求不等式(组)参数的问题
求不等式(组)参数的问题
(一)关于不等式组整数解的问题
字母在右
1.关于x的不等式组只有4个整数解,则a的取值范围是()
A.5≤a≤6 B.5≤a<6 C.5<a≤6 D.5<a<6
2.若关于x的不等式组的整数解只有1个,则a的取值范围是()
A.2<a<3 B.3≤a<4 C.2<a≤3 D.3<a≤4
3.若关于x的不等式组恰有三个整数解,则实数a的取值范围
是.
4.若不等式组的整数解只有4个,则a的取值范围是.
5.已知关于x的不等式组有且只有三个整数解,则a的取值范围
是.
6.若关于x的不等式组只有三个整数解,求a的取值范围.
7.若关于x的不等式组恰有三个整数解,求实数a的取值范围.字母在左
8.(英才下P233)关于x的不等式组只有4个整数解,则a的取值范围是()A.﹣5≤a≤﹣B.﹣5≤a<﹣C.﹣5<a≤﹣D.﹣5<a<﹣
9.关于x的不等式组只有5个整数解,则a的取值范围是()
A.﹣6<a<﹣B.﹣6≤a<﹣C.﹣6<a≤﹣D.﹣6≤a≤﹣
10.不等式a≤x≤3只有5个整数解,则a的范围是.
11.关于x的不等式组只有6个整数解,则a的取值范围是()
A.﹣1<a≤0 B.﹣1≤a≤0 C.4≤a≤5 D.4<a≤5
12.关于x的不等式组只有3个整数解,则a的取值范围是()
A.﹣3≤a≤﹣2 B.﹣3≤a<﹣2 C.﹣3<a≤﹣2 D.﹣3<a<﹣2
13.已知关于x的方程4(x+2)﹣2=5+3a的解不小于方程的解,
求a的取值范围.
(二)关于不等式组无解的情况
1.若不等式组无解,那么a的取值范围是()
A.a>6 B.a≥6 C.a<6 D.a≤6
2.已知不等式组无解,则a的取值范围是()
A.a>1 B.a<1 C.a≤1 D.a≥1
3.若不等式组无解,则a的取值范围是()
A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥2
4.若不等式组无解,则a的取值范围是()
A.a>﹣1 B.a≥﹣1 C.a≤1 D.a<﹣1
5.若不等式组无解,则实数a的取值范围是()
A.a≤﹣36 B.a≥﹣36 C.a<﹣36 D.a>﹣36
6.若不等式组无解,则a的取值范围是.
(三)有解的情况
1.若不等式组有解,则m的取值范围是.
2.若不等式组有解,则m的取值范围是.
3.若不等式组有解,则m的取值范围是.
4.若关于x的一元一次不等式组有解,则m的取值范围为.5.已知不等式组有解,则实数m的取值范围是.
6.若不等式组有解,则a的取值范围是.
7.若不等式组有解,则a的取值范围是.
8.若关于x的不等式组有解,则实数a的取值范围是.9.若不等式组有解,则m的取值范围是.
10.若不等式组有解,则m的范围是.(英才下P245)
11.已知不等式组有解,则m的取值范围是.
(四)具体数值的情况:
1.若不等式组的解集为﹣2<x <3,则a 的取值范围是( )
A .a=﹣2
B .a=
C .a ≥﹣2
D .a ≤一1
2.如果不等式组
的解集是x <2,那么m 的取值范围是( ) A .m=2 B .m >2 C .m <2
D .m ≥2
3.如果不等式组
的解集是0≤x <1,那么a+b 的值为 .
4.若不等式组的解集为3≤x ≤4,求不等式ax+b <0的解集.
5.已知实数a 是不等于3的常数,解不等式组
,并依据a 的取值情况写出其解集.
(五)方程(组)与不等式的综合应用
1.如果方面程组?
??-=++=+144223k y x k y x 解,x ,y 满足x >y ,则k 的取值范围是( ) A.k >1 B.k >0 C.k >-1 D.k <1
2.???-=+=+a
y x y x 39232的解满足x+y 〈a ,求a 的取值范围。
3.已知方程组?
??-==+=+)2(12)1(312m y x m y x 满足x+y 〈0,求m 的取值范围。
含参不等式
含参不等式知识互联网 题型一:不等式(组)的基本解法
x ( x ( b ( 无解(大大小小无解了) 典题精练 【例1】 ⑴解不等式 31 423 x x x +--+≤. ⑵解不等式组12(1)532122 x x x --?? ?-<+??≤,并在数轴上表示出解集 ⑶求不等式组2(2)43 251x x x x --??--? ≤<的整数解 ⑷解不等式组32215x x -<-<
⑸解不等式组253473 x x -? -?>?? (2012年朝阳一模) 题型二:含参数的不等式(组) 思路导航 对于含参不等式,未知数的系数含有字母需要分类讨论:如不等式ax b <, 例题精讲 【引例】⑴关于x 的一次不等式组x a x b >???? 的解集是a x b <<,则a ,b 的大小关系是 . ⑷关于x 的一次不等式组x a x b ??? ≥≤的解集是a x b ≤≤,则a ,b 的大小关系是 . 典题精练 【例2】 解关于x 的不等式: ⑴+2a x b > ⑵13kx +> ⑶132kx x +>- ⑷36mx nx +<--
⑸() 212m x +< ⑹()25n x --< 【例3】 ⑴不等式 ()1 23 x m m ->-的解集与2x >的解集相同,则m 的值是 . ⑵关于x 的不等式2x a -≤-1的解集如图所示,则a 的值为 . ⑶ 关于x 的不等式5ax >的解集为5 2 x <-,则参数a 的值 . ⑷ ①若不等式组3 x x a >??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是 . ②若不等式组3 x x a >??? ≥的解集是x a ≥,则a 的取值范围是 . A .3a ≤ B .3a = C .3a > D .3a ≥ (北京二中期中考试) ⑸已知关于x 的不等式组2 32x a x a +??-?≥≤无解,则a 的取值范围是 . ⑹已知关于x 的不等式组>0 53x a x -??-? ≥无解,则a 的取值范围是 . 【例4】 ⑴ 已知关于x 的不等式组0 521≥x a x -??->? 只有四个整数解,则实数a 的取值范围是 . ⑵ 如果关于x 的不等式50x m -≤的正整数解只有4个,那么m 的取值范围是( ) A .2025m <≤ B .2025m <≤ C .25m < D .20m ≥ (北京五中期中考试)
含参数的一元一次不等式组的解集
《含参数的一元一次不等式组的解集》教学设计 万福中心学校余达恒 教材分析:本章内容是苏科版八年级数学(下)第七章,是在学习了《一元一次方程》和《一次函数》后的基础上安排的内容,是为今后学习高中的《集合》及《一元二次不等式》,《二元一次不等式》打下基础。上节课学习了《一元一次不等式组》,知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法,并会用数轴直观的得到一元一次不等式组的解集,它是解决本节课内容《含参数的一元一次不等式组的解集》的基础和关键,通过本节课知识的学习,学生能对初中数学中的分类讨论、数形结合的思想方法有进一步的认识,养成独立思考的习惯,也能加强与同学的合作交流意识与创新意识,为今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学目标: (1)知识目标:使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解,掌握一元一次不等式组的解法,会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。 (2)能力目标:培养探究、独立思考的学习习惯,感受数形结合的作用,逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法,提高分析问题和解决问题的能力。 (3)德育目标:加强同学之间的合作交流与探讨,体验数学发现带来的乐趣。 学习重点: (1)加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。 (2)通过含参数不等式的分析与讨论,让学生理解掌握分类讨论和数形结合的数学思想。学习难点: (1)一元一次不等式组中字母参数的讨论。 (2)运用数轴分析不等式组中参数的范围。 教学难教学难点突破办法: (1)借助数轴,数型结合,让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。(2)和学生一起探讨解决问题的一般方法:先运用口诀定大小,再考虑特殊情况定等号。
含参不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的,这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答,但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点,此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论,而参数的讨论实际上就是参数的分类,而参数该如何进行分类?下面我们通过几个例子体会一下。 一. 二次项系数为常数 例1、解关于x 的不等式:0)1(2 >--+m x m x 解:原不等式可化为:(x-1)(x+m )>0 (两根是1和-m ,谁大?) (1)当1<-m 即m<-1时,解得:x<1或x>-m (2)当1=-m 即m=-1时,不等式化为:0122 >+-x x ∴x ≠1 (3)当1>-m 即m>-1时,解得:x<-m 或x>1 综上,不等式的解集为: (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当 例2:解关于x 的不等式:.0)2(2 >+-+a x a x (不能因式分解) 解:()a a 422 --=? (方程有没有根,取决于谁?) ()()R a a a 时,解集为即当32432404212 +<<-<--=? ()()3 2432404222 +=-==--=? a a a a 或时当
(i )13324-≠ -=x a 时,解得:当 (ii )13-324-≠+=x a 时,解得: 当 ()()时 或即当32432404232 +>-<>--=? a a a a 两根为()2 42)2(2 1 a a a x --+ -= ,()2 42)2(2 2 a a a x --- -= . ()()2 42)2(2 42)2(2 2 a a a x a a a x --+ -> --- -< 或此时解得: 综上,不等式的解集为: (1)当3 2 4324+<<-a 时,解 R ; (2)当324-=a 时,解集为(13,-∞-)?( +∞ -,13); (3)当324+=a 时,解集为(13,--∞-)?(+∞ -- ,13); (4)当3 24-a 时, 解集为(2 48)2(, 2 +---∞-a a a )?( +∞ +-+ -,2 4 8)2(2 a a a ); 二.二次项系数含参数 例3、解关于x 的不等式:.01)1(2 <++-x a ax 解:若0 =a ,原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0 >a ,原不等式.0)1)(1(<-- ? x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定,故 (1)当1=a 时,式)(*的解集为φ ; (2)当1>a 时,式)(*11< x a ; (3)当10< 含参不等式题型 一、给出不等式解的情况,求参数取值范围: 总结:给出不等式组解集的情况,只能确定参数的取值范围。记住:“大小小大有解;大大小小无解。”注:端点值格外考虑。 1:已知关于x 的不等式组3x x a >-??。 (1)若此不等式组无解,求a 的取值范围,并利用数轴说明。 (2)若此不等式组有解,求a 的取值范围,并利用数轴说明 2:如果关于x 的不等式组x a x b >?????+>-??的解集是x>2a,则a 的取值范围是 。 4、已知关于x 的不等式组2113x x m -?>???>?的解集为2x >,则( ) .2.2.2.2A m B m C m D m ><=≤ 5、关于x 的一元一次不等式组x a x b >?? >?的解集是x>a,则a 与b 的关系为( ) ...0.0A a b B a b C a b D a b ≥≤≥>≤< 6、若关于x 的不等式组841x x x m +-??? p f 的解集是x >3,则m 的取值范围是 7、若关于x 的不等式组8x x m ?>?,有解,则m 的取值范围是__ ___。 8、若关于x 的不等式组?? ?->+<121m x m x 无解,则m 的取值范围是 。 二、给出不等式解集,求参数的值 总结:给出不等式组确切的解集,可以求出参数的值。方法:先解出含参的不等式组中每个不等式的解集,再利用已知解集与所求解集之间的对应关系,建立方程。 1:若关于x 的不等式组2123x a x b -?->? 的解集为11x -<<,求()()11a b +-的值。 2:已知关于x 的不等式组()324213 x x a x x --≤???+>-??的解集是13x ≤<,求a 的值。 3、若关于x 的不等式组 的解集为 ,求a,b 的值 {a b x b a x 22>+<+3 3<<-x 含参不等式专题(淮阳中学) 编写:孙宜俊 当在一个不等式中含有了字母,则称这一不等式为含参数的不等式,那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解,首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响,其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题,同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解,而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容,也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明,以供同学们学习。 解含参的一元二次方程的解法,在具体问题里面,按分类的需要有讨论如下四种情况: (1) 二次项的系数;(2)判别式;(3)不等号方向(4)根的大小。 一、含参数的一元二次不等式的解法: 1.二次项系数为常数(能分解因式先分解因式,不能得先考虑0≥?) 例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。 解:0)1)((2>--x a x 1,0)1)((==?=--x a x x a x 令 为方程的两个根 (因为a 与1的大小关系不知,所以要分类讨论) (1)当1或 (2)当1>a 时,不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 (3)当1=a 时,不等式的解集为}1|{≠x x 综上所述: (1)当1或 (2)当1>a 时,不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 (3)当1=a 时,不等式的解集为}1|{≠x x 变题1、解不等式0)1(2>++-a x a x ; 2、解不等式0)(322>++-a x a a x 。 含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式:2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立,求a 的取值范围。 例3:若不等式210x ax ≥++对于一切1(0,)2 x ∈成立,则a 的取值范围. 例4:若对于任意a (]1,1-∈,函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0,求x 的 取值范围。 例5:已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立,求x 的范围。 例 6: 对于∈x (0,3)上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立,求实数m 的 取值范围。 例7:2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34,对一切实数x 恒成立,求a 的取值范围 若不等式a x x >---34,对一切实数x 恒成立,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ,求a 的取值范围 含参数一元一次不等式(组)的解法 1、若关于x 的不等式2)1(≥-x a ,可化为a x -≤12,则a 的取值范围是多少? 2 、关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数,则k 的取值范围是? 3、关于x 的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数,则m 的整数值是多少? 4、关于x 的不等式2x -a ≤-1的解集如图所示,则a 的取值是多少? 5、己知不等式 )2(211)5(21+≥--ax x 的解集是2 1≥x ,试求a 的值? 6、关于x 的不等式2x -a ≤0的正整数解恰好是1、2、3、4,则m 的取值是多少? 7、已知关于x ,y 的方程组?? ?-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x >y ,求p 的取值范围. 8、已知a 是自然数,关于x 的不等式组?? ?>-≥-02,43x a x 的解集是x >2,求a 的值. 对应练习1、不等式组???+>+<+1 ,159m x x x 的解集是x >2,则m 的取值范围是 . 对应练习2、若不等式组? ??>≤ 对应练习:若关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 3 22,3215只有4个整数解,求a 的取值范围. 10、k 取哪些整数时,关于x 的方程5x +4=16k -x 的根大于2且小于10? 二、 应用题 1.爆破施工时,导火索燃烧的速度是0.8cm/s ,人跑开的速度是5m/s ,为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区,导火索至少需要多长? 2、某次数学竞赛活动,共有16道选择题,评分办法是:答对一题给6分,答错一题倒扣2分,不答题不得分也不扣分.某同学有一道题未答,那么这个学生至少答对多少题,成绩才能在60分以上? 众所周知,不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点,其中,含有参数的不等式的问题,是主考命题的热点,又是复习提高的难点。(1)解不等式,寻求新不等式的解集; (2)已知不等式的解集(或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系),寻求新含参数的值或取值范围。 (3)注意到上述题型(2)的难度与复杂性,本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。 一、立足于“直面求解” 解不等式的过程是一系列等价转化的过程,对于有关不等式的“解”的问题,直面不等式求解,有时是问题解决的需要,有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后,方可延伸或突破时,则要果断地从求 解不等式切入。例1.设关于x的不等式 (1)解此不等式;(2)若不等式解集为(3,+∞),求m的取值范围; (3)若x=3属于不等式的解集,求m的取值范围 分析:着眼于不等式的等价变形,注意到这里m2>0,m2同乘以不等式两边,则不等式转化为ax>b型,于是可以x的系数a的取值为主线进行讨论。 解:(1)由题设,原不等式m(x+2)>m2+(x-3)(m R,m≠0) (m-1)x>m2-2m-3(1)∴当m>1时,由(1)解得 当m=1时,由(1)得x R;当m<1且m≠0时,由(1)解得 ∴当m>1时,原不等式的解集为当m=1时,原不等式的解集为R 当m<1且m≠0时,原不等式的解集为 (2)若不等式的解集为(3,+∞),则由(1)知应得 ∴此时m的取值范围为{5} (3)注意到x=3 为不等式的解,将x=3代入(1)得:3(m-1)>m2-2m-3m2-5m<0 0 第40讲 含参数的不等式 【考点解读】 解含参数的不等式的基本途径——分类讨论思想的应用;(应注意寻找讨论点,以讨论点划分区间进行讨论求解.能避免讨论的应设法避免讨论)。 【知识扫描】 含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去,在解不等式时随时可见含参数的不等式.而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点.解含参数的不等式往往需要分类讨论求解,寻找讨论点(常见的如零点,等值点等),正确划分区间,是分类讨论解决这类问题的关键.在分类讨论过程中要做到不重,不漏. 【考计点拔】 牛刀小试: 1.设0(2a )a ③(2 a )a >a a ④a a >2a a 其中不成立的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】B 2.已知方程mx 2-2(m+2)x+(m+5)=0有两个不同的正根,则m 的取值范围是( ) A.m<4 B.0 《不等式(组)的字母取值范围的确定方法》教学设计 教材分析:本章内容是北师大新版八年级数学(下)第二章,是在学习了《一元一次方程》和《一次函数》后的基础上安排的内容,是为今后学习高中的《集合》及《一元二次不等式》,《二元一次不等式》打下基础。上节课学习了《一元一次不等式组》,知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法,并会用口诀或数轴直观的得到一元一次不等式组的解集。 学情分析:在学习了一元一次不等式组的解法之后,学生就会经常遇到求一元一次不等式组中字母系数的值或求其取值范围的问题. 不少学生对解决这样的问题感到十分困难. 事实上,只要能灵活运用不等式组解集的知识即可顺利求解. 教学目标: (1)知识目标:使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解,掌握一元一次不等式组的解法,会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。 (2)能力目标:培养探究、独立思考的学习习惯,感受数形结合的作用,逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法,提高分析问题和解决问题的能力。 学习重点: (1)加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。 (2)通过含参数不等式的分析与讨论,让学生理解掌握逆向思维和数形结合的数学思想。 学习难点: (1)一元一次不等式组中字母参数的讨论。 (2)运用数轴分析不等式组中参数的范围。 教学难点突破办法: (1)借助数轴,数型结合,让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。 (2)和学生一起探讨解决问题的一般方法:先运用口诀定大小,再考虑特殊情况定等号。 教学准备 1、复习上节课的知识,考察学生对一元一次不等式组的解集的四种情况的熟悉程度, 能直接根据下面口诀求出不等式组的解集:大大取大;小小取小;大小小大中间找;大大小小找不到. 2、根据不等式组的解集,结合数轴,能找出满足条件的解(如整数解),并能注意“a x <”与“a x ≤”的区别,为本节课的拓展应用打下基础。 1、⑴不等式组???-≥>1 2x x 的解集是 . ⑵不等式组???-<-<12x x 的解集是 . ⑶不等式组?? ?≥≤14x x 的解集是 . ⑷不等式组???-≤>45x x 的解集是 . 一、已知不等式的解集确定字母系数的问题 1. 逆向运用“大大取大”求解参数 分析:逆向运用大大取大归结为:若不等式组???>>b x a x 的解集为b x >,则b a ≤ 例1.(2014恩施市) 如果一元一次不等式组???>>a x x 3的解集为a x >,则a 的取值范围是:( ) A. a >3 B. a ≥3 C. a ≤3 D. a <3 变式练习1:若不等式组? ??<->+m x x x 544的解集是3 高中数学知识专项系列讲座 含参数不等式的解法 一、含参数不等式存在解的问题 如果不等式()0f x >(或()0f x <)的解集是D ,x 的某个取值范围是E ,且D E ≠?, 则称不等式在E 内存在解(或称有解,有意义). 例1.(1)不等式13x x a +--<的解集非空,求a 的取值范围; (2)不等式13x x a ++-<的解集为空集,求a 的取值范围. (分析:解集非空即指有解,有意义,解集为?即指无解(恒不成立),否定之后为恒成立,本题实质上是成立与恒成立问题) 解:(1)设41()13221343x f x x x x x x -<-?? =+--=--??>? ≤≤, 易求得()[4,4]f x ∈-, ()f x a <有解min ()f x a ?<, ∴4a >-为所求 (2)设22 1()134 13223x x g x x x x x x -+<-?? =++-=-??->? ≤≤, 易求得()[4,)g x ∈∞, ()g x a <无解()g x a ?≥恒成立min ()g x a ?≥ ∴4a ≤为所求 (注:①13x x +±-可理解为数轴上点x 到两定点1-和3的距离之和(或差),由几何意义,易得()f x 与()g x 的值域; ②不等式()a f x >有解(有意义或成立)min ()a f x ?>;不等式()a f x <成立(有 解或有意义)max ()a f x ?<;) 例2.关于x 的不等式组22202(25)50 x x x k x k ?-->?+++的解集(,1)(2,)A =-∞-+∞, 设不等式2 2(25)50()(25)0x k x k x k x +++++<的解集为B , ∵2B -∈,∴(2)(45)0k -+-+<,∴2k ->-25->),2 5 (k B --=∴ 要使{|,}{2}x x A B x Z ∈∈=-如图, 易知3k -≤,∴3k -≥ 又2k ->-,得2k < ∴[3,2)k ∈-为所求 -52 含参数不等式的解法 典题探究 例1:若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立,求x 的范围。 例2:若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的范围。 例3:在?ABC 中,已知2|)(|,2cos )2 4 ( sin sin 4)(2 <-++ =m B f B B B B f 且π 恒成立,求实数m 的范围。 例4:(1)求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 如果把上题稍微改一点,那么答案又如何呢?请看下题: (2)求使不等式)2 ,0(4,cos sin π π ∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 演练方阵 A 档(巩固专练) 1.设函数f (x )=???? ??? ≥-<<-+-≤+)1(11 )11(22)1()1(2x x x x x x ,已知f (a )>1,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪(-21 ,+∞) B.(-21,2 1) C.(-∞,-2)∪(-2 1 ,1) D.(-2,-2 1 )∪(1,+∞) 2.已知f (x )、g (x )都是奇函数,f (x )>0的解集是(a 2 ,b ),g (x )>0的解集是(22a ,2 b ),则f (x )·g (x ) >0的解集是__________. 3.已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解,则a 的取值范围是__________. 4. 解不等式)0( 01)1 (2 ≠<++ -a x a a x 5. 解不等式0652 2>+-a ax x ,0≠a 含参不等式(有解、无解问题)(人教版)一、单选题(共10道,每道10分) 1.若不等式组的解集为,则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含参不等式(组) 2.若关于x的不等式组有解,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含参不等式(组) 3.若不等式组有解,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含参不等式(组) 4.若关于x的不等式组有解,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含参不等式(组) 5.若关于x的不等式组有解,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含参不等式(组) 6.关于x的不等式组无解,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含参不等式(组) 7.若关于x的不等式组无解,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含参不等式(组) 8.已知关于x的不等式组无解,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含参不等式(组) 9.若关于x的不等式组无解,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含参不等式(组) 10.若关于x的不等式组无解,则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 关于含参数(单参)的一元二次不等式的解法探究 高二数学组 盛耀建 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的,这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答,但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点,此现象出现的根本原因是学生不清楚该如何对参数进行讨论,笔者认为这层“纸”捅破了,问题自然得到了很好的解决,在教学的过程中本人发现参数的讨论实际上就是参数的分类,而参数该如何进行分类有一个非常好的方法,下面我们通过三个例子找出其中的奥妙! 一.二次项系数为常数 例1解关于x 的不等式:.0)2(2>+-+a x a x 解:0)2(2>+-+a x a x )(* ()3243240422 +≥-≤?≥--=?a a a a 或, 此时两根为()2 42)2(2 1a a a x --+ -= ,()2 42)2(2 2a a a x --- -= . (1)当324-?, )(*解集为(2 48)2(,2 +-- -∞-a a a )?( +∞+-+-,2 48)2(2 a a a ); (2)当324-=a 时,0=?,)(*解集为(13,-∞-)?(+∞-,13); (3)当324324+<<-a 时,0,)(*解集为R ; (4)当324+=a 时,0=?,)(*解集为(13,--∞-)?(+∞--,13); (5)当324+>a 时,0>?, )(*解集为(2 48)2(,2 +-- -∞-a a a )?( +∞+-+-,2 48)2(2 a a a ). 二.二次项系数含参数 例2解关于x 的不等式:.01)1(2 <++-x a ax 解:若0=a ,原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0>a ,原不等式.0)1)(1(<-- ?x a x )(* 高二数学(含参数不等式解法) 一、选择题 1、如果不等式x 2 – log m x < 0在 x ∈( 0, 12 )上恒成立,则实数m 的取值范围是 A 、116≤m < 1 B 、0 < m ≤116 C 、0 < m < 14 D 、m ≥116 2、已知a > 0,b > 0,不等式 – a < 1x < b 的解集是 A 、( - 1a ,0)∪(0,1b ) B 、( - 1b ,1a ) C 、( - 1b ,0)∪(0,1a ) D 、( - ∞,1a )∪(1b ,+ ∞) 3、设集合M = {x | > a 且a 2 – 12a + 20 < 0},N = {x | x < 10},则M ∩N 是 A 、{x | a < x < 10} B 、{x | x > a} C 、{x | 2 < x < 10} D 、N 4、若函数 f(x) = 228x x --的定义域为M ,g(x) = 11|| x a --的定义域为N , 则使M ∩N = ?的实数a 的取值范围是 A 、( - 1,3) B 、(- 3,1) C 、[- 1,3] D 、[- 3,1] 5、若关于x 的方程x 2 + ( a – 3)x + a = 0的两根均为正数,则实数a 的取值范围是 A 、0 < a ≤3 B 、a ≥9 C 、a ≥9或a ≤ 1 D 、0 < a ≤ 1 6、已知函数f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图象如右图,则 A 、b ∈( - ∞,0) B 、b ∈( 0,1) C 、b ∈( 1,2) D 、b ∈(2,+ ∞) 7、不等式ax 2 + bx + 2 > 0的解集是( - 11,23) ,则a – b 等于 A 、- 4 B 、14 C 、- 10 D 、10 8、命题甲:ax 2 + 2ax + 1 > 0的解集是R ,命题乙:0 < a < 1,则命题甲是乙成立的 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分又非必要条件 9、若|x – a| < h ,| y – a| < h ,则下列不等式一定成立的是 A 、| x – y| < h B 、| x – y | < 2h C 、| x – y| > h D 、| x – y | > 2h 10、命题p : 若a 、b ∈R ,则| a | + | b | >1是 | a + b| > 1的充分而不必要条件。 含参数的一元二次不等式的解法 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按2 x 项的系数a 的符号分类,即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式:()0122 >+++x a ax 分析:本题二次项系数含有参数,()04422 2 >+=-+=?a a a ,故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解:∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时,不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ,0>?,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时,解集为{}32|> 含参数不等式总结 一、通过讨论解带参数不等式 例1:2(1)0x x a a ---> 例2:关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立,求a 的取值范围。 二、已知解集的参数不等式 例3:已知集合 {}2540A x x x =-+|≤,{}2|220B x x ax a =-++≤,若B A ?,求实数a 的取值范围. 三、使用变量分离方法解带参数不等式 例4:若不等式210x ax ≥++对于一切1 (0,)2 x ∈成立,则a 的取值范围. 例5:设()()()?? ????+-+++=n a n n x f x x x 121lg ,其中a 是实数,n 是任意给定的自然数 且n ≥2,若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。 例6: 已知定义在R 上函数f(x)为奇函数,且在[)+∞,0上是增函数,对于任意R x ∈求实 数m 范围,使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。 思考:对于(0,3)上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立,求实数m 的取值范 围。如何求解? 分离参数法适用题型:(1) 参数与变量能分离;(2) 函数的最值易求出。 四、主参换位法解带参数不等式 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果。 一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。 例7:若对于任意a (]1,1-∈,函数()()a x a x x f 2442 -+-+=的值恒大于0,求x 的 取值范围。 分析:此题若把它看成x 的二次函数,由于a, x 都要变,则函数的最小值很难求出,思路 受阻。若视a 为主元,则给解题带来转机。 例8:已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立,求x 的范围。 教案 教材:含参数的不等式的解法 目的:在解含有参数的不等式时,要求学生能根据参数的“位置”正确分组讨论,解不等式。 过程:一、课题:含有参数的不等式的解法 解:原不等式等价于 x x a a log 1log < 即:0log )1)(log 1(log <-+x x x a a a ∴1log 01log <<- 当1cot =θ即θ= 4 π时 x ∈φ 当)1,0(cot ∈θ即θ∈(4π,2π)时 0232>-+-x x ∴1 不等式(3)----含参不等式的解法 当在一个不等式中含有了字母,则称这一不等式为含参数的不等式,那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解,首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响,其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题,同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解,而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。 (一)几类常见的含参数不等式 一、含参数的一元二次不等式的解法: 例1:解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈ 分析:当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式;当m+1≠1时,还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论,并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论:⑴当m<-1时,⊿=4(3-m )>0,图象开口向下,与x 轴有两个不同交点,不等式的解集取两边。⑵当-1含参不等式题型知识讲解
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