2012高三数学一轮复习单元练习题：函数与不等式

高三数学单元练习题： 函数与不等式

一、填空题：（请把答案直接填空在答题卷相应位置上。）

1. 若函数(1)f x +的定义域为[0，1]，则(31)f x -的定义域为 ▲ .

2. 已知集合10x A x x

??

-=>??

??，13x B y y ??

????==??

??????

?，则=B A ▲ .

3. 下列说法错误的是: ▲ (1)命题“若2

320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，

则2

320x x -+≠”(2)“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件; (3)若p 且q 为假命题，则p 、

q 均为假命题;(4)命题p ：“x R ?∈，使得210x x ++<”，则p ?：“x R ?∈，均有2

10x x ++≥”

4. 下列三个命题中,真命题是: ▲ ①“若1xy =,则,x y 互为倒数”的逆命题; ②

“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若1m ≤,则方程2

20x x m -+=有实根”的逆否命题.

5

．若函数

()f x =

,则a 的取值范围为 ▲ .

6. 已知实数,x y 满足

x

x y y

=-,则x 的取值范围是 ▲ .

7. 函数()()y f x x R =∈的图象如图所示，则当01a <<时，函数()(log )a g x f x =的单调减区间是 ▲ .

8.已知函数22

()1(,)f x x ax b b a R b R =-++-+∈∈,对任意实数x 都有(1)(1)f x f x -=+成立，若当

[]

1,1x ∈-时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是 ▲ .

9、已知

00(,),(1,1),(5,2)A x y B C ，如果一个线性规划问题为可行域是ABC ?边界及其内部，

线性目标函数z ax by =+，在B 点处取得最小值3，在C 点处取得最大值12，则00ax by + 范

围 ▲ .

10、设(),()f x g x 均是定义在R 上奇函数,且当0x <时,'()()()'()0,(2)(2)0f x g x f x g x f g +<--=,则不等式()()0f x g x >的解集为 ▲ .

11. 若12,x x 是方程1

112()2x

x

-+=的两个实数解,则12x x += ▲ .

12、线性目标函数z=2x －y 在线性约束条件

{

||1

||1

x y ≤≤下，取最小值的最优解是____ ▲

13．若实数x 、y 满足

10,0,2,x y x x -+≤??

>??≤?

则y

x 的取值范围是 ▲ .

14.已知,,x y z 满足5000x y x x y k -+≥??

≤?

?++≥?

,且24z x y =+的最小值为6-,则常数k 的值为 ▲ .

二、解答题：(请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

15.

设集合

A x y ??

=???

22

1

{()1

x x B k f x kx kx ++==++的定义域为R }

(1)若f 是A 到B 的函数,使得2

:1f x y x →=

-,若a B ∈,且{(),}a y y f x x A ?=∈,试求实数a 的取

值范围;

(2)若命题:p m A ∈,命题:q m B ∈,且“p 且q ”为假,“p 或q ”为真,试求实数m 的取值范围.

16.已知函数f(x)的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,)(x f '

为f (x)的导函数，函数

)(x f y '=的图象如右图所示，若两正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，求33

++a b 的取值范围．

17.

价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示.

（1）写出图（1）中表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f （t ）； 写出图（2）中表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? （注：市场售价和种植成本的单位：元／100ｋg ，时间单位：天）

18.已知二次函数2

(),(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足：对任意实数x ,都有()f x x ≥，且当

x ∈（1，3）时，有2

1

()(2)8f x x ≤+成立. （1）求(2)f ; （2）若(2)0,()f f x -=的表达式; （3）设

()()2m g x f x x =- [0,)x ∈+∞，若()g x 图上的点都位于直线1

4y =

的上方，求实数m 的取值范围.

19.已知函数32

()在1f x x ax bx c x =+++=处的切线方程为31y x =+，（1）若函数()在2

y f x x ==-时有极值，求()f x 的表达式； （2）在（1）条件下,若函数()在[2,]y f x m =-上的值域为95

[

,13]

27，

求m 的取值范围；（3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围.

20、在平面直角坐标系上，设不等式组00

(3)x y y n x >??

>??≤--?（n N *

∈）

所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横坐标和纵坐标均

为整数的点）的个数为

()n a n N *

∈. （Ⅰ）求123,,a a a 并猜想n a 的表达式

（Ⅱ）设数列{}n a 的前项和为n S ，数列1n S ??

????的前项和n T ,

是否存在自然数m ？使得对一切n N *

∈，n T m >恒成立。若存在，

求出m 的值，若不存在，请说明理由。

参考答案 填充题:

1.若函数(1)f x +的定义域为[0，1]，则(31)f x -的定义域为 . 2[,1]

3

2.已知集合10x A x x

??-=>??

??，13x B y y ??

????==??

??????

?，则=B A (0,1)

3.下列说法错误的是: (3) (1)命题“若2

320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，

则2

320x x -+≠”(2)“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件; (3)若p 且q 为假命题，则p 、

q 均为假命题;(4)命题p ：“x R ?∈，使得210x x ++<”，则p ?：“x R ?∈，均有2

10x x ++≥”

4.下列三个命题中,真命题是: ①②③ ①“若1xy =,则,x y 互为倒数”的逆命题; ②“面

积相等的三角形全等”的否命题;③“若1m ≤,则方程2

20x x m -+=

5．若函数

()f x =

,则a 的取值范围为 01a <≤6.已知实数,x y 满足

x

x y y

=-,则x 的取值范围是 (,0)[4,)-∞+∞

7. 函数()()y f x x R =∈的图象如图所示，则当01a <<时，函数()(log )a g x f x =的单调减区间是

8.已知函数

22()1(,)

f x x ax b b a R b R =-++-+∈∈,对任意实数x 都有(1)(1)f x f x -=+成立，若当

[]

1,1x ∈-时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是 1b <-或 2b >

9、已知

00(,),(1,1),(5,2)A x y B C ，如果一个线性规划问题为可行域是ABC ?边界及其内部，

线性目标函数z ax by =+，在B 点处取得最小值3，在C 点处取得最大值12，则00ax by + 范

围

10、设(),()f x g x 均是定义在R 上奇函数,且当0x <时,'()()()'()0,(2)(2)0f x g x f x g x f g +<--=,则不等式()()0f x g x >的解集为 (,2)(2,)-∞-?+∞ .

11.若12,x x 是方程1

112()

2x

x

-+=的两个实数解,则12x x += -1 .

12、线性目标函数z=2x －y 在线性约束条件

{

||1

||1

x y ≤≤下，取最小值的最优解是____

13．(福建10)若实数x 、y 满足

10,0,2,x y x x -+≤??

>??≤?

则y

x 的取值范围是 [2，+∞)

14.已知,,x y z 满足5000x y x x y k -+≥??

≤?

?++≥?

,且24z x y =+的最小值为6-,则常数k 的值为 0 .

二.解答题:

15. (本小题14分)

设集合

A x y ??

=???

22

1

{()1

x x B k f x kx kx ++==++的定义域为R }

(1)若f 是A 到B 的函数,使得2

:1f x y x →=

-,若a B ∈,且{(),}a y y f x x A ?=∈,试求实数a 的取

值范围;

(2)若命题:p m A ∈,命题:q m B ∈,且“p 且q ”为假,“p 或q ”为真,试求实数m 的取值范围.

解: (1)A=(2,4]……2分; B=[0,4)……4分;2[,2)3y ∈ ……6分,2[0,)[2,4)

3a ∈ ……8分

(2)当P 真Q 假时,4m = ……10分;当P 假Q 真时,02m ≤≤, ……12分所以[0,2]{4}m ∈?……14分

16.已知函数f(x)的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,)(x f '

为f (x)的导函数，函数

)(x f y '=的图象如右图所示，若两正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则33

++a b 的取值范围是 ．

17.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示.

（1）写出图（1）中表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f （t ）； 写出图（2）中表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? （注：市场售价和种植成本的单位：元／100ｋg ，时间单位：天）

（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f （t ）＝300,0200,2300,200300;

t t t t -≤≤??

-<≤?

由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为g （t ）＝1

200（t －150）2＋100，0≤t ≤300．

（2）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－g （t ），

即h （t ）＝2211175

,0200,20022171025,200300.

20022t t t t t t ?-++≤≤???

?-+-<≤??

当0≤t ≤200时，配方整理得h （t ）＝－1

200（t －50）2＋100，

所以，当t ＝50时，h （t ）取得区间［0，200］上的最大值100；

当200＜t ≤300时，配方整理得h （t ）＝－1

200（t －350）2＋100，

所以，当t ＝300时，h （t ）取得区间（200，300］上的最大值87.5.

综上，由100＞87．5可知，h （t ）在区间［0，300］上可以取得最大值100， 此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.

18.（本小题16分）已知二次函数2

(),(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足：对任意实数x ,都有()f x x ≥，

且当

x ∈（1，3）时，有2

1

()(2)8f x x ≤+成立. （1）求(2)f ; （2）若(2)0,()f f x -=的表达式; （3）设

()()2m g x f x x =- [0,)x ∈+∞，若()g x 图上的点都位于直线1

4y =

的上方，求实数m 的取值范围.

．解：（1）由条件知 224)2(≥++=c b a f 恒成立

又∵取x=2时，2

)22(81

24)2(2=+≤++=c b a f 与恒成立∴2)2(=f …………3分

（2）∵?

??=+-=++024224c b a c b a ∴,124==+b c a ∴a

c b 41,21

-== ……5分

又 x x f ≥)(恒成立，即

0)1(2

≥+-+c x b ax 恒成立 ∴0

)41(4)121

(,02≤---=?>a a a ， …………7分

解出：

21,21,81===c b a ∴212181)(2+

+=x x x f …………10分 （3）

),0[41

21)221(81)(2+∞∈>+-+=

x x m x x g 在必须恒成立

即

),0[02)1(42

+∞∈>+-+x x m x 在恒成立 ①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得：

22

1221+<<-

m ……13分

②

??

?

??>=≤--≥?02)0(0)1(20

f m 解出：

221-

≤m 总之，)

22

1,(+-∞∈m ………16分

19. （本小题16分）已知函数32

()在1f x x ax bx c x =+++=处的切线方程为31y x =+，（1）若函

数()在2y f x x ==-时有极值，求()f x 的表达式； （2）在（1）条件下,若函数()在[2,]

y f x m =-上的值域为95

[

,13]27，求m 的取值范围；（3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的

取值范围.

解：由c bx ax x x f +++=23)(求异得

b ax x x f ++='23)(2

，在x = 1处的切线方程为)1)(23()1()1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即 由已知切线方程为13+=x y 所以：?

?

?=-+-=++12323c a b a 2)(-==x x f y 在 时有极值，故1240)2(-=+-∴=-'b a f (3)

由（1）（2）（3）相联立解得542)(5,4,22

3+-+==-==x x x x f c b a ………5分 （2）

)2)(23(44323)(2

2+-=-+=++='x x x x b ax x x f

27)3(,

135)2(4)2(2)2()2(23==+---+-=-f f

当)

,32

(+∞∈x ，令213)(==x x f 得，由题意得m 的取值范围为]2,32[ …………9分

（3）)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增

又b ax x x f ++='23)(2，由（1）知b bx x x f b a +-='∴=+2

3)(,02

依题意)(x f '在[－2，1]上恒有

03,0)(2≥+-≥'b bx x x f 即在[－2，1]上恒成立，…11分

①在

1

6≥=

b x 时，

603)1()(≥∴≥+-='='b b b f x f 小…12分 ②在

φ∈∴≥++=-'='-≤=

b b b f x f b

x 0212)2()(,26小时…13分

③在.

6001212)(,1622≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时小…14分

综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：0≥b …16分 20、

在平面直角坐标系上，设不等式组

(3)x y y n x >??

>??≤--?

（n N *

∈）

所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横坐标和纵坐标均

为整数的点）的个数为

()n a n N *

∈. （Ⅰ）求123,,a a a 并猜想n a 的表达式

（Ⅱ）设数列{}n a 的前项和为n S ，数列1n S ??????的前项和n T ,

是否存在自然数m ？使得对一切n N *

∈，n T m >恒成立。若存在，

求出m 的值，若不存在，请说明理由。

20.解：（Ⅰ）当n ＝1时，D1为Rt △OAB1的内部包括斜边，这时13a =，

当n ＝2时，D2为Rt △OAB2的内部包括斜边，这时26a =， 当n ＝3时，D3为Rt △OAB3的内部包括斜边，这时39a =，

由此可猜想n a ＝3n 。 -----------------------

-由（1）、（2）知n a ＝3n 对一切n N *∈都成立。 --------------

（Ⅱ）∵n a ＝3n, ∴数列{}n a

是首项为3，公差为3的等差数列,

∴

(33)3(1)

22n n n n n S ++=

=.

12211()

3(1)31n S n n n n ==-++

-------------------------10分

12111n n T S S S ∴=

+++ 211111[(1)()()]32231n n =-+-+-+

=21(1)

3

1n -+=23(1)n n + ------------------------------ ∵对一切n N *∈，n

T m >恒成立, ∴min ()n m T < ∵

21(1)31n T n =

-+在[1,)+∞上为增函数 ∴min 211()(1)323n T =-= -- 13m ∴<

，满足1

3m <

的自然数为0，

∴满足题设的自然数m 存在，其值为0。 -----------------------