2016年上海高考数学试题(理)(解析版)

2016年上海高考数学（理科）真题

一、解答题（本大题共有14题，满分56分）

1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)

【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)

2. 设32i

i

z +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________

【答案】3-

【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-

3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________

【解析】d =

4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.76

5. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -

【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+

∴2log (1)x y =-

∴12()log (1)f x x -=-

6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3

， 则该正四棱柱的高等于____________________

【答案】

【解析】BD =12

3

DD BD =?=

7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________

【答案】π5π

,66

x =

【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=

∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=

∴1

sin 2x =

∴π5π,66

x =

8. 在2n

x ???-的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________

【答案】112

【解析】2256n =， 8n =

通项8843

3882()(2)r r

r r r r C x C x x

--??-=-?

取2r =

常数项为228(2)112C -=

9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________

【解析】3,5,7a b c ===，2221

cos 22

a b c C ab +-=

=-

∴sin C =

∴2sin c R C ==

10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组1

1

ax y x by +=??+=?无解，则a b +的取值范围是_____________

【答案】(2,)+∞

【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>=

11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大

值为___________ 【答案】4

12. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =BP BA ?

的取值范围

是____________

【答案】[0,1+

【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA = , (cos ,sin 1)BP αα=+

π

cos [0,1sin 1)14

BP BA ααα?=++=+∈++

13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π

2sin(3)sin()3

x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组

(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4

【解析】(i)若2a =

若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π

3

c =

(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π

3

c =

共4组

14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，

点P 满足0i j OP OA OA ++=

，则点P 落在第一象限的概率是_______________

【答案】

528 【解析】2855

28

C =

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件 【答案】A

16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D

【解析】π

2

θ=-时，ρ达到最大

17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞

=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )

A. 10a >, 0.60.7q <<

B. 10a <, 0.70.6q -<<-

C. 10a >, 0.70.8q <<

D. 10a <, 0.80.7q -<<-

【答案】B

【解析】1(1)

1n n a q S q

-=-, 11a S q =-, 11q -<<

2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12n

q >，不可能成立

若10a <，则12

n

q <，B 成立

18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均

为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题

C. ①为真命题，②为假命题

D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D

【解析】①不成立，可举反例

2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>?=??, 0

3,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+?≥=

, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>???

②()()()()f x g x f x T g x T +=+++

()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++

前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的

步骤．

19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π， 11A B 长为3

π

，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积

(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小

【解析】(1) 连11O B ，则

111113

A O A

B B π

∠== ∴111O A B 为正三角形

∴111O A B S =

∴111111113C O A B O A B V OO S -=?=

(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角） 111BB AA == 连,,BC BO OC

113AB A B π==, 23

AC π= ∴ 3

BC

π

=

∴3

BOC π

∠=

∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==

∴11

tan 1BC

BB C BB ∠== ∴145BB C ∠=?

∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45?

20．（本题满分14分）

有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。于是，菜

地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S

的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，

点F 的坐标为(1,0)，如图

(1) 求菜地内的分界线C 的方程

(2) 菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为8

3。设M 是C

上

纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并 判断哪一个更接近于1S 面积的经验值

【解析】(1) 设分界线上任一点为(,)x y ，依题意

1x +=

可得1)y x =≤≤

(2) 设00(,)M x y ，则01y =

∴2001

44

y x ==

∴设所表述的矩形面积为3S ，则315

(1)422

S ?+==

设五边形EMOGH 面积为4S ，则43512113111144224

OMP MGQ S S S S =-+=-??+??= 13851326S S -=

-=, 4111811

43126

S S -=-=< ∴五边形EOMGH 的面积更接近1S 的面积

21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

双曲线22

21(0)y x b b

-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于,A B 两点

(1) 若l 的倾斜角为2

π

，1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程

(2) 设b =，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +?=

，求l 的斜率

【解析】(1)由已知1(F , 2F

取x =，得2y b =

12F F =

∵12F F =, 2

2F A b =

∴2=

即4222344(32)(2)0b b b b --=+-=

∴b =

∴渐近线方程为y =

(2)若b =2

2

13

y x -= ∴1(2,0)F -, 2(2,0)F

设11(,)A x y , 22(,)B x y ，则 111(2,)F A x y =+ , 122(2,)F B x y =+ , 2121(,)AB x x y y =--

∴111212(4,)F A F B x x y y +=+++

222211212121()4()0F A F B AB x x x x y y +?=-+-+-= (*)

∵22

22

121

2133y y x x -=-=

∴222

221213()y y x x -=-

∴代入(*)式，可得2

22

1214()4()0x x x x -+-= 直线l 的斜率存在，故21x x ≠ ∴121x x +=-

设直线l 为(2)y k x =-，代入2233x y -= 得2222(3)4(43)0k x k x k -+-+=

∴230k -≠，且4222164(3)(43)36(1)0k k k k ?=+-+=+>

2

122

413k x x k +=-=-- ∴2

35k =

∴k =

∴直线l 的斜率为

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分

已知a ∈R ，函数21

()log ()f x a x

=+

(1) 当5a =时，解不等式()0f x >

(2) 若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围

(3) 设0a >，若对任意1

[,1]2

t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求a

的取值范围

【解析】(1)21log (5)0x +>151x ?+>41

0(41)0x x x x

+?

>?+>

∴不等式的解为{|0x x >或1

}4

x <-

(2)依题意，221

log ()log [(4)25]a a x a x

+=-+-

∴1

(4)250a a x a x

+=-+-> ① 可得2(4)(5)10a x a x -+--= 即(1)[(4)1]0x a x +--= ②

当4a =时，方程②的解为1x =-，代入①式，成立 当3a =时，方程②的解为1x =-，代入①式，成立

当3a ≠且4a ≠时，方程②的解为1

1,4

x a =--

若1x =-为方程①的解，则1

10a a x

+=->，即1a >

若14x a =-为方程①的解，则1

240a a x

+=->，即2a >

要使得方程①有且仅有一个解，则12a <≤

综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a 的取值范围为12a <≤或3a =或4a = (3)()f x 在[,1]t t +上单调递减 依题意，()(1)1f t f t -+≤

即2211

log ()log (

)11

a a t t +-+≤+ ∴11

2()1

a a t t +≤++，即1211(1)t a t t t t -≥-=++

设1t r -=，则1

[0,]2

r ∈

21(1)(1)(2)32

t r r

t t r r r r -==+---+ 当0r =时，2

032

r

r r =-+ 当102

r <≤时，21

2323r r r r r

=

-++- ∵函数2

y x x

=+

在递减

∴219422r r +≥+=

∴112

293332

r r ≤=+-- ∴a 的取值范围为2

3

a ≥

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

若无穷数列{}n a 满足：只要*(),p q a a p q ∈=N ，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P . (1) 若{}n a 具有性质P . 且11a =, 22a =, 43a =, 52a =, 67821a a a ++=，求3a ； (2) 若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，

n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；

(3) 设{}n b 是无穷数列，已知1sin n n n a b a +=+*()n ∈N ，求证：“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条

件为“{}n b 是常数列”. 【解析】(1) 252a a ==

∴36a a =

∴473a a == ∴582a a ==

∴6782116a a a =--= ∴3

16a =

(2)设{}n b 的公差为d ，{}n c 的公差为q ，则0q > 51480b b d -== ∴20d =

∴2019n b n =- 451181

c q c == ∴13

q =

∴5

1()3

n n c -=

∴5

12019()3

n n n n a b c n -=+=-+

∵182a =, 582a =

而2212748a =+=, 61304

10133

a =+=

15a a =但62a a ≠

故{}n a 不具有性质P

(3) 充分性：若{}n b 为常数列，设n b C = 则1sin n n a C a +=+

若存在,p q 使得p q a a =，

则11sin sin p p q q a C a C a a ++=+=+=, 故{}n a 具有性质P

必要性：若对任意1a ，{}n a 具有性质P 则211sin a b a =+

设函数1()f x x b =-, ()sin g x x =

由(),()f x g x 图像可得，对任意的1b ，二者图像必有一个交点 ∴一定能找到一个1a ，使得111sin a b a -= ∴2111sin a b a a =+= ∴1n n a a +=

故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-= ∴{}n b 是常数列