工程力学习题答案第十三章王永跃

第十三章习 题 解 答

13?1 木制构件中的单元体应力状态如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂线的夹角。试求：

（l ）平行于木纹方向的切应力； （2）垂直于木纹方向的正应力。 解： 由图a 可知

MPa

0MPa,

6.1,MPa 2.0=-=-=x y x τσσ

（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力

MPa

1.0)]15(2sin[2

6.12MPa 9

7.1)]15(2cos[26

.1226.1215

15=-?+-=-=-?+-+--=

--

τσ （2）垂直于木纹方向的正应力

MPa

1.0)752sin(2

6.12MPa 52

7.1]752cos[26

.1226.127575-=?+-=-=?+-+--=

τσ 由图b 可知

MPa 25.1,0,0-===x y x τσσ

（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力

MPa

08.1)]15(2cos[25.12cos MPa

625.0)15(2sin 25.12sin 1515-=-??-==-=-?=-=--

αττατσx x

（2）垂直于木纹方向的正应力

MPa

08.1)752cos(25.12cos MPa

625.0)752sin(25.12sin 7575=??-===??=-=

αττατσx x

13?2 已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力

解：（a ）已知 MPa 20MPa,10,

0MPa 3-===x y x τσσ

则由公式可直接得到该斜截面上的应力

MPa 习题13?1图

(a)

(b)

MPa

10)4

2cos(20)42sin(210302cos 2sin 2MPa

40)4

2sin(20)42cos(21030210302sin 2cos 22=??-??-=+-==??+??-++=--++=

ππατασστππατασσσσσααx y x x y

x y x

（b ）已知 MPa

20MPa,10,0MPa 3===x y x τσσ

则：

MPa

21.21)5.222cos(20)5.222sin(2

10302cos 2sin 2MPa

93.12)5.222sin(20)5.222cos(21030210302sin 2cos 22=??+??-=+-==??-??-++=--++=

ατασστατασσσσσααx y x x y

x y x （c ）已知

60MPa

15MPa,20,

MPa 10-====ατσσx y x

则：

60(2cos[15)]60(2sin[2

20102cos 2sin 2MPa

49.30)]60(2sin[15)]60(2cos[22010220102sin 2cos 22-??+-??-=+-==-??--??-++=--++=

α

τασστατασσσσσααx y

x x y

x y

x

13?3 已知应力状态如图所示（应力单位为

MPa ），试用图解法（应力圆）计算图中指定截面的正应力与切应力。

13?4 已知应力状态如习题13?2图所示（应力单位为MPa ），计算图示应力状态中的主应力及方位。

习题13?2图

(c)

(b)

(a) (d)

习题13?3图

(a)

(b)

x y x 则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力

对应的方位角为

。

13?5 试确定图示应力状态中的主应力及方位、最大切应力（按三向应力状态考虑）。图中应力的单位为MPa 。 解：

（a ）已知 MPa 20MPa,20,0MPa 4===x y x τσσ

则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力

对应的方位角为

。

(a)

习题13?5图

(b) (c)

x y x 则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力

对应的方位角为

。

（c ）已知 MPa 20MPa,03,20MPa ==-=x y x τσσ

则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力

对应的方位角为

。

13?6已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试画三向应力圆，求最大切应力。

解：图a 为单向应力状态，图b 为纯剪切应力状态，图c 为平面应力状态，其应力圆

(a)

习题13?6图

τ

(b) (c)

如图。

最大切应力分别为：

13?7已知应力状态如图所示，试画三向应力圆，并求主应力、最大切应力（应力单位为MPa ）。

解：图a 为三向主应力状

态

，

，应力圆如图（a ）。

图b 一方向为主应力，另两方向为纯剪切应力状态，则根据公式可直接得出另两主应力。于是有

其应力圆如图（b ）。

13?8图示悬臂梁，承受荷载F = 10KN 作用，试求固定端截面上A 、B 、C 三点最大切应力值及作用面的方位。

解：固定端截面的弯

矩

,剪

力

。

截面a 点的应力：

习题13?7图

(a)

(b)

习题13?8图

图a

图b

图c

图a

图b

,其应力状态为单向应力状态，即

,最大切应力作用面的方位

为

。

截面b点的应力：

,其应力状态为平面应力状态，即

主应力：

。

求最大切应力作用面的方位先求主应力的方位，即

截面c点的应力：

,其应力状态为纯剪切应力状态，则

,

最大切应力作用面的方位为

13?9 空心圆杆受力如图所示。已知

F=20kN，D=120mm，d = 80mm，在圆轴

表面A点处测得与轴线成30°方向的线应

变ε30°= 1.022×10－5，弹性模量E=210GPa,

试求泊松比ν。

解：1、A点对应的横截面上只有正应力，即

2、取A点的单元体

3、由斜截面应力计算公式有

习题13?9图

3、根据广义胡克定律有

则

13?10 在其本身平面内承受荷载的铝平

扳，巳知在板平面内的主应变为ε1 = 3.5×10-4

，ε3 = -5.4×10-4 其方向如图13?10 所示。铝的E ＝70 GPa ，ν＝0.33，试求应力分量σx 、σy 及τx 。

解：由题意可知该应力状态为平面应力状态，

根据广义胡克定律有

代入

得

利用斜截面应力公式

及

得

13?11 已知各向同性材料的一主应力单元体的σ1 = 30MPa ，σ2 = 15MPa ，σ3 =-5MPa ，材料的弹性模量E = 200GPa ，泊松比250.ν=。试求该点得主应变。

解：直接应用广义胡克定律即可求出。

5-35-24-31108.125- 104.375 101.375）（（1

?=?=?=+=εεε；；）σσ-νσE

21

13?12 图示矩形板，承受正应力σx 与σy 作用，试求板厚的改变量Δδ与板件的体积

改变ΔV 。已知板件厚度δ=10mm ，宽度b = 800mm ，高度h = 600mm ，正应力σx = 80MPa ，σy = -40MPa ，材料为铝，弹性模量E ＝70GPa ，泊松比ν ＝ 0.33。

解：由广义胡克定律即可求出

3

y 886.1)40

80(33.010701-)]([1?=-??=+=σσ-νσE x z z ε则 mm z 34

10886.11010886.1--?=??==?δεδ

体应变

4

3

10943.1)4080(10

7033

.021)(2-1-?=-??-=+=

y x E σσνθ

习题13?12图

h

σx

σy

习题13?10图

板件的体积改变量

3457.9321060080010943.1mm V V =????==?-θ

13?13 如图所示，边长为20cm 均质材料的立方体，放入刚性凹座内。顶部受轴向力F = 400kN 作用。已知材料的E = 2.6×104MPa ，ν = 0.18。试求下列两种情况下立方体中产生的应力。 （1）凹座的宽度正好是20cm ； （2）凹座的宽度均为20.001cm 。

解：（1）根据题意立方体两水平方向的变形为零，即0==y x εε为变形条件，由广义

胡克定律得

)]([1

0)]([1

x y =+==+=

σσ-νσE

σσ-νσE

z y y z x x εε

上式解出

z y x σν

ν

σσ-=

=1。

式中 MPa A F

z 100.2

0.2104003=??==σ。代入数据，得 MPa y x 195.2100.18

10.18

=?-==σσ

（2）根据题意立方体两水平方向的变形为0.001cm ，应变

5-105.020

0.001

?==

=y x εε，由广义胡克定律得 5

-x 5-y 105.0)]([1

105.0)]([1

?=+=?=+=

σσ-νσE

σσ-νσE

z y y z x x εε

式中 MPa A F

z 100.20.2104003=??==σ。上式解出 E z y x σν

νσσ-??==-1100.55。 代入数据，得

MPa

y x 854.2106.2100.18

10.18

100.545=???-?

?==-σσ

13?14 已知如图所示受力圆轴的直径d =20mm ，若测得圆轴表面A 点处与轴线45°方向的线应变ε45°= 5.20×10-4，材料的弹性模量E = 200GPa ，泊松比ν = 0.3。试求外力偶矩M e 。

解：A 点应力状态为纯剪切状态，故45°方向为主应力

习题13?13图

20cm 20.001cm

方向，且有 -0 321τσστσ===，，

。由 43111020.5)1(1

)(1-?=+=-=

τννσσεE

E 得MPa 80=τ。对于扭转是A 点的切应力P

e

M W =

τ，则

m kN D M e ?=?

?==6.12516

1080W 36P π

τ

13?15 一直径为25mm 的实心钢球承受静水压力，压强为14MPa 。设钢球的E=210GPa ，ν=0.3。试问其体积减少多少？

解：根据题意有

MPa -14321===σσσ

体应变

5

3

321100.-8143100213.021-)(2-1-?=????-=++=

σσσνθE 体积改变量

3350.654176

100.8V mm d V =?

?==?-π

θ

13?16 试对图示三个单元体写出第一、二、三、四强度理论的相当应力值，设ν =0.3。

解：(a) 由题图可知

MPa MPa MPa 30,10,20321-===σσσ

则

MPa MPa MPa MPa 83.45])()()[(2

1

;503020;26)3010(3.020)(;

20213232221r431r3321r21r1=-+-+-=

=+=-==--=+-===σσσσσσσσσσσσνσσσσ

(b)已知MPa

01τ0MPa,

2σ,

30MPa σx y x =-==

习题13?16图

(a)

(b)

(c)

MPa

MPa MPa 93.21,0,93.31321-===σσσ

则

MPa MPa MPa MPa 91.46])()()[(2

1

;86.5393.2193.31;

51.38)93.210(3.093.31)(;

93.31213232221r431r3321r21r1=-+-+-=

=+=-==--=+-===σσσσσσσσσσσσνσσσσ （c ）由题图可知

MPa MPa MPa x 20,0,51xy y z -====τσσσ

则

MPa MPa MPa 20,51,20321-===σσσ

MPa MPa MPa MPa 75.37])()()[(2

1

;402020;5.21)2015(3.020)(;

20213232221r431r3321r21r1=-+-+-=

=+=-==--=+-===σσσσσσσσσσσσνσσσσ

则由公式可直接得到该单元体的主应力

13?17 有一铸铁制成的零件。已知危险点处的应力状态如图所示。设材料的许用拉

应力[σt ]=30MPa ，许用压应力[σc ]=90MPa ，泊松比ν =0.25。试用第一和第二强度理论校核其强度。

13?18 一工字钢制成的简支梁，受力如图a 所示。其截面尺寸见图b 。材料的

[σ]=170MPa ，[τ]=100MPa ，试校核梁内的最大正应力和最大切应力，并按第四强度理论校核危险截面上A 点的强度。

习题13?17图

习题13?18图

单位：MPa （b ）

解：（1）横截面的几何性质

43434231004.21080012

1

)4102024020240121(2m mm mm I z -?=??+??+???=

3

333max ,1077.22001040041020240m mm mm S z -*?=??+??=

（2）作简支梁的剪力图和弯矩图。

m kN M kN F s ?==870,710max max ,

（3）梁内跨中截面上下边缘有最大正应力为

][17910

04.242.0108703

3max max max σσ≈=???==-MPa I y M z （4）梁内支座处截面的中性轴上有最大切应力为

][4.9610101004.21077.2107103

33

3max

,max ,max ττ<=??????==

---*MPa b

I S F z z s （5）梁内集中力作用处左侧截面上的剪力和弯矩为

m kN M kN F c sc ?==690,670左

该截面上A 点的应力为

MPa I y M z C C A 13510

04.24.0106903

3=???==-σ MPa b I S F z z SC A 6.6410101004.21041020240106703

39

3=????????==---*左τ

A 点的主应力为

9.251616.642135213522

2

31=???-=+??? ??±=???σσσMPa MPa

由第四强度理论

[]

MPa r 175)9.25161()9.25(1612

1

2224=+-+=

σ 因此，梁是安全的。

13?19 图所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变εt = 350×10-6， 。若已知容器平均直径D ＝500 mm ，壁厚d ＝10 mm ，容器材料的E ＝210 GPa ，ν＝0.25。试：

（1）导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式； （2）计算容器所受的内压力。

答 案

13?1 σα = -1.773 MPa ，τα = ０.1 MP 13?2 （a ）σα = 40.3 MPa ，τα = 14 MPa 。 （b ）σα = -38.2 MPa ，τα = 0。 （c ）σα = 0.49 MPa ，τα = -20.5 MPa 。 （d ）σα = 35.8 MPa ，τα = -8.66 MPa 。 13?3 （a ）σα = 10 MPa ，τα = 15 MPa 。

（b ）σα = 47.3 MPa ，τα = -7.3 MPa 。

13?5 (a ）σ1= 52.4 MPa ，σ2= 7.64 MPa ，σ3= 0，α1 =-31.8°

（b ）σ1= 11.23 MPa ，σ2= 0，σ3=-71.2 MPa ，α1 =52.2° （c ）σ1= 37 MPa ，σ2= 0，σ3=-27 MPa 0，α1 =70.5° 13?7 (a ）σ1= 60 MPa ，σ2= 50 MPa ，σ3= -70MPa ，τmax =65MPa

（b ）σ1= 40 MPa ，σ2= 20 MPa ，σ3=-40 MPa ，τmax =40MPa

13?8 τA max =10MPa ，α =45° 13?9 ν = 0.3

13?10 σx ＝-22．8MPa σy ＝-0．177MPa τx ＝166MPa

13?11 ε1 = 1.375×10-4，ε2 = 4.375×10-5，ν=0.3。ε3 = -8.125×10-

5。

13?12 Δδ =-0.00126mm ，ΔV = 538m 3。 13?13 )

ν1(πν4σσ,π4σ23

221--==-

=d F

d F 。 13?14 125.6N·m 13?15 6.54×10-10

m 3

13?16 (a) σr2=26MPa ，(b) σr3=53.86MPa, σr4=46.91MPa, (c) σr4=37.75MPa 。 13?17 σr1 = 24.3MPa ，σr2 = 26.6MPa

13?18 集中力作用点处截面a 点处 σr4 = 176MPa 13?19 p =3.36MPa

13-1 （a ）MPa 1.0MPa,932.1=-=αατσ

13-2 （a ）MPa 10MPa,40==αατσ （b ）MPa 2.21MPa,9.12==αατσ （c ）MPa 17.3MPa,5.30-==αατσ（d ）MPa 66.8MPa,35-==αατσ 13-3 （a ）MPa 5MPa,30-==αατσ （b ）不改

13-5 （a ）o

13217.31,0MPa,64.7MPa,4.52-====ασσσ （b ）o

13216.26,40MPa,0MPa,60=-===ασσσ （c ）o

13217.70,27MPa,0MPa,37-=-===ασσσ 13-8 o

max 45MPa,5.58==ατA

13-10 MPa 3.20MPa,7.1MPa,7.21y -==-=x x τσσ 13-12 3932.6mm V Δmm,00886.0Δ=-=δ 13-19中t pD σ2t =改为δ

pD σ2t =