巧用纸条折正多边形
巧用纸条折正多边形
学完正多边形知道，正方形、正六边形可以用尺规作图，而正五边形、正七边形很难用尺规作图.现向同学们介绍一种利用折纸的方法，编写出正多边形.
材料：等宽的纸条数根
折法：如图7，以两根等宽的纸条对折，穿插后重叠部分为正方形.
图7
如图8，取一根等宽的纸条打个结，拉紧，重叠部分即为正五边形
图8
如图9，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得正六边形
图9
如图10，把图8的纸条再打一个结，拉紧，重叠部分可得正七边形
图10
思考把图10的纸条再打一个结，拉紧能得到正九边形吗？
如果纸条宽度为a cm，下面来计算编出的正多边形的边长，显然正方形的
边长a 4=a cm 如图8，在Rt △AB M 中，AM =a ，
∠BAM =108°－90°=18°
∴a 5=AB =
?18cos a 同理a 6=
?30cos a , a 7=790cos ?a
.
反过来，如果要编一个边长为b cm 的正五、六、七边形，需要的纸条宽度分别为多少呢？请同学们自己去计算一下
初中数学圆知识点总结
A 图5 圆的总结 一 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系： 1点与圆的位置关系: 点在圆 d D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠ C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 BC BD =AC AD = 实验初中高效课堂数学导学案 预习案 使用说明&学习指导1、用10分钟的时间探究课本88～91页，自主高效学习，掌握正多边形铺满平面的条件，知道任意相同的三角形、四边形或正六边形可以铺满平面； 2、思考教材助读设置的问题，限时20分钟独立完成教材助读设置的题目和预习自测； 3、将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面“我的疑惑”处。 一、旧知回顾 多边形的内角和公式是：,，多边形的外角和等于___________. 正五边形的每个内角等于°；正六边形的每个内角等于°；正八边形的每个内角等于°；正七边形的每个内角等于°。 二、教材助读 阅读课本88～91页，解答下列各题： 1．同种正多边形能铺满地面的主要原因是与正多边形的_______有关。使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个时，就可以铺满地面。（密铺的含义是既不留空白，也不________） 2．单独用正三角形铺设地面，在一个顶点的周围需要个，单独用正方形铺设地面，在一个顶点的周围需要个；单独用正六边形铺设地面，在一个顶点的周围需要个； 三、预习自测 1．分别剪一些边长相同的①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形，如果只用其中一种正多边形铺设地面，可以铺满地面的有（） A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④ 2．用正方形这一种图形铺设地面时，在它的一个顶点周围的正方形的个数是 3．下列图形不能用来铺满地面的是（） A．钝角三角形B．长方形C．梯形D．正五边形 探究案 探究点一：用相同的正多边形拼地板 分别制作12个大小、形状完全相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形和正八边形，分别动手拼图，观察思考用以上其中一种正多边形能不能够拼成一个平面图形，使它既不留下一丝空白，又不相互重叠。若能，那么围绕一点拼在一起可以拼满地板的正多边形分别需要几个？ 问题1、一种正多边形能否拼满地板应满足什么样的数学原理呢？ 【练习】 1、下列正多边形中，能够铺满地面的是（） A、正方形 B、正五边形 C、正八边形 D、正六边形 2．下列正多边形中，不能铺满地面的是( ) ． A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正七边形 3、只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（） A、正十边形 B、正五边形 C、正八边形 D、正六边形 探究点二：用多种正多边形拼地板 用已经制作的12个大小、形状完全相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形和正八边形，分别动手拼图，观察思考能不能用多种正多边形拼地板使它能够拼成一个平面图形，使它既不留下一丝空白，又不相互重叠。若能，那么围绕一点拼在一起可以拼满地板的正多边形分别需要几个？ 问题1、多种正多边形能否拼满地板应满足什么样的数学原理呢？ 【练习】 1、下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（） A、正八边形和正方形 B、正五边形和正八边形 C、正六边形和正三角形 D、正方形和正十边形 E、正五边形和正十边形 2．下列图形组合中，不能铺满地面的是( ) ． A．正三角形与正方形B．正三角形和正六边形 C．正方形和正八边形D．正五边形和正八边形 个性化辅导教案 正多边形和圆 知识梳理: 1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一 个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每 一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 正n 边形的一个中心角的度数为： 型 正多边形的中心角 与外角的大小相等。 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是 4、圆内接正n 边形的性质(nA3，且为自然数)： (1)当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中心对称图形。 接圆的圆心。 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。 (1)用量角器等分圆周。 8、定理1:把圆分成n(n 》3)等份: ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 学生姓名: 授课教师: 所授科目: 学生年 级： 上课时间：2016年 月 分至 时 分共 小时 教学重难点 教学标题 正n 边形每一个内角的度数为: n 2 180 180 °。 ⑵ 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形, 对称中心是正多边形的中心, 即外 5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系: (1)圆内接正三角形：d 1 —r (2)圆内接正四边形: 2 (设圆内接正多边形的半径为 d 丘 d ——r r ,边心距为d) (3)圆内接正六边形: 43 —r 2 6、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系: (1)圆内接正三角形：x (2)圆内接正四边形: (3)圆内接正六边形: x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关, 要做半径为 R 的正n 边形，只要把半径为 R (2)用尺规等分圆(适用于特殊的正 n 边形)。 (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形; n 边形。 2020年人教版九年级数学上册 24.3《正多边形和圆》随堂练习 基础题 知识点1 认识正多边形 1．下面图形中，是正多边形的是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 2．如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是( ) A．240° B．120° C．60° D．30° 3．一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为． 4．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB= ． 知识点2 与正多边形有关的计算 5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( ) A. 3 B．2 C．2 2 D．2 3 6．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 7．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( ) A. 2 B．2 2 C. 2 2 D．1 8．边长为6 cm的等边三角形的外接圆半径是． 9．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合．若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为( )． 10．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 (结果保留根号)． 知识点3 画正多边形 11．如图， 甲：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点； ②连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形. 乙：①以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点； ②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形. 对于甲、乙两人的作法，可判断( ) A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 12．图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形． 如图2，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)． 中档题 13．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为( ) A．4R=5r B．3R=4r C．2R=3r D．R=2r 14．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( ) A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2) 9.3 用正多边形铺设地面 原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！ 东宫白庶子,南寺远禅师。——白居易《远师》 原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！ 东宫白庶子,南寺远禅师。——白居易《远师》 9.3.1 用相同的正多边形铺设地面 1．了解密铺的要求与数学本质； 2．理解正多边形铺设地面的情形，会判断一种正多边形能否铺满地面． 一、情境导入 下面的图形是由一些地板砖铺成的，请同学们看看它们有什么特点． 二、合作探究 探究点：用相同的正多边形作平面镶嵌 装修大世界出售下列形状的地砖：（1）正三角形；（2）正五边形；（3）正六边 形；（4）正八边形；（5）正十边形，若只选购一种地砖镶嵌地面，你有种选择． 解析：由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．解：（1）正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌； （2）正五方形的每个内角是108°，不能整除360°，不能组成镶嵌； （3）正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌； （4）正八边形的每个内角是135°，不能整除360°，不能镶嵌； （5）正十边形的每个内角是144°，不能整除360°，不能镶嵌； 故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有2种． 方法总结：用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°． 用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为． 解析：根据正六边形的一个内角为120°，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数． 解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240°，故如果要密铺，需要一个内角为120°的正多边形，而正六边形的内角为120°，故答案为：6． 方法总结：解答本题关是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度． 三、板书设计 用相同的正多边形铺设地面 1.用给定的某种（或多种）正多边形能铺满地面的关键是什么？ 2.用哪一种正多边形能够铺满地面？ 本节课通过“拼地板”和有关计算，巩固多边形内角和的有关知识，理解某些正多边形能铺满地面的理由.培养学生运用数学知识分析问题、解决实际题的能力，进一步提高学生操作、观察、概括、抽象的能力；使学生在合作与探索的学习过程中，进一步体会图在现实生活中的广泛应用，提高审美情趣，认识数学的应用价值. 圆 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知 识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且CD⊥AB， C M A B AM=BM 垂足为 M AC =BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M， CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 九年级数学下册圆的知识点整理 圆的应用在数学领域中非常的广泛且常见，下面是小编给大家带来的九年级数学下册《圆》知识点整理，希望能够帮助到大家! 九年级数学下册《圆》知识点整理 第十章圆 ★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。 ☆内容提要☆ 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.三点定圆定理 4.垂径定理及其推论 5.等对等定理及其推论 5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 初中数学复习提纲 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴⑵ 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 初中数学复习提纲1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角：初中数学复习提纲 内角的一半：初中数学复习提纲(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 初中数学复习提纲4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦 9.3 用正多边形铺满地面评测练习 一、选择题 1．小明设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（） A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③ 2．在一批有相同的正n边形的瓷砖密铺地面的图案中，每一个顶点处有n个正n边形围成，n等于（）A．2B．3C．4D．6 3．如果用三种边长相等的正多边形对地面进行密铺，现已知有正三角形和正十二边形，那么另一种多边形为（） A．正五边形B．正六边形 C．正方形D．正八边形 4．某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（） A．正方形成B．正六边形C．正十二边形D．正八边形 二、填空题 5．正八边形不能铺满地面的原因是． 6．取正三角，正十边形和正n边形各一个，可铺满地面，则n=． 7. 如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中α ∠的度数是____________. 8. 如图，某文化广场的地面是由正五边形与四角星形密铺而成，图中图形的尖角∠ABC=_____________. (第7题图）（第8题图） 三、解答题 8.在用边长相等的正三角形和正六边形的地砖拼地板时，在每个顶点周围有a块正三角形的地砖和b块正六边形的地砖（0 ab），求b a+的值. ≠ 四、提升练习 9.一个正m边形恰好被正n边形围绕（无重叠，无缝隙），当m=4时，n=8，当m=10时 ,n=________. 10.一个正六边形花坛的周围用正三角形和正方形地砖铺设，由花坛中心向外铺10层，则铺设整个路面所用的正三角形和正方形地砖的总数是_________. （第10题图） 《密铺》教学设计 教材分析：《密铺》是华师大版七年级下册的一节课，让学生了解生活中的数学，它是在学生学习了“三角形、特殊四边形的基本特性”和“三角形，多边形内角和”等知 识的基础上，进一步了解生活中的实际问题。 教学目标：1．知识目标：通过探索了解平面图形的密铺的含义，初步了解哪些平面图形可以密铺，密铺的理由及简单的密铺设计.培养学生的创造性思维。 2．能力目标：促使学生在活动中，勇于探索图形间的相互关系，培养学生的空间观念，发展学生的合情推理能力。提高分析问题、解决问题能力的同时渗 透数形结合的思想。 3．情感目标：开发、培养学生的创造性思维，使其理论联系实际。培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，使学生进一步体会平面图形在现实生活中 的广泛应用。 教学重难点：重点：探索、理解密铺的涵义。难点：进行简单的密铺设计。 教学过程： 一、创设情景，引入课题 （一）按一定的规律拼图 现在请各组长拿起学习资料（1），倒出出里面的东西，看一下，有什么？（图片，正方形……磁铁） 边拼边想：你为什么把这两块拼在一起？ 已经完成的请派代表把作品拿上来…… 师：你们准备用什么方法把这些作品进行分类？ 有空隙 没有空隙一种平面图形几种平面图形 （二）通过展示的作品揭示并理解密铺的定义 师：我们先仔细观察这些没有空隙的图案。 1．这些图案有哪些共同的特点？ 2.你是怎么拼得才能做到没有空隙？如果老师再给你一些同样得图形，还可以继续拼吗？一定能把这块板铺满，如果这块板有黑板那么大，行吗？一个礼堂那么大呢？ 师：象这样把平面图形没有空隙，没有重叠地铺成一片，这种铺法数学上称它为“密铺” 对密铺一词是怎么理解的？ 哪几组刚才是密铺的？请举手！你们组是用什么图形密铺的？…… 师：真不错，有些用一种平面图形，有些两种，不管用什么图形但是他们有一个共同的特点，满满的铺成一片没有空隙。 现在你们知道数学上的密铺是什么意思了吗？你是怎么理解的？ 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺。 师：通过刚才的仔细观察发现密铺的图形每相邻两块拼板，彼此之间是不留缝隙的，又不重叠。只要大家仔细观察，生活中也有许多类似的密铺现象，请看屏幕： 请你来判断一下哪些图形是密铺的？……（1.客厅面积的估算，如果告诉你每块地砖 的面积是16平方分米，你可以初步推测到这个客厅的哪些基本情况？ 2.找一张重叠铺设的图案可以得出密铺是不能重叠的。） 问题：这些密铺的图片对图形与图形之间有什么要求？（学生思考并回答）（板书：无空隙不重叠） 怎样才能又快又准确地来判断是否密铺？ 密铺的两个条件： 1、全等的一种或几种平面图形； 2、无空隙、不重叠铺成一片。 不知道同学们是否曾经留意过身边的一些密铺图案？你能举出你身边的密铺图案吗？ 生：“麦当劳”餐厅里的地板图案。 生：人行道上地砖铺成的图案也是密铺图案。 生：一些宾馆房间里墙纸上的花纹也是密铺图案。 …… 师：平时大家都十分注意观察，这是非常好的学习习惯。在生活中处处都有数学。刚才大家举的例子都是密铺图案， 1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另 一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直 径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 4.P108圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称 轴，圆心是它的对称中心（p110） 5.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。(逆定理： 经过弦中点的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧) 6.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 7.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 8.定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等。 9.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相 等。 10.定理3：在同圆或等圆中，相等的弦所对的两条劣弧（优弧） 相等，相等的劣弧（优弧）所对的圆心角相等。相等的圆心角所对的弦相等的优劣弧之间的关系 11.不在同一条直线上的三个点确定一个圆（P117） 12.顶点在圆上，并且两边都与圆相交(弦)的角叫做圆周角。 13.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半。(p122)4-23 14.定理：（p119-120）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。 15.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 16.P123推论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，他们所 对的弧一定相等。 17.圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的一个外角等于互 补角的内对角；对角互补的四边形内接于圆 下接PPT 18.点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内— —d < r 9.3 用正多边形铺设地面 【知识与技能】 1.通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式. 2.探索用多种正多边形拼地板的过程和原理. 【过程与方法】 结合现实世界中的美丽图案，充分感受用正多边形拼地板的意义，体会用多种正多边形拼地板与一种正多边形拼地板的相互关系. 【情感态度】 联系多边形的内角和与外角和公式，探索用正多边形拼地板的道理. 【教学重点】 通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力. 【教学难点】 通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键. 一、情境导入，初步认识 小明家刚买了新房，准备装修，小明想把新房的地面铺上地板砖，所以他这段时间特别留心已铺了地板砖的地面.看了一些地板砖的铺设后，小明打算用同一种正多边形的地砖来铺满新房的地面.请你帮小明想想，他可以买哪种形状的地板砖？为什么？ 【教学说明】挖掘生活材料，使课堂教学尽量结合学生的生活实际，以实物图形加深对地板（地砖）铺设的认识.提出问题，导出本节要探究的课题. 二、思考探究，获取新知 探究1 用相同的正多边形 1.使用给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不相互重叠？（请同学们拿出预先准备好的若干张正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形） 【教学说明】通过学生动手拼图，使他们发现能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角相加恰好等于360°. 2.下面再通过计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形.完成下表： 每个内角为多少度时能拼成符合以上条件的平面图形呢？ 因为60°×6=360°，用6个正三角形瓷砖就可以铺满地面； 90°×4=360°，用4个正方形瓷砖就可以铺满地面. 为什么用正五边形瓷砖不能铺满地面呢？正八边形也不行？ 因为360°÷108°，360°÷135°得数都不是整数. 【归纳结论】当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以拼成一个平面图形. 探究2 用多种正多边形 用正三角形和正六边形能铺满地面吗？为什么？ 个性化辅导教案 1 2 学生姓名：授课教师：所授科目： 3 学生年级: 上课时间： 2016 年月日时分至时分共4 小时 分析：要求正六边形的周长，只要求AB 的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA ，过O 点作OM ⊥AB 垂于M ，在Rt △AOM?中便可求得AM ，又应用垂径定理可求得AB 的长．正六边形的面积是由六块正三角形 面积组成的。 例2：已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图). (1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ； (2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边. F D E C B A O M 例3（中考）： 如图，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？ 课堂练习： 选择题 1．一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为( ) A．9 B．8 C．7 D．6 2．如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( ) A． cm B． cm C．cm D．1 cm 第2题图第3题图第4题图 3．如图所示，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是 ( ) A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图4所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）． A．60° B．45° C．30° D．22．5° 5．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，?则这段弧所对的圆心角为（） A．18° B．36° C．72° D．144° 6．正六边形的周长为12，则同半径的正三角形的面积为________，同半径的正方形的周长为________． 7. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 . 8．如图所示，正△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，求△ABC的边长a，周长P，边心距r，面积S． 1、若在下列形状的地砖中只选一种去铺地，要求既没有空隙而地砖又不相互重叠，则不能把地面按要求铺满的地砖形状是（）A、正三角形B、正方形 C、正六边形 D、正五边形 2、下列图形中不能铺满地面是（） A、等边三角形 B、正七边形 C、正六边形 D、形状、大小相同的四边形 3、不能够铺满地面的组合图形是（） A、正八边形和正方形 B、正方形和正三角形 C、正六边形和正方形D正六边形和正三角形 4.用下列两种正多边形能拼地板的是( ) A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形 C.正六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形 5.一块美观的地板是由四块边长相等的正多边形瓷 砖镶嵌而成，其中3块分别是正三角形，正四边形、正六边形瓷砖，则另外一块瓷砖为( )． A．正三角形B．正方形C．正六边形D正八边形6.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一 起恰好组成一个_____时，就拼成一个平面图形．7.某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的 地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（）A．正方形 B．正六边形C．正八边形D．正十二边形 8.某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）A．正方形B．矩形 C．正八边形D．正六边形 9.右图是一块正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四个等腰梯形组成，小明家的地面是由这样的地板砖镶嵌而成的，小明发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少（） A．8块B．9块C．11块D．12块 10.下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是（）A．正三角形B．正五边形C．正六边形D．正八边形 课题：用正多边形铺设地面 学习目标： 1、通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形内角和与外角和公式； 2、通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发现能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图 形的关键是围绕同一顶点的几个多边形的内角相加等于3600。 3、使学生进一步认识到图形在日常生活中的应用。 重点：通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键是什么。 问题导学：随着人们生活水平的提高，很多家庭都铺上了瓷砖，这在数学上是一门学问，叫做平面镶嵌。即用单一平面图形拼合在一起覆盖一个平面，而图形间没有空隙，也没有重叠。这种用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面无缝隙、又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌。其实本章的开头已提出了瓷砖的铺设问题，今天我们进一步来探究用什么样的多边形能拼成一个既不留下空白，又不互相重叠的平面图形，即用什么样的正多边形可以完全镶嵌一个平面？ ppt 1---4 自主学习： Ppt 5 1、什么叫正多边形？ 2、多边形的内角和公式是什么？正n边形的内角怎么表示？外角和公式是什么？ 教师点拨 ppt 6 在学生练习的基础上，借助多媒体演示 合作交流：ppt 7 一、动手操作（小组合作，并讨论交流） 请每个学习小组围圈而坐，拿出各自准备好的各种正多边形纸片，并按照下列顺序进行操作：①、只用正三角形，看能否完全镶嵌桌面？ ②、只用正方形，看能否完全镶嵌桌面？ ③、只用正五边形，看能否完全镶嵌桌面？ ④、只用正六边形，看是否能完全镶嵌桌面？…… 设问1：同学们通过亲手操作，发现哪些正多边形可以完全镶嵌桌面呢？ 设问2：为什么有些正多边形可以镶嵌平面，而有一些却不能，问题的关键在哪儿呢？（围绕一点拼在一起的正多边形的内角相加恰好等于3600 。）ppt 8----12 检查展示：可以让具有代表性的小组展示自己的作品 二、计算验证 ppt 13 通过计算验证哪些正多边形可以镶嵌平面？ 根据上述设问2的答案，我们可以通过计算来判定哪些正多边形可以镶嵌平面，下面请大家动手计算（可以使用计算器），然后填写课本89页表格： 正多边形的边数 3 4 5 6 7 …n 正多边形内角和… 每个内角的度数… 能否镶嵌平面能能不能能不能 得出结论围绕同一顶点的几个多边形的内角相加等于3600 ppt 14---18 三、小结： ppt 19---20 ①．同一种正多边形能进行平面镶嵌的关键是什么？ ②．对于任一种正多边形，如何判定它能否进行平面镶嵌？ 四、课后作业： 1．课本习题 2．合作探究下列问题（为下一课时做准备）：能否用两种或两种以上的正多边形镶嵌？．你还能发现几种可以镶嵌的正多边形组合呢？并解释每种组合的理由。自己设计一个图案。 正多边形和圆 一、本节学习指导 本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。 二、知识要点 1、正多边形 （1）、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。 （2）、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 （4）、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 （5）、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 （6）、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 2、正多边形的对称性 （1）、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 （2）、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 （3）、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 24.3正多边形和圆 一、填空题 1． 在一个圆中，如果?60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________. 2． 正n 边形的中心角的度数是_______. 3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________. 4． 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________. 二、选择题 5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）. （A ） 两角互余 （B ）两角互补 （C ）两角互余或互补 （D ）不能确定 6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）. （A ）2：1 （B ）1：2 （C ）4:3 （D ）2:3 7．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ） （A ）43 （B ）23 （C ）21 （D ）4 1 8．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 9．已知：如图48-1，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影 部分面积为（ ）. （A ）（1-π）a 2 （B ）1-π （C ） 44π- （D ）4 4π-a 2 1. 3； 2. n o 360；3. ∏2；4. 2:3； DBABD 华东师大版七年级数学（下）第九章多边形主备人：郑云淑 9.3.2 用多种正多边形 一、温故知新 1、正多边形的内角和？正多边形每个角的度数是什么？ 2、在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，有哪几种可以用它们铺满地板？ 3、用正多边形瓷砖能不留空隙、不重叠的铺满地板的关 键是什么？ 二、设问导读 阅读教材第90-91页的内容，思考并完成下列问题： 1.当围绕一点拼在一起的几种正 多边的内角之和为一个 ________时，这几种正多边就 能铺满地面。 2.从正三角形、正方形、正五边 形、正六边形、正八边形、正 十边形、正十二边形中任选俩 种组合能否铺满地面？什么组 合能？什么组合不能？ 3.能用两种正多边形铺满地 板的有哪些?三种呢？ 三、自学检测 1.围绕一个顶点,有三个这样 角:120°,90°,60°,这三样角能否密铺平面_____(填“能”或“不能”) 2.日常生活中常用的铺设地板的多边形有_____(举一个). 四、巩固训练 题组一 1.用下列的一样多边形不能铺满地面的是( ) A．正方形 B．正十边形 C．正六边形 D．等边三角形 2.下列多边形的组合中,能够铺满地面的是( ) A .正方形与正六边形 B .正五边形和正八边形 C.正八边形和正方形 D .正五边形和正十边形 3.正三角形和正六边形能够铺满地面，你能说明理由吗？请设计出你的方案？ 华东师大版七年级数学（下）第九章多边形 题组二 1.用两种正多边形进行铺地，不能 与正三角形匹配的多边形是 （）。 A.正方形 B.正六边形 C.正十二边形 D.正八边形 2.用正方形和正三角形铺满地面,在每一个顶点处有_____个正方形和_____?个正三角形. 3、平铺地面，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形拼接而成，其中的三个分别为正三角形一个，正四边形两个，那么另外一个是（） 4.设在一个顶点周围有a个正三角形，b个正十二边形，铺满地面，则a=_b=_ 题组三 1、请自己动手设计一些多种正多边形组成的图案与同学进行交流。 五、拓展延伸 请以正五边形和正十边形为例，说明即使满足“围绕一点拼在一起的几种正多边形的内角之和为一个周角”的条件，也不应定能铺满地面，请你动手拼一拼或画一画。 9.3.1用相同的正多边形 知识技能目标 1．通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式； 2．通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发现能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是几个多边形的内角和相加要等于360o. 过程性目标 1．联系多边形的内角和与外角和公式，经历探索用正多边形拼地板的道理； 2．结合实践与应用，充分感受数学知识在实际生活中的应用. 重点、难点 1．重点：通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键. 2．难点：同上. 教学过程 一、创设情境 使用给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不相互重叠？（请同学们拿出预先准备好的若干张正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形） 二、探索归纳 通过学生亲自动手拼图，使他们发现能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加恰好等于360°. 下面我们再通过用计算器计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形 . 每个内角为多少度时能拼成符合以上条件的平面图形呢？ 因为60o×6=360o，用6个正三角形瓷砖就可以铺满地面； 90o×4=360o，用4个正方形瓷砖就可以铺满地面. 为什么用正五边形瓷砖不能铺满地面呢？正八边形也不行？ 因为360o÷108o，360o÷135o得数都不是整数. 当()?? ??????-÷?n n 1802360为正整数时； 即22-n n 为正整数时，用这样的正多边形就可以铺满地面. 结论：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼 成一个平面图形. 三、实践应用 例在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正七边形、正八边形中哪些能铺满地面？为什么？ 解正三角形、正方形、正六边形能铺满地面 因为360o÷60o=6 360o÷90o=4 360o÷120o=3 正五边形、正七边形、正八边形不能铺满地面 因为正五边形、正七边形、正八边形各内角都不能整除360o. 四、交流反思 一种正多边形铺满地面需满足的条件. 五、检测反馈 1．如图，把相邻两行正三角形分开，添一行正方形，得下图，它表明把正三角形和正方形结合在一起也能铺满地面.正三角形、正方形、正六边形两两结合是否能铺满地面呢？把正方形、正六边形结合在一起呢？请你试试看； 2.请你用正方形铺满地面，设计出2个图案. 六、作业 课本习题 第五节 多边形和圆的初步认识 要点精讲 一、多边形的相关概念 1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可．多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图． 2．多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角． 3．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形． 二、多边形的内角和外角和 1．n 边形的内角和为（n －2）·180°． 2．因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为（n －2）·180°,所以，正n 边形的每个内角为：n n ) 2( ·180°． 3．多边形的外角和都等于360°． 三、圆及有关概念： 圆——到定点的距离等于定长的点的集合 圆的内部——可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 圆的外部——可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 等圆——圆心不相同，半径相等的圆；同心圆——圆心相同，半径不等的圆． 弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．按与半圆的大小关系可分为：优弧和劣弧 等弧——在同圆或等圆中，能够重合的两条弧 弦——连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦． 弦心距——圆心到直线的距离 弓形——弧与所对的弦所组成得图形． 圆的内部——到圆心的距离小于半径的点的集合叫做圆的内部 圆的外部——到圆心的距离大于半径的点的集合叫做圆的外部 二、与圆有关的角 圆心角：顶点在圆心的角 圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． （补充）弦切角、圆内角、圆外角及性质： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半． 顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半． 三、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性． 垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 1．弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 2．垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 3．弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 4．圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 依据垂径定理及其推论1．2．3可概括为5．2．3定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：①垂直弦②过圆心③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧 圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理——在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论（4．1．3定理）——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等． 相关链接 正多边形：正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形． 典型分析 1．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的大小是（） A．115° B．l05°用正多边形铺设地面
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