 作AB 的平行线分别交DA 、BC 于E 、F ，过P 作BC 的平行线分别交 AB 、CD 于G 、H 。设AG ＝DH ＝a ，BG ＝CH ＝b ，AE ＝BF ＝c ，DE ＝CF ＝d ，则 2 2 2 222 222222 CP a d DP c b BP d b c a AP +=+=++=，，＝，， 于是2 2 2 2DP BP CP AP +=+，故184532 222 2 22 =-+=-+=BP CP AP DP ，DP ＝ 32。 9、解：①因AD ∥BC ，AB ∥DC ，所以DA P BE P AB P FD P n n 2222∽， ∽??-- 从而有 2 2 AP 2222222222-==-= =----n B P DP E P n D P BP F P AP n n n n ， 即 F P AP F P AP n n 2222= -- 所以EF ∥BD ②由①可知 2 2-= n AB DF ，所以S n S AFD 2 1 -=?，同理可证S n S ABE 2 1-= ? 显然22 -=n DC DF ，所以2 4 1--=-=-=n n DC DF DC DF DC DC FC ， 从而知S n n S ECF 2)24(21--= ?，已知,83 S S AEF =?所以有 S n n S n S S 2 )24(2121 283 ----?-=，即8 3)2(2)4(2212 2 =-----n n n 解方程得n ＝6。 10、证明：①连结OC 、OC 1，分别交PQ 、NP 于点D 、E ，根据题意得∠COC 1＝45°。 ∵点O 到AC 和BC 的距离都等于1，∴OC 是∠ACB 的平分线。 ∵∠ACB ＝90° ∴∠OCE ＝∠OCQ ＝45° 同理∠OC 1D ＝∠OC 1N ＝45° ∴∠OEC ＝∠ODC 1＝90° ∴∠CQP ＝∠CPQ ＝∠C 1PN ＝∠C 1NP ＝45° ∴△CPQ 和△C 1NP 都是等腰直角三角形。 ∴∠BNM ＝∠C 1NP ＝45° ∠A 1QK ＝∠CQP ＝45° ∵∠B ＝45° ∠A 1＝45° ∴△BMN 和△A 1KQ 都是等腰直角三角形。 ∴∠B 1ML ＝∠BMN ＝90°，∠AKL ＝∠A 1KQ ＝90° ∴∠B 1＝45° ∠A ＝45° ∴△B 1ML 和△AKL 也都是等腰直角三角形。 ②在Rt △ODC 1和Rt △OEC 中， ∵OD ＝OE ＝1，∠COC 1＝45° ∴OC ＝OC 1＝ 2 ∴CD ＝C 1E ＝ 2-1 ∴PQ ＝NP ＝2（2-1）＝22-2，CQ ＝CP ＝C 1P ＝C 1N ＝2（2-1）＝2－2 ∴223) 22(212 -=- ?= ?CPQ S 延长CO 交AB 于H ∵CO 平分∠ACB ，且AC ＝BC ∴CH ⊥AB ， ∴CH ＝CO ＋OH ＝2+1 ∴AC ＝BC ＝A 1C 1＝B 1C 1＝2（2＋1）＝2＋2 ∴223) 22(212 +=+ ?= ?ABC S ∵A 1Q ＝BN ＝（2+2）－（22-2）－（2－2）＝2 ∴KQ ＝MN ＝ 2 2＝2 ∴1) 2(2 12 =?= ?BMN S ∵AK ＝（2+2）－（2－2）－2＝2 ∴1) 2(2 12 =?= ?AKL S 2 2411)223)223(S -S -S -S AKL BMN CPQ ABC KLMNPQ -=---+∴???? －（ ＝ ＝多边形 S （五）三角形的四心及平移、旋转、覆盖专题 1、G 是△ABC 的重心，连结AG 并延长交边BC 于D ，若△ABC 的面积为6cm 2 ， 则△BGD 的面积为（ ） A. 2cm 2 B. 3 cm 2 C. 1 cm 2 D. 2 3 cm 2 2、如图10-1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠C 的平分线与∠B 的外角的平分线交于E 点，则∠AEB 是（ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 3、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝20°，如图10-2，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转角α到∠A ’C ’B ’的位置，其中A ’、B ’分别是A 、B 的对应点，B 在A ’B ’上，CA ’交AB 于D ，则∠BDC 的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 4、如图10-3，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上， 折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，△CEF 的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1、B 1、C 1分别是点I 关于BC 、CA 、AB 的对称点， 若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6、在凸四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠ABC ＝90°，则∠DAB 的度数是＿＿＿＿＿ 7、如图10-5，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，将矩形ABCD 沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是 图10-1 B ’图10-2 D A E B C A D E B C F 图10-3 A B C D E D ’ 图10-5 ＿＿＿＿＿＿＿ 8、已知AM 是△ABC 中BC 边上的中线，P 是△ABC 的重心，过P 作EF （EF ∥BC ），分别交AB 、 AC 于E 、F ，则 AF CF AE BE ＝＿＿＿＿＿＿＿＿ 9、在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE ＝DF ，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线相交于P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N 。 求证：①△DEM ≌△DFN ②∠PAE ＝∠PBF 10、如图10-8，在△ABC 中，AB ＝AC ，底角B 的三等分线交高线AD 于M 、N ，边CN 并延长交AB 于E 。 求证：EM ∥BN F 图10-7 D 图10-8 【答案与解析】 一、选择题 1、解：)(12 131312 cm S S S ABC ABD BGD =?= = ???。选C 。 2、解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则∠ABC ＝60°，因为EB 是∠B 的外角的 平分线，所以∠ABE ＝60°，因为E 是∠C 的平分线与∠B 的平分线的交点，所以E 点到CB 的距离等于E 到AB 的距离，也等于E 点到CA 的距离，从而AE 是∠A 的外角的平分线。 所以?=?= ∠752 150BAE ，∠AEB ＝180°－60°－75°＝45°。应选B 。 3、解：依题意在等腰三角形B ′CB 中，有∠B ′CB ＝α，∠B ′＝90°－20°＝70°。 所以α＝180°－2×70°＝40°，即∠DCA ＝α＝40°， 从而∠BDC ＝∠DCA ＋∠A ＝40°＋20°＝60°。应选D 。 4、解：由折叠过程知，DE ＝AD ＝6，∠DAE ＝∠CEF ＝45°，所以△CEF 是等腰直角三角形， 且EC ＝8－6＝2，所以S △CEF ＝2。故选A 。 5、解：因为IA 1＝IB 1＝IC 1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以I 点同时是△A 1B 1C 1的外接 圆的圆心，设IA 1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA 1＝2ID ，所以∠IBD ＝30°。同理，∠IBA ＝30°，于是∠ABC ＝60°。故选C 。 6、解：连AC ，即AD ＝a ，则在等腰Rt △ABC 中 2 2 2222 22 )3(8AD CD a a a BC AB AC -=-==+= 有∠CAD ＝90° ∠DAB ＝∠DAC ＋∠CAB ＝90°+45°＝135°。 7、解：设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为S ，则： EC EC AB S S S S S S S AEC AEC ABCD AEC C AD ABC 2 52 11= ?= -=-+=?????矩形 由Rt △ABE ≌Rt △CD 1E 知EC ＝AE 设EC ＝x ，则22 2 x BE AB =+，即2 22)12(5x x =-+ 解得：48 203548 84512548 84524 1692524 169=- ?==?= = ?S S x AEC 8、解：如图分别过B 、C 两点作BG 、CK 平行于AM 交直线EF 于G 、K ，则有 AP CK AF CE AP BG AE BE == 两式相加AP CK BG AF CF AE BE +=+ 又梯形BCKG 中，PM ＝2 1 （BG+CK ），而由P 为重心得AP ＝2PM 故 122== + PM PM AF CF AE BE 9、证明：①如图，据题设可知DM 平行且等于BN ，DN 平行且等于AM ， ∴∠AMD ＝∠BND ∵M 、N 分别是Rt △AEP 和Rt △BFP 斜边的中点 ∴EM ＝AM ＝DN FN ＝BN ＝DM 又已知DE ＝DF ∴△DEM ≌△DFN ②由上述全等三角形可知∠EMD ＝∠FND ∴∠AME ＝∠BNF 而△AME 、△BNF 均为等腰三角形 ∴∠PAE ＝∠PBF 。 10、证明：连结MC ∵AB ＝BC ，AD ⊥BC ∴∠1＝∠2＝∠3 ∵∠4＝∠5＝∠6 又∵∠7＝∠8 ∴M 是△AEC ∴EM 是∠AEN 的平分线 ∴ MN AM EN AE = 又∵∠EBN ＝2∠NBD ＝2∠1 ∠ENB ＝∠ NBD ＋∠4＝2∠1 ∴EB ＝EN ∴ MN AM EB AE = ∴EN ∥BN （六）逻辑推理专题 1、世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（ ） A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分 2、已知四边形ABCD 从下列条件中①AB ∥CD ②BC ∥AD ③AB ＝CD ④BC ＝AD ⑤∠A ＝∠C ⑥∠B ＝∠D ，任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有（ ） A. 4种 B. 9种 C. 13种 D. 15种 3、正整数n 小于100，并且满足等式n n n n =?? ????+??????+??? ???632，其中[]x 表示不超过x 的最大整数， 这样的正整数n 有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 12 D. 16 4、一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最小要抽（ ）张才能保证有4张牌是同一花色的。 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 5、观察下列图形： 根据①②③的规律，图④中三角形个数＿＿＿ ① ② ③ ④ 【答案与解析】 1、B 解：4个队单循环比赛共比赛6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线。应选B 。 2、B 解：共有15种搭配。①和② ③和④ ⑤和⑥ ①和③ ②和④ ①和⑤ ①和⑥ ②和⑤ ②和⑥ 能得出四边形ABCD 是平行四边形。 ①和④ ②和③ ③和⑤ ③和⑥ ④和⑤ ④和⑥ 不能得出四边形ABCD 是平行四边形。应选B 。 3、D 解：由 n n n n =++6 32，以及若x 不是整数，则［x ］＜x 知，2|n ，3|n ，6|n ，即n 是6的 倍数，因此小于100的这样的正整数有166100=?? ? ? ??个。应选D 。 4、B 解：4种花色相当于4个抽屉，设最少要抽x 张扑克，问题相当于把x 张扑克放进4个抽屉，至少有4张牌在同一个抽屉，有x=3×4+1＝13。故选B 。 5、解：根据图中①、②、③的规律，可知图④中的三角形的个数为1+4+3×4+32×4+33×4＝1+4+12+36+108＝161（个） （七）一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）专题 1、 已知21,x x 是关于x 的一元二次方程012)13(2 2=-+-+a x a x 的两个实数根，使得 80)3)(3(2121-=--x x x x 成立。求实数a 的所有可能值。 ` 2、已知关于x 的一元二次方程2 0x cx a ++=的两个整数根恰好比方程2 x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值。 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，求│p │+│q │的值。 【答案与解析】 1、解：由条件知056)12(4)13(222≥+-=---=?a a a a ，解得5≥a 或1≤a ． 又由根与系数的关系知)13(21--=+a x x ，122 21-=a x x ， 于是212 21212 22 1212116)(310)(3)3)(3(x x x x x x x x x x x x -+=-+=-- 19185)12(16)13(32 2 2 +--=---=a a a a ， 由80191852 -=+--a a ，解得3=a （舍去）或5 33- =a ． 于是5 33- =a ．综上所述，所求的实数5 33- =a ． 2、解：设方程20x ax b ++=的两个根为α、β，其中α、β为整数，且α≤β 则方程20x cx a ++=的两个整数根为α＋1、β＋1， 自主招生物理奥赛辅导讲义 朱亚文 目录 一、运动学 1 运动学基本内容 2 相对运动 3 物系相关速度 二、静力学 1常见几种力系统质心计算 2 摩擦角 3 两类平衡问题的处理方法 三、动力学 1 动力学基本原理牛顿第二定律与动量定理 2 连接体问题 3 非惯性系问题惯性力 四、能量动量 五、简单刚体力学问题 六、电磁学 七、自主招生物理奥赛的基本数学知识 初等数学全部知识 导数、简单微积分 八、物理常用方法（具体解题中应用） 整体法、隔离法、假设法、等效法、对称法（镜像法）、图像法、类比法（相似法）、递推法、微元法、极限法 一、运动学 （一）基本概念 1．质点2．参照物 3．参照系——固连于参照物上的坐标系（解题时要记住所选的是参照系，而不仅是一个点） 4.参考系的转换：动参考系，静参考系 （1）相对运动：动点相对于动参考系的运动 （2）绝对运动：动点相对于静参考系统（通常指固定于地面的参考系）的运动 （3）牵连运动：动参考系相对于静参考系的运动 （二）运动的描述 1．位置2．位移3．速度4．加速度5、时间（时刻） （三）匀变速直线运动规律 1、基本规律及理解（5个） 2、比例关系 3、中点公式 4、推论（注意矢量性和条件） （四）运动的合成与分解、相对运动 1.力的独立性原理：各分力作用互不影响，单独起作用。 2.运动的独立性原理：分运动之间互不影响，彼此之间满足自己的运动规律 3.力的合成分解：遵循平行四边形定则，方法有正交分解，解直角三角形等 （1）运动的合成分解：矢量合成分解的规律方法适用：一切矢量。 （2）位移合成定理：S A对地=S A对B+S B对地 速度合成定理：V绝对=V相对+V牵连.加速度合成定理：a绝对=a相对+a牵连 （五）物系相关速度特征： 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速度. 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同. 线状相交物系交叉点的速度是：相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和. 6.如图，点A 在函数=y x 6 -)0( 16.如图，E 、F ABCD 的边AB 、CD 上 的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于 点Q ，若S △APD 15=2 cm ，S △BQC 25=2 cm ， 则阴影部分的面积为 2 cm ． . 19.将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率； （2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．． ），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数. 2014年上海中学“创新素养培育项目”数学测试卷 一、填空题(8×9=72) 1.已知111a b a b +=+，则 b a a b +=___________. 【变式】已知：114a b a b +=+，则b a a b +=___________. 【变式】已知：114a b a b -=+，则b a a b -= ___________. 【变式】已知：22114a b a b +=+，则2 2b a a b +=___________. 1b = b =___________. 2.有________个实数x . 【变式】x 为1,2,3，……，2014 x 有_______个. 【变式】x 为1,2,3，……，2014 为有理数的x 有_______个. 【变式】有________个整数x . 3.如图，在ABC ?中，AB AC CD BF BD CE ===，，，用含A ∠的式子表示EDF ∠，应为EDF ∠=_____________. F E D C B A 【变式】如图，在等腰直角ABC ?中， 90,A ∠=AB AC CD BF BD CE ===，，，则 EDF ∠=_____________. F E D C B A 【变式】如图，在等腰直角ABC ?中，0 901 A A B A C ∠===，， D E F 、、分别是边BC CA AB 、、上的点，且CD BF BD CE ==，，则DEF S ?面积最大值为__________. F E D C B A 4.在在直角坐标系中，抛物线223 (0) 4y x mx m m =+->与x 轴交于A B 、两点，若A B 、两点到原点的距离分别为OA OB 、，且满足1123OB OA -= ，则m =_________. 5.定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，72r <且r 是一个整数，动圆B 保持内切于圆A 且沿着圆A 的圆周滚动一周，若动圆B 开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则r 共有______个可能的值. 6.学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有________人. 7.对于各数互不相等的正整数组()12n a a a ，，，(n 是不小于2的正整数)，如果在i j <时有 i j a a >，则称i a 与j a 是该数组的一个“逆序”，例如数组 ()2,3,1,4中有逆序“2,1”，“4,3”，“4,1”， “3,1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组()1 23456a a a a a a ，，，，，的逆序数为2， 则 重点高中自主招生物理试题（五） 及参考答案 一、选择题（共15小题，45分，每小题所给的选项中有一个或一个以上的选项是正确的。 全部选对得3分，选对但不全得1分，错选或不选得0分。） １、在某次举重锦标赛中，一名运动员在抓举比赛时，将质量为127.5 kg的杠铃举起历时约0.5 s，再停留3 s后放下杠铃.那么，该运动员在举起杠铃过程中的平均功率约为（） A．几百瓦B．几千瓦C．几十千瓦D．几百千瓦 ２、在一个明月如皓的夜晚，李刚走在回家的路上，高悬的月亮让李刚在右侧留下长长的身影。刚下过的雨在坑洼的路面留下了一个个积水坑，李刚为了不踏入水坑，下面说法正确的是（） A．应踩在较亮的地方，因为水面发生了漫反射，看起来较暗 B．应踩在较亮的地方，因为路面发生了漫反射，看起来较亮 C．应踩在较暗的地方，因为路面发生了漫反射，看起来较暗 D．应踩在较暗的地方，因为水面发生了镜面反射，看起来较亮 ３、2008年9月“神舟”七号顺利升空，广袤的太空第一次留下了中国人的脚印.图中所示为翟志刚身着国产航天服、身系安全绳，缓缓步出轨道舱时的照片.地球就像一轮巨大的月亮，悬挂在其头顶，此时飞船绕地运行的速度高达七至八千米每秒.根据我们所学的知识可知，下述说法正确的是（） A．在此高空，翟志刚不受重力作用 B．白色的航天服能反射太阳光中的各种色光 C．由于地球对阳光的反射，飞船上的摄像机 才能拍摄到地球 D．尽管飞船速度很快，但在舱外翟志刚依靠 惯性也能随飞船飞行 ４、在2008年北京奥运会中，牙买加选手博尔特成为了一名公认的世界飞人，在男子100 m 决赛和男子200 m决赛中他分别以9.69 s和19.30 s的成绩打破两项世界纪录，获得两枚金牌.关于他在这两次决赛中的运动情况，下列说法正确的是（） A．200 m决赛中的路程是100 m决赛的两倍 B．200 m决赛中的平均速度约为10.36 m/s C．100 m决赛中的平均速度约为10.32 m/s D．100 m决赛中的最大速度约为20.64 m/s ５、如图所示的是握力计的原理图，其中弹簧上端和滑动变阻器滑 片固定在一起，AB间有可收缩的导线，R0是保护电阻，电压表可显 示压力的大小.则当握力F增加时，电压表的示数将（） A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定 ６、物理学常常把实际的研究对象或实际的过程抽象成“物理模型”。 下列选项中叙述正确的是（） 高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义 第十五讲 解析几何一（教师版） 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。 一、知识精讲 1.点到直线的距离 ： d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 2.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ θ =+??=+?. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 3.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若 d = d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 专题一：举轻若重，小题大做 ——兼谈考前三个月冲刺复习的有效性策略 例1．（2017课标1题16）如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上（与纸面平行），磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a 、b 、c 电荷量相等，质量分别为m a 、m b 、m c 。已知在该区域内，a 在纸面内做匀速圆周运动，b 在纸面内向右做匀速直线运动，c 在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是 A ．a b c m m m >> B ． b a c m m m >> C ．c b a m m m >> D ． a c b m m m >> 例2．（2017课标1题15）发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网，其原因是 A ．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 B ．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大 C ．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少 D ．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 例3．（2017课标2题17）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物快以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物快落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度为g ） A.216v g B.28v g C.24v g D.2 2v g 例4．（2017课标2题19）如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q 为远日点，M，N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M，Q到N的运动过程中 A.从P到M所用的时间等于T0/4 B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大 C. 从P到Q阶段，速率逐渐变小 D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功 例5．（2017课标3题21）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c 三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是A．电场强度的大小为2.5 V/cm B．坐标原点处的电势为1 V C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV 例6.（2016·课标1题20）如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直平面（纸面）内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知 A.Q点的电势比P点高 B.油滴在Q点的动能比它在P点的大 C.油滴在Q点的电势能比它在P点的大 D.油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小 自主招生强化讲义第四章------数列 一、 进门考试题 （2010“华约”）设+(x)= +1x m f x ，且存在函数=(t)s ?1 =at+b,(t>,a 0)2 ≠，满足2-12+1 ( )=t s f t s 。 1) 证明：存在函数=(s)=cs+d(s>0)t ψ，满足2+12-1 ( )=s t f s t ； 2) 设1x =3，+1=(),n=1,2,......,n n x f x 证明：-11 |x -2|3 n n ≤ 二、 数列基础知识补充 数列中知识点的考察大部分会落脚于数列通项性质以及数列前n 项和的考察，所以 我们先对数列通项以及前n 项和的求法做一些补充。 1. 数列通项的求法总结 a. 递推式+1=+(n)n n a a f 或+1=(n)n n a f a 对于以上递推关系的通项求法，一般来说相应的(n)f 比较特殊，可以利用累加法和累乘法进行求解 b. 递推式+1=p +(n)n n a a f 只需构造数列，来消除(n)f 带来的差异。 例1. 设数列{}n a ，满足1a =4，-1=3+2n-1n n a a ，（2n ≥）求n a 解析：这里的(n)f 是多项式，那么我们可以构造=++n n b a An B ，其中A B 、为常数。 记住，这里当(n)f 为一次式，那么构造的也是一次式，如果(n)f 是二次式或更高，就需要构造更高次的式子。 c. 递推式+1=p +q n n a a 用待定系数法+1+=p(+)n n a a λλ，求得=-1q p λ，所以+-1n q a p ?? ???? 是一个公比为p 的等比数列 例2. （2007年复旦）已知数列{}n a 满足+13+=4n n a a ，(n 1)≥，且1a =9，其前n 2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！ （2）请在背面的答题纸上作答。另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图．图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C o ．下面叙述不 正确的是 A ．各月的平均最低气温都在0C o 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C o 的月份有5个 2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A ．1x <-或5x > B ．5x > C ．15x -<< D ．无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温 3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图 万有引力定律和天体运动 1，证明：一个质量分布均匀的球壳对球体内任一质点的万有引力为零。 2，2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 （A）在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度 （B）在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能 （C）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 （D）在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 3，我国于2007年10月24日成功发射了“嫦娥一号”探月卫星， 卫星由地面发射后，由发射轨道进入停泊轨道，然后再由停泊轨道调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道，开始绕月做匀速圆周运动，对月球进行探测，其奔月路线简化后如图所示。 ?卫星从停泊轨道进入地月转移轨道时速度应增加还是减小？ ?若月球半径为R，卫星工作轨道距月球表面高度为H。月球表面 的重力加速度为（g为地球表面的重力加速度），试求：卫星在 工作轨道上运行的线速度和周期。 ?速度应增加（2分） ?由向心力公式得：（2分） 得：（2分） 由周期公式得：T＝=(2分) 4，天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G） 设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为 w1,w2。根据题意有 w1=w2 ① r1+r2=r ② 根据万有引力定律和牛顿定律，有 ③ ④ 联立以上各式解得 ⑤ 根据角速度与周期的关系知 ⑥ 联立③⑤⑥式解得 自主招生考试数学试题 一、选择题（每小题3分） 1、已知81cos sin = ?αα，且?<BG ，CD=16，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则 AE －BF= 7、如图，两个反比例函数x k y 1=和x k y 2=在第一象限内的图像依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2C 于点A ，PD ⊥x 轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积 为 8、若二次方程组?????+-==-1 )2(122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为 9、设正△ABC 的边长为2，M 是AB 中点，P 是BC 边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别为s 和t ，则22t s -= 10、在△ABC 中， AC=2011，BC=2010，AB=20112010+，则C A cos sin ?= 先解决磁场的两个问题 【例1】(北大2006 )如图所示，水平面上放有质量为 m ,带电+q 的滑块，滑块和水平面间的动摩擦系数为 仏水 平面所在位置有场强大小为 E 、方向水平向右的匀强电场和 垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场。若.■ ■，物 mg 块由静止释放后经过时间 t 离开水平面，求这期间滑块经过 的路程S. 解析：开始滑块向右加速，获得向右速度后另外受到竖直向上的洛仑兹力作用， 导致滑 块所受到的滑动摩擦力变小，做加速运动的加速度相应变大。 对滑块考察一微小时间 △,利用动量定理 qE t (mg Bqv) t m v 对上式累计求和，可得 qEt mgt Bqs mv m 而物体离开水平面时满足 Bqv m mg 联立解得： s m 2 g mgtBq q 2BEt s r~2 B q 【例2】(同济2008)回旋加速器中匀强磁场的磁感应强度 B=1T ,高频加速电压的频率 f=7.5 X 6Hz ,带电粒子在回旋加速器中运动形成的粒子束的平均电流 l=1mA ，最后粒子束 从半径R=1m 的轨道飞出，如果粒子束进入冷却 圈套”的水中并停止运动，问可使 圈套”中 的水温升高多少度？设 圈套”中水的消耗量 m=1 kg/s ，水的比热容c=4200J/ (kg K ) 解析：粒子在盒内运动有 2 V 上 V Bqv m , f R 2 R 得: q 乂 m B 设单位时间内飞出回旋加速器的粒子数为 I Nq cm 电磁感应部分的内容主要包括楞次定律、 法拉第电磁感应定律、交流电和变压器等方面 的规律，这里主要分析一下电磁感应中感生电动势和动生电动势两种情况的规律。 专题九强化训练 电磁感应 N ，则 粒子束功率P N 由热平衡条件得P IBR 2f -mv 2 IBR 2f 2 cm t 升温t 5.6 K2017朱亚文物理自主招生培训材料
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