2015年慈溪市“我爱数学”初二数学竞赛试题

2015年慈溪市“我爱数学”初二数学竞赛

(考试时间：2015年12月27日，满分120分，时间120分钟)

一、选择题（每小题4分，共32分．在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）

1．已知数a ，b 满足关系式362a ab b +-=，且a 不是整数．则对b 得出的正确结论 是（ ▲ ）

A ．b 必定是正整数

B ．b 也不是整数

C ．b 必定是负整数

D ．b 整数和分数均可 2．不论m 取何实数，点P （2m -，3m +）都不在（ ▲ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．如图，在机场有一种运送人员的自动步行梯，其运行速度均匀．假设小颖行走的速度不变， 且大于自动步行梯的运行速度． 甲：小颖在平地上行走；

乙：小颖在自动步行梯上行走，且与自动步行梯的运行方向相同； 丙：小颖在自动步行梯上不动；

丁：小颖在自动步行梯上行走，且与自动步行梯的运行方向相反．

上述四种情景下前进的距离（s ）与时间（t ）的函数关系大致可用图象表示为（ ▲ ） 4．已知实数,m n

使不等式225x m m

x ?+≤??+≥??的整数解有且只有7个，则m n +的值为（ ▲ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．不能确定

5．七年级（1）班甲、乙、丙、丁四位候选人竞选班长，投票后，已知乙得票比甲多，甲、丁 得票之和超过乙、丙之和，甲、乙得票之和与丙、丁得票之和相等，则这四人得票数从高到

底排列为（ ▲ ）

A ．丁乙丙甲

B ．丁乙甲丙

C ．乙丁甲丙

D ．乙甲丁丙

6．在如图1的钢架∠MAN 中，需要焊上等长的钢条来加固钢架．若自左至右摆放，只能摆放 7根，且1122378AP PP P P P P ==== ．为了进一步加固该钢架，自点8P 开始自右向左再焊 上等长的钢条，如图2，且89910131414P P P P P P AP ==== ．则∠A 的度数是（ ▲ ） A ．不存在的 B ．10 C ．12 D ．15

7．如图，在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠，∠B =30

，AC

P 是BC 边上一动点，连结AP ，把线段AP 绕点A 逆时针旋转

60 到线段AQ ，连结CQ ，则线段CQ 的最小值为（ ▲ ）

A ．1

B ．2

C ．3 D

8．某次考试以65分为及格分数线，全班总平均分为66分，所有成绩及格的学生的平均分为 71分，所有成绩不及格的学生的平均分为56分．为了减少不及格的学生人数，老师给每位 学生的成绩加上5分，加分之后，所有成绩及格的学生的平均分为75分，所有成绩不及格 的学生的平均分为59分．已知该班学生人数介于20至30人之间，则该班学生人数为（ ▲ ） A ．28 B ．24 C ．20 D ．15 二、填空题 (每小题5分，共30分)

9．在 △ABC 中，∠C =32

，AD 是△ABC 的角平分线，且AB+BD=AC ，则∠ABC 的度数 为____▲___．

10．已知多项式2

23103x xy y mx ny +-+++（,m n 为常数）能分解为两个整系数一次多项 式的乘积，则m n +的值为 ▲ ．

B

（第7题）

A 2P 3P 6P 7P 8P 4P 1P （图1） M

N M A 2P 3P 6P 7P 8P 4P 1P 14

P 13

P 12P 11P 9P （图2） N

（第6题）

11．如图所示的数阵的第n 行的第二个数是 ▲ ．

12．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，底面半径之比为1︰2︰1，用两个 相同的管子在容器的10 cm 高度处连通（即管子底离容器底10 cm ），现三个容器中，只 有甲中有水，水位高2 cm ，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注 水1分钟，乙的水位上升

5

6

cm ，且开始注入a 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是1 cm ， 则a 的值为 ▲ ．

13．如图，等边△ABD 与等边△CEF ，点A ，B 在边E F 上，EA =FB =2AB ，D 在△CEF 内，且 AP =PD =PC

CEF 的边长为 ▲ ．

14．在某校的篮球比赛中，小明共打了10场球．他在第6、7、8、9场比赛中分别得分23分、 14分、11分和20分．他的前九场比赛的平均得分比前五场比赛的平均得分要高．若他所打 的十场比赛的平均得分超过18分，则他在第10场比赛中得分的最小值是 ▲ ． 三、解答题（第15题13分，其余每題15分，共58分）

15．已知关于x 的不等式(23)5a b c x a b c -+<-+的解为3x >．且420a b c ++=． 求不等式(34)350a b c x a b c -+++->的解．

16．如图，△ABC ，△EFG 均为边长为2的等边三角形，点D 是边BC

EF 的中点，直线AG 、FC 相交于M ．△EFG 绕点D 旋转． （1）∠AMC 的大小是否改变，若不变，求它的度数；若改变，

请说明理由． （2）求线段BM 长的最小值和最大值．

（第13题）

（第12题）

1

3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9 ………………………

（第11题）

A G

（第16题）

17．现有三个圆柱型的容器M 、N 、P ，其轴裁面如图1、2、3所示，内底面积分别为1S 2

cm 、

2S 2cm 、3S 2cm ，内高分别为1h cm 、2h cm 、3h cm ，容积分别为1V 3

cm 、2V 3cm 、3V 3

cm （1V >2V >3V ）．这三个圆柱型容器M 、N 、P 可以拼接成六个不同形状的容器（从上至下依次拼接有六种情形：PNM 、NPM 、PMN 、MPN 、NMP 、MNP ），如图4是其中一个（上下两个容器可相通），其容积为M 、N 、P 的容积之和．

现向这6个容器均匀注水，注水速度相同，直至注满为止．其中有三个容器的水深h （cm ） 与注水时间t (s )的变化规律如图5、6、7所示．

（1）图5、6、7所反映的规律分别是这6个容器中的哪一个？说明理由． （2）求1h 、2h 、3h 的值及1S ：2S ：3S 的比值．

18．求所有符合下列条件的四位整数a ：①2014a <；②存在正整数n ，使2

a n

-为质数，且 an 为完全平方数（即一个正整数的平方）．

图2

图1

图3

图

4