D .f (x )≤f (2y )
解析:选A.因为f (x )+f (y )
x +y
>0,
令x =x 1,y =-x 2, 则f (x 1)+f (-x 2)x 1-x 2
>0.
又函数f (x )是奇函数,所以f (x 1)-f (x 2)
x 1-x 2
>0,即函数f (x )是定义在R 上的增函数.
因为x >2y ,所以f (x )>f (2y ),故选A.
3.已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且f (x )-g (x )=????12x ,则f (1),
g (0),g (-1)之间的大小关系是____________.
解析:在f (x )-g (x )=????12x 中,用-x 替换x ,得f (-x )-g (-x )=2x ,由于f (x ),g (x )分别
是定义在R 上的奇函数和偶函数,所以f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),因此得-f (x )-g (x )=
2x
.解得f (x )=2-x -2x 2,g (x )=-2-x +2x 2,于是f (1)=-34,g (0)=-1,g (-1)=-54
,故
f (1)>
g (0)>g (-1).
答案:f (1)>g (0)>g (-1)
4.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f (x )=m (m >0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,则x 1+x 2+x 3+x 4=________.
解析:∵f (x )为奇函数并且f (x -4)=-f (x ).
∴f (x -4)=-f (4-x )=-f (x ),即f (4-x )=f (x ),且f (x -8)=-f (x -4)=f (x ), 即y =f (x )的图象关于x =2对称,并且是周期为8的周期函数. ∵f (x )在[0,2]上是增函数,
∴f (x )在[-2,2]上是增函数,在[2,6]上为减函数,据此可画出y =f (x )的图象.
其图象也关于x =-6对称, ∴x 1+x 2=-12,x 3+x 4=4, ∴x 1+x 2+x 3+x 4=-8. 答案:-8
5.已知函数f (x )=2|x -2|+ax (x ∈R )有最小值.
(1)求实数a 的取值范围;
(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数,且当x <0时,g (x )=f (x ),求g (x )的解析式.
解:(1)f (x )=?
????(a +2)x -4,x ≥2,
(a -2)x +4,x <2,
要使函数f (x )有最小值,需?
????a +2≥0,
a -2≤0,∴-2≤a ≤2,
故a 的取值范围为[-2,2].
(2)∵g (x )为定义在R 上的奇函数,
∴g (-0)=-g (0),∴g (0)=0.设x >0,则-x <0. ∴g (x )=-g (-x )=(a -2)x -4,
∴g (x )=????
?(a -2)x -4,x >0,0, x =0,(a -2)x +4,x <0.
6.(选做题)(2015·山东菏泽模拟)已知函数y =f (x )在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是
减函数.
(1)求证:对任意x 1,x 2∈[-1,1],有[f (x 1)+f (x 2)]·(x 1+x 2)≤0;
(2)若f (1-a )+f (1-a 2
)<0,求实数a 的取值范围. 解:(1)证明:若x 1+x 2=0,显然不等式成立. 若x 1+x 2<0,则-1≤x 1<-x 2≤1,
∵f (x )在[-1,1]上是减函数且为奇函数, ∴f (x 1)>f (-x 2)=-f (x 2),∴f (x 1)+f (x 2)>0. ∴[f (x 1)+f (x 2)](x 1+x 2)<0成立.
若x 1+x 2>0,则1≥x 1>-x 2≥-1, 同理可证f (x 1)+f (x 2)<0.
∴[f (x 1)+f (x 2)](x 1+x 2)<0成立.
综上得证,对任意x 1,x 2∈[-1,1],有[f (x 1)+f (x 2)]·(x 1+x 2)≤0恒成立.
(2)∵f (1-a )+f (1-a 2)<0?f (1-a 2
)<-f (1-a )=f (a -1),∴由f (x )在定义域[-1,1]上是减函数,得
?????-1≤1-a 2≤1,-1≤a -1≤1,1-a 2>a -1,即?????0≤a 2
≤2,
0≤a ≤2,a 2+a -2<0,
解得0≤a <1. 故所求实数a 的取值范围是[0,1).
专题:函数单调性、奇偶性、对称性、周期性.docx
专题:函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1.单调函数与严格单调函数 设 f(x) 为定义在I上的函数,若对任何 x1 , x2I ,当 x1x2时,总有 (ⅰ ) f (x1) f ( x2) ,则称f (x)为I上的增函数,特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。 (ⅱ ) f (x1) f ( x2) ,则称f (x)为I上的减函数,特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。 2.函数单调的充要条件 ★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数,x1、 x2为区间内两任意值,那么有: f (x1) f ( x2)或 x1x20(x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0 ★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数,x1、 x2为区间内两任意值,那么有: f (x1) x1 3.函数单调性的判断(证明 ) (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x 2 )[ f (x1)f (x2)] 0 x20(x1 对于函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性,当x a, b 时 u m,n,且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性,则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。 5.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ,若它们的定义域分别为I 和 J ,且 I J: (1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时,函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同, F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x) ( g(x) 0)的增减性不能确定;g( x) (2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时,我们假设 f ( x) 为增函数, g ( x) 为减函数,那么: ① F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定; ② F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x) (g( x)0) 为增函数, F5 (x) g( x) ( f ( x)0) 为减函数。 g (x) f (x) 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ,都有 f ( x) f ( x) ,则称函数 f (x) 为偶函数;如果对于函数 f (x) 的定义域内的任
最新基本初等函数讲义(全)
一、一次函数 二、二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便. (3)二次函数图象的性质
图像 定义域 (),-∞+∞ 对称轴 2b x a =- 顶点坐标 24,24b ac b a a ??-- ??? 值域 24,4ac b a ??-+∞ ??? 24,4ac b a ?? --∞ ?? ? 单调区间 ,2b a ??-∞- ??? 递减 ,2b a ?? -+∞ ??? 递增 ,2b a ? ?-∞- ??? 递增 ,2b a ?? -+∞ ??? 递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为 ,2b x a =-顶点坐标是24(, )24b ac b a a -- ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞- 上递减, 在[,)2b a -+∞上递增,当2b x a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,] 2b a -∞-上递增,在[,)2 b a -+∞上递减,当2b x a =-时,2max 4()4ac b f x a -=. 三、幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. (2)幂函数的图象 2b x a =- 2b x a =-
高中数学解题方法谈:函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性的判定方法 函数奇偶性的判定方法较多,下面把常见的判定方法分类加以研究分析. 1.定义域判定法 例1 判定()(1)2f x x x =-- 的奇偶性. 解:要使函数有意义,须20x -≥,解得2x ≥, 定义域不关于原点对称, ∴原函数是非奇非偶函数. 评注:用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数,但可以通过定义域不关于原点对称,来否定一个函数的奇偶性. 2.定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性. 解: 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ,且 ()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=, ∴函数()f x 是偶函数. 评注:在定义域关于原点对称的前提下,可根据定义判定函数的奇偶性. 3.等价形式判定法 例3 判定2211 ()11x x f x x x ++-=+++的奇偶性. 解:()f x 的定义域为R ,关于原点对称,当0x =时,()0f x =, ∴图象过原点. 又0x ≠ 时,22 22 ()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--, (1)()f f x ∴-=-. 又(0)0f =,∴()f x 为奇函数. 评注:常用等价变形形式有:若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-,则()f x 为奇函数;若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=,则()f x 为偶函数(其中()0f x ≠). 4.性质判定法 例4 若0a >,()([])f x x a a ∈-,是奇函数,()() g x x ∈R 是偶函数,试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性.
函数的奇偶性专题复习
函数的奇偶性专题复习
函数的奇偶性专题复习 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明:对于函数)(x f 的定义域内任意一个x : ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数; ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数; 函数的定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要不充分条件。 二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称; ②整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x 都必须成立; ③可逆性:)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数;)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数; ④等价性:)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ;)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称; 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法: 第一种方法:利用奇、偶函数的定义,考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等, 判断步骤如下:①定义域是否关于原点对称; ②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立; 例1:判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)x x x f 2)(3+= (2)2 432)(x x x f += (3)1)(2 3--=x x x x f (4)2)(x x f = []2,1-∈x (5)2211)(x x x f -+-= (6)221()lg lg f x x x =+. 例2:判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 第二种方法:利用一些已知函数的奇偶性及下列准则(前提条件为两个函数的定义域交集不为空集): 两个奇函数的代数和是奇函数; 两个偶函数的和是偶函数; 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数; 两个奇函数的积为偶函数; 两个偶函数的积为偶函数; 奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的6个结论.
函数的单调性和奇偶性精品讲义
第三讲 函数的单调性、奇偶性 一、知识点归纳 函数的单调性 (1)定义:设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1f (x 2)),那么就说f (x )在区间D 上是增函数(减函数),区间D 为函数y =f (x )的增区间(减区间)概括起来,即 12 12121212121212()()()()()()()()x x x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x ??<>????? <>???? ? ?<>??? ???>??? 增函数或“同增异减”减函数或 (2)函数单调性的证明的一般步骤:①设1x ,2x 是区间D 上的任意两个实数,且12x x < ②作差12()()f x f x -,并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子;③确定12()()f x f x -的符号;④给出结论 证明函数单调性时要注意三点:①1x 和2x 的任意性,即从区间D 中任取1x 和2x ,证明单调性时不可随意用量额特殊值代替;②有序性,即通常规定12x x <;③同区间性,即1x 和2x 必须属于同一个区间。 (3)设复合函数()[]x g f y =是定义区间M 上的函数,若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反,则()[]x g f y =在区间M 上是减函数;若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同,则()[]x g f y =在区间M 上是增函数。概括起来,即“同增异减II 号” (4)简单性质: ①()f x ()f x 与()f x -及 1 () f x 单调性相反 ②在公共定义域内: 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数;减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数; 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数;减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。 (5)必须掌握特殊函数单调性 ① 一次函数y kx b =+:
第招 如何判断函数的奇偶性
第11招 如何判断函数的奇偶性? 判断函数的奇偶性(有的还牵涉三角函数)是高考中常考的知识点,一般以选择题形式出现. 解法指导与经典范例 (一) 判断函数奇偶性的方法 1. 定义法 这是最常用的方法.其解法步骤如下:(1)确定函数的定义域是否是关于原点的对称区间.若不是,可判断该函数是非奇非偶函数.若是,再按下列步骤继续进行.(2)在定义域内任取x ,以-x 代换f(x)中的x 得f(-x).(3)依据定义得出结论. 注意:(1)既是奇函数又是偶函数的函数只能是f(x)=0. (2)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0.(如例6证一) 【例1】函数 ()()是x x x x f +-? +=11( ). A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D0非奇非偶函数 解 (]()() 的奇偶性】判断函数【例原点对称的区间由于这定义域不是关于想)的定义域为函数得?????>+-<+=-≤<-≥+-00)(2. .1,19,1101122x x x x x x x f f x x x 解 当x<0时,-x>0,()()() ().)(22x f x x x x x f -=+-=-+--=-∴ 而当x>0时,-x<0,()()()()x f x x x x x f -=-=-+-=-∴22 ()()()()().,,00,为奇函数故都有对任意x f x f x f x =-+∞∞-∈∴ 【例3】2002.北京文三(22)已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的a 、b R ∈都满足:()()().a bf b af b a f +=? (1) 求f(0)、f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论. 解(1)()()()()()()=?==?+?=?=111.00000000f f f f f f ()()1111f f ?+? ()f f ∴=,12(1)=0. (2)f(x)是奇函数.证明如下: ()()()[]()()()()().01.01,1211111=-∴=--=----=-?-=f f f f f f f 而 又 ()()()()()().,11是奇函数x f x f xf x f x f x f ∴-=-+-=?-=- 2. 利用定义的等价命题来判断 ()()()()()().00是偶函数是奇函数;x f x f x f x f x f x f ?=--?=-+ 或:当()()()()()() ().110是偶函数是奇函数;时, x f x f x f x f x f x f x f ?=-?-=-≠
2高一数学函数的奇偶性(1对1)
师:什么是函数的奇偶性呢? 生:回答 师:我们在函数奇偶性的知识点上重点考察的题型有哪些呢? 生:回答 师:我们通过今天的学习一起来回顾一下函数奇偶性的重点题目。 一、函数奇偶性定义 1、图形描述: 函数()f x 的图像关于y 轴对称?()f x 为偶函数; 函数()f x 的图像关于原点轴对称?()f x 为奇函数 定量描述 一般地,如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ,都有()()f x f x -=,则称()f x 为偶函数;如果都有()()--f x f x =,则称()f x 为奇函数;如果()()f x f x -= 与 函数的奇偶性
()()--f x f x =同时成立,那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数;如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立,那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函 数。 如果函数()f x 是奇函数或偶函数,则称函数()y f x =具有奇偶性。 特别提醒: 1、函数具有奇偶性的必要条件是:函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤:(1)考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称,可直接判定该函数不具有奇偶性;若对称,则进入第二步;(2)判断 ()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况,根据定义来判定该函数的奇偶 性。 二、函数具有奇偶性的几个结论 1、()y f x =是偶函数?()y f x =的图像关于y 轴对称;()y f x =是奇函数? ()y f x =的图像关于原点对称。 2、奇函数()f x 在0x =有定义,必有()00f =。 3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反;奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。 4、()(),f x g x 是定义域为12,D D 且1 2D D 要关于原点对称,那么就有以下结论: 奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇?奇=偶 偶?偶=偶 奇?偶=奇 5、复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”。 6、多项整式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=++ +的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项的系数和常数项全为零; 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项的系数全为零。 (20-40分钟) 类型一 函数奇偶性的判断 例1:判断下列函数是否具有奇偶性: (1)f (x )=2x 4+3x 2 ; (2)f (x )=1x +x ; 练习1:判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=x 2 +1; 考点
高中数学函数奇偶性专题复习
【函数的奇偶性】专题复习 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明:对于函数)(x f 的定义域内任意一个x : ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数; ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数; 二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称; ②整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x 都必须成立; ③可逆性:)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数;)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数; ④等价性:)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ;)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称; ⑥可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法: 第一种方法:利用奇、偶函数的定义,考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等,判断步骤如下: ①定义域是否关于原点对称;②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立; 例1:判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)x x x f 2)(3 += (2)2 4 32)(x x x f += (3)1 )(2 3--=x x x x f (4)2 )(x x f = []2,1-∈x (5)x x x f -+-=22)( (6)2 |2|1)(2 -+-=x x x f ; (7)2211)(x x x f -+-= (8)2 21()lg lg f x x x =+; (9)x x x x f -+-=11)1()( 例2:判断函数???<≥-=) 0() 0()(22x x x x x f 的奇偶性。 第二种方法:利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 (前提条件为两个函数的定义域交集不为空集) : 35721246822()...1(0);()sin ;tan ()...(0);;()cos ;();log ;(0,0) (0)0()k k x a x x x x x k Z k k x x x x x x x x x x k Z ax c b x f x x y C C a x kx b k b y x a a y y +?∈? ?≠+?????∈??+=??=???+≠≠??=+≠??==常见的奇函数:耐克函数常见的偶函数:为常数常见的非奇非偶函数:定义域关于原点对称常见的既奇又偶函数:1)x ????? ? ? ???? ?? ???? ?????=±????两个点的函数 四、关于函数的奇偶性的 两个奇函数的代数和是奇函数; 两个偶函数的和是偶函数; 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数; 两个奇函数的积为偶函数; 两个偶函数的积为偶函数; 奇函数与偶函数的积是奇函数。
函数奇偶性经典讲义-新
Ⅰ复习提问 (一)奇偶函数的定义 (二)、函数按奇偶分类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数(非奇非偶) (三)、奇偶函数的性质: 1、奇函数的反函数也是奇函数 2、奇偶函数的加减:±±±奇奇=奇,偶偶=偶,奇偶=非奇非偶;奇偶函数的乘除:同偶异奇 3、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 4、定义在R 上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和 ()()()()()() ()22 f x f x f x f x f x --+-= +奇偶 (四)、函数奇偶性的做题方法与步骤。 第一步,判断函数的定义域是否关于原点对称;第二步,求出()f x -的表达式;第三步, 比较()()f x f x -与的关系()()()()f x f x f x f x -???-?? 与相等,函数为偶 与互为相反数,函数为奇函数 Ⅱ 题型与方法归纳 题型与方法()()()()()0,0,020,===f x f x f x f x ?+-=??→?? --=????±±±?? ?? ??则是奇函数 定义法:1)看定义域是否关于对称,)若则是偶函数奇偶加减:奇奇奇,偶偶偶,奇偶非奇非偶快速判定奇偶乘除:同偶异奇。 一、判定奇偶性 例1:判断下列函数的奇偶性
1) ()()21f x x x =+ 2)()112 log x x f x -?? ?+?? = 3)( )f x =4)( )f x =)()2 2110 2 110 2x x f x x x ?+>??=? ?--? 解:1)()f x 的定义域为R ,()() () ()2 211f x x x x x -=--+=+()f x =所以原函数为偶函数。 2)()f x 的定义域为 11x x -+0>即11x -<<,关于原点对称()()()11112 2 log log x x x x f x ?? --+?? ? ? ?+--?? ?? -== ()21log 1x f x x -?? =-=- ?+?? ,所以原函数为奇函数。 3) ()f x 的定义域为2 210 10 x x ?-≥??-≥??即1x =±,关于原点对称,又()()110f f -==即 ()()()()1111f f f f -=-=-且 ,所以原函数既是奇函数又是偶函数。 4)()f x 的定义域为20 20x x -≥??-≥? 即2x =,定义域不关于原点对称,所以原函数既不是奇函数又不是偶 函数。 5)分段函数()f x 的定义域为()(),00,-∞?+∞关于原点对称, 当0x >时,0x -<,()()()2 22111111222f x x x x f x ??-=- --=--=-+=- ??? 当0x <时,0x -> ,()()()2 22111111222f x x x x f x ??-= -+=+=---=- ??? 综上所述,在()(),00,-∞?+∞上总有()()f x f x -=- 所以原函数为奇函数。 注意:在判断分段函数的奇偶性时,要对x 在各个区间上分别讨论,应注意由x 的取值范围确定应用相应的函数表达式。 练习1:判断下列函数的奇偶性 1)()()()() 2616x x f x x x -+=- 2)( )22 f x x = +- 3)( )f x = 4)()22f x x x =++- 5)()22 00 x x x f x x x x ?+=?-+>?? 二、利用奇偶性求函数解析式:
最新函数的奇偶性的经典总结
x x x f 1)(+ =1 )(2+= x x x f x x f 1)(= 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1.偶函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f =-, 0)()(=--x f x f ,那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ,都有()()x f x f -=-, 0)()(=+-x f x f ,那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意:(1)判断函数的奇偶性,首先看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非偶函数,若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 (2)在判断()x f 与()x f -的关系时,只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴ x x x f +=2)(,(2) x x x f -=3)( (3) ()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(,(8) 提示:上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 (1)判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 (2)常见的奇函数有:x x f =)(,3 )(x x f =,x x f sin )(=, (3)常见的奇函数有:2 )(x x f =,x x f =)(,x x f cos )(= (4)若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 为 偶函数,()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时, ) () (x g x f 为偶函数。 (5)若()x f ,()x g 都是奇函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 是奇函数,()-x f ()x g 是奇函数,()()x g x f ?是偶函数,当()x g ≠0时, ) () (x g x f 是偶函数。
高一数学函数奇偶性练习题及答案解析
高一数学函数奇偶性练习题及答案解析 数学函数奇偶性练习题及答案解析 1.下列命题中,真命题是() A.函数y=1x是奇函数,且在定义域内为减函数 B.函数y=x3(x-1)0是奇函数,且在定义域内为增函数 C.函数y=x2是偶函数,且在(-3,0)上为减函数 D.函数y=ax2+c(ac≠0)是偶函数,且在(0,2)上为增函数 解析:选C.选项A中,y=1x在定义域内不具有单调性;B中,函数的定义域不关于原点对称;D中,当a<0时,y=ax2+c(ac≠0)在(0,2)上为减函数,故选C. 2.奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)的值为() A.10 B.-10 C.-15 D.15 解析:选C.f(x)在[3,6]上为增函数,f(x)max=f(6)=8, f(x)min=f(3)=-1.∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15. 3.f(x)=x3+1x的图象关于() A.原点对称 B.y轴对称 C.y=x对称 D.y=-x对称 解析:选A.x≠0,f(-x)=(-x)3+1-x=-f(x),f(x)为奇函数,关于原点对称. 4.如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数,那么 a=________.
解析:∵f(x)是[3-a,5]上的奇函数, ∴区间[3-a,5]关于原点对称, ∴3-a=-5,a=8. 答案:8 1.函数f(x)=x的奇偶性为() A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析:选D.定义域为{x|x≥0},不关于原点对称. 2.下列函数为偶函数的是() A.f(x)=|x|+x B.f(x)=x2+1x C.f(x)=x2+x D.f(x)=|x|x2 解析:选D.只有D符合偶函数定义. 3.设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是() A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数 解析:选D.设F(x)=f(x)f(-x) 则F(-x)=F(x)为偶函数. 设G(x)=f(x)|f(-x)|, 则G(-x)=f(-x)|f(x)|. ∴G(x)与G(-x)关系不定. 设M(x)=f(x)-f(-x),
函数奇偶性与单调性的综合应用 专题
函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语:亲爱的孩子,将来的你一定会感现在拼命努力的自己!】 教学目标:1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质;. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质; 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点:函数单调性的证明;根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么?如何证明一个函数的单调性? 2.函数奇偶性的概念是什么?如何证明一个函数的奇偶性? 3.奇函数在关于原点对称的区间上,其单调性有何特点?偶函数呢? 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性,比较两个或多个函数值的大小; 2.当题目中出现“2 121) ()(x x x f x f -->0(或<0)”或“)(x xf >0(或<0)”时,往往还是 考察单调性; 3.证明或判断某一函数的单调性; 4.证明或判断某一函数的奇偶性; 5.根据奇偶性与单调性,解某一函数不等式(有时是“)(x f >0(或<0)”时x 的取值围); 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数(参数)的取值围.
二、常用解题方法 1.画简图(草图),利用数形结合; 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化; 3.证明或判断函数的单调性时,有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质,与区间无关; 2.判断函数奇偶性,应首先判断其定义域是否关于原点对称; 3.奇函数若在“0=x ”处有定义,必有“0)0(=f ”; 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质,因题而异; 5.运用单调性解不等式时,应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤: (1) 根据题意在区间上设 ; (2) 比较大小 ; (3) 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤: (1)考察函数的定义域 ; 例1 设)(x f 是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且它在[0,+∞)上单调递增,若a =)3 1(log 2 f ,b =)2 1 (log 3 f ,c =)2(-f ,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .c b a >> B .a c b >> C .b a c >> D .a b c >> 【考点】函数单调性;函数奇偶性,对数函数的性质. 【解析】 因为log 2 3函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y =f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数y =f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数,则f (-x )+f (x )=0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×) (3)如果函数f (x ),g (x )为定义域相同的偶函数,则F (x )=f (x )+g (x )是偶函数.(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(√) (5)若T 是函数的一个周期,则nT (n ∈Z ,n ≠0)也是函数的周期.(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x +a )=-f (x ),则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数.(√) (7)函数f (x )=0,x ∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.(×) (8)若函数y =f (x +a )是偶函数,则函数y =f (x )关于直线x =a 对称.(√) (9)若函数y =f (x +b )是奇函数,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称,则该函数为偶函数;若某函数的图象关于(0,0)对称,则该函数为奇函数.(√) 考点一 判断函数的奇偶性
第3讲 函数的奇偶性与周期性专题
第三讲 函数的奇偶性与周期性 考点分析: 1.判断函数的奇偶性. 2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. 3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用. 复习指导: 复习时应结合具体实例和函数的图象,理解函数的奇偶性、周期性的概念,明确它们在研究函数中的作用和功能.重点解决综合利用函数的性质解决有关问题. 知识梳理:、 1、奇、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和(差)是奇函数,两个奇函数的积(商)是偶函数; ②两个偶函数的和(差)、积(商)都是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积(商)是奇函数.一个奇函数,偶函数的和(差)是非奇非偶函数 ▲奇奇=奇,奇×奇=偶,偶偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 关于周期函数的常用结论: 1、若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有:
艺术生高考数学专题讲义:考点5 函数的性质——单调性、奇偶性与周期性
考点五函数的性质——单调性、奇偶性、周期性 知识梳理 1.函数的单调性 (1) 单调函数的定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数. 从图象来看,增函数图象从左到右是上升的,减函数图象从左到右是下降的,如图所示: (2)单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数,就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M称为单调区间). 2.函数的奇偶性 (1) 奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称. (2) 判断函数的奇偶性的步骤与方法 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: ①考察定义域是否关于原点对称. ②考察表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x): 若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数; 若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数; 若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数; 若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶函数,既非奇非偶函数.3.函数的周期性
函数的奇偶性的经典总结
x x x f 1)(+=1 )(2+= x x x f x x f 1)(=函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1.偶函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f =-,0)()(=--x f x f ,那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ,都有()()x f x f -=-,0)()(=+-x f x f ,那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意:(1)判断函数的奇偶性,首先看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非偶函数,若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 (2)在判断()x f 与()x f -的关系时,只需验证()()0=±-x f x f 及 ) ()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2)(,(2)x x x f -=3)( (3)()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(,(8) 提示:上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 (1)判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 (2)常见的奇函数有:x x f =)(,3)(x x f =,x x f sin )(=, (3)常见的奇函数有:2)(x x f =,x x f =)(,x x f cos )(= (4)若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 为 偶函数,()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时,) ()(x g x f 为偶函数。 (5)若()x f ,()x g 都是奇函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 是奇函数,()-x f ()x g 是奇函数,()()x g x f ?是偶函数,当()x g ≠0时,) ()(x g x f 是偶函数。
高一数学(必修1)专题复习一函数的单调性和奇偶性
高一数学(必修1)专题复习一 函数的单调性和奇偶性 一.基础知识复习 1.函数单调性的定义: 如果函数)(x f 对定义域内的区间I 内的任意21,x x ,当21x x <时都有 ()()21x f x f <,则()x f 在I 内是增函数;当21x x <时都有()()21x f x f >,则()x f 在I 内时减函数. 2.单调性的定义①的等价形式:设[]b a x x ,,21∈,那么()()()x f x x x f x f ?>--02 121在 [],a b 是增函数; ()()()x f x x x f x f ?<--02 121在[],a b 是减函数;()()()12120x x f x f x --???()f x ? 在[],a b 是减函数. 3.函数单调性的应用:利用定义都是充要性命题. 即若()f x 在区间I 上递增(递减)且1212()()f x f x x x <(1x ,I x ∈2); 若()f x 在区间I 上递递减且1212()()f x f x x x >(1x ,I x ∈2). ① 比较函数值的大小; ② 可用来解不等式; ③ 求函数的值域或最值等. 4.证明或判断函数单调性的方法:讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究 函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集. (1)用定义. (2)用已知函数的单调性. (3)图象法. (4)如果()f x 在区间I 上是增(减)函数,那么()f x 在I 的任一非空子区间上也是增(减)函数 (5)复合函数的单调性结论:“同增异减” . (6)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. (7)在公共定义域内,增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数;减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数;增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数;减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数. (8)函数)0,0(>>+ =b a x b ax y 在,??-∞+∞ ? ??? 或上单调递增;在 0???? ?? ??? 或上是单调递减. 5.函数的奇偶性的定义:设()y f x =,x A ∈,如果对于任意x A ∈,都有()()f x f x -=-,则称函数()y f x =为奇函数;如果对于任意x A ∈,都有()()f x f x -=,则称函数()y f x =为偶函数. 6.奇偶函数的性质: (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)()f x 是偶函数?()f x 的图象关于y 轴对称;()f x 是奇函数?()f x 的图象关于原点对称.(3)()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ?=-=. (4)若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =.
高考数学专题:函数的奇偶性与周期性
高考数学专题:函数的奇偶性与周期性 最新考纲 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性;3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 知识梳理 1.函数的奇偶性 2. (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示 (1)函数y=x2在x∈(0,+∞)时是偶函数.() (2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.() (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.() (4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不是偶函数,(1)错. (2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,(2)错. 答案(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.(·西安铁中月考)下列函数为奇函数的是() A.y=x B.y=e x C.y=cos x D.y=e x-e-x
解析 A ,B 中显然为非奇非偶函数;C 中y =cos x 为偶函数. D 中函数定义域为R ,又f (-x )=e -x -e x =-(e x -e -x )=-f (x ),∴y =e x -e -x 为奇函数. 答案 D 3.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是( ) A.-13 B.13 C.12 D.-12 解析 依题意b =0,且2a =-(a -1),∴a =13,则a +b =1 3. 答案 B 4.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=???-4x 2+2,-1≤x <0, x ,0≤x <1,则 f ? ?? ?? 32=________. 解析 ∵f (x )的周期为2,∴f ? ????32=f ? ???? -12, 又∵当-1≤x <0时,f (x )=-4x 2+2, ∴f ? ????32=f ? ????-12=-4×? ????-122 +2=1. 答案 1 5.(·全国Ⅱ卷)偶函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称,f (3)=3,则f (-1)=________. 解析 ∵f (x )为偶函数,∴f (-1)=f (1). 又f (x )的图象关于直线x =2对称, ∴f (1)=f (3).∴f (-1)=3. 答案 3 考点一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=3-x 2+x 2-3; (2)f (x )=lg (1-x 2)|x -2|-2; (3)f (x )=? ??x 2+x ,x <0, -x 2+x ,x >0.