第5讲节点电压法

第5讲节点电压法

第二章第5节

教学目的和目标

(1)掌握节点电压法和计算电路的方法

(2)明确节点电压法的前提条件、未知量、方程基本结构、方程的列写规则、

典型应用及特殊情况。

教学重点与难点

教学重点:应用节点电压法分析计算电路。

教学难点: 列写节点电压方程。

教学方法和手段

1、以讲授法，启发式指导和师生互动法为主。

2、科学合理地使用电子教室多媒体手段进行教学。

教学课时:2课时

教学过程及详细内容

前面我们学

1)节点：电路中三条或三条以上支路的交点称为节点。

2)基尔霍夫第一定律（节点电流定律）KCL ∑I=0.

它描述了连接在同一节点上，各支路电流之间的约束关系，反映了电流的连续性，可缩写为KVL。即在任一瞬间，流入某一节点的电流之和等于流出该节点

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

的电流之和

．．．．．。数学关系式为：∑I入=∑I出或∑I = 0

节点电压法是用来分析电路的另一种重要方法,它是以电路的节点电压为变量列写方程. 节点电压法不仅适用于平面电路,同时也适用于非平面电路.

一、内容1

2．5 节点电压法

2.5.1 节点电压方程的一般形式

一、节点电压

在电路中任意选择某一节点为参考节点，则其它节点为独立节点。各独立节点与参考节点之间的电压称为节点电压，其参考方向是由独立节点指向参考节点。显然，对于具有n个节点的电路，就有（n-1）个节点电压。由于任一支路都连接在两个节点上，所以支路电压等于

节点电压或相关两个节点电压之差。

例如图2.5.1所示电路，电路的节点数为3，支路数为6。以0为参考节点，则1、2为独立节点。节点电压分别用u Nl 、u N2 表示， 支路电压分别为：

u 1= u 4=u N1

u 2= u 5 = u N2 u 3= u 6= u N1- u N2。

因此，在求出各节点电压后就可 以求得各支路电压，进而

根据元 件的VAR 可求得各支路电流。任 一回路中各支路电压若用节点电 压表示，其代数和恒等于零，因此 节点电压对所有回路均自动满足KVL ，

所以，用节点电压作为电路变量时，只需按KCL 列出电流方程。

二、节点电压法

以节点电压为求解变量，根据KCL 和元件VAR 对独立节点列KCL 方程。

在图2-5-1所示电路中，根据KCL 列写节点1、2的电流方程， 得 i 1+i 3-i s1+i s3=0

i 2-i 3 -i s2-i s3=0

据元件VAR ，有

G 1u N1+G 3(u N1－u N2) －i s1+i s3 =0

G 2u N2-G 3(u N1－u N 2)－i s2－i s3=0

上述方程组简称为节点方程。为了便于求解方程，将求解变量按顺序排列

图2.5.1

并加以整理得

(G1+G3)u N1－G3u N2=i s1－i s3

－G 3u N1 + (G2+G3)u N2=i s2 + i s3 2-5-3

对于上式可令G11=G l+G3，G22=G2+G3，分别称为节点1、2的自导，它等

于联接于该节点的各支路的电导之和；令G12=－G3，称为1、2节点

间的互导，它等于联接于两节点间的各支路电导之和的负值。自导恒

为正值，互导恒为负值。这是由于设定的节点电压的参考方向均由独

立节点指向参考节点，所以各节点电压在自导中所引起的电流总是流

出该节点，故在该节点电流方程中，这些电流前取“+”号，因而自导

恒为正值。但是，另一个节点电压通过互导所引起的电流总是流入本

节点的，所以在本节点的电流方程中，这些电流前应取负号，因而互

导恒为负值。在本电路中互导G12=G21=－G3，但对于含受控源的电路，

有些互导G j k≠G kj。

式（2-5-3）右方的（i s1－i s3）、（i s2 +i s3）分别表示流入节点1、2的电流

源

电流的代数和，流入取“+”号，流出取“—”号，可分别计为i s11、i s22，

即

i s11= i s1－i s3

i s22= i s2+i s3

与网孔电流法相似，为便于写出节点方程，将方程组（2-5-3）写成

G11u N1 +G12u N2 =i s11

G21u N1 + G22u N2=i s22

这就是具有两个独立节路的节点方程的一般形式。

对于具有(n-1)个节点的电路，仿照上式可得出节点电压方程的一般形式

为

G11u N1 +G12u N2 +…+G1n u N(n-1) =i s11

G21u N1 + G22u N2 +…+G2n u N(n-1) =i s22

……

G(n-1)1u N1 +G(n-1)2u N2 +…+G(n-1) (n-1)u N(n-1) =i s(n-1) (n-1) 2-5-5

二、内容2

2.5.2 节点电压法的分析步骤

（1）选定参考节点，标出节点电压，其参考方向通常是独立节点指向参考节点；

（2）按照式（2-5-5）节点方程的一般形式，列写节点方程，而不必写出推导过程。

注意：自导恒为正值，互导恒为负值；并注意方程式右边项取代数和时各有关电流

源电流前面的“+”、“-”符号；联立求解节点方程，解得各节点电压；

（3）选定各支路电流的参考方向，求解支路电流；根据需要求出其它待求量。

例试用节点电压法求图所示电路中的各支电路电流。

解取节点0为参考节点，节点电压u N1，u N2为求解变量，列出节点方程为

解上述方程得

u N1 =6V u N2=12V

所以i1 =6A i2=-3A i3=4A

三、 内容3

2.5.3 含有理想电压源支路时的分析方法

当电路中含有伴电压源时，可以将其等效变换为有伴电流源，然后列节点方程。

当电路中含无伴电压源时：

1.尽量取电压源支路的负极性端为参考节点，这时电压源端电压成为已知的节点电压，故不必再对该节点列写节点方程；

2.若电压源两端均不能成为参考节点，在列写节点方程时，把电压源视同为电流等于i 的电流源，由于i 是未知量，故必须增补一个独立的辅助方程，一般把电压源的电压表示为两节点电压之差。 四、 内容4

2.5.4 弥尔曼定理

例 试用节点电压法，求图所示电路的节点电压。 解 图所示电路中含有三个有伴电压源，分别等效为有伴电流源如图(b)所示，选取节点0为参考节点，1为独立节点。对节点1列出节点方程

则

所以，对于只有一个独立节点的电路，计算节点电压

可

用如下公式

（a ）

此公式也称为弥尔曼定理。

例 试列出图(a)所示电路的节点方程。

解 将图(a)所示电路的U s2、G 2串联组合的有伴电压源等效为有伴电流源，其I s2=G 2U s2；U s1为无伴电压源，设其电流为I ，如图(b)所示。选取节点0为参考节点，则1、2、

3为独立节点。

对节点1、2、3列出节点方程

(G 1+G 2)U N1=I s2－I (G 3

+G 4)U N2－G 4U N3=I －G 4U N2+(G 4+G 5)U N 3=I s5

辅助方程 U N2－U N1= U s1

I s2= G 2U s2

注意，在列写节点方程中，没有计入 与I s5电流源相串联的电导G 6，其原因是因

为节点方程实质上是以节点电压为未知量，对节点所列的KCL 电流方程，对于与电

流源串联的电导（或电阻），不论其值为多少，均不影响该支路电流的大小，故不应

计入自导和互导之中。 五、本课小结

（a ）

(b)

图

六、布置课后任务及作业习题

2.4.2

2.5.1