初三数学二次函数知识点总结与习题

初三数学 二次函数 知识点总结

——廖海平

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（_____）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．

⑵ a b c ，

，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质： 左加右减。

4. ()2

y a x h k =-+的性质：

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成

c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

四、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ??

?，其中2424b ac b h k a a -=-=

，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、

对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

六、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口__，对称轴为_______，顶点坐标为___________．当2b

x a

<-

时，y 随x 的_______；当2b x a >-时，y 随x 的________；当2b x a =-时，y 有最___值2

44ac b a

-．

2. 当0a <时，抛物线开口___，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．当________时，y 随

x 的增大而增大；当____________时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-

时，y 有最大值__________． 七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：____________________（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：____________________（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式(交点式)：____________________（0a ≠，1x ，2x 是抛物线上_________的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成

交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．

总结起来，a 决定了抛物线_____________，a 的正负决定开口___，a 的大小决定开口的_____． 2. 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，02b

a

-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b

a

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b

a

-

>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b

a

->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b

a

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b

a

-

<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．

ab 的符号的判定：对称轴a

b

x 2-

=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0

3. 常数项c 决定抛物线与Y 轴交点位置

⑴ 当0c >时，抛物线交于____________抛物线与y 轴交点的纵坐标为___ ⑵ 当0c =时，；抛物线交于____________抛物线与y 轴交点的纵坐标为____

⑶ 当0c <时，抛物线交于___________即抛物线与y 轴交点的纵坐标为____

总之，只要a b c ，

，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选________；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用________；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用_________；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用______________．

九、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次

方程()2

00ax bx c a ++=≠

的两根．这两点间的距离21AB x x =-.

② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点；

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'

当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式或者用公式求； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

二次函数考查重点与常见题型

1已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 2如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）

3已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为3

5

=

x ，求这条抛物线的解析式。 4已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－3

2

（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 。

5（1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(a

c b M 在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

（2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

(1) (2)

【例2.已知二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2，O)、(x 1，0)，且1O；③4a+cO ，其中正确结论的个数为( )

A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个

例3.已知：关于x 的一元二次方程ax 2

+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax 2

+bx+c 的对称轴是直线

x=2，则抛物线的顶点坐标为( )

A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D ．(3，2) 例5、已知抛物线y=

12x 2+x-52

． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．

二次函数对应练习试题

一、选择题

1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )

A.(2,－11)

B.（－2，7）

C.（2，11）

D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）

A. 22(1)y x =-+

B. 22(1)y x =--

C. 221y x =-+

D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)k

y k x

=

≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )

4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个

B.2个

C. 3个

D. 4个

5.已知二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),

由图象可知关于x 的一元二次方程2

0ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）

Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3

6. 已知二次函数2

y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析

式为( ) A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++

C. 2

2y x x =--或2

2y x x =-++ D. 2

2y x x =---或2

2y x x =++

二、填空题

9．二次函数2

3y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。

10．已知抛物线y=-2（x+3）2+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______.

11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。

12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知直线3y kx =-+过点C ，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。

13. 二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。

14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14).

三、解答题：

15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,52

-). (1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?

(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?

16.某种爆竹点燃后，其上升高度h （米）和时间t （秒）符合关系式2

012

h v t gt =-

（0

计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升，

（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？

（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.

第15题图

17.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交

点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；

（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ?：ACD S ?=5 ：4的点P 的坐标。

18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x （元），该经销店的月利润为y （元）．

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）； （3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．