江西省吉安一中2015届高三上学期第二次段考数学试卷(理科)
江西省吉安一中2015届高三上学期第二次段考数学试卷（理科）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∩B等于（）
A．{x|x＞﹣2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1}
2．（5分）复数z满足（2+i）z=﹣3+i，则z=（）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（5分）某中学进行模拟考试有80个考室，每个考室30个考生，每个考试座位号按1～30号随机抽取试卷进行评分标准，每个考场抽取座位号为15号考生试卷质检，这种抽样方法是（）
A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．分组抽样
4．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线方程是y=x，则双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．2
5．（5分）甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法为（）A．72 B．36 C．52 D．24
6．（5分）设，，且tanα=，则下列结论中正确的是（）
A．2α﹣β=B．2α+β=C．α﹣β=D．α+β=
7．（5分）运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log23和log32，则输出M的值是（）
A．0B．1C．2D．﹣1
8．（5分）如图是张大爷晨练时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知不等式组表示的平面区域M，若直线y=kx﹣3k与平面区域M
有公共点，则k的取值范围是（）
A．B．（﹣∞，]C．（0，]D．（﹣∞，﹣]
10．（5分）一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）m3．
A．B．C．D．
11．（5分）=1上有两个动点P、Q，E（3，0），EP⊥EQ，则的最小值为（）
A．6B．C．9D．
12．（5分）已知函数f（x）=1﹣|2x﹣1|，x∈．定义：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），n=2，3，4，…满足f n（x）=x的点x∈称为f（x）的n阶不动点．则f（x）的n阶不动点的个数是（）
A．2n个B．2n2个C．2（2n﹣1）个D．2n个
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．
13．（5分）已知||=2，||=3，，的夹角为60°，则|2﹣|=．
14．（5分）设函数f（x）=sin（﹣2x+?）（0＜?＜π），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=，则?=．
15．（5分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1），则{a n}的通项公式为．
16．（5分）△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是（写出正确命题的编号）．
①总存在某内角α，使cosα≥；
②若AsinB＞BsinA，则B＞A；
③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；
④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于．
三、解答题（12分×5分，+10分）
17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，3S n=a n﹣1（n∈N）．
（1）求a1，a2；
（2）求证：数列{a n}是等比数列；
（3）求a n．
18．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
成等差数列，且=9，求a的值．
19．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=D E=2AB，且F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．
20．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|=4．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设点A（x1，y1），B（x2，y2）（y i≤0，i=1，2）是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB的面积最大时直线AB的方程．
21．（12分）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求实数a的值及f（x）的极值；
（Ⅱ）是否存在区间（t，t+）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）如果对任意的，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k||，求实数k的取值范围．
一、请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：知能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（10分）已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q
（1）求证：AC2=CQ?AB；
（2）若AQ=2AP，AB=，BP=2，求QD．
一、选考题
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：
ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），
l与C分别交于M，N．
（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
一、选考题
24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．
江西省吉安一中2015届高三上学期第二次段考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∩B等于（）
A．{x|x＞﹣2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1}
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
解答：解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）＜0，
解得：﹣2＜x＜1，即A={x|﹣2＜x＜1}，
∵B={x|x＞0}，
∴A∩B={x|0＜x＜1}，
故选：B．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题关键．
2．（5分）复数z满足（2+i）z=﹣3+i，则z=（）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：变形可得z==，化简即可．
解答：解：∵复数z满足（2+i）z=﹣3+i，
∴z====﹣1+i，
故选：C
点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．
3．（5分）某中学进行模拟考试有80个考室，每个考室30个考生，每个考试座位号按1～30号随机抽取试卷进行评分标准，每个考场抽取座位号为15号考生试卷质检，这种抽样方法是（）
A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．分组抽样
考点：分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：根据系统抽样的定义即可进行判断．
解答：解：∵每个考场抽取座位号为15号考生试卷质检，
∴座号间距都为30，满足系统抽样的定义，
即这种抽样方法是系统抽样，
故选：B．
点评：本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．
4．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线方程是y=x，则双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．2
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由题意=，可得e2=1+=4，即可得出双曲线的离心率．
解答：解：由题意=，∴e2=1+=4，
∴e=2，
故选：D．
点评：本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．
5．（5分）甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法为（）A．72 B．36 C．52 D．24
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：应用题；排列组合．
分析：本题限制条件比较多，可以分类解决，丙如果与两人相邻则，一定是丁和戊，而丁和戊可交换位置共有两种，则丙和丁戊共同构成3人一团，丙如果在首末两位，则有两种选择与丙相邻的只有丁和戊，根据分类和分步原理得到结果．
解答：解：丙如果与两人相邻则，一定是丁和戊，
而丁和戊可交换位置共有两种，则丙和丁戊共同构成3人一团，
从五个位置中选3个相邻的位置共有3种方法，而甲乙可互换又有两种，则有2×3×2=12，丙如果在首末两位，则有两种选择与丙相邻的只有丁和戊，
其余的三个位置随便排A33种结果根据分步计数原理知共有2×2×1×2×3=24
根据分类计数原理知有12+24=36，
故选：B．
点评：站队问题是排列组合中的典型问题，解题时，要先排限制条件多的元素，本题解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．
6．（5分）设，，且tanα=，则下列结论中正确的是（）
A．2α﹣β=B．2α+β=C．α﹣β=D．α+β=
考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦．
专题：三角函数的求值．
分析：利用二倍角公式得出，然后分子分母同时除以cosβ，最后由角的
范围得出答案即可．
解答：解：
．
因为，β+∈（，），所以．
故选：C．
点评：本题主要考查了二倍角的应用，属于基础题．
7．（5分）运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log23和log32，则输出M的值是（）
A．0B．1C．2D．﹣1
考点：程序框图．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数M=的值．
解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算分段函数M=的值．
∵a=log23，b=log32，
∴a＞b
∴M=log23×log32+1=2
故选C
点评：本题考查的知识眯是程序框图，其中根据程序框图分析出程序框图的功能是解答本题的关键．
8．（5分）如图是张大爷晨练时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（）
A．B．C．D．
考点：函数的图象．
专题：数形结合．
分析：由已图形可知，张大爷的行走是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，结合图象逐项排除
解答：解：由已图形可知，张大爷的行走是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，C符合；
A：行走路线是离家越来越远，不符合；
B：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；
C：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；
故选：D
点评：本题主要考查了识别图象的及利用图象解决实际问题的能力，还要注意排除法在解题中的应用．
9．（5分）已知不等式组表示的平面区域M，若直线y=kx﹣3k与平面区域M
有公共点，则k的取值范围是（）
A．B．（﹣∞，]C．（0，]D．（﹣∞，﹣]
考点：简单线性规划的应用．
专题：计算题；数形结合．
分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件
的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=kx﹣3k中，求出y=kx﹣3k对应的k的端点值即可．
解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：
因为y=kx﹣3k过定点D（3，0）．
所以当y=kx﹣3k过点A（0，1）时，找到k=﹣
当y=kx﹣3k过点B（1，0）时，对应k=0．
又因为直线y=kx﹣3k与平面区域M有公共点．
所以﹣≤k≤0．
故选A．
点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．
10．（5分）一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）m3．
A．B．C．D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析：由三视图可知该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个形状为正方体一半的三棱柱构成，即体积为3.5个小正方体体积．
解答：解：由三视图可知该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个形状为正方体一半的三棱柱构成，
即体积为3.5个小正方体体积．即V=
点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键
11．（5分）=1上有两个动点P、Q，E（3，0），EP⊥EQ，则的最小值为（）
A．6B．C．9D．
考点：向量在几何中的应用．
专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想．
分析：根据EP⊥EQ，和向量的数量积的几何意义，得
∴==EP2，设出点P的坐标，利用两点间距离公式求出EP2，根据点P在椭圆上，代入消去y，转化为二次函数求最值问题，即可解得结果．
解答：解：设P（x，y），则，即
∵EP⊥EQ，
∴==EP2，
而EP2=（x﹣3）2+y2=，
∵﹣6≤x≤6
∴当x=4时，EP2=（x﹣3）2+y2=有最小值6，故选A．
点评：此题是个中档题．考查了向量在几何中的应用，以及向量数量积的几何意义，和椭圆的有界性，二次函数求最值等基础知识，注意椭圆的有界性，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
12．（5分）已知函数f（x）=1﹣|2x﹣1|，x∈．定义：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），n=2，3，4，…满足f n（x）=x的点x∈称为f（x）的n阶不动点．则f（x）的n阶不动点的个数是（）
A．2n个B．2n2个C．2（2n﹣1）个D．2n个
考点：函数与方程的综合运用．
专题：创新题型；推理和证明．
分析：根据数f（x）=1﹣|2x﹣1|=，求出f1（x）=x，的根，及个数．根据f1（x），求出f2（x）=x的根，及个数，类比推理求解f（x）的n阶不动点的个数．
解答：解：函数f（x）=1﹣|2x﹣1|=
当x∈时，f1（x）=2x=x，解得x=0，
当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x=x，解得x=，
∴f的1阶周期点的个数为2
当x∈时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0
当x∈（，]时，f1（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x，解得x=，
当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4x﹣2=x，解得x=
当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x，解得x=，
∴f的2阶周期点的个数为22，
依此类推：
∴f的n阶周期点的个数为2n
点评：本题考察了分段函数解析式的求解，不动点的求解，特别是区间的取设，讨论函数式子．属于难题．
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．
13．（5分）已知||=2，||=3，，的夹角为60°，则|2﹣|=．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：利用模的平方化简所求模的表达式，然后开方求解即可．
解答：解：||=2，||=3，，的夹角为60°，
则|2﹣|2=4﹣4?+=4×4+9=13．
∴|2﹣|=．
故答案为：．
点评：本题考查平面向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．
14．（5分）设函数f（x）=sin（﹣2x+?）（0＜?＜π），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=，则?=．
考点：正弦函数的对称性．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由题意可得﹣2×+?=kπ+，k∈z，再结合0＜?＜π，可得?的值．
解答：解：由题意可得﹣2×+?=kπ+，k∈z，即?=kπ+，k∈z．
再结合0＜?＜π，可得?=，
故答案为：．
点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
15．（5分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1），则{a n}的通项公式为a n=3n ﹣1．
考点：数列的函数特性．
专题：等差数列与等比数列．
分析：当n≥2时，a n+1=2S n+1（n≥1），a n=2S n﹣1+1，两式相减可得a n+1=3a n．利用等比数列的通项公式即可得出．
解答：解：当n≥2时，a n+1=2S n+1（n≥1），a n=2S n﹣1+1，
∴a n+1﹣a n=2a n，
∴a n+1=3a n．
当n=1时，a2=2a1+1=3．
∴数列{a n}为等比数列．
∴a n=3n﹣1．
故答案为：3n﹣1．
点评：本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式，属于基础题．
16．（5分）△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是①④（写出正确命题的编号）．
①总存在某内角α，使cosα≥；
②若AsinB＞BsinA，则B＞A；
③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；
④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：对于①，可先根据三角形内角和定理判断角α的范围，从而确定cosα的值域；
对于②，结合式子的特点，可构造函数y=，研究其单调性解决问题；
对于③，利用内角和定理结合两角和的正切公式研究tanA+tanB+tanC的符号即可；
对于④，可以利用平面向量的运算方法将给的条件转化为三边a，b，c之间的关系，然后找到最小边，利用余弦定理求其余弦值，问题可获解决．
解答：解：对于①，假设三个内角都大于60°，则三内角和必大于180°，与内角和定理矛
盾，故必有一内角小于或等于60°，设为α，则cosα≥cos60°=，故①为真命题；
对于②，由题意不妨令，因为，因为时，tanx＞x＞0，所以，所以xcosx﹣sinx＜0，所以f′（x）＜0，即f（x）在x上为减函数，所以题意得AsinB＞BsinA即为，则应有B＜A，故②为假命题；
对于③，由题意不妨设C，则A，B皆为锐角，且tanA＞0，tanB＞0，tanC＜0．又
，整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＜0，故③为假命题；
对于④，由2a+b+c=得2a+b+=（2a﹣c）=，即，而不共线，所以2a﹣c=0，b﹣c=0，解得c=2a，b=2a，则a是最小边，所以A为最小角，所以cosA=，故，故④正确．
故答案为①④．
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数与解三角形、利用导数求函数的最值以及不等式的应用等知识，有一定难度．
三、解答题（12分×5分，+10分）
17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，3S n=a n﹣1（n∈N）．
（1）求a1，a2；
（2）求证：数列{a n}是等比数列；
（3）求a n．
考点：等比数列的性质；数列的函数特性；等比关系的确定．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：（1）由3S n=a n﹣1，可求a1，a2；
（2）当n≥2时，3a n=3S n﹣3S n﹣1=（a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣1）=a n﹣a n﹣1，即可证明数列{a n}是等比数列；
（3）利用等比数列的通项公式求a n．
解答：（1）解：由3S1=a1﹣1，得a1=﹣．
又3S2=a2﹣1，得a2=．
（2）证明：当n≥2时，3a n=3S n﹣3S n﹣1=（a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣1）=a n﹣a n﹣1，
∴=﹣
∴数列{a n}是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．
（3）解：由（2）可得a n=．
点评：本题考查等比数列的证明与通项，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
18．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
成等差数列，且=9，求a的值．
考点：正弦函数的单调性；数列与三角函数的综合；三角函数中的恒等变换应用．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（I）利用两角和差的三角公式化简f（x）的解析式，得到sin（2x+），由2kπ
﹣≤（2x+）≤2kπ+，解出x的范围，即得f（x）的单调递增区间．
（II）在△ABC中，由，求得A的值；根据b，a，c成等差数列以及=9，利用余弦定理求得a值．
解答：解：（I）f（x）==sin2x+cos2x=sin（2x+）．
令2kπ﹣≤（2x+）≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z．
即f（x）的单调递增区间为，k∈z．
（II）在△ABC中，由，可得sin（2A+）=，∵＜2A+＜2π+，
∴2A+=或，∴A=（或A=0 舍去）．
∵b，a，c成等差数列可得2a=b+c，∵=9，∴bccosA=9，即bc=18．
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣3bc=4a2﹣54，
求得a2=18，∴a=3．
点评：本题考查等差数列的性质，正弦函数的单调性，两角和差的三角公式、余弦定理的应用，化简函数的解析式是解题的突破口，属于中档题．
19．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．
考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．
分析：（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP∥DE，且FP=，而AB∥DE，且AB=则ABPF为平行四边形，则AF∥BP，AF?平面BCE，BP?平面
BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；
（2）根据AB⊥平面ACD，DE∥AB，则DE⊥平面ACD，又AF?平面ACD，根据线面垂直的性质可知DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，满足线面垂直的判定定理，证得AF⊥平面CDE，又BP∥AF，则BP⊥平面CDE，BP?平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；
（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为
平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据可
求出所求．
解答：（1）证：取CE中点P，连接FP、BP，
∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．
又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…（2分）
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．…（4分）
（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE．…（6分）
又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．…（8分）
（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），
建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，
则C（0，﹣1，0），．…（9分）
设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，
则令z=1，则n=（0，﹣1，1）．…（10分）
显然，m=（0，0，1）为平面ACD的法向量．
设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，则．
α=45°，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．…（12分）
点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及面面垂直的判定和利用空间向量定理二面角的平面角，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题．
20．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|=4．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设点A（x1，y1），B（x2，y2）（y i≤0，i=1，2）是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB的面积最大时直线AB的方程．
考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（I）根据抛物线的定义，利用|PF|=4，求得P即可；
（II）根据条件判定直线PA、PB的斜率关系，求出直线AB的斜率，再设出直线AB的方程，根据三角形PAB面积最大时的条件，求出三角形PAB面积的最大值，
及最大值时直线AB的方程．
解答：解：（I）∵|PF|=4，∴x P+=4，
∴P点的坐标是（4﹣，4），
∴有16=2P（4﹣）?P=4，
∴抛物线方程是y2=8x．
（II）由（I）知点P的坐标为（2，4），
∵∠APB的角平分线与x轴垂直，∴PA、PB的倾斜角互补，即PA、PB的斜率互为相反数，设PA的斜率为k，则PA：y﹣4=k（x﹣2），k≠0
?，方程的解为4、y1，
由韦达定理得：y1+4=，即y1=﹣4，同理y2=﹣﹣4，
又=8x1，=8x2，
∴k AB===﹣1，
设AB：y=﹣x+b，?y2+8y﹣8b=0，
由韦达定理得：y1+y2=﹣8，y1y2=﹣8b，
|AB|=|y1﹣y2|=8，点P到直线AB的距离d=，
S△ABP=2×，设b+2=t
则（b+2）（b2﹣12b+36）=t3﹣32t﹣64﹣（3t﹣8）（t﹣8），
∵△=64+32b＞0?b＞﹣2，y1?y2=﹣8b≥0?b≤0，∴﹣2＜b≤0，
设t=b+2∈（0，2]，
则（b+2）（b2﹣12b+36）=t3﹣16t2+64t=f（t），
f′（t）=3t2﹣32t﹣64=（3t﹣8）（t﹣8），
由t∈（0，2]知f′（t）＞0，∴f（t）在（0，2]上为增函数，
∴f（t）最大=f（2）=72，
∴△PAB的面积的最大值为2×=24，
此时b=0，直线AB的方程为x+y=0．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系及抛物线的标准方程．
21．（12分）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求实数a的值及f（x）的极值；
（Ⅱ）是否存在区间（t，t+）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）如果对任意的，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k||，求实数k的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）由函数f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行求得a的值，然后利用函数的导函数的符号求出函数的单调期间，则函数的极值可求；
（Ⅱ）假设存在区间（t，t+）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点，则得到
，解此不等式组求得t的取值范围；
（Ⅲ）由（I）的结论知，f（x）在[e2，+∞）上单调递减，然后构造函数F（x）=f（x）﹣，
由函数在[e2，+∞）上单调递减，则其导函数在在[e2，+∞）上恒成立，由此求得实数k的取值范围．
解答：解：（I）由f（x）=，得．
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴，
∴a=1，
∴，x＞0，
．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，
故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；
（Ⅱ）∵x＞1时，，
当x→0时，y→﹣∞，
由（I）得f（x）在（0，1）上单调递增，
∴由零点存在原理，f（x）在区间（0，1）存在唯一零点，函数f（x）的图象如图所示：
∵函数f（x）在区间（t，t+），t＞0上存在极值和零点．
∴，解得．
∴存在符合条件的区间，实数t的取值范围为（）；
（III）由（I）的结论知，f（x）在[e2，+∞）上单调递减，
不妨设，则|f（x1）﹣f（x2）|≥k||，则
．
∴．
∴函数F（x）=f（x）﹣在[e2，+∞）上单调递减，
又，
∴在[e2，+∞）上恒成立，
∴k≤lnx在[e2，+∞）上恒成立．
在[e2，+∞）上，
k≤2．
点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了函数零点的判定方法，训练了利用恒成立问题求参数的范围，综合考查了学生的逻辑思维能力和计算能力，是压轴题．
一、请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：知能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（10分）已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q
（1）求证：AC2=CQ?AB；
（2）若AQ=2AP，AB=，BP=2，求QD．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：选作题；立体几何．
分析：（1）证明△ACB∽△CQA，可以证明AC2=CQ?AB；
（2）先求出PC，再利用切割线定理求出QA，QD．
解答：（1）证明：因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC，
又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB，
因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA，
所以△ACB∽△CQA，所以，
所以AC2=CQ?AB…（5分）