高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.1映射与函数

课时授课计划

课次序号：01

一、课题：§1.1 映射与函数

二、课型：新授课

三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念；

2.理解函数的概念，了解函数的四种特性；

3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念；

4.熟悉基本初等函数的性质及其图形；

5.会建立简单实际问题的函数关系式．

四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态.

教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解.

五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．

六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，

高等教育出版社；

2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．

七、作业：习题1–1 3（1），6（4）（7），9（1）

八、授课记录：

九、授课效果分析：

第一章函数与极限

第一节映射与函数

高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识.

一、集合

1. 集合的概念

集合是数学中的一个最基本的概念．一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成集合的事物称为该集合的元素．例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等．

通常我们用大写的英文字母A，B，C，…表示集合；用小写的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，则称a属于A，记作a∈A；否则称a不属于A，记作

a?A（或a∈A）．

含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用?表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集．例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；

全体实数组成的集合是无限集；方程2x+1=0的实根组成的集合是空集．

集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内．例如，所有正整数组成的集合可以表示为N={1，2，…，n，…}．另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A记作

A ={x｜x具有性质p（x）}．

例如，正整数集N也可表示成N={n｜n =1，2，3，…}；

又如A={（x，y）｜2x+2y=1，x，y为实数}表示xOy平面单位圆周上点的集合．

2. 集合的运算

设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A?B （或B?A）；若A?B，且有元素a∈b，但a?A，则说A是B的真子集，记作A?B．对任何集A，规定??A．若A ?B，且B?A，则称集A与B相等，记作A=B．由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作A∪B，即

A∪B={x｜x∈A或x∈B}．

由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即

A∩B={x｜x∈A且x∈B}．

由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A\B，即

A\B={x｜x∈A但x?B}．

如图1-1所示阴影部分．

图1-1

在研究某个问题时，如果所考虑的一切集都是某个集X 的子集，则称X 为基本集或全集．．X 中的任何集A 关于X 的差集X \A 称为A 的补集（或余集），记作 c A ．

集合的交、并、余的运算满足下列运算法则:

设A ，B ，C 为三个任意集合，则下列法则成立：

（1）交换律A ∪B =B ∪A ，A ∩B =B ∩A ；

（2）结合律（A ∪B ）∪C =A ∪（B ∪C ），

（A ∩B ）∩C =A ∩（B ∩C ）；

（3）分配律（A ∪B ）∩C =（A ∩C ）∪（B ∩C ），

（A ∩B ）∪C =（A ∪C ）∩（B ∪C ），

（A \B ）∩C =（A ∩C ）\（B ∩C ）；

（4）幂等律A ∪A =A ，A ∩A =A ；

（5）吸收律A ∪?=A ，A ∩?=?．

设A i （i =1，2，…）为一列集合，则下列法则成立：

（1）若A i ?C （i =1，2，…），则1

i i A

∞= ?C ；

（2）若A i ?C （i =1，2，…），则1i i A

∞= ?C ．

设X 为基本集，A i （i =1，2，…）为一列集合，则

1c i i A ∞=?? ??? = 1c i i A ∞= ， 1c i i A ∞=?? ??? = 1c i i A ∞= ．

3. 区间与邻域

（1）区间

设a 和b 都是实数，将满足不等式a ＜x ＜b 的所有实数组成的数集称为开区间，记作（a ，b ）．即（a ，b ）={x ｜a ＜x ＜b }，a 和b 称为开区间（a ，b ）的端点，这里a ?（a ，b ）且b ?（a ，b ）．

类似地，称数集［a ，b ］={x ｜a ≤x ≤b }为闭区间，a 和b 也称为闭区间［a ，b ］的端点，这里a ∈［a ，b ］且b ∈［a ，b ］．

称数集［a ，b ）={x ｜a ≤x ＜b }和（a ，b ］={x ｜a ＜x ≤b }为半开半闭区间．以上这些区间都称为有限区间．数b －a 称为区间的长度．此外还有无限区间：

（-∞，+∞）={x ｜-∞＜x ＜+∞}=R ，

（-∞，b ］={x ｜-∞＜x ≤b }，

（-∞，b ）={x ｜-∞＜x ＜b }，

［a ，+∞）={x ｜a ≤x ＜+∞}，

（a，+∞）={x｜a＜x＜+∞}，

等等．这里记号“-∞”与“+∞”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”．

（2）邻域

设x0是一个给定的实数，δ是某一正数，称数集{x｜x0-δ＜x＜x0+δ}为点x0的δ邻域，记作U（x0，δ）．称点x0为这邻域的中心，δ为这邻域的半径．（如图1-2）．

图1-2

称U（x0，δ）-{x0}为x0的去心δ邻域，记作

U(x0,δ)={x｜0＜｜x-x0｜＜δ},

记

U( x0-,δ)={x｜x0-δ＜x＜x0},

U(x0+,δ)={x｜x0＜x＜x0+δ},它们分别称为x0的去心左δ邻域

和去心右δ邻域．当不需要指出邻域的半径时，我们常用U（x0），

U(x0)分别表示x0的某

邻域和x0的某去心邻域。

二、映射

1．映射的定义

定义1 设A，B是两个非空的集合，若对A中的每个元素x，按照某种确定的法则f，在B中有惟一的一个元素y与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记作f：A→B，

称y为x在映射f下的像，x称为y在映射f下的原像．集合A称为映射f的定义域，A中所有元素x的像y的全体所构成的集合称为f的值域，记作R f 或f（A），即

R f =f (A)={y｜y=f(x),x∈A}．

定义中x的像是惟一的，但y的原像不一定惟一，且f（A）?B．

映射概念中的两个基本要素是定义域和对应法则．定义域表示映射存在的范围，对应法则是映射的具体表现．

例1设A表示某高校大学一年级学生所构成的集合，用一种方法给每一个学生编一个学号，B表示该校一年级学生学号的集合，f表示编号方法，于是确定了从A到B的一个映射f∶A→B．

例2设A={1，2，…，n，…}，B={2，4，…，2n，…}．

令f(x)=2x，x∈A，则f是一个从A到B的映射．

例3设A=［0，1］，B={（x，y）｜y=x，x∈A}，如图1-3所示．令f∶x｜→（x，x），x∈A，

则f是一个从A到B的映射．

图1-3

设有映射f ∶A →B ，若B = f （A ）={f （x ）｜x ∈A }，则称f 是满射．若f 将A 中不同的元素映射到B 中的像也不同，即若x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f （x 1）≠ f (x 2),则称f 是单射．若f 既是满射又是单射，则称f 是从A 到B 的一一映射．若A 与B 之间存在一一映射，则称A 与B 是一一对应的．上面的例1，例2与例3的两个集合都是一一对应的．

2. 复合映射

定义2 设有映射g ∶A →B ，f ∶B →C ，于是对x ∈A 有

x g ??→u = g （x ）f

??→y = f （u ）= f ［g （x ）］∈C ．

这样，对每个x ∈A ，经过u ∈B ，有惟一的y ∈C 与之对应，因此，又产生了一个从A 到C 的新映射，记作f g ∶A →C ，即（f g ）（x ）=f ［g （x ）］，x ∈A ，

称f g 为f 与g 的复合映射,如图1-4所示．

图1-4

3. 逆映射

定义3 设有映射f ∶A →B ，B =f （A ），若存在一个映射g ∶B →A ，对每个y ∈B ，通过g ，有惟一的x ∈A 与之对应，且满足关系f （x ）=y ，则称g 是f 的逆映射，记作g =f -1．

若映射f ：A→B 是一一映射，则f 必存在一个从B 到A 的逆映射f -1．

三、函数

1. 函数的概念

定义4 设A ，B 是两个实数集，将从A 到B 的映射f ：A →B 称为函数，记作y = f （x ），其中x 称为自变量，y 称为因变量，f （x ）表示函数f 在x 处的函数值，A 称为函数f 的定义域，记作f D ；f （A ）={y ｜y =f （x ），x ∈A }?B 称为函数f 的值域，记作f R ．

通常函数是指对应法则f ，但习惯上用“y =f （x ），x ∈A ”表示函数，此时应理解为“由对应关系y =f （x ）所确定的函数f ”．

从几何上看，在平面直角坐标系中，点集{（x ，y ）｜y =f （x ），x ∈f D }称为函数y =f （x ）的图像（如图1-5所示）．函数y =f （x ）的图像通常是一条曲线，y =f （x ）也称为这条曲线的方程．这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问题，有时

也可借助于函数来作理论探讨．

图1-5

例４求函数y

解要使数学式子有意义，x 必须满足 24-0,-1>0 ,

x x ?≥?? 即 2,>1.x x ≤??? 由此有1＜x ≤2，因此函数的定义域为（1，2］．

有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为分段函数．下面给出一些今后常用的分段函数．

例５绝对值函数 y =｜x ｜= ,0,,<0x x x x ≥??-?

的定义域f D =（-∞，+∞），值域f R =［0，+∞］，如图1-6所示．

例６符号函数 y =s g n x =1,<0,0,0,1,>0x x x -??=???

的定义域f D =（-∞，+∞），值域f R ={-1，0，1}，

如图1－7所示．

图1-6 图1-7

例７取整函数y =［x ］，其中［x ］表示不超过x 的最大整数．例如，［-13

］=-1，［0］=0，

=1，［π］=3等等．函数y =［x ］的定义域f D =（-∞，+∞），值域f R ={整数}．一般地，y =［x ］= n ，n ≤x ＜n +1，n =0，±1,±2,…,如图1-8所示．

图1-8 2. 复合函数与反函数

(1)复合函数

定义5 设函数()y f u =的定义域为f D ，值域为f R ；而函数()u g x =的定义域为g D ，值域为g f R D ?，则对任意g x D ∈，通过()u g x =有惟一的g f u R D ∈?与x 对应，再通过()y f u =又有惟一的f y R ∈与u 对应．这样，对任意g x D ∈，通过u ，有惟一的f y R ∈与之对应．因此y 是x 的函数，称这个函数为()y f u =与()u g x =的复合函数，记作

()()[()]y f g x f g x == ，g x D ∈，

u 称为中间变量．

两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形．

例如，y =x μ=log a x a μ（a ＞0且a ≠1）可看成由指数函数y = a u 与u =μlog a x 复合而成．例８设f （x ）=1

x x +（x ≠-1）,求f （f （f （x ）））解令(),(),()y f w w f u u f x ===，则y =f （f （f （x ）））是通过两个中间变量w 和u 复合而成的复合函数，因为

()1

u w f u u ==+=111x x x x +++=21x x +，x ≠-12； ()1w y f w w ==

+=21211x x x x +++=31x x +,x ≠-13，所以 f （f （f （x ）））=

31x x +，x ≠-1,- 12,-13

．（2）反函数定义6 设A ，B 为实数集，映射f ：A →B 的逆映射f -1称为y =f （x ）的反函数．即：若对每个y ∈B ，有惟一的x ∈A ，使y =f （x ），则称x 也是y 的函数，记作f -1，即x =f -1（y ），并称它为函数y =f （x ）的反函数，而y =f （x ）也称为反函数x =f -1（y ）的直接函数．

从几何上看，函数y =f （x ）与其反函数x =f -1（y ）有同一图像．但人们习惯上用x 表示自变量，y 表示因变量，因此反函数x =f -1（y ）．常改写成y =f -1（x ）．今后，我们称y =f -1（x ）为y =f （x ）的反函数．此时，由于对应关系f -1未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反函数y =f -1（x ）与直接函数y =f （x ）的图像关于直线y =x 对称，如图 1 - 9所示．

图1 - 9

值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数y =x 2的定义域为（-∞，+∞），

值域为［0，+∞），但对每一个y ∈（0，+∞），有两个x 值即x 1x 2因此x 不是y 的函数，从而y =x 2不存在反函数．事实上，由逆映射存在定理知，若f 是从f D 到f R 的一一映射，则f 才存在反函数f -1．

例９设函数(1)1

x f x x +=+（x ≠-1）,求1(1)f x -+．解函数(1)y f x =+可看成由y =f （u ），u =x +1复合而成．所求的反函数1(1)y f x -=+可看成由y =f -1（u ），u =x +1复合而成．因为 f （u ）=1x x +=1u u

-，u ≠0, 即 y =1u u -，从而，u （y -1）=-1，u =11y

-，所以 y =f -1（u ）=11u -，因此 11(1)1(1)

f x x -+=-+=-1x ，x ≠0． 3. 函数的几种特性

(1) 函数的有界性

定义7 设函数()f x 的定义域为f D ，数集f X D ?，若存在某个常数1K （或2K ），使得对任一x X ∈，都有

1()f x K ≤（或2()f x K ≥）

，则称函数()f x 在X 上有上界（或有下界），常数1K （或2K ）称为()f x 在X 上的一个上界（或下界），否则，称()f x 在X 上无上界（或无下界）．

若函数()f x 在X 既有上界又有下界，则称()f x 在X 上有界，否则，称()f x 在X 上无界．

易知，函数()f x 在X 上有界的充要条件是：存在常数M ＞0，使得对任一x X ∈，都有

()f x M ≤ ．

例如，函数sin y x =在其定义域（-∞，+∞）内是有界的，因为对任一x ∈（-∞，+∞）都有sin 1x ≤，函数1y x

=在（0，1）内无上界，但有下界．从几何上看，有界函数的图像界于直线y M =±之间．

(2) 函数的单调性

定义8 设函数()f x 的定义域为f D ，数集f I D ?，若对I 中的任意两数x 1，x 2（x 1＜x 2），恒有 12()()f x f x ≤（或12()()f x f x ≥），

则称函数()y f x =在I 上是单调增加（或单调减少）的．若上述不等式中的不等号为严格不等号时，则称为严格单调增加（或严格单调减少）的．单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数，如图1－10所示．

图1－10 例如，函数3()f x x =在其定义域（-∞，+∞）内是严格单调增加的；函数()cot f x x

=在（0，π）内是严格单调减少的．

从几何上看，若()y f x =是严格单调函数，则任意一条平行于x 轴的直线与它的图像最多交于一点，因此()y f x =有反函数．

(3) 函数的奇偶性

定义9 设函数()f x 的定义域f D 关于原点对称（即若f x D ∈，则必有f x D -∈）．若对任意的f x D ∈，都有 ()()f x f x -=-（或()()f x f x -=），

则称f （x ）是f D 上的奇函数（或偶函数）．

奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于y 轴，如图1－11所示．

图1－11

例10 讨论函数f （x ）=ln （x

解函数f （x ）的定义域（-∞，+∞）是对称区间，因为

f （-x ）=ln （-x

=ln

）=-ln （x

=-f （x ）

所以，f （x ）是（-∞，+∞）上的奇函数．

(4) 函数的周期性定义10 设函数()f x 的定义域为f D ，若存在一个不为零的常数T ，使得对任意f x D ∈，有（x T ±）f D ∈，且()()f x T f x ±=，则称()f x 为周期函数，其中使上式成立的常数T 称为()f x 的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数T （如果存在的话）．

例如，函数()sin f x x =的周期为2π；()tan f x x =的周期是π．

并不是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷函数1,()0,x D x x ?=?

?为有理数为无理数

，任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期． 4. 函数应用举例

例11 火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算．如从上海到某地每千克以0．15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0．25元收费．试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像．

解当0＜x ≤50时，y =0．15x ;当x ＞50时，y =0．15×50+0．25(x -50)．所以函数关系式为 y =0.15x,0x 50;7.50.25(50),50.

x x <≤??+->?这是一个分段函数，其图像如图1－12所示．

图1－12

例12 一打工者，每天上午到培训基地A 学习，下午到超市B 工作，晚饭后再到酒店C 服务，早、晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或工作的地方吃．A ，B ，C 位于一条平直的马路一侧，且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km ，酒店与超市相距5km ，问该打工者在这条马路的A 与B 之间何处找一宿舍（设随处可找到），才能使每天往返的路程最短．

解如图1-13所示，设所找宿舍D 距基地A 为x （km ），用f （x ）表示每天往返的路程函数．

图1-13

当D 位于A 与C 之间，即0≤x ≤3时，易知

f （x ）=x +8+（8-x ）+2（3-x ）=22-2x ，

当D 位于C 与B 之间,即3≤x ≤8时，则

f (x )=x +8+(8-x )+2(x -3)=10+2x ．

所以

f (x )= 22,03;102,38.x x x x -≤≤??+≤≤?

这是一个分段函数，如图1-14所示,在［0,3］上,f (x )是单调减少,在［3,8］上,f (x )是单调增加．从图像可知,在x =3处,函数值最小．这说明,打工者在酒店C 处找宿舍,每天走的路程最短．

图1-14 图1-15 5. 基本初等函数

(1) 幂函数

函数 y =x μ（μ是常数）称为幂函数．

幂函数y =x μ的定义域随μ的不同而异，但无论μ为何值，函数在（0，+∞）内总是有定义的．

当μ＞0时，y =x μ在［0，+∞）上是单调增加的，其图像过点（0，0）及点（1，1），图1-16列出了μ=12，μ=1，μ=2时幂函数在第一象限的图像．

图1-16 图1-17

当μ＜0时，y =x μ在（0，+∞）上是单调减少的，其图像通过点（1，1），图1-17列出了μ=- 12

，μ= -1，μ= -2时幂函数在第一象限的图像． (2) 指数函数

函数 y =a x （a 是常数且a ＞0，a ≠1）称为指数函数．

图1-18

指数函数y =a x 的定义域是（-∞，+∞），图像通过点(0,1),且总在x 轴上方．

当a ＞1时,y =a x 是单调增加的;当0＜a ＜1时,y =a x 是单调减少的,如图1-18所示．以常数e =2．71828182…为底的指数函数 y =e x 是科技中常用的指数函数．

(3) 对数函数

指数函数y =a x 的反函数，记作y =log a x （a 是常数且a ＞0,a ≠1),称为对数函数．

对数函数y =log a x 的定义域为（0，+∞），图像过点（1，0）．当a ＞1时，y =log a x 单调增加；当0＜a ＜1时，y =log a x 单调减少，如图1-19所示．

科学技术中常用以e 为底的对数函数y =log e x ，它被称为自然对数函数，简记作y =ln x ．

图1-19

另外以10为底的对数函数y =log 10x 也是常用的对数函数，简记作y =l gx ．

(4) 三角函数

常用的三角函数有正弦函数y =sin x ；余弦函数y =cos x ；正切函数y =tan x ；余切函数y =cot x ，

其中自变量以弧度作单位来表示．

它们的图形如图1-20，图1-21，图1-22和图1-23所示，分别称为正弦曲线，余弦曲线，正切曲线和余切曲线．

图1-20

图1-21

图1-22 图1-23

正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都为（-∞,+∞）,值域都为［-1，1］．正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．

由于cos x =sin （x +

π2），所以，把正弦曲线y =sin x 沿x 轴向左移动π2个单位，就获得余弦曲线y =cos x ．

正切函数y =tan x = sin cos x x

的定义域为 D （f ）={x ｜x ∈R ，x ≠(2n +1) π2

,n 为整数}．余切函数y =cot x = cos sin x x

的定义域为 D （f ）={x ｜x ∈R ，x ≠nπ,n 为整数}．

正切函数和余切函数的值域都是（-∞，+∞），且它们都是以π为周期的函数，它们都是奇函数．

另外，常用的三角函数还有

正割函数y =sec x ；余割函数y =csc x ．

它们都是以2π为周期的周期函数，且

sec x =

1cos x ； csc x = 1sin x

． (5) 反三角函数

常用的反三角函数有反正弦函数 y =arcsin x （如图1-24）；反余弦函数 y =arccos x （如图1-25）；反正切函数 y =arctan x （如图1-26）；反余切函数 y =arccot x （如图1-27）．

它们分别称为三角函数y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 和y =cot x 的反函数．

图1-24 图1-25

图1-26 图1-27

这四个函数都是多值函数．严格来说，根据反函数的概念，三角函数y =sin x ，y =cos x ，y =tan x ,y =cot x 在其定义域内不存在反函数，因为对每一个值域中的数y ，有多个x 与之对应．但这些函数在其定义域的每一个单调增加（或减少）的子区间上存在反函数．例如，y =sin x 在

闭区间［-

π2, π2

］上单调增加，从而存在反函数，称此反函数为反正弦函数arcsin x 的主值，记作y =arcsin x ．通常我们称y =arcsin x 为反正弦函数．其定义域为［-1,1］,值域为［- π2, π2］．反正弦函数y =arcsin x 在［-1,1］上是单调增加的,它的图像如图1-24中实线部分所示．类似地,可以定义其他三个反三角函数的主值y =arccos x ,y =arctan x 和y =arccot x ，它们分别

简称为反余弦函数，反正切函数和反余切函数．

反余弦函数y =arccos x 的定义域为［-1，1］，值域为［0，π］，在［-1，1］上是单调减少的，其图像如图1-25中实线部分所示．

反正切函数y =arctan x 的定义域为（-∞,+∞）,值域为（- π2，π2

），在（-∞，+∞）上是单调增加的，其图像如图1-26中实线部分所示．

反余切函数y =arccot x 的定义域为（-∞，+∞），值域为（0，π），在（-∞，+∞）上是单调减少的，其图像如图1-27中实线部分所示．以上五种类型的函数统称为基本初等函数.

6. 初等函数

定义11 由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能用一个式子

表示的函数，称为初等函数．例如，y =3x 2+sin4x ，y =ln （x +

，y =arctan2x 3+ + 2sin 1

x x +等等都是初等函数．分段函数是按照定义域的不同子集用不同表达式来表示对应关系的，有些分段函数也可以不分段而表示出来，分段只是为了更加明确函数关系而已．例

如，绝对值函数也可以表示成y =｜x ｜= f （x ）= 1,,0,x a x a ? 也可表示成

f (x )= 12 (1- ．这两个函数也是初等函数． 7. 双曲函数与反双曲函数

(1) 双曲函数

双曲函数是工程和物理问题中很有用的一类初等函数．定义如下：双曲正弦 e e sh ()2

x x

x x --=-∞<<+∞ 双曲余弦 e +e ch ()2

x x

x x -=-∞<<+∞ 双曲正切 th x = sh ch x x = e - e e e

x x

x x --+ ()x -∞<<+∞ 双曲余切 cth x = ch sh x x = e + e e e x x

x x

--- (x ≠0)

图1-28 图1-29

其图像如图1-28和图1-29所示．

双曲正弦函数的定义域为（-∞，+∞），它是奇函数，其图像通过原点（0，0）且关于原点对称．在（-∞，+∞）内单调增加．

双曲余弦函数的定义域为（-∞，+∞），它是偶函数，其图像通过点（0，1）且关于y 轴对称，在（-∞，0）内单调减少；在（0，+∞）内单调增加．

双曲正切函数的定义域为（-∞，+∞），它是奇函数，其图像通过原点（0，0）且关于原点对称．在（-∞，+∞）内是单调增加的．

双曲余切函数的定义域为{x｜x≠0,x∈R},它是奇函数，其图像关于原点对称．

由双曲函数的定义，容易验证下列基本公式成立．

sh(x±y)=sh x ch y±ch x sh y, ch(x±y)=ch x ch y±sh x sh y,

sh2x=2sh x ch x, ch2x=ch2x+sh2x=1+2sh2x=2ch2x-1, ch2x-sh2x=1．

(2) 反双曲函数

双曲函数的反函数称为反双曲函数，y=sh x,y=ch x和y=th x的反函数，依次记为反双曲正弦函数y=arsh x，

反双曲余弦函数y=arch x，

反双曲正切函数y=arth x．

反双曲正弦函数y=arsh x的定义域为（-∞，+∞），它是奇函数，在（-∞，+∞）内单调增加，由y=sh x的图像，根据反函数作图法，可得y=arsh x的图像（图1-30）．利用求反函数的方法，不难得到

y=arsh x=ln（x．

反双曲余弦函数y=arsh x的定义域为［1，+∞），在［1，+∞）上单调增加，如图131所示，利用求反函数的方法，不难得到

y=arch x=ln（x）．

反双曲正切函数y=arth x的定义域为（-1，1），它在（-1，1）内是单调增加的．它是奇函数，其图像关于原点（0，0）对称，如图1-32所示．容易求得

y=arth x=1

．

图1-30 图1-31 图1-32

课堂总结

本节复习了中学学过的函数有关知识，介绍了复合函数、反函数、基本初等函数与初等函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习做好准备.

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4 适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。（三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。【教学重点与难点】本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。【教学内容】第一节映射与函数一、映射 1.映射概念

人教版高数必修一第3讲：函数的相关概念与映射(教师版)

高中数学·· 教师版 page 1 of 9 函数的相关概念与映射 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型； 2、学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 3、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. 一、映射的概念：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A 、B ，以及对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作：:f A B →。二、像与原像的概念：给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的像，元素a 叫做元素b 的原像。特别提醒：1、对于映射:f A →B 来说，则应注意理解以下四点：（1）集合A 中每一个元素，在集合B 中必有唯一的象；（2）集合A 中不同元素，在集合B 中可以有相同的象；（3）集合A 中的元素与集合B 中的元素的对应关系，可以是：“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”。（4）允许集合B 中的元素没有象； 2、集合A 、B 及对应法则f 是确定的，是一个系统； 3、对应法则f 有“方向性”。即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；三、映射：一般地，设A ，B 是两个非空的集合，:f A →B 是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影：性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面（1）椭圆锥面：222 22z b y a x =+；（2）椭圆抛物面：z b y a x =+22 22；（旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转））（3）椭球面：1222222=++c z b y a x ；（旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转））（4）单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ；（旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点一、函数与极限（一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二）极限 1、定义 1）数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2）函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量 1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则； 3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5）无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.1映射与函数

课时授课计划课次序号：01 一、课题：§1.1 映射与函数二、课型：新授课三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念； 2.理解函数的概念，了解函数的四种特性； 3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念； 4.熟悉基本初等函数的性质及其图形； 5.会建立简单实际问题的函数关系式．四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态. 教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解. 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–1 3（1），6（4）（7），9（1）八、授课记录：九、授课效果分析：

第一章函数与极限第一节映射与函数高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识. 一、集合 1. 集合的概念集合是数学中的一个最基本的概念．一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成集合的事物称为该集合的元素．例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等．通常我们用大写的英文字母A，B，C，…表示集合；用小写的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，则称a属于A，记作a∈A；否则称a不属于A，记作 a?A（或a∈A）．含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用?表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集．例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；全体实数组成的集合是无限集；方程2x+1=0的实根组成的集合是空集．集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内．例如，所有正整数组成的集合可以表示为N={1，2，…，n，…}．另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A记作 A ={x｜x具有性质p（x）}．例如，正整数集N也可表示成N={n｜n =1，2，3，…}；又如A={（x，y）｜2x+2y=1，x，y为实数}表示xOy平面单位圆周上点的集合． 2. 集合的运算设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A?B （或B?A）；若A?B，且有元素a∈b，但a?A，则说A是B的真子集，记作A?B．对任何集A，规定??A．若A ?B，且B?A，则称集A与B相等，记作A=B．由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作A∪B，即 A∪B={x｜x∈A或x∈B}．由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即 A∩B={x｜x∈A且x∈B}．由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A\B，即 A\B={x｜x∈A但x?B}．如图1-1所示阴影部分．

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

函数与映射的概念主要知识梳理

函数与映射的概念知识梳理第 1 页共 1 页函数与映射的概念主要知识梳理 ●函数的基本概念： 1、函数的定义：设B A ,是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个函数。 ①关键词：非空的数集、任意性、唯一性 ②作用：判断一个对应是否是函数 2、函数的三要素：定义域A 、值域(?B)、对应法则f （定义域和对应法则最为关键）作用：判断两函数是否是同一函数的依据（只要判断定义域和对应法则是否相同即可） ●函数的表示方法：解析式法，列表法，图像法 ●分段函数与复合函数分段函数：? ??∈∈=)()()()()(21D x x h D x x g x f ，复合函数：))((x g f y = ●映射的概念 1、定义：设设B A ,是非空集合，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个映射。 ①关键词：非空集合、任意性、唯一性 ②作用：判断一个对应是否是映射 2、映射的三要素：原象集A 、象集(?B)、对应法则f 作用：判断两映射是否是同一映射的依据（只要判断原象集和对应法则是否相同即可） 3、函数是特殊的映射； ●反函数 1、概念; 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，由()y f x =求出()x y ?=.如果对于C 中每个y 值，在A 中都有唯一的值和它对应，那么()x y ?=为以y 为自变量的函数，叫做()y f x =的反函数，记作1()y f x -=，（x C ∈） 2、存在反函数的条件：函数()y f x =在定义域内单调（一一映射） 3、求反函数的一般步骤：（1）求原函数的值域；（2）反解，由()y f x =解出)(y x ?=；（3）写出反函数的解析式1()y f x -=（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）. 4、互为反函数的两个函数具有如下性质：（1）反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域；（2）互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性；它们的图象关于x y = 对称；（3）?=b a f )(a b f =-)(1 ●常见的思想方法 1、主要思想: ①数形结合:-------树形图 ②分类讨论：①按象的个数分类；②按原象个数分类； ③按对应关系（一对一、多对一，不能一对多）分类. 2、易错易混点 ①映射B A f →:与函数的定义).(x f y =-----A 中元素的任意性和B 中元素的唯一性? ②一个映射与某一对应的值. ③定义域与原象集以及与集合A 的关系. 值域与象集以及集合B 的关系. 3、主要题型: ①判断映射与函数； ②知原象、象、对应法则三者中的任意二个求余下一个； ③求映射与函数的个数.(注意分类讨论、注意和排列组合知识的综合应用)

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间

同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题分，共 ?分）．下列各组函数中，是相同的函数的是（）（?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（）()||f x x = 和 ( )g x = （）()f x x = 和 ( )2 g x = （）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （）（?）（） 1 4 （）（）．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）（?）1y x =- （）(1)y x =-+ （）()()ln 11y x x =-- （） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）（?）连续且可导（）连续且可微（）连续不可导（）不连续不可微．点0x =是函数4 y x =的（）（?）驻点但非极值点（）拐点（）驻点且是拐点（）驻点且是极值点

．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）（?）只有水平渐近线（）只有垂直渐近线（）既有水平渐近线又有垂直渐近线（）既无水平渐近线又无垂直渐近线． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）（?）1f C x ?? -+ ??? （）1f C x ?? --+ ??? （）1f C x ?? + ??? （）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（）（?）arctan x e C + （）arctan x e C -+ （）x x e e C --+ （） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（）（?）424arctan 1x dx x π π-+? （）44 arcsin x x dx ππ-? （）112x x e e dx --+? （）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（）（?）()()20f f - （）()()11102f f -????（）()()1 202f f -????（）()()10f f - 二．填空题（每题分，共 ?分）．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条． ()21ln dx x x = +?

高一数学《函数—映射与函数》测试题(含答案)[1]

函数—映射与函数一. 选择题： 1. 已知下列四个对应，其中是从A 到B 的映射的是（） A B A B A B A B a m a m a a m b n b m n c n b p c b p (1) (2) (3) (4) A. (3)(4) B. (1)(2) C. (2)(3) D. (1)(4) 2. 已知A x x B y y =≤≤=≤≤{|}{|}0402，，从A 到B 的对应法则为：(1)f x y x :→= 1 2 ，(2)f x y x :→=-2，(3)f x y x :→=，(4)f x y x :||→=-2，其中能构成一一映射的是（） A. (1)(2)(3)(4) B. (1)(2)(3) C. (1)(3) D. (1)(4) 3. 设A 到B 的映射为f x y x 121:→=+，B 到C 的映射f y z y 22 1:→=-，则A 到C 的映射f 是（） A. f x z x x :()→=+41 B. f x z x :→=-212 C. f x z x :→=22 D. f x z x x :→=++4412 4. 下列函数f(x)和g(x)中，表示同一函数的是（） A. f x x g x x x ()()== -2 1， B. f x x x g x x ()()= --=+21 1 1， C. f x x g x x ()||()== ，2 D. f x x x g x x ()||||()||=++=+121， 5. 某种玩具，每个价格为10.25元，买x 件玩具所需的钱数为f x x ().=1025元，此时x 的取值范围为（） A. R B. Z C. Q D. N 6. 函数y x x x =+ || 的图象是（）

2-5高等数学同济大学第六版本

2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;

(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:

映射与函数经典练习题

2005－2006学年度上学期高中学生学科素质训练高一数学同步测试（4）—映射与函数说明：本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷60分，第II 卷90分，共150分；答题时间150分钟．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y=f （x ）的图像与直线x=2的公共点共有（） A ．0个 B ．1个 C ．0个或1个 D ．不能确定 2 若热茶杯数y 与其关系式最接近的是（） A ．6y x =+ B ．42y x =-+ C ．260y x =-+ D ．378y x =-+ 3．如果f(a+b)=f(a)?f(b)且f(1)=2，则(1)(0)f f +(3)(2)f f +(5) (4)f f +…+(2005)(2004) f f 等于（） A ．1002 B ．1003 C ．2004 D ．2006 4．已知函数y = f (|x |)的图象如右图所示，则函数y = f (x )的图象不可能．．．是 5．已知映射f:A {－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的象，且对任意的a∈A，在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 A C D 函数y = f (｜x ｜)的图象

6．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A→B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．已知 ) (,11)11(2 2 x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为（） A ． 2 1x x + B ．2 12x x +- C ． 2 12x x + D ．2 1x x +- 8．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y =f (x )，另一种是平均价格曲线y =()g x (如3 =f (2)是指开始买卖后2个小时的即时价格为3元；3 = g (2)表示 2个小时内的平均价格为3元)．下图给出的四个图像，其中实线表示y =()f x ，虚线表示 y = ()g x ，其中可能正确的是 9．设函数2 (1) 1 ()41 x x f x x ?+

(完整word版)同济大学第六版高等数学课后答案详解全集

同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x)

同济六版高等数学课后答案

同济六版高等数学课后答案高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。第一章习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);

高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.1映射与函数(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】课时授课计划课次序号：01 一、课题：§1.1 映射与函数二、课型：新授课三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念； 2.理解函数的概念，了解函数的四种特性； 3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念； 4.熟悉基本初等函数的性质及其图形； 5.会建立简单实际问题的函数关系式．四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态. 教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解. 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业

大学出版社．七、作业：习题1–1 3（1），6（4）（7），9（1）八、授课记录：九、授课效果分析：第一章函数与极限第一节映射与函数高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识. 一、集合 1. 集合的概念集合是数学中的一个最基本的概念．一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成集合的事物称为该集合的元素．例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等．通常我们用大写的英文字母A，B，C，…表示集合；用小写的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，

则称a属于A，记作a∈A；否则称a不属于A，记作a?A（或a∈A）．含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用?表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集．例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；全体实数组成的集合是无限集；方程2x10的实根组成的集合是空集．集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内．例如，所有正整数组成的集合可以表示为N{1，2，…，n，…}．另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A 记作 A {x｜x具有性质p（x）}．例如，正整数集N也可表示成N{n｜n 1，2，3，…}；又如A{（x，y）｜2x2y1，x，y为实数}表示xOy 平面单位圆周上点的集合． 2. 集合的运算设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A?B（或B?A）；若A?B，且有元素a∈b，但a?A，则说A是B的真子集，记作A?B．对任何集A，规定??A．若A ?B，且B?A，则称集A与B相等，记作A B．由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作A∪B，即 A∪B{x｜x∈A或x∈B}．由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即 A∩B{x｜x∈A且x∈B}．由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A\B，即 A\B{x｜x∈A但x?B}．如图11所示阴影部分．

高等数学(同济大学版)第一章练习(含答案)

第一章函数与极限一、要求：函数定义域，奇偶性判定，反函数，复合函数分解，渐近线，求极限，间断点类型判定，分段函数分段点连续性判定及求未知参数，零点定理应用. 二、练习： 1.函数 2112 ++-=x x y 的定义域；答：2x ≥-且1x ≠±； 2. 函数y = 是由：复合而成的；答：2 ln ,,sin y u v v w w x ====； 3. 设 ,112 2 x x x x f +=??? ? ?+ 则()f x = ；答：22x -； 4. 已知)10f x x x ?? =+≠ ??? ，则()f x = ；答： ( )11f x x x = +=+ ()0x ≠； 5.11lim 1 n x x x →--= ，答：n ； !lim 1 n n n →∞ += ；答： 0； 6. 当a = 时,函数(), 0, x e x f x a x x ?<=? +≥?在(,)-∞+∞上连续；答：1a =； 7.设(3)(3)f x x x +=+，则(3)f x -=( B )； A.(3)x x -， B.()6(3)x x --， C.()6(3)x x +-， D.(3)(3)x x -+； 8. 1lim sin n n n →∞ =（ B ）； A.0 ， B.1， C.+∞， D.-∞； 9.1x =是函数2 2 1 ()32 x f x x x -= -+的（A ）； A.可去间断点，B.跳跃间断点， C.第二类间断点， D.连续点； 10. |sin | ()cos x f x x xe -=是（ A ）； A.奇函数， B.周期函数， C.有界函数， D.单调函数； 11.下列正确的是( A ) A.1lim sin 0x x x →∞ =，B.1lim sin 0x x x →∞ =， C.0 1lim sin 1x x x →=， D.11lim sin 1x x x →∞ =； 12. 1x =是函数)1,13, 1 x x f x x x -≤?=? ->?的（ D ）