图论与网络流理论

图论与网络流理论
（Graph Theory and Network Flow Theory）
讲授：高随祥
中科院研究生院专业基础课
学时/学分：60/3
本课程适合基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论、概率论与数理统计各专业的硕士学位研究生作为专业基础课，也可供物理学、化学、天文学、地学、生物科学、计算机科学与技术、计算机软件、管理科学与工程以及通信、信号等学科专业的硕士研究生选修。主要讲授图论与网络流理论的基本概念、方法和定理，介绍该领域重要的问题以及典型的算法，展示图论与网络流模型及方法的广泛应用。为学习者将来从事有关方面的理论研究打下基础，也为进行应用性研究提供一种有力的工具。

内容提要
第一章 图的基本概念
图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩阵与邻接矩阵。
路、圈与连通图；最短路问题。
树及其基本性质；生成树；最小生成树。
第二章 图的连通性
割点、割边和块；边连通与点连通；连通度；Whitney定理；可靠通信网络的设计。
第三章 匹配问题
匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配；指派问题与最大权匹配。
第四章 欧拉图与哈密尔顿图
欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问题。
第五章 支配集、独立集、覆盖集与团
支配集、点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念及其求法。
第六章 图的着色问题
点着色；边着色；平面图；四色猜想；色多项式；色数的应用。
第七章 网络流理论
有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割定理；求最大流的标号算法；最小费用流问题；最小费用最大流；网络流理论的应用。
主要参考书
[1] J.A. Bondy and U.S. Murty, Graph theory with applications, 1976, 有中译本（吴望名等译）。
[2] B.Bollobas, Modern graph theory (现代图论)，科学出版社，2001。
[3] 蒋长浩，图论与网络流，中国林业出版社，2001。
[4] 田丰，马仲蕃，图与网络流理论，科学出版社，1987。
[5] 徐俊明，图论及其应用，中国科技大学出版社，1998。
[6] 王树禾，图论及其算法，中国科技大学出版社，1994。
[7] 殷剑宏，吴开亚，图论及其算法，中国科技大学出版社，2003。
考核方式：平时成绩＋期末闭卷笔试




第一章 图的基本概念
§1.1 图的基本概念
1. 图(graph)：一集元素及它们之间的某种关系。具体地说，图是一个二元组，其中集合V称为顶点集，集合E是的一个子集（无序对，元素可重复），称为边集。
例1.1.1 ，其中
，。
这便定义出一个图。

2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上

的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例1.1.1中图的一个图示为






注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。比如下图是例1.1中图的另一个图示：






（2）图的图示直观易懂，因此以后一般说到一个图，我们总是画出它的一个图示来表示。
3. 一些概念和术语
（1） 点与边的关联(incident)
（2） 点与点的相邻（adjacent）
（3） 边与边的相邻
（4） 边的端点（end vertices）
（5） 环边(loop)
（6） 重边(multiedge)
（7） 简单图(simple graph)
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）、边数
（10） 顶点v的度(degree)：d(v) = 顶点v所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图G的最大度：
图G的最小度：
（12）正则图(regular graph)：每个顶点的度都相等的图。
（13）图的补图(complement)：设G是一个图，以为顶点集，以为边集的图称为G的补图，记为。

定理1.1.1
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。
推论1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括0）。
4. 子图
子图(subgraph)：如果且，则称图H是G的子图，记为。
生成子图(spanning subgraph): 若H是G的子图且，则称H是G的生成子图。
点导出子图(induced subgraph)：设，以为顶点集，以两端点均在中的边的全体为边集所组成的子图，称为G的由顶点集导出的子图，简称为G的点导出子图，记为.
边导出子图(edge-induced subgraph)：设，以为顶点集，以两端点均在中的边的全体为边集所组成的子图，称为G的由边集导出的子图，简称为G的边导出子图，记为.
5. 路和圈
途径(walk)：图G中一个点边交替出现的序列。
迹(trail)：边不重的途径。
路(path): 顶点不重复的迹。
（注：简单图中的路可以完全用顶点来表示，）
闭途径（closed walk）：起点和终点相同的途径。
闭迹(closed trail)：起点和终点相同的迹，也称为回路（circuit）.
圈(cycle): 起点和终点相同的路。
注：
（1）途径（闭途径）、迹（闭迹）、路（圈）上所含的边的个数称为它的长度。
（2）简单图G中长度为奇数和偶数的圈分别称为奇圈(odd cycle)和偶圈(even cycle)。
（3）对任意，从x到y的具有最小长度的路称为x到y的最短路（shortest path），其长度称为x到y的距离(distance)，记为。
（4）图G的直径(diameter): .
（5）简单图G中最短圈的长度称为图G的围长(girth)，最长圈的长度称为图G的周长(circumference)。
例1.1.2 设G是一个简单图，若，则G中必含有圈。
证明：设G中的最长路为。因，故存在与相异的顶点v与

相邻。若，则得到比P更长的路，这与P的取法矛盾。因此必定，从而G中有圈。证毕。
例1.1.3 设G是简单图，若,则G必有偶圈。
证明：设是G的最长路。
因为， 所以存在两个与相异的顶点与相邻。必都在路P上，否则会得到比P更长的路。无妨设。
若中有奇数，比如i是奇数，则路P上到的一段与边构成一个偶圈；
若都是偶数，则路P上到的一段与边及构成一个偶圈。证毕。
例1.1.4设G是简单图，若,则G中各个圈长的最大公因数是1或2。
证明：由上例知，G中有长分别为和的圈。若，三数有公因数，则，于是，这是不可能的。因此，三数的公因数必不超过2。从而各个圈长的最大公因数是1或2。证毕。
6. 二部图
二部图 (bipartite graph)：若图G的顶点集可划分为两个非空子集X和Y，使得任一条边都有一个端点在X中，另一个端点在Y中，则称G为二部图（或偶图），记为G＝，称为G的一个划分。
完全二部图(complete bipartite graph)：在二部图中，若X的每个顶点与Y的每个顶点有边连接，则称G为完全二部图；若，，则记此完全二部图为。
定理1.1.2一个图是二部图当且仅当它不含奇圈。
证明： 必要性：设是二部图的一个圈。无妨设，由二部图的定义知，，，，一般地，，，（）。又因，故，因而k是奇数。注意到圈C上共有条边，因此是偶圈。
充分性：设G不含奇圈。取，令
，。
任取一条边，欲证分属于X和Y。设P，Q分别是u到的最短路。
（1）如果或，则到u的距离奇偶性相反，分属于X和Y。
（2）否则，设是P与Q的最后一个公共顶点，因P的段和Q的段都是u到的最短路，故这两段长度相等。
假如P，Q的奇偶性相同，则P的段和Q的段奇偶性相同，这两段与边e构成一个奇圈，与定理条件矛盾。可见P，Q的奇偶性不同，从而分属于X和Y。
这便证明了G是一个二部图。 证毕。
7. 连通性
图中两点的连通：如果在图G中u，v两点有路相通，则称顶点u，v在图G中连通。
连通图（connected graph）：图G中任二顶点都连通。
图的连通分支（connected branch, component）：若图G的顶点集V(G)可划分为若干非空子集，使得两顶点属于同一子集当且仅当它们在G中连通，则称每个子图为图G的一个连通分支（）。
注：（1）图G的连通分支是G的一个极大连通子图。
　（2）图G连通当且仅当。
例1.1.5设有2n个电话交换台，每个台与至少n个台有直通线路，则该交换系统中任二台均可实现通话。
证明：构造图G如下：以交换台作为顶点，两顶点间连边当且仅当对应的两台间有直通线路。问题化为：已知图G有2n个顶点，且，求证G连通。
事实上，假如G不连通，则至少有一个

连通分支的顶点数不超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是。这与矛盾。证毕。
例1.1.6若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。假如u与v不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将每个分支看成一个图时，其中只有一个奇度顶点。这与推论1.1.1矛盾。证毕。
8. 图的同构
由前已知，同一个图有不同形状的图示。反过来，两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：






可见和的顶点及边之间都一一对应，且连接关系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这样的两个图称为是同构的(isomorphic)。
从数学上看，同构的两个图，其顶点间可建立一一对应，边之间也能建立一一对应，且若一图的两点间有边，则在另一图中对应的两点间有对应的边。严格的数学定义如下。
定义1.1.1 两个图与，如果存在两个一一映射：
，，
使得对任意，都有且，则称图G与H同构。记为.
9. 图的矩阵表示
（1）关联矩阵
，
其中表示顶点与边关联的次数。
（2）邻接矩阵
，
其中表示顶点与相邻的次数。
例1.1.7





，。
可见：（1）M(G)和A(G)的元素是0，1或2。若G是简单图，则只有0和1；
（2）A(G)是对称矩阵；
（3）M(G)中每列之和＝2；M(G)中第i行之和＝vi的度；
若G中无环边，则A(G)中第i行（列）之和＝M(G)中第i行之和＝vi的度。
图在计算机上处理时，可以以关联矩阵或邻接矩阵的形式存于计算机中。因邻接矩阵比关联矩阵小又是对称矩阵，故通常使用邻接矩阵的上三角部分。

§1.2 最短路问题
一、赋权图
对图G的每条边e，赋以一个实数w(e)，称为边e的权。每个边都赋有权的图称为赋权图。
权在不同的问题中会有不同的含义。例如交通网络中，权可能表示运费、里程或道路的造价等。
设H是赋权图G的一个子图，H的权定义为＝，特别地，对G中一条路P，P的权为＝。
二、最短路问题
给定赋权图G及G中两点u, v，求u到v的具有最小权的路（称为u到v的最短路）。
注：赋权图中路的权也称为路的长，最短(u,v)路的长也称为u,v间的距离，记为d(u,v)。
最短路问题是一个优化问题，属于网络优化和组合优化的范畴。对这种优化问题的解答一般是一个算法。最短路问题有很多算法，其中最基本的一个是Dijkstra算法。


三、Dijkstra算法
1. 算法思想
若路是从到的最短路，则必是到的最短路。基于这一原理，算法由近及远地逐次求出到其它各点的最短路。
下面通过例子说明具体做法。







（1）令，，求到中最近点的

最短路，结果找到。
（2）令，，求到中最近点的最短路。此时除了考虑到的直接连边外，还要考虑通过向的连边，即选取中一点使得
。(*)
结果找到。
一般地，若以及相应的最短路已找到。则可应用(*)式来选取新的，获得到的最短路。
2．算法实现－标号法
标号方法：
初始时，，，（）。然后算法逐步修改中顶点的标号。
第i步时，。
Dijkstra算法：
Step1. Let ，，（）， and 。
Step2. for every ，。Take such that 。Denote the vertex by , let 。
Step3. if , then stop, else, , go to step 2.
3. 算法有效性
一个图论算法称为是有效算法（或好算法），如果在任何图上施行这个算法所需要的计算量（时间复杂性）都可由和的一个多项式为其上界。Dijkstra算法是好算法。它的计算量为。全部迭代过程需要做次加法和次比较。
（step2中第1式需要次加法，次比较。第2式需要次比较。而）。
§1.3 树及其性质
不含圈的图称为森林，不含圈的连通图称为树（tree）。
定理1.3.1 下列命题等价：
（1） G是树；
（2） G中无环边且任二顶点之间有且仅有一条路；
（3） G中无圈且；
（4） G连通且;
（5） G连通且对任何，不连通；
（6） G无圈且对任何，恰有一个圈。
证明：（1）（2）
G是树G连通，存在路。
若还存在一条路，则必存在w，w是路P与除了v之外最后一个公共顶点。P的段与的段构成圈，这与G是树矛盾。故只存在唯一的路。
（2）（3）
若G有圈，则此圈上任二顶点间有两条不同的路，与前提条件矛盾。
下面用归纳法证明。
时，，结论真。
假设时结论真，我们来证明当时，也有成立。
当时，任取。考虑图，因G中u、v间只有一条路，即边uv，故不连通且只有两个连通分支，设为。注意到分别都连通且任二顶点间只有一条路，由归纳法假设，，。因此
。
归纳法完成。
（3）（4）
用反证法。若G不连通，设是其连通分支（），则（因是连通无圈图，由已证明的(1)和(2)知，对每个，（3）成立）。这样，，这与矛盾。
（4）（5）
，但每个连通图必满足（见下列命题），故图不连通。
命题 若图H连通，则。
证明：对做数学归纳法。
时，显然成立。
假设的连通图都。
对于的连通图H，任取，考虑。
若连通，则由归纳假设，，而
。
若不连通，设是其连通分支（）。由归纳假设，，（）。故
，
而。
归纳法完成。
（5）（6）
先证G中无圈：若G中有圈，删去圈上任一边仍连通，矛盾。
再证对任何，恰含一个圈：因G连通且已证G

无圈，故G是树。由（2），任二不相邻顶点间都有一条路相连，故中必有一个含有e的圈；另一方面，若中有两个圈含有e，则()中仍含有一个圈，矛盾。
（6）（1）
只需证G连通。任取，若u、v相邻，则u与v连通。否则，恰含一个圈，故u与v在G中连通。由u、v的任意性，图G连通。
定理证毕。
推论1.3.1 非平凡树至少含两个1度顶点（叶子）。
证明：设T是一个非平凡树。因T连通，故对每个顶点，都有。若对所有都有，则。但另一方面，。这两方面矛盾。故T至少有一个1度顶点，设为u。除此之外，其余个顶点的度数之和为。若这些点的度都大于或等于2，则其度数之和。这与矛盾。故除u之外T还至少有一个度为1 的顶点。证毕。
§1.4 生成树与最小生成树
一、生成树（spanning tree）
定义1.4.1 设T是图G的一个子图，如果T是一棵树，且，则称T是G的一个生成树。
定理1.4.1 每个连通图都有生成树。
证明：设G是一个连通图。令是G的连通子图且。易见A非空。从A中取边数最少的一个，记为T。下证T是G的生成树。显然只需证明T是树即可。
事实上，已知T连通，下证T无圈。
若T有圈C，则去掉C上任一条边e，仍连通。从而。但比T少一条边，这与T的取法矛盾。证毕。
推论1.4.1 若G连通，则。
证明：取G的生成树T，则。证毕。
二、最小生成树问题
问题描述：在赋权图G中，求权最小的生成树。即：求G的一棵生成树T，使得
。
算法：
1. Kruskal算法
step1. take such that .
Step2. find such that
(1) G[{}] does not contain any cycle, and
(2) is the one with minimum weight that meet (1).
Step3. if i+1 =, stop; else, , go to step2.
定理1.4.2 设是Kruskal算法获得的边，则边导出子图G[{}]是G的最小生成树。
证明：记 G[{}]。显然无圈，因此是森林。设它有w个连通分支，则。但是G的子图，故，于是
。
由定理1.3.1的（3），是一棵树，从而是G的一棵生成树。
下证其最优性，用反证法。
假设不是权最小的生成树（下称最优树）。
对G的任一棵生成树T，记且。选取一棵使最大的最优树，记为。（不会是）。设。由的定义，既在上也在上，但不在上。因此含有一个圈C。C上必有一条边。显然也是一棵生成树，且。
按照算法，是使G[{}]中无圈的边中权最小的。注意G[{}] 是的子图，也无圈。故由算法规则知：。由前式，，这说明也是最优树，但（注意由于在上且，故）。这与的取法矛盾。证毕。
例1.4.1 欲建设一个连接5个城市的光纤通信网络。各城市间线路的造价如图所示，求一个使总造价最少的

线路建设方案。





2. Prim算法
step1. 任取，令，，。
step2. 求到间权最小的边，设的属于的端点为，令，。
Step3. 若，停止；否则，令，继续step2。











习题一
1． 证明：。
2． 如果，则连通图G至少有两个1度顶点。
3． 如果，则存在使得。
4． 在k度正则图G中，。
5． 晚会上大家握手言欢。证明：握过奇数次手的人必有偶数个。
6． n个运动队进行一项竞赛。已赛完局。试证一定存在一个队至少参加过3局比赛。


习题二
1． 证明：若G是完全二部图，则。
2． 证明：若是一个k度正则二部图，则。
3． 若G是简单图且，则G有长为k的路。
4． 证明连通图中两条最长路必有公共顶点。
5． 设G是直径为2的简单图，且，则。
6． 的简单图必含有长至少为的圈。
7． 若，则G中必有圈。

习题三
1． 不含圈的图称为森林（forest），证明：
（1） G是森林当且仅当；（2）无孤立点的森林至少有2w个1度顶点。
这里w表示G的连通分支数，孤立点指零度顶点。
2． 证明非平凡树中最长路的起点和终点都是叶子（1度点）。
3． 恰有两个叶子的树必是路。
4． 若G是树且，则G至少有k个1度顶点。
5． 证明每个树都是二部图。
6． 修改Kruskal算法用以：
（1）求赋权连通图中的最大权生成树；（2）求不连通赋权图中的最小权生成林。


课外阅读：
[1] 阅读参考书上有关内容。
[2] D. Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms, (Algorithms and Computation in Mathematics, Vol.5), Springer, 1998, 第3章、第4章。
[3] N.Deo and N.Kumar, Computation of Constrained Spanning Trees: A Unified Approach, in Network Optimization (P.M. Pardalos, D.W. Hearn and W.W. Hager editors.), Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems 450, Springer-Verlag, 1997.
[4] M.R. Henzinger and V. King, Maintaining minimum spanning forests in dynamic graphs, SIAM J. Computing, 31:2(2001), pp364-374.
[5] Guoliang Xue and Shangzhi Sun, Optimal multicast tree in communication systems with channel capacities and channel reliabilities, IEEE Transactions on Communications, 47:5(1999), pp662-663.




1