暨南大学概率论与数理统计标准答案-06-07-2-内A

暨 南 大 学 考 试 试 卷

一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

1．某班共有30名学生，其中3名来自北京。今从班上任选2名学生去参观展览，其中恰有1名学生来自北京的概率为 27/145 。 2．一批产品的废品率为0.1，从中重复抽取m 件进行检查，这m 件产品中至少有1件废品的概率为

1(0.9)

m -。

3．设连续型随机变量2,01~()0,x x x ξ?<

4．设二元随机变量(,)ξη的联合概率密度函数为

(),0,1

(,)0,x y ce x y x y ?-+?<<=??

其他,

则c =

12

(1)e ---。

5．设随机变量ξ服从正态分布()N 24,3，则ξ的期望E ξ= 4 ，

方差D ξ= 9 。

二、单选题（共5小题，每小题3分，共15分。请

把正确答案填在题后的括号内）

1．设A 、B 、C 为三个事件，则事件“A 、B 、C 中恰有两个发生”可表示为（ (c) ）。

(a) AB AC BC ++； (b) A B C ++； (c) ABC ABC ABC ++； (d) ABC 2．已知随机变量ξ具有如下分布律

1230.1p k j ξ?? ???

， 且2() 5.3E ξ=，则j =（ (a) ）。

(a) 0.5； (b) 0.2； (c) 0； (d) 0.1 3．设随机变量ξ服从二项分布(100,0.1)B ，则ξ的期望E ξ和方差D ξ分别为（ (b) ）。

(a) E ξ=10，D ξ=0.09； (b) E ξ=10，D ξ=9； (c) E ξ=90，D ξ=10； (d) E ξ=1，D ξ=3

4．设随机变量ξ服从指数分布，其概率密度函数为22,0()0,0x e x x x ?-?>=?≤?，则ξ的

期望E ξ=（ (c) ）。

(a) 4； (b) 2； (c)

12； (d) 1

4

5．设123,μμμ和为总体期望值μ的三个无偏估计量，且1213,D D D D μμμμ<<，则以下结论（ (d) ）成立。

(a) 1μ是μ的有效估计量； (b) 2μ是比1μ有效的估计量； (c) 3μ是比1μ有效的估计量； (d) 1μ是比2μ有效的估计量

三、计算题（本题12分）

设有相同规格的杯子13个，其中白色7个，绿色6个。现将其分放在甲、

乙两个箱子中，在甲箱子中放入5个白色杯子和3个绿色杯子，其余的放入乙箱子中。

(1) 今从甲箱中任取一个杯子放入乙箱，再从乙箱中取出一个杯子，求取到白色杯子的概率。

(2) 若(1)题中从乙箱取出的是白色杯子，求从甲箱中取出绿色杯子放入乙箱的概率。

解 用B 表示事件：“从乙箱中取出一个杯子为白色杯子”；

A 表示事件：

“从甲箱中任取一个放入乙箱的杯子为白色杯子”； A 表示事件：

“从甲箱中任取一个放入乙箱的杯子为绿色杯子”。 （1）由全概率公式，所求事件的概率为：

5332527

()()(|)()(|).8686161616

P B P A P B A P A P B A =+=?+?=+= （7分）

（2）由贝叶斯公式，所求事件的概率为：

32()(|)286(|).77()(|)()(|)

16P A P B A P A B P A P B A P A P B A ?

==

=+ （12分）

四、计算题（本题8分）

设随机变量ξ服从正态分布(2)N 2,2，求(|2|2)P ξ-<及(1)P ξ>。 解 由于~(2)N ξ2,2，则2

~(0)2

N ξη-=

,1。于是

02

2

(|2|2)(|

|)(||1)

22

2(1)120.841310.6826. 4P P P ξξη--<=<=<=Φ-=?-=（分）

00212

(1)(

)(0.5)1(0.5)

22

1(0.5)(0.5)0.6915. 8P P P P ξξηη-->=>=>-=-≤-=-Φ-=Φ=（分）

五、证明题（本题10分）

设总体ξ的概率密度函数为22

()2()x x βδ?--=（,0δβδ>为参数，且），

12(,,,)n x x x ???为总体ξ的一组样本观察值。试证明2δ的最大似然估计为

221

1?()n i i x x n δ==-∑，其中x 为样本观察值12(,,,)n x x x ???的平均数。 证明 似然函数为

222

2

1

1

()()222

21()n

i i i x n

x n

n i L e

ββδδδ=--

--

=∑==?，

22

21

1ln ln ()

22n

i

i n L n x δβδ==---∑， （3分）

2

2

224

1

1

ln 1

ln 1

(),

()

.22n

n

i

i

i i L L n x x βββδ

δδδ==??=-=-+-??∑∑

令2ln ln 0L L βδ??==??得： 21

224

11()01()0,22n

i i n

i i x n x βδβδ

δ==?-=????-+-=??∑∑ （7分）

由上述方程组解得2βδ及的最大似然估计分别为

1

1?n i i x x n β===∑， 2221111??()()n n

i i i i x x x n n δβ===-=-∑∑. （10分）

六、应用题（本题10分）

已知一批零件的长度（单位：dm ）服从正态分布())N μ21

,(5

，从中随机抽

取9个零件，测得其长度如下：

6.11，5.89，5.98，6.00，6.10，5.90，6.02，5.90，6.10，

试求置信度为0.995的期望μ的置信区间。

解 令9n =，221

()5

σ=，0.005α=。样本的平均数为

1

(6.11+5.89+5.98+6.00+6.10+5.90+6.02+5.90+6.10)=6.009

X =，

由0()11

0.00250.99752u αα

Φ=-=-=及参考数据得 2.81u α=. （4分） 2.810.1873α=

≈，从而置信度为0.995的期望μ的置信区间为：

(,

)X X αα，即 (60.1873,60.1873)-+，即(5.8123, 6.1873).

（10分）

七、应用题（本题11分）

设在某次全国资格考试中考生的成绩服从正态分布，从中随机地抽取25位考生的成绩，算得平均成绩为65分，标准差为10分。问能否据此样本认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ （0.05α=） 解 设考生的成绩为ξ，则2~(,)N ξμσ，其中2,μσ未知. （1）待检假设为 00:70H μμ==. （2）作样本的统计量：0

X T S μ-=

，其中65,10,25X S n ===，则在0H 的假设下，~(1)(24).T

t n t -=

（3）对给定的检验水平0.05α=，由(||)0.05P T t αα>==及参考数据得临界值

0.05(24) 2.064.t t α== （6分）

（4）根据给定的样本平均数X 及样本方差S ，实际计算||:T

5

|||(6570)| 2.5.2T =-==

（5）由于0.05|| 2.5 2.064(24)T t =>=，故应拒绝接受假设0H ，从而据此样本不能

70分. （11分） 八、应用题（本题10分）

某种羊毛在处理前后，各抽取容量为10和8的样本，测得其含脂率（%）的样本方差分别为270.9和301.0。假定羊毛含脂率服从正态分布，问处理后羊毛含脂率的标准差有无显著变化？ （0.01α=）

解 设羊毛在处理前后的含脂率分别为1ξ及2ξ，则2~(,)i i i N ξμσ（其中,i i μσ未知，1,2i =）

（1）待检假设为 22012:.H σσ=

（2）作羊毛的含脂率在处理前（容量为10）和处理后（容量为8）的样本的统

计量：2

122

S F S =，其中2212270.9,301.0S S ==，则在0H 的假设下，

1

~(101,81)(9,7),~(7,9).F F F F F

--= （3）对给定的检验水平0.01α=，由11()()0.0052

P F b P F a α

>=>==及参考数据

得临界值

0.0050.00511

(9,7)8.51,0.1453.(7,9) 6.88

b F a F ===

=≈ （7分）

（4）根据给定的样本方差值，实际计算:F 270.9

0.9.301.0

F =

= （5）由于0.9(0.1453,8.51)F =∈，故应接受假设0H ，即可认为处理后羊毛含脂

. （10分） 九、应用题（本题9分）

设广州市天河区每户居民每月对某种商品的需要量是一个随机变量（单位：kg ），其期望值为10，方差为4。某商店为天河区10000户居民供应此种商品，问每月至少要准备多少此种商品才能以0.99的概率满足需要？ （假设每户居民每月对此种商品的需要量互不受影响）

（附第四和第六—九题的参考数据如下：0(0)0.5Φ=，0(0.5)0.6915Φ=，

0(1)0.8413Φ=，0(1.96)0.975Φ=，0(2)0.97725Φ=，0(2.33)0.99Φ=，0(2.81)0.9975Φ=，0(4)0.99996833Φ=，0.05(24) 2.064t =，0.05(25) 2.060t =，0.005(9,7)8.51F =，0.005(7,9) 6.88F =， 0.005(10,8)7.21F =，0.005(8,10) 6.12F =）

解 设广州市天河区每户居民每月对某种商品的需要量为i ξ，由已知条件有

10,4i i E D ξξ==，则10000户居民每月对某种商品的需要量为100001

i

i ξξ

==

∑，于是

52100001010,100004(200).E D ξξ=?==?=

设某商店每月至少要准备N kg 此种商品才能以0.99的概率满足需要，故

()0.99P N ξ≤=， （4分） 由中心极限定理，

η=

近似地服从标准正态分布，从而 55

01010()()()0.99.200200N N P N P P ξη--≤=≤=≤=Φ=

由参考数据有 5

10 2.33200

N -=， 所以 100000466100466N =+=（kg ）. （9分）